高中数学-排列组合经典练习答案

高中数学-排列与组合习题

1. 6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为（）

A . 40 B. 50 C. 60 D. 70

C3

［解析］先分组再排列，一组2人一组4人有C2= 15种不同的分法；两组各3人共有C2=10种不同的分法，所以乘车方法数为25 X 2= 50，故选B.

2 .有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）

A . 36 种B. 48 种C. 72 种 D . 96 种

［解析］恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共

A3A4= 72种排法，故选C.

3. 只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有（）

A . 6 个

B . 9 个

C . 18 个

D . 36 个

［解析］注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数

字共有C!= 3（种）选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A2 X C3= 6（种）排法，所以共有3 X 6= 18（种）情况，即这样的四位数有18个.

4. 男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有（）

A . 2人或3人

B . 3人或4人

C . 3人

D . 4人

［解析］设男生有n人，则女生有（8 —n）人，由题意可得C n C8-n= 30,解得n = 5或n = 6，代入验证，可知女生为2人或3人.

5. 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼

到三楼用8步走完，则方法有（）

A . 45 种

B . 36 种

C . 28 种

D . 25 种

［解析］因为10七的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么

共有C2= 28种走法.

6. 某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同

一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有（）

A . 24 种

B . 36 种

C . 38 种

D . 108 种

［解析］本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C3种分法，然后再分到两部门去

共有C J A!种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各

4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C1种方法，由分步乘法计数原理共有2C3A2

C3 = 36（种）.

7. 已知集合A=⑸，B = {1,2} , C= {1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中

点的坐标，则确定的不同点的个数为（）

A . 33 B. 34 C. 35 D. 36

［解析］①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C2 A3= 12个；

②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C2A3+A3= 18个；

③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C1= 3个.

故共有符合条件的点的个数为12+ 18+ 3 = 33个，故选A.

&由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（）

A. 72

B. 96

C. 108

D. 144

［解析］分两类：若1与3相邻，有A2 C3A2A2= 72（个），若1与3不相邻有A3 A3= 36（个）

故共有72 + 36= 108个.

9. 如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求

甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有（）

A . 50 种B. 60 种C. 120 种 D . 210 种

［解析］先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：（1,2）、（2,3）、

（3,4）、（4,5）、

（5,6）、（6,7），甲任选一种为C6，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A5种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C6A5 = 120种，故选C.

10. 安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在

5月1日和2日，不同的安排方法共有 __________ 种.（用数字作答）

［解析］先安排甲、乙两人在后5天值班，有A2= 20（种）排法，其余5人再进行排列，有A5= 120（种）排法，所以共有20 X 120= 2400（种）安排方法.

11. 今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有_________种不

同的排法.（用数字作答）

［解析］由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C9 C2C3= 1260（种）排法.

12. 将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服

务，不同的分配方案有________ 种（用数字作答）.

C2C2

［解析］先将6名志愿者分为4组，共有"A歹种分法，再将4组人员分到4个不

C2C2

同场馆去，共有A4种分法，故所有分配方案有：CAC4A4= 1 080种.

13. 要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域

不同色，有________ 种不同的种法（用数字作答）.

［解析］5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法.若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有 1 种种法，???有4X 3X 2X （1 X 2 + 1X 1）= 72 种.

14. 将标号为1, 2, 3, 4, 5, 6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张，其中标号

为1, 2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有

【解析】标号 1,2的卡片放入同一封信有 匚匸种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有

1S

种，故选B.

甲乙排中间，丙排7号或不排7号，共有4A ；（A ： A 3A 3A ；）种方法

故共有1008种不同的排法 16.

由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且 1、3都不与

5相邻的六位偶数的个数是 解析：先选一个偶数字排个位，有

3种选法

②若5排在百位、千位或万位，则 1、3只有两个位置可排，共 3A|A ； = 12个

算上个位偶数字的排法，共计 3（ 24 + 12） = 108个

答案：C

17. 在某种信息传输过程中，用 4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表

示不同信息，若所用数字只有 0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数

为

A.10

B.11

C.12

D.15

【解析】与信息0110至多有两个对应位苴上的較字相同的信息包抵三类… 第一貼 与信慝0110有两个对应位直上的数字梱司有c ；" （Ah 第二真：与信恳0110苟一个对应竝簞上的歌爭相同有C ；=4 （令 吳三建

0110没肓一个对应慢■上的馥宇相同有CA1 （个办

与佰Mono 至勢脊两个对应位■上的数宇相同的價思?育6+4+m ￡个人故5SB … 【命題意图】本题肴査组合旬題与分题法计散原理廉中档题.2

18. 现安排甲、乙、丙、丁、戌

5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、

礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙 丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 A . 152

B.126

C.90

D.54

【解析】分类讨论：若有 2人从事司机工作，则方案有 C3 A 18 ;若有1人从事司机工作，则方

(A) 12 种

(B) 18 种 (C) 36 种 (D) 54 种

种方法, 共有

15.某单位安排7位员工在 10月1日至7日值班, 乙排在相邻两天，丙不排在 10月1日，丁不排在 每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、 10月7日，则不同的安排方案共有

A. 504 种

B.

960 种 C. 1008 种

D. 1108种

解析：分两类：甲乙排

1、2号或6、7号共有2 A/A 4A ：种方法

(A ) 72 ( B )96

( C ) 108 (D) 144

①若5在十位或十万位，则

1、3有三个位置可排,

2 2

3 A 3 A 2 = 2

4 个

案有C 3 C 2 A 3 108种，所以共有18+108=126种，故B 正确

【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有: 2 1

乙都去的选法有 C 2 C 7=7,所以共有42+7=49，即选C 项。

19.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有 6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4人中恰有1名女同学的不同选法共有（D ） (A )150 种

(B ) 180 种 (C ) 300 种 (D)345 种

解：分两类（1）

甲组中选出一名女生有 c 5 C 3 C 6 225种选法; 乙组中选出一名女生有 C ； C 6 C 2

120种选法.故共有345种选法.选D

20.将甲、乙、 不能分到同一个班，则不同分法的种数为

A.18

B.24

C.30

丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生 D.36

【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 C 42，顺序有A 种，而甲乙被

分在同一个班的有 A

3种，所以种数是C 2A ； A 3 30

21. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端, 邻，则不同排法的种数是

A. 60

3位女生中有且只有两位女生相 B. 48

C. 42

D. 36

【解析】解法一、 从3名女生中任取2人“捆”在一起记作 A ， （A 共有C ；A ； 6种不同排法）， A 、B 之间（若甲在 A 、B 两端。

则为使A 、B 不相邻，只有把男生乙排在 A 、B 之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此

时共有6 X 2= 12种排法（A 左B 右和A 右B 左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙， 所以，

共有12X 4= 48种不同排法。

剩下一名女生记作 B ,两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在 解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作 A , （A 共有C |A | 6种不同排法）， 剩下一名女生记作 B ,两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况:

第一类: 女生 A 、B 在两端，男生甲、乙在中间，共有 6A ；A ；=24种排法;

第二类: “捆绑” A 和男生乙在两端，则中间女生

B 和男生甲只有一种排法，此时共有

6A ；

=12种排法

第三类: 女生B 和男生乙在两端，同样中间“捆绑”

A 和男生甲也只有一种排法。

此时共有6A ； = 12种排法

三类之和为 24 + 12+ 12= 48种。

22.从10名大学生毕业生中选 3个人担任村长助理，则甲、 同选法的种数位 乙至少有

1人入选，而丙没有入选的不

[C]

A 85

B 56

C 49

D 28

C 2 C 7 42，另一类是甲

23. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3位女生中有且只有两位女生相

邻，则不同排法的种数是 A. 360

B. 188

C. 216

D. 96

2 2 2 1 1 2 2 2 2

解析 2：由题意有 2A 2 （C 3 A 2） C 2 C 3 A （C 3 A 2） A

188,选 B 。

24. 12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分 在同一组的概率为 （ ）

1

3

1

1

A ?

B ?

C ?—

D ?-

55

55

4 3

解析因为将 12 个组分成 4个组的分法有

C

1

2C 8C 4种，而3个强队恰好被分在冋一组分法有

A 3

cUVc ：

2

,

故个强队恰好被分在同一组的概率为 C 3C 9C 4C 4A 2C 142C 8C ：A 3= 3

- 。

A ；

55

25. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站 2人，同一级台阶上的人不区分站的 位置，则不同的站法种数是 _______________ （用数字作答）?

3

【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，则有 A y 种；若有一个台阶有 2人，另一个是1人，则共

1 2

有C 3 A y 种，因此共有不同的站法种数是

336种.

26. 锅中煮有芝麻馅汤圆 6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相

27. _________________________________________________________________________________ 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 _______________________ 种 （用数字作答）?

3

分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A 3所以满足条件得分配的方案有 28.

将4个颜色互不相同的球全部放入编号为 1和2的两个盒

解析：6位同学站成一排, 3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有

A ；C 2A ：A ； 332 种，其中

男生甲站两端的有

144，符合条件的排法故共有

188

同。从中任意舀取 4个汤圆，则每种汤圆都至少取到

1个的概率为（ 91

25

91

48 60 91

91

【解析】因为总的滔法 4

C 15,而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆 取得个数分别按1.1.2; 1, 2, 1 ; 2, 1, 1三类，故所求概率为

C 6 C 5 c ： C 6

C 52 C C C 5 c 4

C 14

48 91

【解析】分两步完成：第一步将 4名大学生按，2, 1, 1分成三组，其分法有

c ： C 2 C 11

；第二步将

子里，使得放入每个盒子里的球的个

数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）

A. 10 种

B. 20 种

C. 36 种

D. 52 种

解析：将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的

个数不小于该盒子的编号，分情况讨论：①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有C4 4

2

种方法；②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有C4 6种方法；则不同的放球方法有

10种，选A.

29. 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案

有

（A）3 0 种（B）9 0 种（C）180 种（D） 2 7 0 种

解析：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分

C1C2

成三组，一组1人，另两组都是2人，有亠' 15种方法，再将3组分到3个班，共有15 A；90

A

种不同的分配方案，选 B.

30. 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人）,其中甲和乙不同去，甲和

丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有_________ 种

解析：某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，

甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论，①甲、丙同去，则乙不去，有C f A4=240种选法；

②甲、丙同不去，乙去，有C； A：=240种选法；③甲、乙、丙都不去，有A；120种选法，共有600种不同的选派方案.

31. 用数字0, 1, 2, 3, 4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1, 2相邻的偶数有________ 个（用

数字作答）.

解析：可以分情况讨论：①若末位数字为0,则1, 2，为一组，且可以交换位置，3, 4,各为1个

数字，共可以组成2 A 12个五位数；② 若末位数字为2,则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不是首位数字，则有2 A 4个五位数；③ 若末位数字为4,则1, 2,为一组，且可以交换位置，3, 0，各为1个数字，且0不是首位数字，则有2 （2 A；）=8个五位数，所以全部合理的五位数共有24个。

32. 有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮,

但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的

信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？

［解析］因为相邻的两个二极管不能同时点亮，所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上，共有C3种亮灯办法.然后分步确定每个二极管发光颜色有2X 2X 2 = 8（种）方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有C i x 2 X 2X 2= 160（种）.

33. 按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法?

（1）各组人数分别为2,4,6个；（2）平均分成3个小组；（3）平均分成3个小组，进3个不同车间.