(3份试卷汇总)2019-2020学年山西省忻州市高一数学下学期期末达标检测试题

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1

．在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ABC ⊥平面,12,23,2

AA BC BAC π

==∠=，此三棱柱各个

顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ）. A ．

323

π

B ．16π

C ．

253

π

D ．

312

π

2．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -??=-??，则

ABC 的形状为（）

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰三角形或直角三角形

3．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 A ．

13

B ．

12

C ．

23

D ．

34

4．半圆的直径4AB =，O 为圆心，C 是半圆上不同于A B 、的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则

()PA PB PC +?的最小值是（ ）

A ．2

B ．0

C ．-2

D ．4

5．设α，β是两个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线，给出下列四个命题，正确的是（ ） A ．若//a α，//b α，则//a b

B ．若//a α，b β//，a b ⊥，则αβ⊥

C ．若a α⊥，b β⊥，//a b ，则//αβ

D ．若a α⊥，b β⊥，//a b ，则αβ⊥

6．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ?的最小值为 （ ）

A ．

21

16

B ．

32

C ．

2516

D ．3

7．若变量x ，y 满足条件002x y x y ≥??

≥??+≤?

，则2z x y =-的最大值是（）

A ．-4

B ．-2

C ．0

D ．2

8．在等比数列{}n a 中，已知259,243a a ==，那么{}n a 的前4项和为（ ）. A ．81

B ．120

C ．121

D ．192

9．已知(1,)P t -在角α终边上，若25

sin 5

α=，则t =（ ） A ．

12

B ．-2

C ．2

D ．2±

10．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( ) A ．

215

π

B ．

320

π C ．2115

π-

D ．3120

π-

11．已知圆C 的圆心与点(1,0)关于直线y x =对称，直线4320x y --=与圆C 相交于A ，B 两点，且

6AB =，则圆C 的半径长为( )

A ．10

B ．22

C ．3

D ．13

12．在直角梯形ABCD 中，//,90AB CD D ?∠=，2,AB CD M =为BC 的中点，若

(,)AM AD AB λμλμ=+∈R ，则λμ+=

A ．1

B ．

54

C ．

34

D ．

23

二、填空题：本题共4小题 13．函数()1f 2

x x =

-的反函数为1

()f x -=____________． 14．若函数()3cos f x x x =-，[0,]x m ∈3m 的值是________. 15．已知扇形AOB 的面积为

43

π

，圆心角AOB 为120，则该扇形半径为__________． 16．点(3,4)A -与点(1,8)B -关于直线l 对称，则直线l 的方程为______． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少

1

5

，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建

设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加

14

. (1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元，写出,n n a b 的表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ 18

．已知函数()cos 2cos 1f x x x x =++，x ∈R .

（1）把()f x 表示为sin()(0,0,0)A x B A ω?ω?π++>><<的形式，并写出函数()f x 的最小正周期、值域；

（2）求函数()f x 的单调递增区间：

（3）定义：对于任意实数1x 、2x ，{}11212221,,

max ,,.

x x x x x x x x ≥?=?

>?若若

设()sin ,cos }g x x a x =，x ∈R （常数0a >），若对于任意1x R ∈，总存在2x R ∈，使得

()()12g x f x =恒成立，求实数a 的取值范围.

19．（6分）已知圆M ：221x y +=．

（Ⅰ）求过点(1,2)--的圆M 的切线方程；

（Ⅱ）设圆M 与x 轴相交于A ，B 两点，点P 为圆M 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 分别与直线3x =交于C ，D 两点．

（ⅰ）当点P 的坐标为(0,1)时，求以CD 为直径的圆的圆心坐标及半径2C ；

（ⅱ）当点P 在圆M 上运动时，以CD 为直径的圆2C 被x 轴截得的弦长是否为定值？请说明理由． 20．（6分）已知1a ≥，函数()πsin 4f x x ?

?

=+

??

?

，(

)()sin cos 1g x x x x =--. （1）若()f x 在[],b b -上单调递增，求正数b 的最大值； （2）若函数()g x 在3π0,

4??

????

内恰有一个零点，求a 的取值范围. 21．（6分）已知函数()23

log 2

x f x x -=+. （1）求函数()f x 的定义域；

（2）当x 为何值时，等式()()2log 41f x x +-=成立？

22．（8分）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，

1AB =，点E 为棱PC 的中点.

(1)求证：BE DC ⊥；

(2)求直线PC 与平面PDB 所成角的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．A 【解析】

试题分析：直三棱柱111ABC A B C -的各项点都在同一个球面上，如图所示，所以ABC ?中，2

BAC π

∠=

，

所以下底面ABC ?的外心P 为BC 的中点，同理，可得上底面111A B C ?的外心Q 为11B C 的中点，连接PQ ，则PQ 与侧棱平行，所以PQ ⊥平面ABC ，再取PQ 的中点O ，可得点O 到111,,,,,A B C A B C 的距离相等，

所以O 点是三棱柱111ABC A B C -的为接球的球心，因为直角POB ?中，

111

3,122

BP BC PQ AA =

===，所以222BO BP OP =+=，即外接球的半径2R =，因此三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为334432

2333

V R πππ==?=，故选A.

考点：组合体的结构特征；球的体积公式.

【方法点晴】本题主要考查了球的组合体的结构特征、球的体积的计算，其中解答中涉及到三棱柱的线面位置关系、直三棱柱的结构特征、球的性质和球的体积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和学生的空间想象能力，试题有一定的难度，属于中档试题.

2．D 【解析】 【分析】

由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -??=-??，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案． 【详解】

由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -??=-??， 结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -??=-??， 所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=， 所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=， 所以三角形是等腰或直角三角形． 故选D ． 【点睛】

本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题． 3．B 【解析】

试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为201

402

=，选B. 【考点】几何概型

【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等. 4．C 【解析】 【分析】

将PA PB +转化为2PO ，利用向量数量积运算化简，然后利用基本不等式求得表达式的最小值. 【详解】

画出图像如下图所示，()

22PA PB PC PO PC PO PC +?=?=-?2

222PO PC ??

+

?≥-=- ???

,等号在PO PC =，即P 为OC 的中点时成立.故选C.

【点睛】

本小题主要考查平面向量加法运算，考查平面向量的数量积运算，考查利用基本不等式求最值，属于中档题. 5．C 【解析】 【分析】

利用线面、面面之间的位置关系逐一判断即可. 【详解】

对于A ，若//a α，//b α，则,a b 平行、相交、异面均有可能，故A 不正确； 对于B ，若//a α，b β//，a b ⊥，则,αβ垂直、平行均有可能，故B 不正确； 对于C ，若a α⊥，b β⊥，//a b ，根据线面垂直的定义可知

α内的两条相交线线与β内的两条相交线平行，故//αβ，故C 正确；

对于D ，由C 可知，D 不正确； 故选：C 【点睛】

本题考查了由线面平行、线面垂直判断线面、线线、面面之间的位置关系，属于基础题. 6．A 【解析】 【分析】 【详解】

分析：由题意可得ABD △为等腰三角形，BCD 为等边三角形，把数量积AE BE ?分拆，设

(01)DE tDC t =≤≤，数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。

详解：连接BD,取AD 中点为O,可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD 为等边三角形，3BD =(01)DE tDC t =≤≤

AE BE ?2

23

()()()2

AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE =+?+=?+?++=

+?+ =2

33

322

t t -

+(01)t ≤≤ 所以当1

4t =时，上式取最小值

2116

，选A.

点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，

再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。 7．D 【解析】 【分析】

由约束条件画出可行域，将问题转化为122z y x =

-在y 轴截距最小，通过平移1

2y x =可知当122

z y x =-

过()2,0A 时，z 取最大值，代入可得结果. 【详解】

由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：

当2z x y =-取最大值时，122z

y x =-在y 轴截距最小 平移直线1

2y x =可知，当1

22

z y x =-过A 时，在y 轴截距最小

又()2,0A max 2z ∴= 本题正确选项：D 【点睛】

本题考查线性规划中的最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距的最值的求解问题，通过直线平移来进行求解，属于常考题型. 8．B 【解析】 【分析】 根据

35

2

a q a =求出公比，利用等比数列的前n 项和公式即可求出. 【详解】

35

227a q a ==, ∴ 3q =

∴

4414(1)3(13)

120113

a q S q --===--.故选：B

【点睛】

本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和，属于中档题. 9．C 【解析】 【分析】

由正弦函数的定义求解． 【详解】

2

25

sin 5

1t α=

=

+，显然0t >，∴2t =． 故选C ． 【点睛】

本题考查正弦函数的定义，属于基础题．解题时注意t 的符号． 10．C 【解析】 【分析】

本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案. 【详解】

2251213+=， 设内切圆的半径为r ，则51213r r -+-=，解得2r .

所以内切圆的面积为24r ππ=， 所以豆子落在内切圆外部的概率42P 111

155122

ππ

=-

=-

??，故选C ．

【点睛】

本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积

型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（

1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误． 11．A 【解析】 【分析】

根据题干画出简图，在直角ACD ?中，通过弦心距和半径关系通过勾股定理求解即可。 【详解】

圆C 的圆心与点()1,0关于直线y x =对称， 所以，()0,1C ，设圆C 的半径为R ， 如下图，圆心C 到直线的距离为：2

2

032CD 134

--=

=+，

1

AD AB 32

=

=，22 3110R =+=

【点睛】

直线和圆相交问题一般两种方法：第一，通过弦心距d 和半径r 的关系，通过勾股定理求解即可。第二，直线方程和圆的方程联立，则0?>。两种思路，此题属于中档题型。 12．B 【解析】 【分析】

连接AC ，因为M 为BC 中点，得到11

()22

=+=+AM AC AB AD AB ，可求出,λμ，从而可得出结果. 【详解】

连接AC ，因为M 为BC 中点，

11

(),22

AM AC AB AC AD DC AD AB ∴=+=+=+,

111

135,222

244AM AD AB AB AD AB λμ??∴=++=+∴+= ???.

故选B

【点睛】

本题主要考查平面向量基本定理的应用，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型. 二、填空题：本题共4小题 13．

12x

+ 【解析】 【分析】

由原函数的解析式解出自变量x 的解析式，再把x 和y 交换位置，即可得到结果. 【详解】 解：记1y 2

x =- ∴1x 2y

=

+ 故反函数为：1

()f x -=

12x

+ 【点睛】

本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域． 14．

2

π 【解析】 【分析】

利用两角差的正弦公式化简函数的解析式为()2sin 6f x x π??

=- ??

?，由x 的范围可得6

x π

-的范围，根据()f x 最大值可得m 的值.

【详解】

∵函数()3cos f x x x =-＝2（31

sin cos 22

x x -）＝2sin 6x π??- ???，

∵[0,]x m ∈，∴6

x π

-

∈[6

π-

，6m π

-]，又∵()f x 3