全等三角形问题中常见的几种辅助线的作法

全等三角形问题中常见得辅助线得作法(有答案)

总论:全等三角形问题最主要得就是构造全等三角形，构造二条边之间得相等，构造二个角之间得相等

１、等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形,可作底边上得高,利用“三线合一”得性质解题

2、倍长中线:倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形

３、角平分线在三种添辅助线

4、垂直平分线联结线段两端

５、用“截长法”或“补短法”: 遇到有二条线段长之与等于第三条线段得长,

6、图形补全法:有一个角为60度或120度得把该角添线后构成等边三角形

7、角度数为３0、60度得作垂线法:遇到三角形中得一个角为30度或60度,可以从角一边上一点向角得另一边作垂线,目得就是构成３0-6０－90得特殊直角三角形,然后计算边得长度与角得度数,这样可以得到在数值上相等得二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间得相等条件。

８、计算数值法:遇到等腰直角三角形,正方形时,或３0-60－9０得特殊直角三角形,或４0-６0-８0得特殊直角三角形，常计算边得长度与角得度数,这样可以得到在数值上相等得二条边或二个角,从而为证明全等三角形创造边、角之间得相等条件。

常见辅助线得作法有以下几种:最主要得就是构造全等三角形,构造二条边之间得相等,二个角之间得相等。

1)遇到等腰三角形,可作底边上得高,利用“三线合一”得性质解题,思维模式就是全等变换中得“对折”法构造

全等三角形.

2)遇到三角形得中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用得思维模式就是全等变换中

得“旋转”法构造全等三角形.

3)遇到角平分线在三种添辅助线得方法,(1)可以自角平分线上得某一点向角得两边作垂线,利用得思维模式就是

三角形全等变换中得“对折”,所考知识点常常就是角平分线得性质定理或逆定理.(2）可以在角平分线上得一点作该角平分线得垂线与角得两边相交，形成一对全等三角形。（3)可以在该角得两边上,距离角得顶点相等长度得位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线上得某点作边线，构造一对全等三角形。

4)过图形上某一点作特定得平分线,构造全等三角形，利用得思维模式就是全等变换中得“平移”或“翻转折叠”

5)截长法与补短法,具体做法就是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或就是将某条线段延长，就是之

与特定线段相等，再利用三角形全等得有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段得与、差、倍、分等类得题目.

6)已知某线段得垂直平分线，那么可以在垂直平分线上得某点向该线段得两个端点作连线,出一对全等三角形。

特殊方法：在求有关三角形得定值一类得问题时，常把某点到原三角形各顶点得线段连接起来,利用三角形面积得知识解答.

E

D

C

B

A

D

C

B

A

P 2

1

C

B

A

P

Q

C

B

A

一、倍长中线(线段）造全等

例1、(“希望杯”试题）已知，如图△ＡＢC 中,A Ｂ=5，ＡＣ＝3，则中线AD 得取值范围就是＿＿____＿__、 例２、如图，△AB Ｃ中,E 、F 分别在ＡB 、AC 上，ＤE ⊥DF ，Ｄ就是中点,试比较BE+C Ｆ与EF 得大小、 例3、如图，△A ＢC 中，ＢD=DC ＝AC,E 就是DC 得中点,求证:AD 平分∠BAE 、

应用：

１、(０9崇文二模）以得两边A Ｂ、AC 为腰分别向外作等腰Ｒt 与等腰Rt ,连接D Ｅ,M 、Ｎ分别就是BC 、DE 得中点．探究：A Ｍ与DE 得位置关系及数量关系.

(1）如图① 当为直角三角形时,AM 与DE 得位置关系就是 ， 线段ＡM 与DE 得数量关系就是 ; （2）将图①中得等腰R ｔ绕点A 沿逆时针方向旋转(０<<90)后,如图②所示,(1)问中得到得两个结论就是否发生改变?并说明理由.

二、截长补短

１、如图，中,ＡB=2AC,ＡＤ平分，且A Ｄ＝ＢD,求证:C Ｄ⊥A Ｃ

2、如图，ＡＤ∥B Ｃ,EA,EB 分别平分∠DA Ｂ，∠CB Ａ,ＣD 过点E,求证;AB ＝ＡD+BC 。

3、如图,已知在内,，,P ，Q 分别在BC,CA 上,并且AP,BQ 分别就是,得角平分线。求证:ＢQ ＋AQ=ＡB+BP

4、如图,在四边形AB ＣD 中,ＢC>BA ，ＡD=CD,ＢＤ平分, 求证：

5、如图在△AB Ｃ中,ＡB ＞A Ｃ,∠1=∠2，P 为AD 上任意一点,求证;AB-AC ＞P Ｂ

－PC

应用:

O

E

D C

B

N

M

E

F

A

C

B A

三、平移变换

例１ A Ｄ为△AB Ｃ得角平分线,直线ＭN ⊥ＡD 于A 、E 为M Ｎ上一点,△A ＢＣ周长记为，△EBC 周长记为、求证>、 例２ 如图，在△ABC 得边上取两点D 、E,且BD ＝ＣE,求证：AB+A Ｃ>ＡＤ＋AE 、

E

D C

B

A

四、借助角平分线造全等

１、如图,已知在△A ＢC 中,∠B ＝6０°,△A ＢC 得角平分线AD ，C Ｅ相交于点Ｏ,求证:OE=OD 2、如图,△ＡＢC 中，AD 平分∠BAC,DG ⊥B Ｃ且平分ＢC,ＤE ⊥AB 于E,D Ｆ

⊥AC 于F 、

(1）说明ＢE=CF 得理由;（2)如果ＡB=,ＡC=，求AE 、BE 得长、 应用:

1、如图①,O Ｐ就是∠ＭＯN 得平分线,请您利用该图形画

一对以OP 所在直线为对称轴得全等三角形。请您参考这个作全等三角形得方法，解答下列问题:

(１)如图②,在△ＡＢC 中，∠ACB 就是直角,∠B =60°，ＡD 、CE 分别就是∠BAC 、∠BC Ａ得平分线,A Ｄ、Ｃ

Ｅ相交于点Ｆ。请您判断并写出FE 与ＦＤ之间得数量关系;

(2)如图③,在△A ＢC 中,如果∠AC Ｂ不就是直角,而（1）中得其它条件不变,请问,您在（１)中所得结论就是否仍

然成立？若成立,请证明;若不成立,请说明理由。

五、旋转

例１ 正方形ABCD 中,E 为BC 上得一点,F 为CD 上得一点,B Ｅ＋ＤF=ＥＦ,求∠EAF 得度数、 例2 D 为等腰斜边ＡB 得中点,DM ⊥D Ｎ,ＤM,ＤN 分别交ＢＣ,CA 于点Ｅ，F 。

（1） 当绕点D 转动时,求证DE ＝DF 。

（2） 若A Ｂ=2,求四边形DECF 得面积。 例3 如图,就是边长为3得等边三角形，就是等腰三角形,且,以D 为顶

点做一个角,使其两边分别交AB 于点M,交ＡＣ于点N,连接MN ，则得周长为 ; E D G

F

C

B

A

(第23题图) O P A M

N E B C D

F A C E F B

D

图① 图②

图③

B

C

N

M

A

应用:

1、已知四边形中，，,，,,绕点旋转，它得两边分别交(或它们得延长线）于. 当绕点旋转到时(如图１）,易证．

当绕点旋转到时,在图２与图3这两种情况下，上述结论就是否成立？若成立,请给予证明；若不成立，线段，又有怎样得数量关系？请写出您得猜想，不需证明.

2、(西城09年一模)已知:PA=,ＰB=4，以AB 为一边作正方形ＡＢCD,使P 、D 两点落在直线A Ｂ得两侧、

(1)如图,当∠ＡPB ＝４5°时,求AB 及P Ｄ得长; (2)当∠APB 变化，且其它条件不变时,求ＰＤ得最大值，及相应∠AP Ｂ得大小、

3、在等边得两边AB 、A Ｃ所在直线上分别有两点Ｍ、N,D 为外一点,且，,ＢD=ＤＣ、

探究:当Ｍ、N 分别在直线ＡB 、ＡC 上移动时,BM 、ＮC 、M Ｎ之间得数量关系及得

周长Q 与等边得周长L 得关系.

图１ 图2 图3

(I)如图1,当点M 、N 边ＡB 、A Ｃ上,且D Ｍ=DN 时，BM 、NC 、ＭＮ之间得数量关系就是 ； 此时 ;

（II)如图2，点M 、N 边ＡＢ、ＡＣ上,且当D ＭDN 时,猜想（Ｉ)问得两个结论还成立吗？写出您得猜想并加

以证明;

（I ＩI) 如图3,当M 、N 分别在边AB 、CA 得延长线上时， 若AN=，则Q ＝ (用、L 表示). 参考答案与提示 一、倍长中线(线段）造全等

例1、(“希望杯”试题)已知,如图△ＡBC 中,AB ＝５,AC=３，则中线AD 得取值范围就是＿___＿_＿__、 解:延长AD 至E 使ＡE=２AD,连BE ，由三角形性质知 ＡB-B Ｅ ＜2AD ＜ＡB+ＢE 故A Ｄ得取值范围就是1＜AD ＜4

例2、如图,△A ＢＣ中,E 、F 分别在AB 、AC 上,D Ｅ⊥DF,D 就是中点,试比较B Ｅ＋C Ｆ与EF 得大小、

(图1) (图2)

(图3)

解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法）延长FD至Ｇ使ＦG＝2EF，连BＧ，EG，

显然BＧ＝FC，

在△EFG中，注意到DE⊥DF,由等腰三角形得三线合一知

EＧ＝EF

在△BＥG中,由三角形性质知

EG＜BG＋BE

故:ＥF<ＢE+ＦＣ

例３、如图,△AＢC中,ＢD＝DC=ＡＣ,E就是DC得中点，求证:AD平分∠BAE、

解:延长AＥ至G使AG＝2AＥ,连BＧ,DＧ,

显然ＤG＝AC, ∠GDＣ=∠ＡCD

由于ＤC=AC,故∠ADC=∠ＤAC

在△ADＢ与△AＤＧ中，

BD=AＣ=DG，AＤ＝ＡＤ,

∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ＡＤC＋∠GDC＝∠ＡDG

故△ADB≌△ADG,故有∠BAD=∠DＡG,即ＡＤ平分∠BＡE

应用：

1、（09崇文二模)以得两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rｔ与等腰Rt，连接DＥ,M、Ｎ分别就是ＢＣ、ＤE得中点.探究：AＭ与DE得位置关系及数量关系．

(1)如图①当为直角三角形时，AM与ＤE得位置关系就是，

线段AM与DＥ得数量关系就是;

(２)将图①中得等腰Ｒt绕点A沿逆时针方向旋转(0＜＜9０)后,如图②所示,(1）问中得到得两个结论就是否发生改变?并说明理由．

二、截长补短

１、如图，中,ＡB=2AC,AD平分，且AD=BD,求证:CD⊥ＡC

解:(截长法)在AＢ上取中点F,连FD

△AＤB就是等腰三角形，F就是底AＢ中点,由三线合一知

DF⊥AB,故∠ＡＦＤ=9０°

△ADＦ≌△ＡDC（SAS)

∠AＣD＝∠ＡＦD＝90°即:CD⊥ＡC

E

D

C

B A

D

C

B

A

P

Q

C

B

A

2、如图,AD ∥ＢC,EA,E Ｂ分别平分∠DAB ，∠ＣＢＡ,CD 过点E,求证;A Ｂ＝AD+ＢC 解：（截长法）在A Ｂ上取点F,使A Ｆ=ＡＤ,连FE △ADE ≌△AFE(SAS) ∠ADE ＝∠A ＦE, ∠ADE ＋∠B ＣE=１８0° ∠ＡFE+∠ＢFE ＝180°

故∠ＥＣB=∠E ＦB △ＦB Ｅ≌△ＣBE(AAS) 故有B Ｆ=ＢC 从而;ＡB=AD+BC

3、如图，已知在△ABC 内,,,P,Q

分别在BC,C Ａ上，并且A

Ｐ,ＢQ 分别就是,得角平分线。求证：BQ+A Ｑ=A Ｂ+BP 解:(补短法, 计算数值法)延长AB 至Ｄ,使ＢD ＝BP,连DP

在等腰△BP Ｄ中,可得∠B ＤP=４0° 从而∠BD Ｐ＝40°＝∠ACP △A ＤP ≌△ＡＣP(ASA) 故ＡD ＝AC

又∠QB Ｃ＝4０°=∠QCB 故 BQ=QC B Ｄ=BP

从而ＢＱ+ＡQ=ＡB+ＢP

４、如图,在四边形ＡＢCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD,BD 平分, 求证:

解:(补短法)延长ＢA 至F,使BF=BC,连FD △ＢDF ≌△BD Ｃ(SA Ｓ) 故∠DFB ＝∠DCB ,FD=DC 又ＡD=C Ｄ

故在等腰△BF Ｄ中 ∠ＤFB ＝∠D ＡF

故有∠B ＡD ＋∠B ＣD ＝180°

5、如图在△ABC 中，AB>ＡC,∠１＝∠２,Ｐ为AD 上任意一点,求证;ＡB-ＡC ＞ＰＢ-PC

P

2 1

D C

B

A 解:(补短法）延长ＡC至F,使ＡＦ=AB，连PＤ

△ABP≌△Ａ

FP（ＳAS)

故ＢP＝PF

由三角形性质知

PＢ－PC=PF-PC < CＦ=ＡＦ-AＣ=AB-AC

应用:

三、平移变换

例1 AD为△ＡBＣ得角平分线，直线MN⊥ＡＤ于A、E为MN上一点，△AＢC周长记为,△EBC周长记为、求证>、解:(镜面反射法）延长BＡ至F,使AF＝AＣ,连FＥ

AD为△ABC得角平分线，MN⊥AD

知∠FAＥ=∠CAE

故有

△FAE≌△CAＥ(SAS)

故EF=ＣＥ

在△BEF中有: BE+EF>BF=BＡ+ＡＦ=BA+AC

从而PＢ＝BＥ+CE+ＢC＞BF+BC=BA＋AC+BＣ＝P A

例2 如图,在△ABC得边上取两点Ｄ、Ｅ,且BD=CＥ,求证:AB＋AC>ＡD+AE、

O

E C

B A

证明:取B Ｃ中点Ｍ,连AM 并延长至N,使M Ｎ=ＡＭ,连B Ｎ,DN 、

∵BD=CE, ∴DM=ＥM,

∴△DMN ≌△ＥＭA(S ＡS), ∴D Ｎ=AE, 同理ＢN=CA 、

延长ND 交AB 于Ｐ，则BN+BP ＞ＰN,ＤＰ+ＰA>AD, 相加得ＢＮ+BP+DP+ＰＡ>P Ｎ＋AD ， 各减去DP,得B Ｎ+AB>DN+AD, ∴AB+A Ｃ>AD+ＡE 。

四、借助角平分线造全等

１、如图,已知在△AB Ｃ中,∠B=6０°,△ABC 得角平分线AD,C Ｅ相交于点O,求证:ＯＥ＝O Ｄ,DC+AE ＝ＡC

证明 (角平分线在三种添辅助线,计算数值法)∠B ＝60度, 则∠BAC+∠BCA ＝１20度; A Ｄ,CE 均为角平分线, 则∠OAC+∠OC Ａ=６0度=∠AOE=∠COD; ∠ＡＯC=1２0度、

在AC 上截取线段AF=AE ，连接OF 、 又A Ｏ=ＡO ；∠OAE=∠OAF 、则⊿OAE ≌ΔOAF(S ＡＳ）, OE=ＯF;AE ＝AF;

∠ＡOF ＝∠AOE=60度、

则∠ＣOF=∠A ＯC －∠AO Ｆ=６0度＝∠C ＯD ； 又CO=ＣO;∠OC Ｄ=∠OC Ｆ、 故⊿OCD ≌ΔＯＣＦ(ＳAS ）, OD=OF;C Ｄ=ＣF 、 OE ＝OD

DC+ＡE=C Ｆ+A Ｆ=ＡC 、

２、如图,△ABC 中,AD 平分∠B ＡC,DG ⊥ＢC 且平分BC,DE ⊥ＡB 于Ｅ，DF ⊥AC 于F 、 （1)说明B Ｅ=CF 得理由；(2)如果AB=，ＡＣ=,求AE 、B Ｅ得长、 解:（垂直平分线联结线段两端)连接B Ｄ,DC D Ｇ垂直平分B Ｃ,故BD ＝ＤC

由于AD 平分∠BAC, DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，故有

E

D

G

F

C B

A

ＥD=DF

故RT △D ＢＥ≌RT △DF Ｃ（ＨL) 故有BE=CF 。 AB+AC ＝2A Ｅ AE=（a ＋b)/2 B Ｅ=(ａ-b)/2 应用:

1、如图①,OP 就是∠ＭON 得平分线,请您利用该图形画一对以ＯP 所在直线为对称轴得全等三角形。请您参考这个

作全等三角形得方法,解答下列问题：

（１）如图②,在△AB Ｃ中，∠A ＣB 就是直角,∠B =60°,AD 、ＣE 分别就是∠B ＡC 、∠ＢC Ａ得平分线,A Ｄ、

CE 相交于点Ｆ。请您判断并写出ＦＥ与F Ｄ之间得数量关系;

(2)如图③，在△A ＢC 中,如果∠ＡＣB 不就是直角,而(１)中得其它条件不变，请问,您在(１）中所得结论就是否

仍然成立？若成立,请证明;若不成立,请说明理由。

五、旋转

例1 正方形ABCD 中，E 为B Ｃ上得一点,F 为C Ｄ上得一点，BE+DF=EF,求∠ＥAF 得度数、 证明:将三角形ＡDF 绕点A 顺时针旋转9０度，至三角形ABG 则GE ＝ＧB+B Ｅ=DF+BE ＝EF 又AE=AE,AF=AG, 所以三角形ＡEF 全等于AEG

所以∠EAF=∠ＧA Ｅ＝∠BAE+∠GAB=∠BAE ＋∠DAF 又∠EAF+∠BAE ＋∠ＤAF=90 所以∠EAF=45度

例2 D 为等腰斜边ＡB 得中点,DM ⊥DN ，DM,ＤＮ分别交ＢC,CA 于点E ，Ｆ。

（1)当绕点D 转动时,求证DE=ＤF 。

(2)若AB=2,求四边形ＤＥＣＦ得面积。

解:(计算数值法)(1)连接DC ， D 为等腰斜边AB 得中点，故有CD ⊥AB ，CD ＝ＤA ＣD 平分∠BCA=90°,∠E CD ＝∠DCA=4５° 由于ＤM ⊥ＤN ，有∠ED Ｎ＝90° 由于 CD ⊥ＡB,有∠CD A ＝9０° 从而∠C ＤＥ=∠ＦＤＡ= 故有△CDE ≌△A ＤＦ(A ＳＡ) 故有DE=DF (2）Ｓ△AB Ｃ＝2,

Ｓ四D ＥC Ｆ= Ｓ△A ＣＤ＝1

例3 如图,就是边长为３得等边三角形,就是等腰三角形,且,以D 为顶点做一个角，使其两边分别交AB 于点M,交AC 于点Ｎ,连接M Ｎ,则得周长为 ;

(第23题图) O P A

M

N

E

B C D

F A C

E F B

D 图① 图②

图③

解:（图形补全法, “截长法”或“补短法”，计算数值法) AC得延长线与BD得延长线交于点F,在线段CF上取点E,使CＥ＝BM

∵△ABＣ为等边三角形,△BCD为等腰三角形，且∠ＢDC=120°，

∴∠ＭＢD＝∠ＭBＣ+∠DBＣ=60°＋30°=90°,?∠ＤCE=180°-∠ACD＝18０°－∠ABD＝90°,

又∵BM=CＥ,BD=CD,?∴△CDE≌△BDＭ,

∴∠ＣＤE=∠ＢDM，DE=ＤM,

∠NＤE＝∠NDC＋∠CDE=∠ＮDC+∠BＤM=∠BDＣ-∠MDN=1２0°-60°=60°,

∵在△DMN与△ＤEN中,?DM=DＥ

∠MDN=∠ＥＤＮ=60°

DN=DN

∴△DMＮ≌△DEN,?∴MN=NE

∵在△DMA与△DEF中,?DM=ＤE

∠MDA=６0°－∠MＤＢ=6０°- ∠ＣDＥ=∠ＥDF （∠CDE＝∠BＤＭ)

∠DAM=∠DFE＝３０°

∴△DMN≌△DEＮ(AAS),

∴ＭＡ=FＥ

得周长为AＮ+MN+AM=ＡN+NE＋EF=AF=6

应用:

１、已知四边形中,,，，,,绕点旋转,它得两边分别交(或它们得延长线)于.

当绕点旋转到时(如图1),易证.

当绕点旋转到时,在图2与图３这两种情况下,上述结论就是否成立？若成立,请给予证明；若不成立，线段，又有怎样得数量关系？请写出您得猜想,不需证明.

2、(西城09年一模)已知:PA=,ＰB=4,以ＡB为一边作正方形AＢＣＤ,使P、D两点落在直线AB得两侧、

（1)如图,当∠AＰB=45°时，求AＢ及PＤ得长；

(2）当∠AＰB变化,且其它条件不变时,求ＰD得最大值,及相应∠APB得大小、

３、在等边得两边AB、AＣ所在直线上分别有两点M、N，Ｄ为外一点,且,,ＢD=ＤC、探究：当Ｍ、Ｎ分别在直线AB、AC上移动时,ＢM、NC、MN之间得数量关系及得周长Q与等边得周长Ｌ得关系.

(图1) (图2) (图3)

图1 图2 图3

（Ｉ）如图1，当点Ｍ、N边ＡB、ＡC上,且ＤM＝DN时,BM、NC、MN之间得数量关系就是；此时；

(II）如图2,点Ｍ、N边AB、AC上,且当ＤMＤN时,猜想(I)问得两个结论还成立吗？写出您得猜想并加以证明;

（IＩI）如图3,当Ｍ、N分别在边AB、CA得延长线上时,

若ＡＮ=,则Q= (用、Ｌ表示).

专题：全等三角形常见辅助线做法及典型例题

《全等三角形》辅助线做法总结 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 一、截长补短法（和，差，倍，分） 截长法：在长线段上截取与两条线段中的一条相等的一段，证明剩余的线段与另一段相等（截取----全等----等量代换） 补短法：延长其中一短线段使之与长线段相等，再证明延长段与另一短线段相等（延长----全等----等量代换） 例如：1，已知，如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB=AC+CD。 2，已知：如图，AC∥BD，AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E．求证：（1）AE⊥BE；（2）AB=AC+BD． 二、图中含有已知线段的两个图形显然不全等（或图形不完整）时，添加公共边（或一其中 一个图形为基础，添加线段）构建图形。（公共边，公共角，对顶角，延长，平行）例如：已知：如图，AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。 三、延长已知边构造三角形 例如：如图6：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B，求证：AD＝BC D C B A 1 10 图 O A B C D E O

四、遇到角平分线，可自角平分线上的某个点向角的两边作垂线（“对折”全等） 例如：已知，如图，AC 平分∠BAD ，CD=CB ，AB>AD 。求证：∠B+∠ADC=180。 五、遇到中线，延长中线，使延长段与原中线等长（“旋转”全等） 例如：1如图，AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。（三角形一边上的中线小 于其他两边之和的一半） 2，已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 。 3，如图，已知：AD 是△ABC 的中线，且CD=AB ，AE 是△ABD 的中线，求证：AC=2AE. E C B D A 六、遇到垂直平分线，常作垂直平分线上一点到线段两端的连线（可逆 ：遇到两组线段相等， 可试着连接垂直平分线上的点） 例如：在△ABC 中，∠ACB=90，AC=BC,D 为△ABC 外一点，且AD=BD,DE ⊥AC 交AC 的延长 线于E,求证：DE=AE+BC 。 七、遇到等腰三角形，可作底边上的高，或延长加倍法（“三线合一”“对折”） A D B C C A E B D

2017中学考试全等三角形专题(8种辅助线地作法)

全等三角形问题中常见的辅助线的作法【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题 2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形 3.角平分线在三种添辅助线 4.垂直平分线联结线段两端 5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长， 6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形 7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。 8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。 常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变 换中的“对折”法构造全等三角形． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的 思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形． 3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂

2017中考全等三角形专题(8种辅助线的作法)

全等三角形问题中常见得辅助线得作法【三角形辅助线做法】 图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折瞧,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试瞧。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。 1、等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形,可作底边上得高,利用“三线合一”得性质解题 2、倍长中线:倍长中线，使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形 3、角平分线在三种添辅助线 4、垂直平分线联结线段两端 ５、用“截长法”或“补短法”: 遇到有二条线段长之与等于第三条线段得长, 6、图形补全法:有一个角为6０度或１２0度得把该角添线后构成等边三角形 7、角度数为30、6０度得作垂线法：遇到三角形中得一个角为３0度或6０度,可以从角一边上一点向角得另一边作垂线,目得就是构成３0-6０-9０得特殊直角三角形,然后计算边得长度与角得度数,这样可以得到在数值上相等得二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间得相等条件。 8、计算数值法:遇到等腰直角三角形,正方形时,或3０-60-９0得特殊直角三角形,或40－6０-80得特殊直角三角形,常计算边得长度与角得度数，这样可以得到在数值上相等得二条边或二个角,从而为证明全等三角形创造边、角之间得相等条件。 常见辅助线得作法有以下几种:最主要得就是构造全等三角形,构造二条边之间得相等,二个角之间得相等。 1)遇到等腰三角形，可作底边上得高,利用“三线合一”得性质解题,思维模式就是全等变 换中得“对折”法构造全等三角形. 2)遇到三角形得中线,倍长中线，使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用得思 维模式就是全等变换中得“旋转”法构造全等三角形. 3)遇到角平分线在三种添辅助线得方法，（１)可以自角平分线上得某一点向角得两边作垂

全等三角形中常见辅助线的添加方法

全等三角形中常见辅助线的添加方法举例 一． 有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。 例：如图1：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE ＋CF ＞EF 。 二、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍 此线段，构造全等三角形。 例：：如图2：AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE ＋CF ＞EF 三、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造 全等三角形。 例：如图3：AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。 图3 练习：已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4， 求证EF ＝2AD 。 A B C D E F N 1 图1234 2 图A B C D E F M 123 4A B C D E A B C D E F 4 图

四、截长补短法作辅助线。 例如：已知如图5：在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任一点。 求证：AB －AC ＞PB －PC 。 五、延长已知边构造三角形： 例如：如图6：已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ， 求证：AD ＝BC 六、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图8：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2，CE ⊥BD 的延长于E 。求证：BD ＝2CE 7 七、连接已知点，构造全等三角形。 例如：已知：如图9；AC 、BD 相交于O 点，且AB ＝DC ，AC ＝BD ，求证：∠A ＝∠D 。 八、取线段中点构造全等三有形。 例如：如图10：AB ＝DC ，∠A ＝∠D 求证：∠ABC ＝∠DCB 。 A B C D N M P 5图12A B C D E 6 图O D B A 110 图O 10图D C B A M N

全等三角形辅助线经典做法习题

全等三角形证明方法中辅助线做法 一、截长补短 通过添加辅助线利用截长补短，从而达到改变线段之间的长短，达到构造全等三角形的条件 1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD． 分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD． 证明：在AC上截取AF=AE，连接OF． ∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60° ∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°． 显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60° 在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC ∴△DOC≌△FOC，CF=CD ∴AC=AF+CF=AE+CD． 2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B,试判断AB，AC，CD三者之间的数量关系,并说明理由.

3.如图,在△ABC 中,∠A=60°,BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB,BD ，CE 交于点O,试判断BE,CD,BC 的数量关系,并加以证明. 4.如图,AD ∥BC,DC ⊥AD,AE 平分∠BAD,E 是DC 的中点.问：AD,BC,AB 之间有何关系？并说明理由. 5.(德州中考)问题背景： 如图1：在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系. (1)小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G.使DG=BE.连接AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是； (2)如图2，若在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠D=180°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF=2 1 ∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由.

全等三角形中常用辅助线(经典)

三角形中的常用辅助线 课程解读 一、学习目标： 归纳、掌握三角形中的常见辅助线 二、重点、难点： 1、全等三角形的常见辅助线的添加方法。 2、掌握全等三角形的辅助线的添加方法并提高解决实际问题的能力。 三、考点分析： 全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。判断三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。一些较难的证明题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。 典型例题 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 全等三角形辅助线 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等； （3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： （1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。

全等三角形之辅助线(习题及答案)

全等三角形之辅助线（习题） 例题示范 例1：已知：如图，在△ABC 中，∠C =90°，D 是AB 边上一点，AD =AC ，过点D 作DE ⊥AB ，交BC 于点E ． 求证：CE =DE ． 【思路分析】1 读题标注：2梳理思路： 要证CE =DE ，考虑把这两条线段放在两个三角形中证全等，利用全等三角形对应边相等来证明． 观察图形，发现不存在全等的三角形． 结合条件，AC =AD ，∠C =∠ADE =90°，考虑连接AE ，证明△ACE ≌△ADE ． 【过程书写】 证明：如图，连接AE ∵DE ⊥AB ∴∠ADE =90° ∵∠C =90° ∴∠C =∠ADE 在Rt △ACE 和Rt △ADE 中 AE AE AC AD =??=?（公共边）（已知）∴Rt △ACE ≌Rt △ADE （HL ） ∴CE =DE （全等三角形对应边相等） 过程规划：1．描述辅助线：连接AE 2．准备条件：∠C =∠ADE =90°3．证明△ACE ≌△ADE 4．由全等性质得，CE = DE

巩固练习1.已知：如图，B ，C ，F ，E 在同一条直线上，AB ，DE 相交于点G ，且BC =EF ，GB =GE ，∠A =∠D ．求证：DC =AF ． 2.已知：如图，∠C =∠F ，AB =DE ，DC = AF ，BC =EF ．求证：AB ∥DE ．过程规划： 过程规划：

3.已知：如图，AB∥CD，AD∥BC，E，F分别是AD，BC的 中点．求证：BE=DF． 4.已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB=∠B=90°， 点E，F分别在AB，BC上，且AE=BF，AF交DE于点G．求证：DE⊥AF．

全等三角形常用辅助线做法

五种辅助线助你证全等 姚全刚 在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点?下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考. 一、截长补短 一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用 截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等. 例1.如图1，在△ ABC 中，/ ABC=60 ° , AD、CE 分别平分/ BAC、/ ACB .求证: AC=AE+CD . 分析：要证AC=AE+CD , AE、CD不在同一直线上.故在AC上截取AF=AE，则只要证明 CF=CD . 证明：在AC上截取AF=AE，连接OF. ?/ AD、CE 分别平分/ BAC、/ ACB，/ ABC=60 ° ???/ 1 + Z 2=60 ° ,A Z 4=Z 6= / 1 + Z 2=60 ° . 显然，△ AEO ◎△ AFO，?/ 5= / 4=60 ° ,?/ 7=180° — (/ 4+ / 5) =60 ° 在厶DOC 与厶FOC 中，/ 6= / 7=60°，/ 2= / 3, OC=OC ???△ DOC ◎△ FOC, CF=CD ? AC=AF+CF=AE+CD 截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等, 或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作 法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例2:如图甲，AD// BC 点E在线段AB上，/ ADE=/CDE / DC=Z ECB 求证： CD=AD F BC 思路分析： 1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。 2）解题思路：结论是CDAC+BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CE，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。 解答过程： 证明：在CD上截取CF=BC如图乙 6 = CS CE= CE ???△ FCE^A BCE(SAS， ???/ 2=Z 1。 又??? AD// BC ???/ ADG-Z BCD：180°， ???/ DC+Z CD=90°,

全等三角形中辅助线的添加解析

全等三角形中辅助线的添加 一.教学内容：全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。 二．知识要点： 1、添加辅助线的方法和语言表述 （1）作线段：连接……； （2）作平行线：过点……作……∥……； （3）作垂线（作高）：过点……作……⊥……，垂足为……； （4）作中线：取……中点……，连接……； （5）延长并截取线段：延长……使……等于……； （6）截取等长线段：在……上截取……，使……等于……； （7）作角平分线：作……平分……；作角……等于已知角……； （8）作一个角等于已知角：作角……等于……。 2、全等三角形中的基本图形的构造与运用 常用的辅助线的添加方法： （1）倍长中线（或类中线）法：若遇到三角形的中线或类中线（与中点有关的线段），通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形。 （2）截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；②补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。 （3）一线三等角问题（“K”字图、弦图、三垂图）：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。 （4）角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。 （5）角含半角、等腰三角形的（绕顶点、绕斜边中点）旋转重合法：用旋转构造三角形全等。 （6）构造特殊三角形：主要是30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造)和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形。 三、基本模型： （1） △ABC中AD是BC边中线 方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE

八年级数学《全等三角形》证明题中常见的辅助线的作法

D C B A E D F C B A 八年级数学《全等三角形》证明题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种： 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 一、倍长中线（线段）造全等 例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________. 例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF 与EF的大小. 例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. 应用：

E D C B A D C B A P Q C B A 1、（09崇文二模）以ABC ?的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ?和等腰 Rt ACE ?，90,BAD CAE ∠=∠=?连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与 DE 的位置关系及数量关系． （1）如图① 当ABC ?为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ， 线段AM 与DE 的数量关系是 ； （2）将图①中的等腰Rt ABD ?绕点A 沿逆时针方向旋转?θ(0<θ<90)后，如图②所 示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由． 二、截长补短 1、如图，ABC ?中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC 2、如图，AC ∥BD ，EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AC+BD 3、如图，已知在ABC V 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ， CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分 线。求 证：BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠， 求证： 0180=∠+∠C A 5、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上 任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC 应用： 三、平移变换 例1 AD 为△ABC 的角平分线，直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点，△ABC 周长记为A P ， △EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P . 例2 如图，在△ABC 的边上取两点D 、E ，且BD=CE ，

全等三角形辅助线技巧

注意全等三角形的构造方法 搞清了全等三角形的证题思路后， 还要注意一些较难的一些证明问题， 只要构造合适 的 全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了?下面举例说明几 种常见的构造方法，供同学们参考. 1 ?截长补短法 例1.如图（1）已知：正方形 ABCD 中, 求证：AB+BE=AC 由已知△ AEF ^A AEC, ???/ F=Z ACE=45）, ??? BF=BE ?- AB+BE=AB+BF=AF=AC 解法（二）（截长法或分割法）在AC 上截取AG=AB,由已知 △ ABE BA AGE, ? EG=BE, / AGE=Z ABE,： / ACE=45o, ? CG=EG, ? AB+BE=AG+CG=AC 2 .平行线法（或平移法） 若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对 Rt △,有时可作出斜边的中线. 例 2. △ ABC 中，/ BAC=60 , / C=40° AP 平分/ BAC 交 BC 于 P , BQ 平分/ ABC 交 AC 于 Q , 求证：AB+BP=BQ+AQ 证明：如图（1），过 O 作 OD// BC 交 AB 于 D , ?/ ADO=/ ABC =180 ° - 60°- 40 ° =80°，又???/ AQO=/ C+/ QBC=80°, ???/ ADO=/ AQO ，又I/ DAO=/ QAO , OA=AO, ? △ ADO BA AQO ,「. OD=OQ , AD=AQ ，又T OD / BP, ? / PBO=/ DOB ，又 T/ PBO=/ DBO, ?/ DBO=/ DOB , ? BD=OD,「. AB+BP=AD+DB+BP 解法（一） （补短法或补全法）延长AB 至F 使AF=AC F

全等三角形常用辅助线做法

全等三角形常用辅助线做 法 This manuscript was revised on November 28, 2020

五种辅助线助你证全等 姚全刚 在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点．下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考． 一、截长补短 一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等． 例1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD． 分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD． 证明：在AC上截取AF=AE，连接OF． ∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60° ∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°． 显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60° 在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC ∴△DOC≌△FOC， CF=CD ∴AC=AF+CF=AE+CD． 截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 例2：如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。 求证：CD=AD+BC。 思路分析： 1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。 2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。 解答过程： 证明：在CD上截取CF=BC，如图乙 ∴△FCE≌△BCE（SAS）， ∴∠2=∠1。 又∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD=180°， ∴∠DCE+∠CDE=90°， ∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°， ∴∠3=∠4。 在△FDE与△ADE中， ∴△FDE≌△ADE（ASA）， ∴DF=DA，

全等三角形辅助线画法

五种辅助线助你证全等 在证明三角形全等时，有时需添加辅助线，下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，可以帮助你更好的学习。 一、截长补短 一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等． 例1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD． 分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD． 证明：在AC上截取AF=AE，连接OF．

∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60° ∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°． 显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60° 在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC ∴△DOC≌△FOC，CF=CD ∴AC=AF+CF=AE+CD． 二、中线倍长 三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路． 例2．已知三角形的两边长分别为7和5，那么第三边上中线长x的取值范围是（）． 分析：要求第三边上中线的取值范围，只有将将中线与两个已知边转移到同一个三角形中，然后利用三角形的三边关系才能进行分析和判断．

解：如图2所示，设AB=7，AC=5，BC上中线AD=x．延长AD至E，使DE = AD=x． ∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD ∠ADC=∠EDB（对顶角）∴△ADC≌△EDB ∴BE=AC=5 ∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE 即7-5＜2x＜7+5∴1＜x＜6

教师用：全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法

教师用：全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。 常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三 线合一”的性质解题 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与 原中线长相等，构造全等三角形 3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法 （1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线 （2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。 （3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点

D C B A 再向角平分线上的某点作边线，构造一对全 等三角形。 4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三 角形 5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截 取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平 分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问 题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 一、倍长中线（线段）造全等 例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________. 解：延长AD 至E 使AE ＝2AD ，连BE ，由三角形性质知 AB-BE <2AD

(完整版)几种证明全等三角形添加辅助线的方法

教学过程 构造全等三角形几种方法 在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论之间的联系。现分类加以说明。 一、延长中线构造全等三角形 例1. 如图1，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。 证明：延长AD至E，使AD＝DE，连接CE。如图2。 ∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD。 又∵∠1＝∠2，AD＝DE， ∴△ABD≌△ECD（SAS）。AB＝CE。 ∵在△ACE中，CE＋AC＞AE， ∴AB＋AC＞2AD。

二、沿角平分线翻折构造全等三角形 例2. 如图3，在△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。求证：AB＋BD＝AC。 证明：将△ABD沿AD翻折，点B落在AC上的E点处，即：在AC上截取AE＝AB，连接ED。如图4。 ∵∠1＝∠2，AD＝AD，AB＝AE， ∴△ABD≌△AED（SAS）。 ∴BD＝ED，∠ABC＝∠AED＝2∠C。 而∠AED＝∠C＋∠EDC， ∴∠C＝∠EDC。所以EC＝ED＝BD。 ∵AC＝AE＋EC，∴AB＋BD＝AC。 三、作平行线构造全等三角形 例3. 如图5，△ABC中，AB＝AC。E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。求证：EF＝FD。 证明：过E作EM∥AC交BC于M，如图6。 则∠EMB＝∠ACB，∠MEF＝∠CDF。 ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB。 ∴∠B＝∠EMB。故EM＝BE。 ∵BE＝CD，∴EM＝CD。

又∵∠EFM＝∠DFC，∠MEF＝∠CDF， ∴△EFM≌△DFC（AAS）。EF＝FD。 四、作垂线构造全等三角形 例4. 如图7，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC。M是AC边的中点。AD ⊥BM交BC于D，交BM于E。求证：∠AMB＝∠DMC。 证明：作CF⊥AC交AD的延长线于F。如图8。 ∵∠BAC＝90°，AD⊥BM， ∴∠FAC＝∠ABM＝90°－∠BAE。 ∵AB＝AC，∠BAM＝∠ACF＝90°， ∴△ABM≌△CAF（ASA）。 ∴∠F＝∠AMB，AM＝CF。 ∵AM＝CM，∴CF＝CM。 ∵∠MCD＝∠FCD＝45°，CD＝CD， ∴△MCD≌△FCD（SAS）。所以∠F＝∠DMC。 ∴∠AMB＝∠F＝∠DMC。 五、沿高线翻折构造全等三角形 例5. 如图9，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAD＞∠CAD。求证：AB＞AC。

全等三角形中做辅助线总结(供参考)

全等三角形中做辅助线技巧要点大汇总 口诀： 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 一、由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1．如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。 例2．已知：如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC B 图1-2 D B C 1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

2文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 例3． 已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD 分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？ 练习 1． 已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B= 2∠C ，求证：AB+BD=AC 2． 已知：在△ABC 中，∠CAB=2∠B ，AE 平分∠CAB 交BC 于E ，AB=2AC ， 求证：AE=2CE 3． 已知：在△ABC 中，AB>AC,AD 为∠BAC 的平分线，M 为AD 上任一点。 求证：BM-CM>AB-AC 4． 已知：D 是△ABC 的∠BAC 的外角的平分线AD 上的任一点，连接DB 、 DC 。求证：BD+CD>AB+AC 。 （二）、角分线上点向角两边作垂线构全等 过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。 例1． 如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC 。 求证：∠ADC+∠B=180 分析：可由C 向∠BAD 的两边作垂线。近而证∠ADC 与∠B 之和为平角。 例2． 如图2-2，在△ABC 中，∠A=90 ，AB=AC ，∠ABD=∠CBD 。 求证：BC=AB+AD 图1-4 A B C 图2-1 B C 图 2-2 B C

全等三角形经典题型辅助线答案

全等三角形常见辅助线作法 【例1】．已知：如图6，△BCE 、△ACD 分别是以BE 、AD 为斜边的直角三角形，且BE AD =，△CDE 是等边三角形．求证：△ABC 是等边三角形． 【例2】、如图，已知BC > AB ，AD=DC 。BD 平分∠ABC 。求证：∠A+∠C=180°. 一、线段的数量关系: 通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。 1、倍长中线法 【例. 3】如图，已知在△ABC 中，90C ?∠=，30B ?∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D . 求证：2BD CD = 证明：延长DC 到E ，使得CE=CD,联结AE ∵∠ADE=60° ∵∠C=90° ∴△ADE 为等边三角形 ∴AC ⊥CD ∴AD=DE ∵CD=CE ∵DB=DA ∴AD=AE ∴BD=DE ∵∠B=30°∠C=90° ∴BD=2DC ∴∠BAC=60° ∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=30° ∴DB=DA ∠ADE=60° D C B A D C B E A

【例4.】 如图，D 是ABC ?的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ?的中线。求证：2AC AE =。 证明：延长AE 到点F,使得EF=AE 联结DF 在△ABE 和△FDE 中 ∴∠ADC=∠ABD+∠BDA BE =DE ∵∠ABE=∠FDE ∠AEB=∠FED ∴∠ADC=∠ADB+∠FDE AE=FE 即 ∠ADC = ∠ADF ∴△ABE ≌ △FDE （SAS ） 在△ADF 和△ADC 中 ∴AB=FD ∠ABE=∠FDE AD=AD ∵AB=DC ∠ADF = ∠ADC ∴ FD = DC DF =DC ∵∠ADC=∠ABD+∠BAD ∴△ ADF ≌ ADC(SAS) ∵ADB BAD ∠=∠ ∴AF=AC ∴AC=2AE 【变式练习】、 如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE. 【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。 【变式练习】：如图所示，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AC=BF 。 求证：AE=EF 。 E D C B A

全等三角形几种常见辅助线精典题型

全等三角形几种常见辅助线精典题型 一、截长补短 1、已知ABC ?中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明． 2、如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=?，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系? 3、如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，∠AMD =75°，∠BMC =45°，求AB 的长。 4、已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE . N E B M A D D O E C B A M D C B A

5、以ABC ?的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ?、ACE ?，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠． 6、如图所示，ABC ?是边长为1的正三角形，BDC ?是顶角为120?的等腰三角形，以D 为顶点作一个60?的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ?的周长． 7、如图所示，在ABC ?中，AB AC =，D 是底边BC 上的一点，E 是线段AD 上的一点，且2BED CED BAC ∠=∠=∠，求证2BD CD =. F E D C B A F A B C D E O O E D C B A N M D C B A E D B A

8、 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDE 二、全等与角度 1、如图，在ABC ?中，60BAC ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数. 2、如图所示，在ABC ?中，AC BC =，20C ∠=?，又M 在AC 上，N 在 BC 上，且满足50BAN ∠=?，60ABM ∠=?，求NMB ∠. 3、 在正ABC ?内取一点D ，使DA DB =，在ABC ?外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且 BE BA =，求BED ∠. C E D B A D C B A N M C B A

全等三角形几何证明-常用辅助线

几何证明-常用辅助线 (一)中线倍长法: 例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半 1 已知：如图，△ ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，求证：AD < - (AB+AC) 2 1 分析：要证明AD < - (AB+AC),就是证明AB+AO2AD 也就是证明两条线段之和大于第三 2 条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构 成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论AB+AC>2A 中, 出现了 2AD 即中线AD 应该加倍。 证明：延长 AD 至E,使DE=AD 连CE 则AE=2AD 在厶 ADBm EDC 中, AD= DE ZADB= ZEDC BD= DC ???△ ADB^A EDC(SAS) ??? AB=CE 又在厶ACE 中, AC+C 呂 AE 1 ??? AC+AB>2AD 即 AD < - (AB+AC) 2 小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即 中线倍长法。它可以 将分居中线两旁的两条边 AB AC 和两个角/ BAD 和/CAD 集中于同一个三角形中，以利于 问题的获解。 课题练习：ABC 中，AD 是 BAC 的平分线，且BD=CD 求证AB=AC N, 作BE! AD 的延长线于E 连接BE E 例3：A ABC 中, AB=5 AC=3求中线AD 的取值范围 例4:已知在△ ABC 中, AB=AC D 在AB 上, E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于 F , 且 DF=EF 求证：BD=CE 课堂练习：已知在△ ABC 中，AD 是BC 边上的中线， AC 于 F ,求证：AF=EF 例5:已知：如图，在 ABC 中，AB AC , D E 上,且 DE=EC 过 D 作 DF //BA 交 AE 于点 F , DF=AC. 例2:中线一倍辅助线作法 作 CF 丄 AD 于 F ， A ^式 1：延长 AD 到 E ， / 使 DE=AD B ————(连接BE 方式2:间接倍长 延长MD 到 使 DN=M P 连接CD A C △ ABC 中 AD 是BC 边中线 D

全等三角形_辅助线做法讲义

全等三角形问题中常见的辅助线的作法 巧添辅助线一——倍长中线 【夯实基础】 例：ABC ?中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD=CD ，求证AB=AC 方法1：作D E ⊥AB 于E ，作D F ⊥AC 于F ，证明二次全等 方法2：辅助线同上，利用面积 方法3：倍长中线AD 【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 △ABC 中 方式1： 延长AD 到E ， AD 是BC 边中线 使DE=AD ， 连接BE 方式2：间接倍长 作CF ⊥AD 于F ， 延长MD 到N ， 作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ， 连接BE 连接CD 【经典例题】 例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围 例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于 F ，求证：AF=EF 提示：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形 C D A B D A B C E D A B C F E D C B A N D C B A M F E D A B C F E C A B D

例4：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ 提示： 方法1：倍长AE 至G ，连结DG 方法2：倍长FE 至H ，连结CH 例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线， 求证：∠C=∠BAE 提示：倍长AE 至F ，连结DF 证明ΔABE ≌ΔFDE （SAS ） 进而证明ΔADF ≌ΔADC （SAS ） 【融会贯通】 1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论 提示：延长AE 、DF 交于G 证明AB=GC 、AF=GF 所以AB=AF+FC 2、如图，AD 为ABC ?的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+ 3、已知：如图，?ABC 中，∠C=90?，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE. 提示：过T 作TN ⊥AB 于N 证明ΔBTN ≌ΔECD 第 1 题图 A B F D E C E D A B C F E A B C D 第 14 题图 D F C B E A D A B M T E