教师招考中学数学数学概念的定义

数学概念

一、数学概念的意义

1．概念的意义

逻辑学认为，概念是反映事物(思维对象)及其特有属性(本质属性)的思维形式。人们对客观事物的认识一般是通过感觉、知觉、思维形成观念(印象或表象)，这是感性认识阶段，在感性认识的基础上，通过对客观事物的分析、综合、比较、抽象、概括、归纳与演绎等一系列思维活动，从而认识事物的本质属性形成概念，这是认识的理性阶段。理性认识在实践基础上不断深化，形成的概念又会进一步发展。

2．数学概念的意义

数学概念是一类特殊的概念，是其所反映的事物在现实世界中的空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映。如平行四边形的概念在人的思维中反映出：这样的对象是四边形形状的而且两组对边是分别平行的。这就是四边形的本质属性。

数学概念在数学思维中起着十分重要的作用，它是最基本的思维形式。判断是由概念构成的，推理和证明又是由判断构成的，可以说，数学概念是数学的细胞。

概念是反映客观事物的思想，是客观事物在人们头脑中的抽象概括，是看不见摸不着的。要通过语词表达出来，才便于人们研究、交流，数学概念也不例外。如平行四边形概念用语词表达就是：“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”。

数学概念的语词表达的一般形式是“(概念的本质属性)……叫做……(概念的名词)”。

二、数学概念的内涵和外延及它们之间的反变关系

1．数学概念的内涵和外延

客观世界的事物千差万别，反映在人的思维中也就千差万别，所形成的概念也千差万别，语词表达出来也是如此。但它们都有一个共同特点，都是用来认识和区别事物的。我们把一个概念所反映的所有对象的共同本质属性的总和，叫做这个概念的内涵。如平行四边形的内涵就是平行四边形所代表的所有对象的共同本质属性的总和：有四条边，两组对边分别平行……我们把适合概念的所有对象的范围，叫做概念的外延。如有理数和无理数，就是实数这个概念的外延。同样，实数和虚数，也是复数这个概念的外延。内涵和外延是概念的两个方面，正确的思维要求概念明确，明确概念即是要明确概念的内涵和外延。

对数学概念显然也有上述定义的结论。这对理解数学概念，指导数学概念的教学有十分重要的意义。

2．概念的内涵与外延的反变关系

要对概念加深认识，还要注意逻辑学中称之为概念的内涵与外延的反变关系，即：概念的内涵扩大时，其所得的新概念的外延缩小；当概念的内涵缩小时，其所得的新概念的外延扩大。反之，也成立。例如，在“矩形”概念的内涵中增加“一组邻边相等”的属性时，就得到外延缩小了的“正方形”的概念；在“矩形”的概念中去掉“有一个角是直角”的属性，就得到外延扩大了的“平行四边形”的概念。

利用概念的内涵与外延的反变关系，通过采取扩大概念的内涵同时缩小概念的外延的方法来研究概念间的关系和性质，这种方法在逻辑学中称之为“概念的限制”；通过缩小概念内涵的同时扩大概念外延的方法来认识同类概念的共同性质，这种方法在逻辑学上称之为“概念的概括”。在中学数学的概念教学中，经常使用概念的限制和概括的方法给新概念下定义和复习同类概念的共同性质。

三、概念间的关系

概念间的关系，指的是外延间的关系，在这里，我们仅概略介绍中学数学常见的一些关系且只限于数学概念的范围。同时约定，任何概念的外延都是非空集合。

1．相容关系

如果两个概念A和B的外延集合的交集非空，就称这两个概念的关系为相容关系。相容关系又可分为下面三种情形。

(1)同一关系。如果两个概念A和B的外延相等，那么称这两个概念之间的关系是同一关系。例如，无理数与无限不循环小数、正三角形和等边三角形两组概念中概念间的关系是同一关系。

(2)交叉关系。如果概念A和概念B的外延仅有一部分互相重合，那么这两个概念的关系叫做交叉关系，这两个概念叫做交叉概念。例如，“等腰三角形”和“锐角三角形”就是具有交叉关系的概念。

(3)从属关系。如果概念A的外延集合是概念B的外延集合的真子集，那么这两个概念的关系是从属关系。其中外延较大的概念B叫做概念A的属概念；概念A叫做概念B的种概念。例如，有理数概念是实数概念的种概念。而实数概念是有理数概念的属概念。需要注意的是，属概念和种概念是相对的，例如，“矩形”相对于“平行四边形”来说是种概念，而“矩形”相对于“正方形”来说是属概念。同时还要注意一个概念的属概念是不唯一的，例如，“矩形”这个概念的属概念有平行四边形、四边形。我们把一个概念的属概念中，内涵最多的概念称为这个概念的邻近的属，给概念下定义时常要找出其邻近的属。上述平行四边形的概念就是概念“矩形”邻近的属。

2．不相容关系

如果两个概念A和B是属于同一属概念下的种概念，并且它们的外延

集合的交集为空集，那么称这两个概念间的关系是不相容关系或全异关系。不相容关系又分成下面两种。

(1)反对关系(对立关系)。如果两个概念A和B的外延集合的交集是空集，它们的外延的并集是其属概念的外延的真子集，那么称这两个概念间的关系是反对关系(对立关系)。例如，“等腰梯形”和“直角梯形”相对于它们的属概念“梯形”而言是反对关系。

(2)矛盾关系。如果两个种概念A和B的外延集合的交集是空集，而它们外延集合的并集与它们的属概念的外延集合相等，那么这两个概念间的关系是矛盾关系。例如，实数和虚数相对于复数而言是矛盾关系。

四、概念的定义

1．给概念下定义的意义和定义的结构

前面提到过，概念是反映客观事物思想，是客观事物在人的头脑中的抽象概括，是看不见摸不着的，要用词语表达出来，这就是给概念下定义。而明确概念就是要明确概念的内涵和外延。所以，概念定义就是揭示概念的内涵或外延的逻辑方法。揭示概念内涵的定义叫内涵定义，揭示概念外延的定义叫做外延定义。在中学里，大多数概念的定义是内涵定义。

任何定义都由被定义项、定义项和定义联项三部分组成。被定义项是需要明确的概念，定义项是用来明确被定义项的概念，定义联项则是用来联接被定义项和定义项的。例如，在定义“三边相等的三角形叫做等边三角形”中，“等边三角形”是被定义项，“三边相等的三角形”是定义项，“叫做”是定义联项。

2．定义的方法

这里介绍中学数学中主要用到的下列两种定义方法。

(1)邻近的属加种差定义法。这种定义法是中学数学中最常用的定义方法，该法即按公式：“邻近的属+种差=被定义概念”下定义，其中，种差是指被定义概念与同一属概念之下其他种概念之间的差别，即被定义概念具有而它的属概念的其他种概念不具有的属性。例如，平行四边形的概念邻近的属是四边形，平行四边形区别于四边形的其他种概念的属性即种差是“一组对边平行并且相等”，这样即可给平行四边形下定义为“一组对边平行并且相等的四边形叫做平行四边形”。

利用邻近的属加种差定义方法给概念下定义，一般情况下，应找出被定义概念最邻近的属，这样可使种差简单一些。像下列两个定义： 等边的矩形叫做正方形；

等边且等角的四边形叫做正方形。

前者的种差要比后者的种差简单。

邻近的属加种差的定义方法有两种特殊形式：一是发生式定义方

法。它是以被定义概念所反映的对象产生或形成的过程作为种差来下定义的。例如，“在平面内，一个动点与一个定点等距离运动所成的轨迹叫做圆”即是发生式定义。在其中，种差是描述圆的发生过程。二是关系定义法。它是以被定义概念所反映的对象与另一对象之间关系或它与另一对象对第三者的关系作为种差的一种定义方式。例如，若ab=N，则logaN=b(a＞0，a≠1)。即是一个关系定义概念。

(2)揭示外延的定义方法。数学中有些概念，不易揭示其内涵，可直接指出概念的外延作为它的概念的定义。例如“有理数和无理数统称为实数”即是用揭示外延的定义方法定义的，用揭示内涵的方法则难下定义。揭示外延的定义方法还有一种特殊形式，即外延的揭示采用约定的方法，因而也称约定式定义方法。例如，a0=1(a≠0)，0！=1，就是用约定式方法定义的概念。

3．定义的基本要求

要正确地给数学概念下定义，首先要具备相应的具体的数学知识，还必须遵守以下给概念下定义的基本要求。

(1)定义项与被定义项外延必须相等，既不能扩大或缩小，也不能交叉或全异，定义必须相称。例如，下列定义均是不相称的。

①两组对边都相等的四边形是菱形(定义项的外延大于被定义项的外延)。

②四边相等且四个角也相等的四边形是菱形(定义项的外延小于被定义项的外延)。

③四边相等的多边形是正多边形(定义项和被定义项的外延交叉)。

④四边相等的四边形是锐角三角形(定义项和被定义项的外延全异)。

(2)定义项中不能直接包含被定义项，即不能循环定义。例

如，“一个角的两边成直角的角是直角。”用直角来定义直角就犯了循环定义的错误。

(3)定义应简明，不能含糊不清。如果定义含糊不清，也就不能明确概念，失去了定义的作用。例如，“点是没有部分的那种东西”就是含糊不清的定义。

(4)定义中的定义项一般不用否定形式，用否定形式不利于揭示概念的内涵。例如，“不是有理数的数叫做无理数。”这个定义就无法揭示无理数的内涵和外延。虽然中学数学中有些概念的定义项也用否定形式，如“不能被2整除的整数叫奇数”，但仅限于极少数，一般来说，这种定义概念的方式，不应提倡。

4．原始概念

按定义的第(3)条基本要求，给某概念下定义时，定义项选用的必须是在此之前已明确定义过的概念，否则概念就会模糊不清。这样顺次上溯，终必出现不能用前面已被定义过的概念来下定义的概念，这样的概念称为原始概念。在中学数学中，对原始概念的解释并非是下定义，这是要明确的。

五、概念的分类

概念的分类，就是把概念的某种属性作为分类的标准或分类的根据，把概念分成若干类并列的种概念，这是揭示概念外延的逻辑方法。通过概念的分类，可以更深刻地认识概念的外延，使有关概念的知识系统化、完整化。在数学教学中，常用分类的方法对概念进行系统复习。例如，把“三角形”这个概念分别按边的大小和角的大小这两种标准来分类。

可见分类可按不同的标准来进行，且分类的标准不同，分类所得的结果也不同。

正确的分类必须遵循以下基本要求。

(1)分类是相称的。即要求分类所得的各类概念的每一个对象都应当分到且仅分到一类概念中去。例如，把三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形是正确的；把梯形分成等腰梯形、直角梯形、不等腰梯形是错误的。因为直角梯形同时也是不等腰梯形，把矩形分成正方形、菱形也是错误的，因为分类漏掉了一般的矩形。

(2)每次分类要用同一个确定的标准。例如，将梯形分类为直角梯形、锐角梯形、等腰梯形是错误的，因为既按底角的大小，又按腰的大小这两个标准分类，显然形成了混乱，也不符合分类必须相称的要求。

(3)分类不应当越级，即分类所用的属种关系应是最邻近的。例如，把复数分成实数和虚数是正确的，但分成整数、分数、无理数和虚数就越级了。越级分类使概念的系统性显得非常混乱，也不符合分类必须相称的要求。