线性代数模拟试题及答案
模拟试题C
?填空或选择填空(每小题4分)
2
1 , B为三阶非零矩阵，且AB 0,则a
1
Q Q Q
2.已知二次型f 2x1 5x25x34x1x2 4x1x3 2tx2x3经正交变换化
为标准形f y：目；10y/，则t _______________
3.设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列结论成立的是______________
(a)AB BA;
(b)存在可逆矩阵P,使P 1AP B ;
(c)存在可逆矩阵P和Q,使PAQ B
(d)存在可逆矩阵C，使C T AC B
4.设向量1，2，3线性无关，则下列向量组中线性无关的是__________
(a) 1
2 , 2 3,
3 1;
(b) 1 2 , 2 3, 1 2 3;
(c) 1 2 , 2 3, 1 2 2 3
(d) 1 2 ,
2 3
, 3 1.
5.设m个方程的n次齐次线性方程组为Ax b，且rankA r则下列结论中正确
的是__________________
(a)r
n
时，
Ax b有唯
■
解；
(b) m
n
时,
Ax b有唯-
-
解；
(c) r
n
时，
Ax b有无穷
多
解;
1 2 1 .设 A 4 a
3 1
(d ) r m
时， Ax
b 有
解。
(10分)已知n 阶方阵
1 1 1 n A
1 1 n 1
1
n 1 1 求 det A 1
n
1
1
1
1 0 1
.( 10分)已知 A 0
2 0满足BA 2E B 2A 2
,求矩阵B 3 0 1
四?（ 10分）设四维向量空间V 的两个基（I ）： !, 2, 3, 4和（U ）： 1, 2, 3, 4 满足
1
2 2
3 1
2 2
3 2 2 3
4
2
2 3 4
1 .求由基（I ）到基（U ）的过渡矩阵 C ： 2.求向量
1
2 2
3 3
4 4在基（U ）下的坐标。
x
1 x
2 0
，又知一齐次线性方程
x 2 x 4 0
组(U)的通解为 k 1(0,1,1,0)T
k 2( 1,2,2,1)T
1 .求线性方程组（I ）的基础解系及通解；
2. 问线性方程组（I ）和（U ）是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零
公共解；若没有，则说明理由。
1 求a,b 之值及特征向量x 所对应的特征值；
2 A 能否与对角矩阵相似？说明理由。
2 2 2
七.（15 分）已知二次型 f （X 1,X 2,X 3） 5x 1 5x 2 tX 3 2x 1X 2 6x 1X 3 6X 2X 3的 秩为 2。
1 .求参数 t ；
2.用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换；
3. 指出方程 f （X 1, X 2, X 3） 1表示何种二次曲面
21
五.（13分）设四兀齐次线性方程组（I ）为
六.（13分）已知矩阵 A 5 a
1b 2
3 的一个特征向量为x （1,1, 1）T
2
A. （9分）1、设A 是n 非零实矩阵，A T
是A 的转置矩阵，A *是A 的伴随矩阵
若 A T A *,试证：det A 0 2、设有矩阵A m n 和A n m ，且m 答案 、1.— 1; 2. 4; 3. (c); 4. (b ); 5. (d ) 二 （一右 2 1 1)n1 -- ?- ? ' "(n 4 0 2 ■ - . 0 4 0 6 0 4 四. 1 .由基（I ）到基（n ）的过渡矩阵为 4 —2 1 0 8 —4 2 1 C = 1 0 0 2 —2 1 0 0 2. 在基（n ） 下的坐标为（3，10，9，0） 五. 见例4— 14。 六. 1 .由 Ax x,得 a 3,b 0, 1 ; n( n 1) 1 2.— 1是A 的三重特征值，而对应— 不能相似对于角矩阵、 七.1. t = 3; 只有一个线性无关的特征向量，从而 A 1 1 1 X 1 6 2 3 y 1 1 1 1 X 2 、6 2 ■ 3 y 2 X 3 2 0 1 y a 6 <3 2.正交变换 化二次型为f 4y 22 9y 32; 3. 1为椭圆柱面 A. 1.由 A T A *知，a j A ij ，其中A j 是detA 中元素a j 的代数余子式；又A 是 detA a i01A i01 a i0j0 A i o j0 a i0n A i0 n 2 a i01 2 a i0j0 2 a i0n m, 故A 的行向量组线性无 2．由m rankE m rank (AB) rankA m 知，rankA