计算方法教程(第2版)习题答案
《计算方法教程(第二版)》习题答案
第一章 习题答案
1、浮点数系),,,(U L t F β共有 1)1()1(21++---L U t ββ 个数。 3、a.4097
b.62211101110.0,211101000.0??
c.6211111101.0?
4、设实数R x ∈,则按β进制可表达为:
,1,,,3,2,01
1)1
1221(+=<≤<≤?++++++
±=t t j j
d d l t t d t t d d
d x ββ
βββββ按四舍五入得原则,当它进入浮点数系),,,(U L t F β时,若β2
1
1<
+t d ,则 l t
t d d
d x fl ββββ?++±=)221()(
若 β211
≥+t d ,则 l t
t d d d x fl ββββ?+++
±=)1221()(
对第一种情况:t l l
t l t t d x fl x -++=?≤
?+=-βββββ21)2
1(1)(
)(1
1
对第二种情况:t l l
t l t t d x fl x -++=?≤?--=
-ββββββ21)2
1(1)(11
就就是说总有: t
l x fl x -≤
-β2
1)( 另一方面,浮点数要求 β<≤11d , 故有l x ββ
1
≥
,将此两者相除,便得
t x x fl x -≤-12
1
)(β 5、a. 5960.1 b. 5962.1 后一种准确
6、最后一个计算式:00025509.0
原因:避免相近数相减,避免大数相乘,减少运算次数
7、a.]!
3)2(!2)2(2[2132 +++
=x x x y
b.)
21)(1(22
x x x y ++=
c.)
11(2
2
2
-++=
x x x y
d. +-+-=!
2)2(!6)2(!4)2(!2)2(2
642x x x x y e.2
2
2
q
p p q y ++
=
8、01786.098.5521==x x
9、 m )10(m f - 1 233406.0- 3 20757.0- 5 8.0
7 710
计算宜采用:])!
421
51()!32141()!22131[()(2432 +?-+?-+?--=x x x f
第二章 习题答案
1、a.T
x )2,1,3(= b.T
x )1,2,1,2(--= c.无法解 2、a.与 b.同上, c.T T x )2188.1,3125.0,2188.1,5312.0()39,10,39,17(32
1
---≈---=
7、a.?????? ??--?????? ??=?????? ?
?--?????? ??
=????? ??---1411
21114731232472121221232
1123
1321213122 b. ????
??
?
??--??????? ??-=???????
??----33321121211021122121323153222352
2121
??????
?
??--??????? ??-=11121121213021322121 9、T x )3415.46,3659.85,1220.95,1220.95,3659.85,3415.46(1=
T x )8293.26,3171.7,4390.2,4390.2,3171.7,8293.26(2= 10、T LDL 分解:
)015.0,579.3,9.1,10(diag D =
????
??
?
?
?=16030
.07895.05.018947.07.019
.01L Cholesky 分解
????
??
?
?
?=1225.01408
.10833.15811.18918.12333.12136.23784
.18460
.21623
.3G 解:)1,1,2,2(--=x 12、16,
12,161
2
1
11===∞
A A A
6
11,
4083.1,
6
112
2
2
1
2
===∞
A A A
2)(9
40)()(12111===∞A Cond A Cond A Cond 524)(748)()(22221===∞A Cond A Cond A Cond
????
?
??=????? ??=--180.0000 180.0000- 30.0000 180.0000- 192.0000 36.0000- 30.0000 36.0000- 9.0000 ,0.0139 0.1111- 0.0694- 0.1111- 0.0556 0.1111- 0.0694- 0.1111- 0.0139 1211A A
1151.372,
1666.02
1
2
2
1
1==--A A
15、 1A :对应 Seidel Gauss - 迭代收敛,Jacobi 迭代不收敛; 2A :对应 Seidel Gauss - 迭代收敛,Jacobi 迭代不收敛; 3A :对应 Seidel Gauss - 迭代收敛,Jacobi 迭代收敛;
第三章 习题答案
1、Lagrange 插值多项式:
)
80.466.5)(20.366.5)(70.266.5)(00.166.5()
80.4)(20.3)(70.2)(00.1(7.51)
66.580.4)(20.380.4)(70.280.4)(00.180.4()
66.5)(20.3)(70.2)(00.1(3.38)
66.520.3)(80.420.3)(70.220.3)(00.120.3()
66.5)(80.4)(70.2)(00.1(0.22)
66.570.2)(80.470.2)(20.370.2)(00.170.2()
66.5)(80.4)(20.3)(00.1(8.17)
66.500.1)(80.400.1)(20.300.1)(70.200.1()
66.5)(80.4)(20.3)(70.2(2.14)(4--------?
+--------?
+--------?+--------?
+--------?
=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x L
Newton 插值多项式:
)
80.4)(20.3)(70.2)(00.1(21444779.0)20.3)(70.2)(00.1(527480131.0)70.2)(00.1(855614973.2)
00.1(117647059.22.14)(4----+------+-+=x x x x x x x x x x x N
2、设)(x y y =,其反函数就是以y 为自变量得函数)(y x x =,对)(y x 作插值多项式:
)1744.0)(1081.0)(4016.0)(7001.0(01253.0)
1081.0)(4016.0)(7001.0(01531.0)
4016.0)(7001.0(009640.0)
7001.0(3350.01000.0)(----+---+--+--=y y y y y y y y y y y N
3376.0)0(=N 就是0)(=x y 在]4.0,3.0[中得近似根。 3、54325423442821)(x x x x x x p +-+-+= 4、最小二乘一次式:x y 2593.39655.4+=
T y Ga )11080.0,06247.0,10654.0,04271.0,10092.0(--=- 误差:19884.02
=-y
Ga
5、026117757.1,135938875.1==βα
7、2
)1(112)1(21)1(+-+-=+--++=+n n n n n p n
n n 9、两边分别就是)(x f 得Newton 插值多项式与Lagrange 插值多项式得n x 得系
数。
第四章 习题答案
2、a 、k=1; b 、k=3
4、a 、 0、69314718, b 0.22454674 c 、 3、4543210 d -0、66911467 e 、 1.8428028 f 、 0、52693624
5、 步长: )750(104.02
=?=-n h
计算公式:4749
11021
,]411121[42ln -=?-≤+++≈∑
E ih
h i 6、a 、 )(720
7)]21(2)0()21(2[32)()
4(1
1
ηf f f f dx x f ++--=?- b 、
)(90
)]2()(4)0([3)()
4(520
ηf h h f h f f h dx x f h
-++=?
c 、 )(720
)]()0([12)]()0([2)()
4(520
ηf h h f f h h f f h dx x f h
+'-'++=?
d 、 )(45
14)](2)()(2[34)()
4(522ηf h h f h f h f h dx x f h
h ++--=
?- e 、
)(135
1)]31(
)31([)()
4(1
1
ηf f f dx x f +
+-
=?
- 7、
)5
6
7273()65311()567273()65311()
(1
+-+-+
≈?
f f dx x
x f 8、 251254705.0)0.1(-≈f , 188607265.0)2.1(-≈f
误差 210125.0-?≈e 10、[])2()(2)(1
)(00020h x f h x f x f h
x f +++-≈''
[])()()2()(2)(1
)(2000020h O x f h h x f h x f x f h x f e +'''-=+++--''=
11、
–0、999999998
第五章 习题答案
2、(准确解) 465571232.1
3、a 、0.567143290
4、请将方程改为:024223=+--x x x ;实根:2,7071.0 ± 6、 301709563.0=?x ,迭代例如:)5.1exp()(-==x x x ?
8、a 、???
?
??=?563624162.0826031358.0x
b 、初值???
? ??=????
??=?524964885.1373476336.1,
5.14.1)0(x x
初值???
? ??=???? ??=?
779849593.2756834008.3,7.27.3)
0(x x
第六章 习题答案
1、 解析解:
a 、 2
22t y -= , b 、 t y 21+= , c 、 2
3
32??
? ??=t y 3、解析解: a.
()2
12t y +=
, b 、()
3
2t
t
e e
y --= c 、 2
11t e
y +=
5、a 、 )(3
2),(,2343
111i i i i i i y h h t E hf y y y ξ'''=
--=--+ b 、 )(125
),(,)3(2311i i i i i i y h h t E f f h y y ξ'''=--=-+
c 、 )(4514
),(,)22(3431231i i i i i i i y h h t E f f f h y y ξ'''=+-+=---+
7、a 、 )22(341231i i i i i f f f h
y p +-+=---+
)(2928
11i i i i p c p m -+=++
)],(4[311111++--++++=i i i i i i m t f f f h
y c
)(291
1111++++--=i i i i p c c y
b 、 )5559379(241231i i i i i i f f f f h
y p +-+-+=---+
)(270251
11i i i i p c p m -+=++ )],(9195[2411121++--+++-+=i i i i i i i m t f f f f h
y c
)(270
19
1111++++--=i i i i p c c y 8、 Runge-Kutta:
0761886.0)50.0(0407668.0)25.0(21=≈=≈y y y y 110068.0)00.1(101006
.0)75.0(23=≈=≈y y y y
10、a 、 (步长:0、1 )
b 、 解析解:
??
????---=--t e e e e y t
t )(161 第七章 习题答案
1、a.0000.2=?x b 、 860333589.0=?x
2、T x )0,0(=?
3、T x )978318.0,383551.1(=?
4、T x )18
5,187
(-=? 5、T x )923879533.0,382683432.0(±±=? 6、T x )0,3(=?
习题答案——证明题 第2章 线性方程组求解
p 、 79——第14题
证明:a 、 由于 就是范数,它必满足范数得三条件;由于Mx x =M
,所以
⑴ 非负性:,0≥=Mx x
M
且 0==Mx x
M
当且仅当 0Mx =,又由M
得非奇性,当且仅当0x =时才有0Mx =,因此:0=M
x 当且仅当0x =;
⑵ 正齐性:M
M
x Mx Mx x M x
ααααα====)()(
⑶ 三角不等式:
M
M
M
y
x
My Mx My Mx y x M y
x +=+≤+=+=+)(
因此,按此定义得范数M
x 就是范数;
b 、 仿前,容易证明1-=MAM A M 定义了一种矩阵范数。关于相容性: M
M M
x
A Mx MAM Mx MAM MAx Ax
11=≤==--
第3章 数据近似
p 、129——第6题:
a 、 取,1)(=x f 则对插值节点n i x i ,,2,1,0)1,( =,其Lagrange 插值多项式为
∑==n
i i x l x L 0)()(,又由函数、插值多项式与余项得关系,及余项公式,有
1)(0)()!1()
()(1)()(0
)1(0
≡?
≡+=-=-∑∑=+=n
i i n n
i i x l x n f x l x L x f ωξ
此处,用到:0)(,1)()1(≡∴=+x f x f n
b 、 证明同上,只就是将k x x f =)(,由于n k ≤,所以仍有0)()1(≡+x f n ;
c 、 由二项式定理:
()0
)1()()1()()1()()(0
00000=-=-=??? ??-=???? ??-=-∑∑∑∑∑∑=-==-==-=k
k
j j k j j k j k j n i i j
k i j j k j n
i i
k j j k i j j k j n
i i k
i x x x x C x l x x C x l x x C x l x x
此处,用到了b 、已证明得结论:k j x x l x j k n
i i j k i ,,1,0,)(0
==-=-∑;
d 、 只需注意到由于)(x y 就是m 次多项式,又n m ≤,因此0)()1(≡+x y n ;因此,
由余项公式:()0)()!
1(1
)()()1(=+=
-+x y n x P x y n ωξ,此即所要得证明。 e 、(方法1):令)(x P 为被插函数,则∑)()(x l x P i i 为对应得插值多项式,因此
∑-)()()(x l x P x P i i 便就是该插值多项式得余项,由余项公式:
)()()!
1()
()()()()1(x x n P x l x P x P n i i ωωξ=+=
-+∑, 此处,用到)(x P 就是首项(即最高次项)系数为1 得1+n 次多项式,因此)()1(x P n +
)!1(+=n ;
(方法2):首先,记 ∑-=)()()()(x l x P x P x q i i ,由于)(x l i 为Lagrange 基本插值多项式,n k x q n k x P x l x P k k k i i ,,1,00)(,,1,0)()()( ==?==∴∑;
其次,)(x P 就是首项系数为 1 得1+n 次多项式,而∑)()(x l x P i i 就是(不超过)n
次多项式,因此)(x q 也就是首项(即最高次项)系数为1 得1+n 次多项式;
综上所述,)(x q 就是以),,1,0(n k x k =为零点(共1+n 个点),首项(即最高次项)系数为1 得1+n 次多项式,因此
)()())(()(10x x x x x x x x q n ω=---= 、
p 、129——第7题
1
)(+=
x x
x f ,以点{}n k k f k ,,2,1,0),(,( =为插值节点得插值多项式记为 )(x p n ,求)1(+n p n 。
解:由余项公式:)()2)(1(],,,2,1,0[)()()(n x x x x x n f x p x f x R n ---=-= ,
在上式中取1+=n x ,由于2
1
)1(++=+n n n f ,便有
)!1](1,,,2,1,0[21
)1(++-++=+n n n f n n n p n
差商表:
()
()
()
()())!
2()1()
2(1)1()1()
2(11
2)1(1
2
11
1)1)(2()1(1)1(1
)1(11)1)(2)(3()1()1)(2(1
)1(111
4
*3*2*1)1(4*3*214*314
33
3*2*113*213
222*11211002
2
2
2+-++--++-++++++---+--++-------------n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n
n
n n n n
n n n n n n n n
因此: 2
)1(11)1(+-+-=+n n p n
n
p 、129——第8题
由定义0
00)
()(],[x x x p x p x x p --=,若记)()()(0x p x p x q -=,则显然0)(0=x q ,
这说明)()()(0x r x x x q -=,此处)(x r 就是)1(-n 次多项式,与上式比较,可知
)(],[0x r x x p =,即],[0x x p 就是一个)1(-n 次多项式、
p 、129——第9题
由于节点),,1,0(n i x i =互异,其Lagrange 插值多项式为:
∑∑∑==='-='-==n
i i
i i n
i i i i n
i i i x x f x x x x f x x x x x f x l x L 000)()
()()()()()()()()()(ωωωω
注意到
)
()
(i x x x -ω就是一个最高次项系数为1得n 次多项式,因此Lagrange 插值
多项式)(x L 得n 次项(即最高次项)得系数为∑
='n
i i i x x f 0)
()
(ω; 另一方面以),,1,0(n i x i =为节点得Newton 插值多项式
)
())(](,,,[))(](,,[)](,[)(11010102100100----++--+-+=n n x x x x x x x x x y x x x x x x x y x x x x y y x N
因此,其n 次项(即最高次项)得系数为],,,[10n x x x y ,由插值多项式得唯一性,便有: ∑='=n
i i i n x x f x x x y 010)
()
(],,,[ω p 、129——第10题
以))(,()),(,(b f b a f a 为插值节点作插值多项式)(x L ,由于0)()(==b f a f ,易
知0)(=x L ;又由余项公式:))((2
)
()()()(b x a x f x R x L x f --''==-ξ,可知:
))((2)
()(b x a x f x f --''=ξ
注意到2)(41))((a b b x a x -≤--,因此:)(max )(81
)(max 2x f a b x f b x a b x a ''-≤≤≤≤≤;
p 、129——第11题
参见教材pp 、177-178 p 、130——第12题
a 、 由定义:i k i k i k i i i y y y y y y 1111,-+-+?-?=?-=?,因此由差商定义: i i
i i i i i i i i i i y h h
y x x y y x x x y x y x x y ?=?=--=--=
-+++++111111)()(],[
i i i i i i i i i i i i y h h y y h x x x x y x x y x x x y 2
211212121212)(],[],[],,[?=?-?=--=-+-++++++
一般地,若 i k
k k i i i y h k x x x y ?=
-++!
1],,,[1 , 则有 i k k i k k i k k i
k i k i i i k i k i i k i k i i i y h k y h k y h k h k x x x x x y x x x y x x x x y 1
)1(1111111)!
1(1!1!1)1(1]
,,,[],,,[],,,,[++--+-++++++++++++?+=???????-?+=
--=
由此得证。
b 、 由Newton 插值多项式
)
())(](,,,[))(](,,[)](,[)(11010102100100----++--+-+=n n x x x x x x x x x y x x x x x x x y x x x x y y x N
及th x x +=0,即 h n t x x h t x x th x x n )1(,,)1(,110+-=--=-=-- , 根据前得结论自然可得所求结论。 p 、130——第12题 只需证明:
1)在4,3=-=x x 处,0)4()3(=''=-''S S 这就是因为)(x S 就是自然样条, 0)3(,0)03(,0)618()03(3=-''?=--''=+=+-''-=S S x S x
0)4(,0)04(,0)30120()04(4=''?=+''=+-=-''=S S x S x 2)在3,0,1-=i x 等三点,有
),()0(),()0(),()0(i i i i i i x S x S x S x S x S x S ''=-'''=-'=-
例如:11192528)01(=-+-=--S
11131926)1(=++-=-S )1()01(-=--∴S S 1031825)31825()01(1
2=+-=++=--'-=x x x S
)01(103619)
3619()1(1
2--'==--=-+=-'-=S x x S x
12618)618()01(1=-=+=--''-=x x S )01(1266)66()1(1--''==+=-=-''-=S x S x 类似,证明其她两点、
第4章 数值微积分
p 、187——第1题
设
)2
(
)(b
a Af dx x f
b a
+≈?
按待定系数法,令A a b x f =-?=1)(
所以,公式为 )2
()()(a
b f a b dx x f b a +-≈?
确定代数精度:令 )2)(()(21)(22a b a b a b x x f +-=-?= 令2332)2)(()(31)(a b a b a b x x f +-≠-?= 所以,代数精度为1,且可知误差 )()(ξf r f E ''=,即
)()2(
)()(ηf r a
b f a b dx x f b
a
''=+--?
在此式中,令r a b a b a b x x f 2)2
)(()(31)(2
332=+---?=
解之,得 3)(24
1
a b r -=,因此中矩形公式:
)()(24
1
)2()()(3ηf a b a b f a b dx x f b
a
''-++-=?
p 、187——第3题
已知:)()()()
1(1
0η++=∑?m k k rf
x f A dx x f , 讨论:?b
a
dt t g )(
令x a b a t )(-+=,则b a t x →?→:10:,有
()()
()()()
{}
η)()()()()()()()()()1(11
1
a b a g a b r x a b a g A a b x
d x a b a g a b x a b a d x a b a g dt t g m m k k b a
-+-+-+-=-+-=-+-+=++∑???
即
()∑?
-+-≈k k b
a
x a b a g A a b dt t g )()()(
第5章 非线性方程求解
p 、 228——第5题
令 k k x x +=+21,取初值 00=x ,则原问题得极限便就是当∞→n 时序列
{}k x 得极限;
记 x x +=2)(?,则当]2,0[∈x 时,]2,0[)(∈x ?,且x
x +=
'221)(?,所以
12
21
)(<≤'x ?,因此序列{}k x 收敛,切收敛于x x +=2)(?得不动点2;
p 、 229——第7题
证明:由)(0)(x f x f ?>'为单调增函数,由题设)(x f 有零点*x ,则此零点*x 必唯一。
迭代)(1k k k x f x x λ-=+,记)()(x f x x λ?-=,*x 也就是?得不动点,
()()()[]
)(1((1ξλλf x x x f x f x x x x k k k k '--=---=-****+ ),(*∈x x k ξ 或 ),(k x x *∈ξ、 由 M
M x f m 2
0,)(0<<≤'≤<λ
M f m λξλλ-≥'-≥-∴1)(11,及 20<≤ 1)(111)(111<≤'-?->-≥'-≥->∴L f M f m ξλλξλλ, 由此推得迭代收敛。