人教版数学八年级上册 全册全套试卷练习(Word版 含答案)
人教版数学八年级上册全册全套试卷练习（Word版含答案）
一、八年级数学三角形填空题（难）
1．已知如图，BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，∠BAC＝α，∠BPC＝β，则∠BQC＝
_________．（用α，β表示）
【答案】1
2
(α+β)．
【解析】【分析】
连接BC，根据角平分线的性质得到∠3=1
2
∠ABP，∠4=
1
2
∠ACP，根据三角形的内角和得
到∠1+∠2=180°-β，2（∠3+∠4）+（∠1+∠2）=180°-α，求出∠3+∠4=1
2
（β-α），根据
三角形的内角和即可得到结论．【详解】
解：连接BC，
∵BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，
∴∠3=1
2
∠ABP，∠4=
1
2
∠ACP，
∵∠1+∠2=180°-β，2（∠3+∠4）+（∠1+∠2）=180°-α，
∴∠3+∠4=1
2
（β-α），
∵∠BQC=180°-（∠1+∠2）-（∠3+∠4）=180°-（180°-β）-1
2
（β-α），
即：∠BQC=1
2
（α+β）．
故答案为：1
2
（α+β）．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，连接BC构造三角形是解题的关键．
2．如图，△AEF是直角三角形，∠AEF=900，B为AE上一点，BG⊥A E于点B，GF∥BE，且AD＝BD＝BF，∠BFG＝60０，则∠AFG的度数是___________。
【答案】20°
【解析】
根据平行线的性质，可知∠A=∠AFG，∠EBF=∠BFG＝60０，然后根据等腰三角形的性质，可知∠BDF=2∠A，∠A+∠AFB=3∠A=∠EBF，因此可得∠AFG=20°.
故答案为：20°.
3．已知一个三角形的三边长为3、8、a，则a的取值范围是_____________．
【答案】5＜a＜11
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得8-3＜a＜8+3，再解即可．
【详解】
解：根据三角形的三边关系可得：8-3＜a＜8+3，
解得：5＜a ＜11，
故答案为：5＜a＜11．
【点睛】
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
4．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于 ______ 度．
【答案】108°
【解析】
【分析】
如图，易得△OCD为等腰三角形，根据正五边形内角度数可求出∠OCD，然后求出顶角
∠COD ，再用360°减去∠AOC 、∠BOD 、∠COD 即可
【详解】
∵五边形是正五边形， ∴每一个内角都是108°， ∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°， ∴∠COD=36°，
∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°. 故答案为108° 【点睛】
本题考查正多边形的内角计算，分析出△OCD 是等腰三角形，然后求出顶角是关键.
5．如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥AB ，∠C=110°，它的一个外角∠ADE=60°，则∠B 的大小是_____．
【答案】40° 【解析】
【分析】根据外角的概念求出∠ADC 的度数，再根据垂直的定义、四边形的内角和等于360°进行求解即可得. 【详解】∵∠ADE=60°， ∴∠ADC=120°， ∵AD ⊥AB ， ∴∠DAB=90°，
∴∠B=360°﹣∠C ﹣∠ADC ﹣∠A=40°， 故答案为40°．
【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，掌握四边形的内角和等于360°、外角的概念是解题的关键．
6．如图所示，请将1
2A ∠∠∠、、用“＞”排列__________________.
【答案】21A ∠∠∠＞＞ 【解析】 【分析】
根据三角形的外角的性质判断即可． 【详解】
解：根据三角形的外角的性质得，∠2＞∠1，∠1＞∠A ∴∠2＞∠1＞∠A ， 故答案为：∠2＞∠1＞∠A ． 【点睛】
本题考查了三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角是解题的关键．
二、八年级数学三角形选择题（难）
7．如图，小明从A 点出发，沿直线前进10米后向左转10°再沿直线前进10米后向左转20°再沿直线前进10米后向左转30°……照这样下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了（ ）
A ．80米
B ．160米
C ．300米
D ．640米
【答案】A 【解析】 【分析】
利用多边形的外角和得出小明回到出发地A 点时左转的次数，即可求出多边形的边数，即可解决问题． 【详解】
解：由题意可知，小明第一次回到出发地A 点时，他一共转了360?，由题意得10°+20° +30°+40°+50°+60°+70°+80°=360°，所以共转了8次，每次沿直线前进10米，所以一共走了80米．
故选：A ． 【点睛】
本题考查根据多边形的外角和解决实际问题，注意多边形的外角和是360?，要注意第一次转了10°，第二次转了20°，第三次转了30°……，利用好规律解题．
8．如图，在ABC ?中，A α∠=．ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠；
1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ∠，...，6A BC ∠与6A CD ∠的平分线相交
于点7A ，得7A ∠，则7A ∠=（ ）
A ．
32
α
B ．
64
α
C ．
128
α D ．
256
α 【答案】C 【解析】 【分析】
根据角平分线的性质及外角的性质可得11122A A α∠=
∠=，同理可得221
2
A α∠=，3312A α∠=
，由此可归纳出1
2n n A α∠=，易知7A ∠. 【详解】 解：
ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A
11
11
,22A BC ABC ACD ACD ∴∠=∠∠=∠ 1
11ACD A BC A ∠=∠+∠ 111
22
ACD ABC A ∴∠=∠+∠ ACD ABC A ∠=∠+∠
111222
ACD ABC A ∴∠=∠+∠ 111
22
A A α∴∠=
∠= 同理可得21211112222A A αα∠=
∠=?=，32311
22
A A α∠=∠=，…，由此可知
1
2n n
A α∠=
， 所以7712128
A αα∠==. 故选：C. 【点睛】
本题考查了角平分线的性质及图形的规律探究，灵活的利用角平分线的性质及外角的性质确定角的变化规律是解题的关键.
9．如图，D 是△ABC 的边BC 上任意一点，E 、F 分别是线段AD 、CE 的中点，且△ABC 的面积为40cm 2，则△BEF 的面积是（ ）cm 2．
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
【答案】B 【解析】 【分析】
根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【详解】
∵点E 是AD 的中点，
∴S △ABE =
12S △ABD ,S △ACE =1
2
S △ADC ， ∴S △ABE +S △ACE =12S △ABC =1
2
×40=20cm 2，
∴S △BCE =
12S △ABC =1
2
×40=20cm 2， ∵点F 是CE 的中点，
∴S △BEF =12S △BCE =1
2
×20=10cm 2.
故选B. 【点睛】
本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
10．如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 依次是各边中点，O 是四边形ABCD 内一点， 若四边形AEOH 、四边形BFOE 、四边形CGOF 的面积分别为7、9、10，则四边形DHOG 的面积为（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
【答案】B 【解析】
分析：连接OC ，OB ，OA ，OD ，易证S △OBF =S △OCF ，S △ODG =S △OCG ，S △ODH =S △OAH ，S △OAE =S △OBE ，所以S 四边形AEOH +S 四边形CGOF =S 四边形DHOG +S 四边形BFOE ，所以可以求出S 四边形DHOG ． 详解：连接OC ，OB ，OA ，OD ， ∵E、F 、G 、H 依次是各边中点， ∴△AOE 和△BOE 等底等高， ∴S △OAE =S △OBE ，
同理可证，S △OBF =S △OCF ，S △ODG =S △OCG ，S △ODH =S △OAH ， ∴S 四边形AEOH +S 四边形CGOF =S 四边形DHOG +S 四边形BFOE ， ∵S 四边形AEOH =7，S 四边形BFOE =9，S 四边形CGOF =10， ∴7+10=9+S 四边形DHOG ， 解得，S 四边形DHOG =8． 故选B.
点睛：本题考查了三角形的面积．解决本题的关键将各个四边形划分，充分利用给出的中点这个条件，证得三角形的面积相等，进而证得结论．
11．把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中C 90∠=，F 90∠=，
D 30∠=，A 45∠=，则12∠∠+等于( )
A ．270
B ．210
C ．180
D ．150
【答案】B
【解析】 【分析】
利用三角形的外角等于不相邻的两内角和，和三角形内角和为180?，可解出答案.
【详解】
如图，AB与DE交于点G，AB与EF交于点H，
∵∠1=∠A+∠DGA，∠2=∠B+∠FHB，
∠DGA=∠BGE，∠FHB=∠AHE，
在三角形GEH中，∠BGE+∠AHE =180?-∠E=120?,
∴∠1+∠2=∠A+∠B+∠BGE+∠AHE=90?+120?=210.
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质,内角和定理,熟练掌握即可解题.
12．一个多边形的每个内角都相等，并且它的一个外角与一个内角的比为1:3，则这个多边形为（）
A．三角形B．四边形C．六边形D．八边形
【答案】D
【解析】
【分析】
一个外角与一个内角的比为1 : 3，则内角和是外角和的3倍，根据多边形的外角和是360°，即可求得多边形的内角的度数，依据多边形的内角和公式即可求解．
【详解】
解：多边形的内角和是：360°×3=1080°．
设多边形的边数是n，
则（n-2）?180=1080，
解得：n=8．
即这个多边形是正八边形．
故选D．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．
三、八年级数学全等三角形填空题（难）
13．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D，B，C分别在直线MN和PQ上，点E在AB
上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝_____．
【答案】7
【解析】
由MN∥PQ，AB⊥PQ，可知∠DAE=∠EBC=90°，可判定△ADE≌△BCE，从而得出AE=BC，则AB=AE+BE=AD+BC=7．
故答案为：7.
点睛：本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质，是基础知识，比较简单．
14．已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．
【答案】1或7
【解析】
【分析】
分点P在线段BC上和点P在线段AD上两种情况解答即可．
【详解】
设点P的运动时间为t秒，则BP=2t，
当点P在线段BC上时，
∵四边形ABCD为长方形，
∴AB=CD，∠B=∠DCE=90°，
此时有△ABP≌△DCE，
∴BP=CE，即2t=2，解得t=1；
当点P在线段AD上时，
∵AB=4，AD=6，
∴BC=6，CD=4，
∴AP=BC+CD+DA=6+4+6=16，
∴AP=16-2t，
此时有△ABP≌△CDE，
∴AP=CE，即16-2t=2，解得t=7；
综上可知当t为1秒或7秒时，△ABP和△CDE全等．
故答案为1或7．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，判定三角形全等方法有：ASA 、SAS 、AAS 、SSS 、HL ．解决本题时注意分情况讨论，不要漏解.
15．如图，52A ∠=?，O 是ABC ∠、ACB ∠的角平分线交点，P 是ABC ∠、ACB ∠外角平分线交点，则BOC ∠=______?，BPC ∠=_____?，联结AP ，则
PAB ∠=______?，点O ____（选填“在”、“不在”或“不一定在”）直线AP 上．
【答案】116 64 26 在 【解析】 【分析】
∠ABC+∠ACB=180°-∠A ，∠OBC+∠OCB=
1
2
（∠ABC+∠ACB ）, ∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ），据此可求∠BOC 的度数；
∠BCP=
12∠BCE= 12（∠A+∠ABC ），∠PBC= 12∠CBF= 1
2
（∠A+∠ACB ），由三角形内角和定理得：∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC ，据此可求∠BPC 的度数；
作PG ⊥AB 于G ，PH ⊥AC 于H ，PK ⊥BC 于K ，利用角平分线的性质定理可证明PG=PH ，于是可证得AP 平分∠BAC ，据此可求∠PAB 的度数； 同理可证OA 平分∠BAC ，故点O 在直线AP 上． 【详解】
解：∵O 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点， ∴∠OBC+∠OCB= 1
2
（∠ABC+∠ACB ） =
1
2
（180°-∠A ） =90°-
1
2
∠A ， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ） =180°-90°+ 12
∠A =90°+
12∠A =90°+26°
如图，
∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，
∴∠BCP= 1
2
∠BCE=
1
2
（∠A+∠ABC），
∠PBC= 1
2
∠CBF=
1
2
（∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得：∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC
=180°- 1
2
[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]
=180°- 1
2
（∠A+180°）
=90°- 1
2
∠A
=90°-26°
=64°．
如图，作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PK⊥BC于K，连接AP，
∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，PG⊥AB，PH⊥AC，PK⊥BC，∴PG=PK，PK=PH，
∴PG=PH，
∴AP平分∠BAC，
∴PAB
∠=26°
同理可证OA平分∠BAC，
点O在直线AP上．
故答案是：(1) 116 ；(2) 64；(3) 26；(4) 在.
此题主要考查了角平分线的性质定理和判定定理及三角形内角和定理，熟知定理并正确作出辅助线是解题关键．
16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CF交AB于E，BD⊥CF，AF⊥CF，则下列结论:①∠ACF＝∠CBD②BD＝FC③FC＝FD+AF④AE=DC中，正确的结论是____________(填正确结论的编号)
【答案】①②③
【解析】
【分析】
根据同角的余角相等，可得到结论①，再证明△ACF≌△CBD，然后根据全等三角形的性质判断结论②、③、④即可.
【详解】
解：∵BD⊥CF，AF⊥CF，
∴∠BDC=∠AFC=90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠ACF=∠CBD，故①正确；
在△ACF和△CBD中，
BDC AFC
ACF CBD
AC BC
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△ACF≌△CBD，
∴BD＝FC，CD=AF，故结论②正确
∴FC＝FD+CD=FD+AF，故结论③正确，
∵在Rt△AEF中，AE>AF，
∴AE>CD，故结论④错误.
综上所述，正确的结论是：①②③.
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定方法及全等的性质是解题的关键.
17．如图，直角三角形ABC与直角三角形BDE中，点B,C,D在同一条直线上，已知
AC=AE=CD,∠BAC和∠ACB的角平分线交于点F，连DF,EF,分别交AB、BC于M、N，已知点
F到△ABC三边距离为3，则△BMN的周长为____________.
【答案】6
【解析】
【分析】
由角平分线和三角形的内角和定理可得∠AFC=135°，由△AFC≌△DFC可得
∠DFC=∠AFC=135°，可得∠AFD=90°．同理可得∠CFE=90°，可求得∠MFN=45°，过点F作FP⊥AB于点P，FQ⊥BC于点Q，由正方形的半角模型可得MN=MP+NQ，由此即可得出答案．
【详解】
解：过点F作FP⊥AB于点P，FQ⊥BC于点Q，过点F作FG⊥FM，交BC于点G．
∵点F是∠BAC和∠BCA的角平分线交点，
∴FP=FQ=3，
∵∠ABC=90°，
∴四边形BPFQ是正方形，
∴BP=BQ=3．
在Rt△ABC中，∠BAC+∠BCA=90°，
∵AF、CF是角平分线，
∴∠FAC+∠FCA=45°，
∴∠AFC=180°-45°=135°．
易证△AFC≌△DFC（SAS），
∴∠AFC=∠DFC=135°，
∴∠ADF=90°，
同理可得∠EFC=90°，
∴∠MFN=360°-90°-90°-135°=45°．
∵∠PFM+∠MFN=90°，∠MFN+∠QFG=90°，
∵∠FPM =∠FQG =90°，FP =FQ ， ∴△FPM ≌△FQG （ASA ）， ∴PM =QG ，FM =FG ． 在△FMN 和△FGN 中
45FM FG MFN GFN FN FN =??
∠=∠=??=?
∴△FMN ≌△FGN （SAS ）， ∴MN =NG ，
∴MN =NG =NQ +QG =PM +QN ， ∴△BMN 的周长为： BM +BN +MN = BM +BN + PM +QN =BP +BQ =3+3 =6． 故答案为：6． 【点睛】
本题是一道全等三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，角平分线的性质，以及全等三角形常用辅助线的作法，作出辅助线，准确的找出全等三角形是解决此题的关键．
18．在△ABC 和△DEF 中，AC=DF ，BC=EF ，∠B=∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角，∠C ＜90°，若∠B 满足条件：______________，则△ABC ≌△DEF ． 【答案】∠B≥∠A ． 【解析】 【分析】
虽然题目中∠B 为锐角,但是需要对∠B 进行分类探究会理解更深入：可按“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行，最后得出∠B 、∠E 都是锐角时两三角形全等的条件． 【详解】
解：需分三种情况讨论： 第一种情况：当∠B 是直角时：
如图①，在△ABC 和△DEF ，AC=DF ，BC=EF ，∠B=∠E=90°，可知：△ABC 与△DEF 一定全等，依据的判定方法是HL ；
第二种情况：当∠B 是钝角时：如图②，过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于G ，过点F 作DH ⊥DE 交DE 的延长线于H ． ∵∠B=∠E ，且∠B 、∠E 都是钝角． ∴180°-∠B=180°-∠E ，
在△CBG 和△FEH 中，
CBG FEH G H
BC EF ∠∠??
∠∠???
＝＝＝ ∴△CBG ≌△FEH （AAS ）， ∴CG=FH ，
在Rt △ACG 和Rt △DFH 中，
AC DF CG FH
??
?＝，＝
∴Rt △ACG ≌Rt △DFH （HL ）， ∴∠A=∠D ，
在△ABC 和△DEF 中，
A D
B E A
C DF ∠∠??
∠∠???
＝＝，＝
∴△ABC ≌△DEF （AAS ）； 第三种情况：当∠B 是锐角时：
在△ABC 和△DEF 中，AC=DF ，BC=EF ，∠B=∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角，小明在△ABC 中（如图③）以点C 为圆心，以AC 长为半径画弧交AB 于点D ，假设E 与B 重合，F 与C 重合，得到△DEF 与△ABC 符号已知条件，但是△AEF 与△ABC 一定不全等， 所以有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等； 由图③可知，∠A=∠CDA=∠B+∠BCD ， ∴∠A ＞∠B ，
∴当∠B≥∠A 时，△ABC 就唯一确定了， 则△ABC ≌△DEF ． 故答案为：∠B≥∠A ．
【点
睛】
本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
四、八年级数学全等三角形选择题（难）
19．如图，AOB ?的外角,CAB DBA ∠∠的平分线,AP BP 相交于点P ，PE OC ⊥于E ，
PF OD ⊥于F ，下列结论：（1）PE PF =；（2）点P 在COD ∠的平分线上；（3）90APB O ∠=?-∠，其中正确的有 （ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
【答案】C 【解析】 【分析】
过点P 作PG ⊥AB ，由角平分线的性质定理，得到PE PG PF ==，可判断（1）（2）正
确；由12APB EPF ∠=
∠，180EPF O ∠+∠=?，得到1
902
APB O ∠=?-∠，可判断（3）错误；即可得到答案． 【详解】
解：过点P 作PG ⊥AB ，如图：
∵AP 平分∠CAB ，BP 平分∠DBA ，PE OC ⊥，PF OD ⊥，PG ⊥AB ， ∴PE PG PF ==；故（1）正确； ∴点P 在COD ∠的平分线上；故（2）正确； ∵1
2
APB APG BPG EPF ∠=∠+∠=∠， 又180EPF O ∠+∠=?，
∴11
(180)9022
APB O O ∠=
??-∠=?-∠；故（3）错误； ∴正确的选项有2个； 故选：C ． 【点睛】
本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质进行解题．
20．Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 点为Rt △ABC 外一点，且BD ⊥CD ，DF 为∠BDA 的平分线，
当∠ACD＝15°，下列结论：①∠ADC＝45°；②AD＝AF；③AD+AF＝BD；④BC﹣CE＝2D,其中正确的是( )
A．①③B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可证点A，点C，点B，点D四点共圆，可得∠ADC＝∠ABC＝45°；由角平分线的性质和外角性质可得∠AFD＝∠BDF+∠DBF＞∠ADF，可得AD≠AF；如图，延长CD至G，使DE＝DG，在BD上截取DH＝AD，连接HF，由“SAS”可证△ADF≌△HDF，可得∠DHF＝
∠DAF＝30°，AF＝HF，由等腰三角形的性质可得BH＝AF，可证BD＝BH+DH＝AF+AD；由“SAS”可证△BDG≌△BDE，可得∠BGD＝∠BED＝75°，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得BC＝BG＝2DE+EC.
【详解】
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，且∠ACD＝15°，
∵∠BCD＝30°，
∵∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴点A，点C，点B，点D四点共圆，
∴∠ADC＝∠ABC＝45°，故①符合题意，
∠ACD＝∠ABD＝15°，∠DAB＝∠DCB＝30°，
∵DF为∠BDA的平分线，
∴∠ADF＝∠BDF，
∵∠AFD＝∠BDF+∠DBF＞∠ADF，
∴AD≠AF，故②不合题意，
如图，延长CD至G，使DE＝DG，在BD上截取DH＝AD，连接HF，
∵DH＝AD，∠HDF＝∠ADF，DF＝DF，
∴△ADF≌△HDF(SAS)
∴∠DHF＝∠DAF＝30°，AF＝HF，
∵∠DHF＝∠HBF+∠HFB＝30°，
∴∠HBF ＝∠BFH ＝15°， ∴BH ＝HF ， ∴BH ＝AF ，
∴BD ＝BH+DH ＝AF+AD ，故③符合题意， ∵∠ADC ＝45°，∠DAB ＝30°＝∠BCD ， ∴∠BED ＝∠ADC+∠DAB ＝75°，
∵GD ＝DE ，∠BDG ＝∠BDE ＝90°，BD ＝BD ， ∴△BDG ≌△BDE(SAS) ∴∠BGD ＝∠BED ＝75°，
∴∠GBC ＝180°﹣∠BCD ﹣∠BGD ＝75°， ∴∠GBC ＝∠BGC ＝75°， ∴BC ＝BG ， ∴BC ＝BG ＝2DE+EC ，
∴BC ﹣EC ＝2DE ，故④符合题意， 故选：C. 【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，
21．已知：如图，ABC ?、CDE ?都是等腰三角形，且CA CB =，CD CE =，
ACB DCE α∠=∠=，AD 、BE 相交于点O ，点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点.
以下4个结论：①AD BE =；②180DOB α∠=-；③CMN ?是等边三角形；④连
OC ，则OC 平分AOE ∠.正确的是( )
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．①②③④
【答案】B 【解析】 【分析】
①根据∠ACB=∠DCE 求出∠ACD=∠BCE,证出ACD BCE ?△△即可得出结论，故可判断； ②根据全等求出∠CAD=∠CBE,根据三角形外角定理得∠DOB=∠OBA+∠BAO,通过等角代换能够得到∠DOB=∠CBA+∠BAC,根据三角形内角和定理即可求出∠CBA+∠BAC,即可求出∠DOB ，故可判断；
③根据已知条件可求出AM=BN,根据SAS 可求出CAM CBN ?,推出CM=CN ，∠ACM=∠BCN,然后可求出∠MCN=∠ACB=α,故可判断CMN ?的形状；
④在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，根据ACD BCE ?△△，可求出∠CEO=∠CDP ,根据SAS 可求出 CEO CDP ?,可得∠COE=∠CPD,CP=CO,进而得到 ∠COP=∠COE ，故可判断. 【详解】
①正确，理由如下： ∵ACB DCE α∠=∠=, ∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD, 即∠ACD=∠BCE, 又∵CA=CB,CD=CE, ∴ACD BCE ?△△(SAS), ∴AD=BE, 故①正确； ②正确，理由如下： 由①知，ACD BCE ?△△， ∴∠CAD=∠CBE,
∵∠DOB 为ABO 的外角,
∴∠DOB=∠OBA+∠BAO=∠EBC+∠CBA+∠BAO=∠DAC+∠BAO+∠CBA=∠CBA+∠BAC, ∵∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°,∠ACB=α, ∴∠CBA+∠BAC=180°-α, 即∠DOB=180°-α, 故②正确； ③错误，理由如下：
∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点,
∴AM=
12AD,BN= 1
2BE, 又∵由①知，AD=BE, ∴AM=BN,
又∵∠CAD=∠CBE,CA=CB, ∴CAM CBN ?(SAS),
∴CM=CN ，∠ACM=∠BCN,
∴∠MCN=∠MCB+∠CBN=∠MCB+∠ACM=∠ACB=α, ∴MCN △为等腰三角形且∠MCN=α, ∴MCN △不是等边三角形， 故③错误； ④正确，理由如下：
如图所示，在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ， 由①知，ACD BCE ?△△， ∴∠CEO=∠CDP , 又∵CE=CD,EO=DP , ∴CEO CDP ?(SAS), ∴∠COE=∠CPD,CP=CO, ∴∠CPO=∠COP , ∴∠COP=∠COE, 即OC 平分∠AOE, 故④正确； 故答案为：B. 【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理和外角定理，等边三角形的判定，根据已知条件作出正确的辅助线，找出全等三角形是解题的关键.
22．已知等边三角形ABC 的边长为12，点P 为AC 上一点，点D 在CB 的延长线上，且BD=AP ，连接PD 交AB 于点E ，PE ⊥AB 于点F ，则线段EF 的长为（ ）
A ．6
B ．5
C ．4.5
D ．与AP 的长度有关
【答案】A 【解析】 【分析】
作DQ ⊥AB ，交直线AB 的延长线于点Q ，连接DE ，PQ ，根据全等三角形的判定定理得出△APE ≌△BDQ ，再由AE=BQ ，PE=QD 且PE ∥QD ，可知四边形PEDQ 是平行四边形，进而