复变函数
复变函数练习卷一
一、填空题（每小题2分）
1、复数i 212--的指数形式是
2、函数w =z
1将Z S 上的曲线()1122
=+-y x 变成W S (iv u w +=)上的曲线是
3、若01=+z e ,则z ＝
4、()i
i +1=
5、积分()?+--+i
dz z 22
22=
6、积分
?==1sin 21z dz z
z
i π 7、幂级数()∑∞
=+0
1n n n
z i 的收敛半径R=
8、0=z 是函数
z
e z 111--的 奇点 9、=???
?
??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w
二、单选题（每小题2分）
1、设α为任意实数，则α1=（ ）
A 无意义
B 等于1
C 是复数其实部等于1
D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ）
A i i 2<
B 零的辐角是零
C 仅存在一个数z,使得z z -=1
D iz z i
=1
3、下列命题正确的是（ ）
A 函数()z z f =在z 平面上处处连续
B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析
C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛
D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ）
A
i 2321- B 223i - C 223i +- D i 2
321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ）
A z
1sin 1
B z 1cos
C z ctg e 1
D Lnz
6、下列积分之值不等于0的是( )
A ?=-123z z dz
B ?=-12
1z z dz
C
?=++1242z z z dz
D ?=1
cos z z dz
7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ）
A ()∑∞
=+-02121n n n
n z （z <1） B ()∑∞
=+-0
1221n n n n z
（z <1）
C ()∑∞
=++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0
221n n n n z
（z <1）
8、幂级数n n n z 20
1)1(∑∞
=+-在1 A 211z - B 211z + C 112-z D 2 11 z +- 9、设a i ≠，C ：i z -=1，则() =-?dz i a z z C 2 cos （ ） A 0 B e π 2i C 2πie D icosi 10、将单位圆1 A )1(1>--=a z a a z e w i β B )1(1<--=a z a a z e w i β C )1(>--=a a z a z e w i β D )1(<--=a a z a z e w i β 三、判断题（每小题2分） 1、（ ）对任何复数z,2 2z z =成立 2、（ ）若a 是()z f 和()z g 的一个奇点,则a 也是()()z g z f +的奇点 3、（ ）方程01237=+-z z 的根全在圆环21< 4、（ ）z=∞是函数()= z f () 2 5 1z z -的三阶极点 5、（ ）解析函数的零点是孤立的 四、计算题（每小题6分） 1、已知())(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=在z S 上解析,求a,b,c,d 的值 2、计算积分?=--22 )1(2 5z dz z z z 3、将函数()1 1 +-=z z z f 在1=z 的邻域内展成泰勒级数,并指出收敛范围 4、计算实积分I=?∞ +++0 2 22 ) 4)(1(dx x x x 5、求2 11 )(z z f +=在指定圆环+∞<- 6、求将上半平面0Im >z 共形映射成单位圆1 ()z L w =，使符合条件()0=i L ，()0>'i L 复变函数练习卷一 一填空题（每小题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分） 1 i e π6 54-，2 2 1=u ， 3 (2k+1)i π,(k=0, 2,1±±)， 4 ?? ? ??+-ππk i e e 24 2ln (k=0, 2,1±±) 5 3 i - , 6 0 , 7 2 1 , 8可去， 9 2 e ， 10 z 1- 二 单选题（每小题2分，共20分） 1 D 2 D 3 A 4 A 5 B 6 B 7 C 8 D 9 A 10 A 三 判断题（每小题2分，共10分） 1? 2 ? 3 ∨ 4 ∨ 5 ? 四 计算题（每小题6分，共36分） 1解：22by axy x u ++=,22y dxy cx v ++= 3 分 y x v u = y dx ay x 22+=+ x y v u -= dy cx by ax --=+22 …5分 解得:1,2-====c b d a 6 分 2解：被积函数在圆周的2=z 内部只有一阶极点z=0 及二阶极点z=1 2 分 2)1(25)(Re 0 2 -=--= ==z z z z z f s 2225)(Re 1 2 1 1 == ' ?? ? ??-====z z z z z z z f s 分5 ?=--22)1(2 5z dz z z z =π2i(-2+2)=0 6 分 3解：()1 1 +-= z z z f = ()n n n z z z 12112 11111 2 10-??? ??--=-+-=+- ∑∞ = …4分 （1-z <2） …6分 4解: 被积函数为偶函数在上半z 平面有两个 一阶极点i,2i …1分 I=?∞+∞-++dx x x x ) 4)(1(21222 …2分 =[ ])(Re )(Re 221 2z sf z f s i i z i z ==+π …3分 =]i z i z i z z z z i z z i 22 2 2 2 ) 2)(1() 4)((==+++???++π …5分 = 6 π …6分 5解：))((1 )(i z i z z f +-= …1分 = i z i i z -+ -211 )(12 …3分 = ∑∞ =---0 2 )()2()1()(1 n n n n i z i i z +∞<- i z i z +- 2 分 2 )(2i z i k w +=' …3分 0)(=>'='i L w i k =∴ …4分 i z i z i w +-= …6分 复变函数练习卷二 一、填空题（每小题2分） 1、()() 32 3sin 3cos 5sin 5cos ????i i -+的指数形式是 2、i i = 3、若0 ==+r z dz z 1ln 4、若v 是u 的共轭调和函数，那么v 的共轭调和函数是 5、设0=z 为函数)(z f =33sin z z -的m 阶零点，则m = 6、设a z =为函数()z f 的n 阶极点，那么()()??? ???'=z f z f s a z Re = 7、幂级数∑∞ =0! n n n z 的收敛半径R= 8、0=z 是函数z z 1 sin 5的 奇点 9、方程01237=+-z z 的根全在圆环 内 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、若函数()z f 在区域D 内解析，则函数()z f 在区域D 内（ ） A 在有限个点可导 B 存在任意阶导数 C 在无穷多个点可导 D 存在有限个点不可导 2、使2 2z z =成立的复数是（ ） A 不存在 B 唯一的 C 纯虚数 D 实数 3、? ==-22 )1(cos z dz z z （ ） A －i πsin1 B i πsin1 C －2i πsin1 D 2i πsin1 4、根式3i 的值之一是（ ） A 223i - B 2 23i -- C i D i - 5、π=z 是 π -z z sin 的（ ） A 可去奇点 B 一阶极点 C 一阶零点 D 本质奇点 6、函数()()() 411 ++= z z z z f ，在以0=z 为中心的圆环内的洛朗展式 有m 个，则m=( ) A 1 B 2 C 3 D 4 7、下列函数是解析函数的为（ ） A xyi y x 222-- B xyi x +2 C )2()1(222x x y i y x +-+- D 33iy x + 8、在下列函数中，()0Re 0 ==z f s z 的是（ ） A ()21 z e z f z -= B ()z z z z f 1sin -= C ()z z z z f cos sin += D ()z e z f z 1 11--= 9、设a i ≠，C ：i z -=1，则() =-?dz i a z z C 2 cos （ ） A 0 B e π 2i C 2πie D icosi 10、将单位圆1 A )1(1>--=a z a a z e w i β B )1(1<--=a z a a z e w i β C )1(>--=a a z a z e w i β D )1(<--=a a z a z e w i β 三、判断题（每小题2分） 1、（ ）幂级数∑∞ =0 n n z 在z <1内一致收敛 2、（ ）z=∞是函数 2 cos 1z z -的可去奇点 3、（ ）在柯西积分公式中，如果D a ?，即a 在D 之外，其它条件 不变，则积分 ()=-?dz a z z f i C π210，()D z ∈ 4、（ ）函数()=z f z ctg e 1 在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数 5、（ ）解析函数的零点是孤立的 四、计算题（每小题6分） 1、计算积分()?+-C dz ix y x 2，C ：i →1+i 的直线段 2、求函数()()() 2 11+-= z z z z f 在所有孤立奇点（包括∞）处的留数 3、将函数()i z i z z f --+=11在i z =的去心邻域内展成洛朗级数,并指出收敛域 4、计算积分() ?+C z z dz 1 2 2 , C:122 2+=+y y x ， 5、计算实积分I=?+π θ θ 20 cos a d )1(>a 6、求将单位圆1 使符合条件021=?? ? ??L ，()11-=L 复变函数练习卷二 一填空题（每小题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分） 1 ? 19i e ，2 ππ k e 22 --(k=0,±…) ， 3 0， 4 u -， 5 9 6 n - ， 7 ∞+ ， 8本质， 9 21< 1 - 二 单选题（每小题2分，共20分） 1 B 2 D 3 C 4 D 5 A 6 C 7 C 8 D 9 A 10 A 三 判断题（每小题2分，共10分） 1? 2 ? 3 ∨ 4 ? 5 ? 四 计算题（每小题6分，共36分） 1解：C 的参数方程为： z=i+t, 01≤≤t dz=dt 3 分 ()?+-C dz ix y x 2 ＝() ?+-1 21dt it t =3 21i +- 6 分 2解: 1=z 为()z f 一阶极点 1 分 1-=z 为()z f 二阶极点 2 分 ()4 1 1Re 1 1-=' ?? ? ??-=-=-=z z z z z f s 3 分 ()()4 1 1Re 1 2 1 = += ==z z z z z f s 5 分 ()0Re =∞ =z f s z …6分 3解：()i z i z z f --+=11=? ????? ? ?-++-- i i z i i z 211211 …2分 = ()()() 10211+∞ =--+--∑n n n n i i z i z …5分 （0 一个一阶极点i z = …1分 ()011Re 0 20 =' ?? ? ??+===z z z z f s …3分 ()i i z z z f s i z i z 21 ) (1Re 2- =+= == …5分 所以原式＝π2i π-=??? ? ? -i 210 …6分 5 解：令θi e z = iz dz z z a I z ? =-++ =112 1 …1分 = [][] ?=-----+--122) 1()1(2z a a z a a z dz i …3分 被积函数在1=z 内的有一个一阶极点12-+-=a a z 1 21)(Re 2 1 2 -= -+-=a z f s a a z …5分 I=1 21212222-=-a a i i π π …6分 6解：2212 112121-- =-- =??? ??=z z k z z k L w 2 分 ()12 1212111-=-=-- =k k L 所以2=k 4 分 于是所求变换 2 122212 --=-- =z z z z w 6 分 第一章 复数的运算与复平面上的拓扑 1.复数的定义 一对有序实数（x,y ）构成复数z x iy =+,其中()()Re ,Im x z y z ==.21i =-， X 称为复数的实部，y 称为复数的虚部。 复数的表示方法 1） 模： z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值 ()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与 arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? 4）若 12 1122,i i z z e z z e θθ==, 则 () 121212i z z z z e θθ+=； ()121122 i z z e z z θθ-= 5.无穷远点得扩充与扩充复平面 复平面对内任一点z , 用直线将z 与N 相连, 与球面相交于P 点, 则球面上除N 点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系, 而N 点本身可代表无穷远点, 记作∞.这样的球面称作复球面 这样的球面称作复球面. 扩充复平面---引进一个“理想点”: 无穷远点 ∞ 复平面的开集与闭集 复平面中领域，内点，外点，边界点，聚点，闭集等概念 复数序列的极限和复数域的完备性 复数的极限，，柯西收敛定理，魏尔斯特拉斯定理，聚点定理等从实数域里的推广，可以结合实数域中的形式来理解。 第二章 复变量函数 1.复变量函数的定义 1）复变函数的反演变换（了解） 2）复变函数性质 反函数 有界性 周期性， 3）极限与连续性 极限： 连续性 2.复变量函数的形式偏导 1）复初等函数 ). ( ),( , , , , . z f w z w iv u w z G iy x z G =+=+=记作复变函数简称的函数是复变数那末称复变数之对应与就有一个或几个复数每一个复数中的对于集合按这个法则个确定的法则存在如果有一的集合是一个复数设. )( )(,)0(0 )( ,0 , , 0 )( 0000时的极限趋向于当为那末称有时使得当相应地必有一正数对于任意给定的存在如果有一确定的数内的去心邻域定义在设函数z z z f A A z f z z A z z z z f w ερδδεδερ<-≤<<-<><-<= . )( , )( . )( ),()(lim 000 内连续在我们说内处处连续在区域如果处连续在那末我们就说如果D z f D z f z z f z f z f z z =→ 习题三 3.1计算积分 2C z dz ? ，其中C 是： （1）原点到()2i +的直线段； （2）原点到2再到()2i +的折线； （3）原点到i 再沿水平到()2i +的折线。 解：（1）C 的参数方程为()()22201z t i t ti t =+=+≤≤ ()2dz i dt =+ 于是 ()()()222 1 222113 C i i d z d t i z t +++== ? （2）12C C C =+，1C 参数方程为()02z t t =≤≤， 2C 参数方程为()201z it t =+≤≤ ()()1 2 2 21 2 2 2 2 1 22113 C C C z dz z dz z dz t dt id it i t += +=+=+? ???? （3）12C C C =+，1C 参数方程为()01z it t =≤≤， 2C 参数方程为()02z t i t =+≤≤ ()()()1 2 2 1 2 2 2 22 1 2113 C C C z dz z dz z dz it idt dt t i i += +++==????? 3.2设C 是,i z e θ θ=是从π-到π的一周，计算： （1） ()Re C z dz ? ；（2）()Im C z dz ?；（3）C zdz ? 解：cos sin i z e i θ θθ==+，()sin cos dz i d θθθ=-+ （1）()()Re cos sin cos C z dz i d i π π θθθθπ-=-+=??； （2）()()Im sin sin cos C z dz i d π π θθθθπ-=-+=-? ?； （3） ()()cos sin sin cos 2C zdz i i d i π π θθθθθπ-=--+=? ? 3.3计算积分C z zdz ? ，其中C 是由直线段11,0x y -≤≤=及上半单位圆周组成的正向闭 曲线。 解：12C C C =+，1C 表示为z x iy =+，()11,0x y -≤≤=； 一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。 (1) i 解：2 cos sin 2 2 i i e i ππ π ==+ (2) -1 解：1cos sin i e i πππ-==+ (3) 1+ 解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解： 2221cos sin 2sin 2sin cos 2sin (sin cos )2 2 2 2 22 2sin cos()sin()2sin 222222 i i i i i e παα α α α α α αααπαπαα?? - ??? -+=+=+? ?=-+-= ??? (5) 3z 解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e + 解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+ (7) 11i i -+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++ 二、计算下列数值 (1) 解： 1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a b i ctg a b i ctg a π?? + ??? = =??=??? (2) 解：6 2263634632 22i k i i i i e i e e e i πππππππ?? ??++ ? ??? ????+ ????=+????====-+? ??=-? (3) i i 解：( )2222i i k k i i e e ππππ???? +-+ ? ??? ?? == (4) 解：( ) 1/2222i i k k e e ππππ???? ++ ? ??? ?? == (5) cos5α 解：由于：()()5 5 2cos5i i e e ααα-+=， 而： ()()()() ()()()() 5 5 5 55 5 5 5 55 cos sin cos sin cos sin cos sin n n i n n n n i n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑ 所以： ()()()()()()()()()()() 5555055550 4 3 2 5 3 543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n n n n n n n n n C i i C i i C i ααααααααααααααααα --=--=?? =+-????=+-??=++=-+∑∑ (6) sin5α 解：由于：()() 5 5 2sin 5i i e e ααα--=， 所以： ()()()()()()()()()()() () 5555055550 5234 245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n n n n n n n n n C i i i C i i i C i C i i ααααααααααααααααα --=--=?? =--? ??? =--??=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解： 《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是 )(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在} 1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数， 那么它在 D 内为常数. 2. 试证 : ()f z = 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两 个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值. Matlab在复变函数中应用 数学实验（一） 华中科技大学数学系 二○○一年十月 MATLAB在复变函数中的应用 复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸，但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，且在引入了Taylor级数展开Laplace 变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要了。 使用MATLAB来进行复变函数的各种运算；介绍留数的概念及MAT–LAB的实现；介绍在复变函数中有重要应用的Taylor展开（Laurent展开Laplace变换和Fourier变换）。 1 复数和复矩阵的生成 在MATLAB中，复数单位为)1 j i，其值在工作空间中都显示为 =sq rt = (- 0+。 .1 i 0000 1.1 复数的生成 复数可由i z+ =。 a =语句生成，也可简写成bi a z* + b 另一种生成复数的语句是) exp(i theta r =，也可简写成) =， z* exp(theta * i r z* 其中theta为复数辐角的弧度值，r为复数的模。 1.2 创建复矩阵 创建复矩阵的方法有两种。 （1）如同一般的矩阵一样以前面介绍的几种方式输入矩阵 例如：)] i A* * i i = + 3[i * - + * , ), 23 5 33 6 exp( 2 3 , exp( 9 （2）可将实、虚矩阵分开创建，再写成和的形式 例如： )2,3( re=； rand im=； )2,3( rand im i re com *+= ] 5466.07271.05681.02897.07027.05341.08385.03420.03704.03412.03093.06602.0[i i i i i i com ++++++= 注意 实、虚矩阵应大小相同。 2 复数的运算 1．复数的实部和虚部 复数的实部和虚部的提取可由函数real 和imag 实现。 调用形式 )(x real 返回复数x 的实部 )(x imag 返回复数x 的虚部 2．共轭复数 复数的共轭可由函数conj 实现。 调用形式 )(x conj 返回复数x 的共轭复数 3．复数的模和辐角 复数的模和辐角的求解由功能函数abs 和angle 实现。 调用形式 )(x abs 复数x 的模 )(x angle 复数x 的辐角 例：求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角 （1） i 231 + （2）i i i --131 （3）i i i 2)52)(43(-+ （4）i i i +-2184 由MATLAB 输入如下： 复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.2 1i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? 复变小结 1.幅角（不赞成死记，学会分析） .2 argtg 20,0,0,0,arctg 0,0,20,arctg arg ππ πππ<<-???? ?????=<≠<±≠=±>=x y y x y x x y y x x x y z 其中 -∏ b.对于P12例题 1.11可理解为高中所学的平面上三点（A,B,C ）共线所满足的公式: (向量) OC=tOA+（1-t ）OB=OB+tBA c.对于P15例题1.14中可直接转换成X 和Y 的表达式后判断正负号来确定其图像。 d.判断函数f(z)在区域D 内是否连续可借助课本P17定义1.8 4.解析函数，指数，对数，幂、三角双曲函数的定义及表达式，能熟练计算，能熟练解初等函数方程 a.在某个区域内可导与解析是等价的。但在某一点解析一定可导，可导不一定解析。 b.柯西——黎曼条件，自己牢记:（注意那个加负那个不加） c.指数函数:复数转换成三角的定义。 d.只需记住：Lnz=ln[z]+i(argz+2k π) e.幂函数：底数为e 时直接运算（一般转换成三角形式） 当底数不为e 时，w= z a = e aLnz (幂指数为Ln 而非ln) 能够区分： 的计算。 f.三角函数和双曲函数： 只需记住： 及 其他可自己试着去推导一下。 反三角中前三个最好自己记住，特别 iz iz i z -+-=11Ln 2Arctg 因为下一章求积分会用到 11)(arctan ,2+=z z (如第三章的习题9) 5.复变函数的积分 ,,,i e e i i e i ππ+)15.2(.2e e sin ,2e e cos i z z iz iz iz iz ---=+=???????=-==+=--y i i iy y iy y y y y sh 2e e sin ch 2e e cos 第一章习题解答 （一） 1 ．设2z =z 及A rcz 。 解：由于32i z e π- = 所以1z =，2,0,1,3 A rcz k k ππ=- +=± 。 2 ．设1 21z z = = ，试用指数形式表示12z z 及 12 z z 。 解：由于6 4 12,2i i z e z i e π π - += == = 所以( )646 4 12 12222i i i i z z e e e e π π π π π - - === 54( )14 6 12 2 6 112 2 2i i i i z e e e z e π ππππ+ - = = = 。 3．解二项方程440,(0)z a a +=>。 解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+= ===。 4．证明2 2 2 1212 122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212 122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 121 2 122R e () z z z z z z -=+- 所以2 2 2 12 12122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0 321=++z z z , 1 321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3是内 接于单位圆1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于 1 321===z z z ，知 3 21z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 3 1z z z == ()[]()[]2 12322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 2 1212z z z z ++= 所以， 12121-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 2 1z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()3 22121=+-=z z z z 第六章留数理论及其应用 §1.留数 1.（定理6.1 柯西留数定理）： ∫f(z)dz=2πi∑Res(f(z),a k) n k=1 C 2.（定理6.2）：设a为f(z)的m阶极点， f(z)= φ(z) (z?a)n , 其中φ(z)在点a解析，φ(a)≠0，则 Res(f(z),a)=φ(n?1)(a) (n?1)! 3.（推论6.3）：设a为f(z)的一阶极点， φ(z)=(z?a)f(z),则 Res(f(z),a)=φ(a) 4.（推论6.4）：设a为f(z)的二阶极点 φ(z)=(z?a)2f(z)则 Res(f(z),a)=φ′(a) 5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式 6.无穷远点的留数： Res(f(z),∞)= 1 2πi ∫f(z)dz Γ? =?c?1 即，Res(f(z),∞)等于f(z)在点∞的洛朗展式中1 z 这一项系数的反号 7.（定理6.6）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为a1,a2,…,a n,∞,则f(z)在各点的留数总和为零。 注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有Res(f(z),∞)=0，但是，如果点∞为f(z)的可去奇点（或解析点），则Res(f(z),∞)可以不为零。 8.计算留数的另一公式： Res (f (z ),∞)=?Res (f (1t )1t 2,0) §2.用留数定理计算实积分 一.∫R (cosθ,sinθ)dθ2π0型积分 → 引入z =e iθ 注：注意偶函数 二.∫P(x)Q(x)dx +∞?∞型积分 1.（引理6.1 大弧引理）：S R 上 lim R→+∞zf (z )=λ 则 lim R→+∞∫f(z)dz S R =i(θ2?θ1)λ 2.（定理6.7）设f (z )=P (z )Q (z )为有理分式，其中 P (z )=c 0z m +c 1z m?1+?+c m (c 0≠0) Q (z )=b 0z n +b 1z n?1+?+b n (b 0≠0) 为互质多项式，且符合条件： （1）n-m ≥2; （2）Q(z)没有实零点 于是有 ∫ f (x )dx =2πi ∑Res(f (z ),a k )Ima k >0 +∞ ?∞ 注：lim R→R+∞ ∫f(x)dx +R ?R 可记为P.V.∫f(x)dx +∞?∞ 三. ∫P(x)Q(x)e imx dx +∞?∞ 型积分 3.（引理6.2 若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周ΓR :z =Re iθ(0≤θ≤π，R 充分大)上连续，且 lim R→+∞g (z )=0 在ΓR 上一致成立。则 lim R→+∞ ∫g(z)e imz dz ΓR =0 4.（定理6.8）：设g (z )=P (z )Q (z )，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件： 毕业论文 学生姓名林文强学号160901074 学院数学科学院 专业数学与应用数学 题目复变函数在中学数学中的应用 熊成继 指导教师 （姓名）（专业技术职称/学位） 2013 年 5 月 毕业论文独创性声明 本人郑重声明： 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。本论文除引文外所有实验、数据和有关材料均是真实的。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 作者签名： 日期： 摘要：本文通过对代数、几何以及三角函数等问题的探讨来说明复数在中学数学中的应用。将一些解决起来非常复杂的非复数问题，依据题目所给出的条件的特性，将该题目经过一定方式转换成复数问题，然后运用复数的性质及意义解决它。例如在代数问题中，利用复数模的性质；几何问题中，可以利用复数的几何意义及其与向量的关系；在三角函数中，可以利用复数的三角形式。运用复数解题的方法突破了常规的解题方法，有助于培养学生的创新思维。 关键词：复数；代数；几何；三角函数 Abstract：Based on the algebra, geometry and trigonometry problems to illustrate the application of the complex in the middle school mathematics.Some solutions are very complicated non complex problems, according to the characteristics of the given conditions, the title after a certain conversion into a complex problem, and then use the nature and meaning of complex number to easily solve.For example, in the algebraic problem, using the properties of complex modes; geometric problems, can the geometric meaning of complex utilization and its relationship with the vector; in the trigonometric function, can use the triangle form of complex https://www.wendangku.net/doc/c27208783.html,ing the method of complex problem solving through the method of solving problems of conventional, contributes to the cultivation of students' creative thinking. Keyword:Complex Number; Algebra; Geometry; Trigonometric Function 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. = )0,(Re n z z e s ，其中n 为自然数. 第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分? +i dz z 30 2 。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 () ()()?? +=??????+=+= +1 3 1 332 3 30 2 3313313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 33 2 3 2 33131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t i d t dz = () ()()33 1 31 2 33 2 3313313313-+=??????+=+= ?? +i it idt it dz z i ()()()33 3 3 1 02 30 2 30 2 33 13 3 133 133 13i i idt it dt t dz z i += - ++ = ++ = ∴ ?? ? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t i d t dz = ()()31 31 20 2 3131i it idt it dz z i =??? ???== ? ? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = () ()()33 1 31 2 32 3113131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+= ?? + ()()33 3 3 32 2 30 2 13 13 113 13 1i i i i dz z dz z dz z i i i i += - ++ = + = ∴ ? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分()? ++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=? ???? ???? ??++=++=+∴ ? ?+i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 210 2 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 0432 10 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i 而()i i i i i 6 5 6121213131213 11+-=-++=??? ??+ + 复变函数在信号分析处理中的应用 班级021161 姓名张秋实 学号02116013 前言 复变函数学了一个学期了，不敢说自己学习十分认真努力，也不敢说自己理解这个学科，有自己的见解，很多对复变函数的理解仅仅建立在人云亦云的基础之上。而且，对于信号的分析处理这门更加复杂，更需要科研精神的学科，我之前根本就没有多少的关注，对此我感到十分惭愧。基于以上几点，这篇文字对于我来说没有多少东西是真正属于我的，大部分为参考资料和前人的论文得来的，希望老师理解。 何为复变函数？何为信号分析？ 以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。而复变函数在工程领域有很多的应用，其中在电气电子领域中，用的比较多的就是在信号的分析和处理上了。那么什么是信号分析与处理呢？ 为了充分地获取信息和有效利用信息，必须对信号进行分析和处理。信号分析就是通过解析方法或者测试方法找出不同信号的特征，从而了解其特性，掌握它随时间或频率变化的规律的过程。 通过信号分析，可以将一个复杂的信号分解成若干个简单信号的分量之和，或者用有限的一组参量去考察信号的特性。信号分析是获取信号源或信号传递系统特征信息的重要手段，人们往往通过对信号特征的深入分析，得到信号源或者系统特征、运行情况甚至故障等信息，这正是故障的诊断基础。 而信号分析的基本方法有：时域分析法；频域分析法；复频域分析法。时间信号的频域分析和复频域分析中，复变函数的应用比较典型。 一、连续时间信号的频域分析 在时域中，将信号分解为不同时延、强度的冲激信号；在频域中，信号可以分解为不同频率、相位及振幅的简单信号（傅氏变换与反变换）。频率特性是信号的第二个特性，频率特性就是通过变换将时间变量转变为频率变量，在频域中分析信号的方法。 复变函数与积分变换重要知 识点归纳 标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY- 复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? 第六章留数理论及其应用 § 1■留数 1.(定理6.1柯西留数定理)： 2.(定理6.2):设a为f(z)的m阶极点, 其中在点a解析，，则 3. (推论6.3):设a为f(z)的一阶极点, 则 4. (推论6.4)：设a为f(z)的二阶极点则 5. 本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式 6. 无穷远点的留数： 即，等于f(z)在点的洛朗展式中这一项系数的反号 7. (定理6.6)如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内)，设为，则f(z)在各点的留数总和为零。 注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有，但是，如果点为f(z)的可去奇点(或解析点)，则可以不为零。 &计算留数的另一公式: § 2■用留数定理计算实积分 型积分一引入 注：注意偶函数 型积分 1.(引理6.1大弧引理)：上 2.(定理6.7)设为有理分式，其中 为互质多项式，且符合条件: (1)n-m> 2; (2)Q(z)没有实零点 于是有 注: 可记为 型积分 3.(引理6.2若尔当引理)：设函数g(z)沿半圆周充分大上连续，且 在上一致成立。则 4.（定理6.8）:设,其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件: (1)Q的次数比P高; (2)Q无实数解； (3)m>0 则有 特别的，上式可拆分成： ——及—— 四■计算积分路径上有奇点的积分 5.(引理 6.3小弧引理)： 于上一致成立，则有 五■杂例 六■应用多值函数的积分 § 3■辐角原理及其应用 即为：求解析函数零点个数 1■对数留数： 2.(引理6.4)：( 1)设a为f(z)的n阶零点，贝U a必为函数------ 的一阶极点，并且 (2)设b为f(z)的m阶极点，贝U b必为函数--- 的一阶极点，并且 3. (定理6.9对数留数定理)：设C是一条周线，f(z)满足条件: 复变函数积分方法总结 经营教育 乐享 [选取日期] 复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。arg z=θ? θ?称为主值-π＜θ?≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式 e iθ=cosθ+isinθ。z=re iθ。 1.定义法求积分： 定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z1，…， z k-1，z k，…，z n=B，在每个弧段z k-1 z k(k=1,2…n)上任取一点?k并作和式S n=?(z k-z k-1)=??z k记?z k= z k- z k-1，弧段z k-1 z k的长度 ={?S k}(k=1,2…,n),当0时，不论对c的分发即?k的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为： =??z k 设C负方向(即B到A的积分记作).当C为闭曲线时，f(z)的积分记作(C圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分,其中C表示a到b的任一曲线。（1）解：当C为闭合曲线时，=0. ∵f(z)=1 S n=?(z k-z k-1)=b-a ∴=b-a,即=b-a. (2)当C为闭曲线时，=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分存在，设?k=z k-1,则 ∑1= （）(z k-z k-1) 有可设?k=z k，则 ∑2= （）(z k-z k-1) 因为S n的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以 S n= (∑1+∑2)==b2-a2 ∴=b2-a2 1.2 定义衍生1：参数法： f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入得： 第三章 教学课题：第三节 柯西积分公式及其推论 教学目的：1、充分掌握柯西积分公式以及其解析函数的平均值定理； 2、了解柯西高阶导数分公式； 3、切实掌握解析函数的无穷可微性； 4、理解柯西不等式、刘威尔定理及解析函数的一些等价刻画。 教学重点：柯西积分公式； 教学难点：柯西不等式、刘威尔定理及解析函数的一些等价刻画 教学方法：启发式 教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：柯西积分公式是解析函数的积分表达式，可以帮助我们详细地去研究解析函数的局部性质。柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计式。 教学过程： 1、柯西积分公式： 定理3.11设f (z )在以圆)0(|:|000+∞<<=-ρρz z C 为边界的闭圆盘上连续，C 的内部D 上解析，则有 其中，沿曲线C 的积分是按反时针方向取的，这就是柯西积分公式。它是解析函数的积分表达式，因而是今后我们研究解析函数的重要工具。 证明：设D z ∈，显然函数在z f -ζζ)(满足z D ≠∈ζζ,的点ζ处解析。 以到z 为心，作一个包含在D 内的圆盘，设其半径为ρ，边界为圆ρC 。在D 上，挖去以ρC 为边界的圆盘，余下的点集是一个闭区域ρD 。在ρD 上，ζ的函数)(ζf 以及z f -ζζ)(解析，所以有 其中，沿曲线C 的积分是按关于D 的正向取的，沿ρC 的积分是按反时针方向取的。因此，结论成立。 说明：f(z)沿C 的积分为零。考虑积分 则有：（1）被积函数在C 上连续，积分I 必然存在； （2）在上述闭圆盘上0 )(z z z f -不解析，I 的值不一定为0，例如i I z f π21)(=≡时，； 现在考虑f (z )为一般解析函数的情况。作以为 0z 心，以)0(0ρρρ<<为半径的圆ρC ，由柯西定理，得 因此，I 的值只f (z )与在点 0z 附近的值有关。令θρi e z z =-0， 则有 由于I 的值只f (z )与在点 0z 附近的值有关，与ρ无关，由f (z )在点0z 的连续性，应该有)(20z if I π=，即 事实上，当ρ趋近于0时，有 由于由f (z )在点0z 的连续性，所以)(0,00ρδδε≤>?>?，使得当ρδρC z ∈<<,0时，ε<-|)()(|0z f z f ，因此 即当ρ趋近于0时，上式右边的有第二个积分趋近于0；而i dz z z C πρ210 =-?，因此，结论成立。 注解1、对于某些有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来。 注解2、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一，对于复变函数理论本身及其应用都是非常重要的。 注解3、柯西公式有非常明确的物理背景和物理意义。 2、解析函数的无穷可微性 定理3.12 设D 是以有限条简单闭曲线C 为边界的有界区域。设f (z )在D 及C 所组成的闭区域D 上解析，那么f (z )在D 内有任意阶导数 ,...)3,2,1( )()(2!)(1 )(=-=?+n d z f i n z f C n n ζζζπ, 证明：先证明结论关于n =1时成立。设D h z ∈+是D 内另一点。 只需证明，当h 趋近于0时，下式也趋近于0 现在估计上式右边的积分。设以z 为心，以2d 为半径的圆盘完全在D 内，并且 复变函数的应用 数学与应用数学班 数学是一门很抽象的学科，而复变函数更是如此，如果直接想象很难和实际 联系起来。经过两年的大学学习就目前学习的知识而言，感觉和复变函数联系比 较紧密的是有两方面，一是电流方面；二是在信号方面。 我们日常中的电流都是交流三相的，而相位如果通过三角函数计算的话较为复 杂和抽象，很多工程问题无法解决，引入虚数则较大简化了计算的过程，是很多 工程问题迎刃而解。可以通过 RCL 电路我们也用虚数去处理相角关系，但电感本身 并不是虚的。这是人为的定义，但这也在一定意义上揭示了虚数有可能存在的某些物理特征。成功而且巧妙的解决了电流的相位问题。 我们打电话，发短信是通过电磁波传递信号，在信号方面也极大的应用了复 变函数。信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。模值 |z|表示信号 的幅度，辐角 arg(z）表示给定频率的正弦波的相位。利用傅立叶变换可将实信号表 示成一系列周期函数的和。这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示：其 中ω对应角频率，复数z 包含了幅度和相位的信息。于是当我们要的信息得以传递。 所以，不管是我们使用家用电器，用手机问候远方的朋友，还是使用卫星电 视观看电视剧，我们无时无刻不在接触着这位很抽象而无处不在的朋友——复变函数。 一、复变函数的简介 复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数 开平方的情况 ,它的一般形式是： a bi ，其中 i 是虚数单位。 多复分析是数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和结构的分支学科，它和单 复变函数有着很强的渊源，但其特有的困难和复杂性，导致在研究的重点和方法上，都和单复变函数论有明显的区别 .因为多复变全纯函数的性质在很大程度上由定义区 域的几何和拓扑性质所制约，因此，其研究的重点经历了一个由局部性质到整体性 质的逐步的转移 .它广泛地使用着微分几何学、代数几何、拓扑学、微分方程等相邻 学科中的概念和方法，不断地开辟前进的道路，更新和拓展研究的内容和领域。 就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数论的全面发展是 在十九世纪，这个新的分支统治了十九世纪的数学 .当时的数学家公认复变函数论 是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学 中最和谐的理论之一 .为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔， 法国的 Laplace 也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先 驱 .。 二、复变函数的应用 近代有些函数论研究工作是考虑把具有某种性质的一族函数合在一起研究。事 实上， P·蒙泰尔的解析函数正规族就应属于这种类型的研究，并且显示了其威 力 .从这种观点出发的研究有了很大发展 .它与其他数学分支产生了较密切的联 系 . 复变函数理论从一个变数推广到多个变数是十分自然的想法，总称为复分析 . 但是多变数时，定义域的复杂性大大增加了，函数的性质较之单变数时也有显著的差异，它的研究需要借助更多的近代数学工具 .。复变函数总结
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