2019精品教育一元二次方程(全章共21课教案)-人教版[原创]

第十二章一元二次方程

第1课一元二次方程

一、教学目的

1．使学生理解并能够掌握整式方程的定义．

2．使学生理解并能够掌握一元二次方程的定义．

3．使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式．

二、教学重点、难点

重点：一元二次方程的定义．

难点：一元二次方程的一般形式及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．

三、教学过程

复习提问

1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？

2．指出下面哪些方程是已学过的方程？分别叫做什么方程？

(l)3x+4=l； (2)6x-5y=7；

3．结合上述有关方程讲解什么叫做“元”，什么叫做“次”．

引入新课

1．方程的分类：

通过上面的复习，引导学生答出：

学过的几类方程是

没学过的方程是

x2-70x+825=0，x(x+5)=150．

这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程．”而在整式方程中，“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．”

据此得出复习中学生未学过的方程是

(4)一元二次方程：x2-70x+825=0，x(x+5)=150．

同时指导学生把学过的方程分为两大类：

2．一元二次方程的一般形式

注意引导学生考虑方程

x2-70x+825=0

和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150，

可化为：x2+5x-150=0．

从而引导学生认识到：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为

ax2+bx+c=0(a≠0)

的形式．并称之为一元二次方程的一般形式．强调，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数．要特别注意：二次项系数a是不等于0的实数(a=0时，方程化为bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可为任意实数．例把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式．并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项．

讲解例题

课堂练习 P5-6 1、2

课堂小结

1．方程分为两大类：

判别整式方程与分式方程的关键是看分母中是否含有未知数；判别一元一次方程，一元二次方程的关键是看方程化为一般形式后，未知数的最高次数是一次还是二次．2．一元二次方程的定义：一个整式方程，经化简形成只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，则这样的整式方程称一元二次方程．其一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中b，c均可为任意实数，而a不能等于零．

作业：教材中相关习题．

第2课一元二次方程的解法(一)

一、教学目的

1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程．

2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c ＜0)的方法．

二、教学重点、难点

重点：准确地求出方程的根．

难点：正确地表示方程的两个根．

三、教学过程

复习过程

回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据．

求下列各式中的x：

1．x2=225； 2．x2-169=0；3．36x2=49； 4．4x2-25=0．

回答解题过程中的依据．

解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．

即一般地，如果一个数的平方等于a(a≥0)，那么这样的数有两个，它们是互为相反数．

引入新课

我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？

新课

例1 解方程 x2-4=0．

解：先移项，得x2=4．

即x1=2，x2=-2．

这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．

例2 解方程 (x+3)2=2．

讲解例2

练习：P7 1、2

小结

1．本节主要学习了简单的一元二次方程的解法——直接法．

2．直接法适用于ax2+c=0(a＞0，c＜0)型的一元二次方程．

作业：习题12.1A组 1、2

第3课一元二次方程的解法(二)

一、教学目的

1．使学生掌握用配方法解一元二次方程的方法．

2．使学生能够运用适当变形的方法，转化方程为易于用配方法求解的形式，来解某些一元二次方程．并由此体会转化的思想．

二、教学重点、难点

重点：掌握配方的法则．

难点：凑配的方法与技巧．

三、教学过程

复习过程

用开平方法解下列方程：

(1)x2=441； (2)196x2-49=0；

引入新课

我们知道，形如x2-A=0的方程，可变形为x2=A(A≥0)，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如ax2+bx+c=0(a＞0)的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题．

新课

我们研究方程x2+6x+7=0的解法：

将方程视为：x2+2·x·3=-7，即 x2+2·x·3+32=32-7，∴ (x+3)2=2，

这种解一元二次方程的方法叫做配方法．这种方法的特点是：先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解．

例1 解方程x2-4x-3=0．

配方法解之．在解的过程中，介绍配方的法则．

例2 解方程2x2+3=7x．

练习：P10 1、2

小结：应用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的要点是：

(1)化二次项系数为1；

(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数；

(3)方程两边各加上一次项系数一半的平方；

作业：习题12.1 3

第4课一元二次方程的解法(三)

一、教学目的

1．使学生掌握一般一元二次方程的求根公式的推导过程，并由此培养学生的分析、综合和计算能力．

2．使学生掌握公式法解一元二次方程的方法．

二、教学重点、难点

重点：要求学生正确运用公式解方程．

难点：求根公式的推导过程．

三、教学过程

复习提问

提问：当x2=c时，c≥0时方程才有解，为什么？

练习：用配方法解下列一元二次方程

(1)x2-8x=20； (2)2x2-6x-1=0．

引入新课

我们思考用配方法解一般形式的一元二次方程，应如何配方来进行求解？

新课

(引导学生讨论)用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的步骤．

解：∵a≠0，两边同除以a，得

把常数项移到方程右边，并两边各加上一次项系数的一半的平方，得

(a≠0)的求根公式．用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法．

应用求根公式解一元二次方程的关键在于：(1)将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)；

(2)将各项的系数a，b，c代入求根公式．

例1 解方程x2-3x+2=0．

讲解例1

例2 解方程2x2+7x=4．

讲解例2

练习P14 1

小结

1．本节课我们推导出了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，即

要重点让学生注意到应用公式的大前提，即b2-4ac≥0．

2．应注意把方程化为一般形式后，再用公式法求解．

作业：习题12.1A组 4

第5课一元二次方程的解法(四)

一、教学目的

使学生进一步熟练掌握利用求根公式解一元二次方程的方法．

二、教学重点、难点

重点：用求根公式求一元二次方程的根的方法．

难点：含有字母参数的一元二次方程的公式解法．

三、教学过程

复习提问

1．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？

2．求根公式成立的前提是什么？

引入新课

在用求根公式解一元二次方程时，是否会遇到一些特殊现象？可看下述几例．

新课

讲解例3

例4 解方程x2+x-1=0．(精确到0.001)

讲解例4

例5 解关于x的方程 x2-m(3x-2m+n)-n2=0．

讲解例5

练习：P14 2

小结：

2．在解含有字母系数的一元二次方程时，应注意化方程为一般形式，确定b2-4ac≥0后，再用求根公式解之．

作业习题12.1 A组 5 6

第6课一元二次方程的解法(五)

一、教学目的

使学生掌握应用因式分解法解某些系数较为特殊的一元二次方程的方法．

二、教学重点、难点

重点：用因式分解法解一元二次方程．

难点：将方程化为一般形式后，对左侧二次三项式的因式分解．

三、教学过程

复习提问

1．在初一时，我们学过将多项式分解因式的哪些方法？

2．方程x2=4的解是多少？

引入新课

方程x2=4还有其他解法吗？

新课

众所周知，方程x2=4还可用公式法解．

此法要比开平方法繁冗．本课，我们将介绍一种较为简捷的解一元二次方程的方法——因式分解法．

我们仍以方程x2=4为例．

移项，得 x2-4=0，

对x2-4分解因式，得

(x+2)(x-2)=0．

我们知道：

∴ x+2=0，x-2=0．

即 x1=-2，x2=2．

由上述过程我们知道：当方程的一边能够分解成两个一次因式而另一边等于0时，即可解之．这种方法叫做因式分解法．

例1 解下列方程：(1)x2-3x-10=0；

(2)(x+3)(x-1)=5．

在讲例1(1)时，要注意讲应用十字相乘法分解因式；

讲例1(2)时，应突出讲将方程整理成一般形式，然后再分解因式解之．

例2 解下列方程：

(1)3x(x+2)=5(x+2)；(2)(3x+1)2-5=0．

在讲本例(1)时，要突出讲移项后提取公因式，形成(x+2)(3x-5)=0后求解；

再利用平方差公式因式分解后求解．

注意：在讲完例1、例2后，可通过比较来讲述因式分解的方法应“因题而宜”．例3 解下列方程：

(1)3x2-16x+5=0；(2)3(2x2-1)=7x．

依照教材中的解法介绍，此类题需用十字相乘法解之．

练习：P20 1、2

小结

对上述三例的解法可做如下总结：因式分解法解一元二次方程的步骤是

1．将方程化为一般形式；

2．把方程左边的二次三项式分解成两个一次式的积；(用初一学过的分解方法)

3．使每个一次因式等于0，得到两个一元一次方程；

4．解所得的两个一元一次方程，得到原方程的两个根．

作业：习题12.2 A组 1

第7课一元二次方程的解法(六)

一、教学目的

使学生进一步巩固掌握一元二次方程的开平方法、配方法、公式法和因式分解法．

二、教学重点、难点

重点：一元二次方程的四种常见解法的复习．

难点：选择适当的方法解一元二次方程．

三、教学过程

例1 解下列方程：

讲解例1

例2 解下列方程：

(1)5x(5x-2)=-1；(2)(x-2)2+10(x-2)+16=0．

讲解例2

例3 用适当的方法解下列方程：

讲解例3

小结

在解一元二次方程时，要注意根据方程的特征，选择适当的方法灵活的解决问题．作业习题12.2 A组 2

第8课一元二次方程的根的判别式(一)

一、教学目的

1．使学生理解并掌握一元二次方程的根的判别式．

2．使学生掌握不解方程，运用判别式判断一元二次方程根的情况．

二、教学重点、难点

重点：一元二次方程根的判别式的应用．

难点：一元二次方程根的判别式的推导．

三、教学过程

复习提问

1．一元二次方程的一般形式及其根的判别式是什么？

2．用公式法求出下列方程的解：

(1)3x2＋x－10＝0；(2)x2－8x＋16＝0；(3)2x2－6x＋5＝0．

引入新课

通过上述一组题，让学生回答出：一元二次方程的根的情况有三种，即有两个不相等的实数根；两个相等的实数根；没有实数根．

接下来向学生提出问题：是什么条件决定着一元二次方程的根的情况？这条件与方程的根之间又有什么关系呢？能否不解方程就可以明确方程的根的情况？这正是我们本课要探讨的课题．(板书本课标题)

新课

先讨论上述三个小题中b2－4ac的情况与其根的联系．再做如下推导：

对任意一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，可将其变形为

∵a≠0，∴4a2＞0．

由此可知b2－4ac的值的“三岐性”，即正、零、负直接影响着方程的根的情况．

(1)当b2－4ac＞0时，方程右边是一个正数．

(2)当b2－4ac＝0时，方程右边是0．

通过以上讨论，总结出：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况可由b2－4ac来判定．故称b2－4ac是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用“△”来表示．综上所述，一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

当△＞0时，有两个不相等的实数根；

当△＝0时，有两个相等的实数根；

当△＜0时，没有实数根．反过来也成立．

注：“△”读作“delta”．

例不解方程，判别下列方程根的情况：

(1)2x2＋3x－4＝0；(2)16y2＋9＝24y；(3)5(x2＋1)－7x＝0．

分析：要想确定上述方程的根的情况，只需算出“△”，确定它的符号情况即可．练习：P26 1 2 3

小结

应用判别式解题应注意以下几点：

1．应先把已知方程化为一元二次方程的一般形式，为应用判别式创造条件．

2．不必解方程，只须先求出△，确定其符号即可，具体数值不一定要计算出来．

3．其逆命题也是成立的．

作业：习题12.3 A组 1--4

第9课一元二次方程的根的判别式(二)

一、教学目的

通过对含有字母系数方程的根的讨论，培养学生运用一元二次方程根的判别式的论证能力和逻辑思维能力．培养学生思考问题的灵活性和严密性．

二、教学重点、难点

重点：巩固掌握根的判别式的应用能力．

难点：利用根的判别式进行有关证明．

三、教学过程

复习提问

1．写出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式．

2．方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有哪几种情况？如何判断？

引入新课

教材中“想一想”提出了如下问题：

已知关于x的方程

2x2-(4k+1)x+2k2-1=0，

其中△=[-(4k+1)]2-4×2×(2k2-1)

=16k2+8k+1-16k2+8

=8k+9．

想一想，当k取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程没有实数根．

新课

上述问题，实际上是这样一道题目．

例1 当k取什么值时，关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0

(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等实数根；(3)方程没有实数根．

讲解例1

例2 求证关于x的方程(k2+1)x2-2kx+(k2+4)=0没有实数根．

分析：要证明上述方程没有实数根，只须证明其根的判别式△＜0即可．

例3 证明关于x的方程(x-1)(x-2)=m2有两个不相等的实数根．

讲解例3

例4 已知a，b，c是△ABC的三边的长，求证方程a2x2-(a2+b2-c2)x+b2=0没有实数根．讲解例4

练习：

1．若m≠n，求证关于x的方程2x2+2(m+n)x+m2+n2=0无实数根．

2．求证：关于x的方程x2+(2m+1)x-m2+m=0有两个不相等的实数根．

小结

解决判定一元二次方程ax2+bx+c=0的方程根的情况应依照下列步骤进行：

1．计算△；

2．用配方法将△恒等变形(或变成易于观察其符号的情况)；

3．判断△的符号，得出结论．

作业：习题12.3 B组

一、教学目的

1．使学生掌握一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理)，并学会初步运用．

2．培养学生分析、观察以及利用求根公式进行推理论证的能力．

二、教学重点、难点

重点：韦达定理的推导和初步运用．

难点：定理的应用．

三、教学过程

复习提问

1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式应如何表述？

2．上述方程两根之和等于什么？两根之积呢？

新课

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为

由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：(又称“韦达定理”)

如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么

我们再来看二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0的根与系数的关系．

得出：

如果方程x2＋px＋q＝0的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q．

由 x1＋x2＝－p，x1x2＝q 可知p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，

∴方程x2＋px＋q＝0，

即 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．

这就是说，以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是

x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．

例1 已知方程5x2＋k x－6＝0的一个根是2，求它的另一根及k的值．讲解例1

练习 P32 1 2

小结

1．本节课主要学习了一元二次方程根与系数关系定理，应在应用过程中熟记定理．2．要掌握定理的两个应用：一是不解方程直接求方程的两根之和与两根之积；二是已知方程一根求另一根及系数中字母的值．

作业：习题12.4 A组 1

一、教学目的

1．复习巩固一元二次方程根与系数关系的定理．

2．学习定理的又一应用，即“已知方程，求方程两根的代数式的值”．

3．通过应用定理，培养学生分析问题和综合运用所学知识解决问题的能力．

二、教学重点、难点

重点：已知方程求关于根的代数式的值．

难点：用两根之和与两根之积表示含有两根的各种代数式．

三、教学过程

复习提问

1．一元二次方程根与系数关系的定理是什么？

2．下列各方程两根之和与两根之积各是什么？

(1)x2－3x－18＝0；(2)x2＋5x＋4＝5；

(3)3x2＋7x＋2＝0；(4)2x2＋3x＝0．

引入新课

考虑下列两个问题；

1．方程5x2＋kx－6＝0两根互为相反数，k为何值？

2．方程2x2＋7x＋k＝0的两根中有一个根为0，k为何值？

我们可以从这两题中看出，根与系数之间的运算是十分巧妙的．本课我们将深入探讨这一问题．

新课

例2 利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0两根的(1)平方和；(2)倒数和．

在讲本题时，要突出讲使用韦达定理，寻求x2＋px＋q＝0中的p，q的值．

例4 已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．

这是一道“根与系数的关系定理”的应用题，要注意讲此类题的解题步骤：

(1)运用定理构造方程； (2)解方程求两根； (3)得出所欲求的两个数．

练习：P32 3、4、5

小结

本课学习了利用根与系数关系解决三类问题的方法：(1)已知方程求两根的各种代数式的值；(2)已知两根的代数式的值，构造新方程；(3)已知两根的和与积，构造方程，解方程，求出与根对应的数．

作业：习题12.4 A组 2、3、4