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最新高三数学专题复习资料圆的方程(1)

第三节圆的方程

1．若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．－3

2．(A.嘉兴模拟)方程|x |－1＝1y －1

所表示的曲线是( )

A ．一个圆

B ．两个圆

C ．半个圆

D ．两个半圆

3．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )

A ．π

B ．4π

C ．8π

D ．9π

4．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝1

5．实数x ，y 满足x 2＋(y ＋4)2＝4，则(x －1)2＋(y －1)2的最大值为( ) A ．30＋226 B ．30＋426 C ．30＋213 D ．30＋413

6．(A.杭州模拟)已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，

b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )

A.? ????－∞，14

B.? ?

???0，14

C.? ????－14，0

D.????

－14，＋∞ 7．(A.湖州调研)已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．

8．(A.丽水模拟)直线y ＝x ＋1被圆x 2－2x ＋y 2－3＝0所截得的弦长为

________．

9．定义：若平面点集A 中的任一个点(x 0，y 0)，总存在正实数r ，使得集合

{

}x ，y |x －x 0

y －y 0

合：

①{}x ，y |x 2＋y 2＝1； ②{}x ，y |x ＋y ＋2>0； ③{}x ，y ||x ＋y |≤6；

④{

}x ，y |0

<1.

其中是开集的是________(写出所有符合条件的序号)．

10．圆C 通过不同的三点P (k,0)，Q (2,0)，R (0,1)，已知圆C 在点P 处的切线斜率为1，求圆C 的方程．

11．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.

(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．

12．(A.金华模拟)在以O 为原点的直角坐标系中，点A (4，－3)为△OAB 的直角顶点，已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于0.

(1)求AB ―→的坐标；

(2)求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程． [冲击名校]

已知实数x 、y 满足方程x 2

＋y 2

－4x ＋1＝0，求：

(1)y

x 的最大值和最小值；

(2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值． [高频滚动]

1．(A.宁波模拟)已知直线l 的倾斜角为

3π

，直线l 1经过点A (3,2)、B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )

A ．－4

B ．－2

C ．0

D ．2

2．(A.舟山模拟)若m >0，n >0，点(－m ，n )关于直线x ＋y －1＝0的对称点在直线x －y ＋2＝0上，那么1m ＋4

的最小值等于________．

答案 [全盘巩固] 1．

解析：选B 因为圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心为(－1,2)，所以3×(－1)＋2＋a ＝0，解得a ＝1.

2．

解析：选D 由题意得??

|x |－1

y －1

＝1，

|x |－1≥0.

即??? x －12

y －1

＝1，

x ≥1

或??

x ＋12

y －1

＝1，

x ≤－1.

故原方程表示两个半圆． 3．

解析：选B 设P (x ，y )，由题意知有， (x ＋2)2

＋y 2

＝4[(x －1)2

＋y 2

]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4. 可知圆的面积为4π. 4．

解析：选A 设圆心坐标为(0，b )．

则圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1.

又因为该圆过点(1,2)，所以圆的方程为12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2. 即圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1. 5．

解析：选B (x －1)2＋(y －1)2表示圆x 2＋(y ＋4)2＝4上动点(x ，y )到点(1,1)距离d 的平方，因为26－2≤d ≤26＋2，所以最大值为(26＋2)2＝30＋426.

6．

解析：选A 将圆的方程配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，若圆关于已知直线对称，即圆心在直线上，代入整理得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－?

???a －122＋14≤14.

7．解析：由题意得C 上各点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线

l 的距离减去半径，即

|1－1＋4|

－2＝ 2. 答案： 2

8．解析：题中的圆心坐标是(1,0)，半径是2 ，圆心(1,0)到直线x －y ＋1＝0的距离等于2，因此所求的弦长等于222

＝2 2.

答案：2 2 9．解析：集合{

}x ，y |x －x 0

y －y 0

以r 为半径的圆面(不包括圆周)，

由开集的定义知，集合A 应该无边界，故由①②③④表示的图形知，只有②④符合题意．

答案：②④

10．解：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则k 、2为x 2＋Dx ＋F ＝0的两根，

∴k ＋2＝－D,2k ＝F ，即D ＝－(k ＋2)，F ＝2k ，又圆过R (0,1)，故1＋E ＋F ＝0. ∴E ＝－2k －1.

故所求圆的方程为x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0，圆心坐标为?

????

k ＋22，2k ＋12. ∵圆C 在点P 处的切线斜率为1， ∴k CP ＝－1＝

2k ＋1

2－k

，∴k ＝－3. ∴D ＝1，E ＝5，F ＝－6.

∴所求圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0. 11．

解：(1)∵直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.

(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410， ∴|PA |＝210. ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.② 由①②解得??

a ＝－3，

b ＝6

或??

a ＝5，

b ＝－2.

∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．

∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40. 12．

解：(1)设AB ―→＝(x ，y )，

由|AB |＝2|OA |，AB ―→·OA ―→＝0，得??

x 2

＋y 2

＝100，4x －3y ＝0，

解得??

x ＝6，y ＝8

或??

x ＝－6，y ＝－8.

若AB ―→＝(－6，－8)，则y B ＝－11与y B >0矛盾．所以??

x ＝－6，y ＝－8

舍去．即AB ―→＝(6,8)．

(2)圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0，即(x －3)2＋(y ＋1)2＝(10)2，

其圆心为C (3，－1)，半径r ＝10，

因为OB ―→＝OA ―→＋AB ―→＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)，

所以直线OB 的方程为y ＝12x ，设圆心C (3，－1)关于直线y ＝12x 的对称点的

坐标为(a ，b )．

则???

b ＋1

a －3＝－2，

b －12＝12·a ＋32，

解得??

a ＝1，

b ＝3，

所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10. [冲击名校]

解：(1)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，

y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y

＝k ，即y ＝kx . 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|

k 2

＋1

＝3，解得k ＝± 3.

所以y x

的最大值为3，最小值为－ 3.

(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时

|2－0＋b |

＝3，解得b ＝－2± 6. 所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.

(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．

又圆心到原点的距离为

2－0

0－0

＝2，

所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，

x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. [高频滚动]

1．

解析：选B 由题意知l的斜率为－1，则l1的斜率为1，k AB＝21

3－a

＝

1，a＝0.由l1∥l2，得－2

＝1，b＝－2，所以a＋b＝－2.

2．解析：由题意知(－m，n)关于直线x＋y－1＝0的对称点为(1－n,1＋m)．又(1－n,1＋m)在直线x－y＋2＝0上，

所以1－n－(1＋m)＋2＝0，即m＋n＝2.

于是1

＋

＝

(m＋n)

＋

＝1

5＋

＋

≥1

×(5＋2×2)＝

，

当且仅当n

＝

，即n＝

，m＝

时，等号成立．

答案：9 2

高考数学复习圆的方程专题练习(附答案)

高考数学复习圆的方程专题练习（附答案）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。一、填空题 1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0 和x轴都相切，则该圆的标准方程是________. [解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1. 又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，解得a=2或a=-(舍). 所以该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1. [答案] (x-2)2+(y-1)2=1 2.(2019南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________. [解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解得a=0，所以圆心坐标为(0,1). [答案] (0,1) 3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________. [解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x

联立可求得圆心为(1，-4). 半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. [答案] (x-1)2+(y+4)2=8 4.(2019江苏常州模拟)已知实数x，y满足 x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y|的最小值为________. [解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令 x=2+cos ， y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin | =|7-sin (-7-(tan =2). [答案] 7- 5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________. [解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，所以a+b=2.所以+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b=时取等号. [答案] 9 6.(2019南京市、盐城市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2+(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________. [解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，所以kOP==1，kAB=-1，而直线AB过P点，所以直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即

全国高考数学直线与圆的方程试题汇编

全国高考数学直线与圆的方程试题汇编一、选择题： 1．（全国Ⅱ卷文科3）原点到直线052=-+y x 的距离为（ D ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．5 2．（福建文科2）“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的（ C ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．（四川理科4文科6）将直线3y x =绕原点逆时针旋转90?，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ A ） A ．1133 y x =- + B ．1 13 y x =- + C ．33y x =- D ．1 13 y x = + 解析：本题有新意，审题是关键．旋转90?则与原直线垂直，故旋转后斜率为13 -．再右移1得 1 (1)3 y x =--．选A ．本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换． 4．（全国I 卷理科10）若直线 1x y a b +=通过点(cos sin )M αα，，则（ B ） A ．2 2 1a b +≤ B ．22 1a b +≥ C ．22111a b +≤ D ． 2 211 1a b +≥ 5．（重庆理科7）若过两点P 1(-1,2),P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP 所成的比λ的值为（ A ） A ．－ 13 B ．－ 15 C ． 15 D ． 13 （重庆文科4）若点P 分有向线段AB 所成的比为－ 1 3，则点B 分有向线段PA 所成的比是（ A ） A ．－ 32 B ．－ 12 C ．12 D ．3 6．（安徽理科8文科10）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线2 2 (2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范畴为（ C ） A ．[ B ．( C ．[ D ．( 7．（辽宁文、理科3）圆2 2 1x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是（ C ）

高中数学圆的方程专题复习

高二数学辅导资料(三) 内容：圆与方程本章考试要求考试内容要求层次A B C 圆与方程圆的标准方程与一般方程√ 直线与圆的位置关系 √ 两圆的位置关系√ 用直线和圆的方程解决简单的问题 √空间直角坐标系空间直角坐标系√ 空间两点间的距离公式√ 一、圆的方程【知识要点】圆心为，半径为的圆的标准方程为：时，圆心在原点的圆的方程为：. 圆的一般方程，圆心为点，半径，其中. 圆系方程：过圆：与圆：交点的圆系方程是（不含圆）, 当时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程. 【互动探究】考点一求圆的方程问题1．求满足下列各条件圆的方程：以两点，为直径端点的圆的方程是求经过，两点，圆心在直线上的圆的方程；

过点的圆与直线相切于点，则圆的方程是? 考点二圆的标准方程与一般方程问题2．方程表示圆，则的取值范围是考点三轨迹问题问题3.点与圆上任一点连线的中点轨迹方程是问题4．设两点，，动点到点的距离与到点的距离的比为，求点的轨迹. 二、直线和圆、圆与圆的位置关系【知识要点】直线与圆的位置关系位置关系相切相交相离几何特征代数特征将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为，圆的半径为，圆心到直线的距离为,则直线与圆的位置关系满足以下关系：直线截圆所得弦长的计算方法：利用垂径定理和勾股定理：（其中为圆的半径，直线到圆心的距离）. 圆与圆的位置关系：①设两圆的半径分别为和，圆心距为，则两圆的位置关系满足关系：位置关系外离外切相交内切内含几何特征代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解 ②设两圆，，若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是相切问题的解法：

高中数学圆的方程典型例题及详细解答

新课标高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？

2020届高三数学一轮复习圆的方程巩固与练习

巩固 1．圆(x ＋2)2 ＋y 2 ＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2 ＝5 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5 D ．x 2＋(y ＋2)2 ＝5 答案：A 2．已知⊙C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则F ＝E ＝0且D ＜0是⊙C 与y 轴相切于原点的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由题意可知，要求圆心坐标为(－D 2 ，0)，而D 可以大于0，故选A. 3.已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( ) A ．π B ．4π C ．8π D ．9π 解析：选B.设P (x ，y )，由题知有：(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2 ＝0，配方得(x －2)2＋y 2 ＝4.可知圆的面积为4π，故选B. 4．(2020年高考广东卷)以点(2，－1)为圆心且与直线x ＋y ＝6相切的圆的方程是________．解析：将直线x ＋y ＝6化为x ＋y －6＝0，圆的半径r ＝|2－1－6|1＋1＝5 2 ，所以圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2 ＝252 . 答案：(x －2)2＋(y ＋1)2 ＝252 5．(原创题)已知圆x 2＋y 2 ＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________．解析：圆的方程变为(x ＋1)2＋(y －2)2 ＝5－a ， ∴其圆心为(－1,2)，且5－a ＞0，即a ＜5. 又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称， ∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4＜1. 答案：(－∞，1) 6．已知圆x 2＋y 2 ＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解：(1)设AP 中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． ∵P 点在圆x 2＋y 2＝4上， ∴(2x －2)2＋(2y )2 ＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2 ＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt△PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2 ，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2 ＝4. 故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2 －x －y －1＝0. 练习 1．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2 ＝4

高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)圆的方程

第三节圆的方程 [备考方向要明了] [归纳·知识整合] 1．圆的定义 (1)在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆． (2)确定一个圆的要素是圆心和半径． 2．圆的方程 (1)标准方程 ①两个条件：圆心(a ，b )，半径r ； ②标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. (2)圆的一般方程 ①一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0； ②方程表示圆的充要条件为：D 2＋E 2－4F >0； ③圆心坐标????－D 2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2. [探究] 1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0一定表示圆吗？提示：不一定．只有当D 2＋E 2－4F >0时，上述方程才表示圆． 2．如何实现圆的一般方程与标准方程的互化？提示：一般方程与标准方程互化，可用下图表示：圆的标准方程展开配方圆的一般方程

3．点与圆的位置关系 (1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三个结论圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) ①(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2?点在圆上； ②(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2?点在圆外； ③(x 0－a )2＋(y 0－b )21 D ．k <－1或k >4 解析：选D 由(2k )2＋42－4(3k ＋8)＝4(k 2－3k －4)>0，解得k <－1或k >4. 3．若点(2a ，a ＋1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－1