高三数学理科模拟试题及答案
1. 10i
2-i
=
A. -2+4i
B. -2-4i
C. 2+4i
D. 2-4i
解:原式
10i(2+i)
24
(2-i)(2+i)
i
==-+
.故选A.
2. 设集合
{}1
|3,|0
4
x
A x x
B x
x
-
??
=>=<
??
-
??,则A B
I
=
A. ?
B. ()
3,4
C.
()
2,1
-
D.
()
4.+∞
解:
{}{}
1
|0|(1)(4)0|14
4
x
B x x x x x x
x
-
??
=<=--<=<<
??
-
??.(3,4)
A B
∴=
I
.故选B.
3. 已知
ABC
?中,
12
cot
5
A=-
,则
cos A=
A. 12
13 B.
5
13 C.
5
13
-
D.
12
13
-
解:已知
ABC
?中,
12
cot
5
A=-
,
(,)
2
A
π
π
∴∈
.
12
cos
13 A===-
故选D.
4.曲线
21
x
y
x
=
-在点
()
1,1
处的切线方程为
A.
20
x y
--=
B.
20
x y
+-=
C.
450
x y
+-=
D.
450
x y
--=
解:
111
22
2121
||[]|1
(21)(21)
x x x
x x
y
x x
===
--
'==-=-
--
,
故切线方程为
1(1)y x -=--,即20x y +-= 故选B.
5. 已知正四棱柱
1111
ABCD A B C D -中,
12AA AB =,E
为
1
AA 中点,则异面直线BE 与
1
CD 所成的角的余弦值为
A.
10
B. 15
C. 10
D. 35
解:令1AB =则
12
AA =,连
1A B 1C D
Q ∥
1A B ∴异面直线BE 与1CD 所成的角即1A B
与BE 所成的角.在
1A BE
?
中由余弦定理易得
1cos A BE ∠=
.故选C
6. 已知向量
(
)2,1,10,||a a b a b =?=+=||b =
C.5
D. 25
解:
222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++r r r r r r r Q g ||5b ∴=r
.故选C 7.
设
32log ,log log a b c π===
A. a b c >>
B. a c b >>
C. b a c >>
D. b c a >>
解
:
322log log log b c <<>Q
2233log log 2log 3log a b a b c π<=<∴>∴>> .故选A.
8. 若将函数()tan 04y x πωω??=+> ???的图像向右平移6π个单位长度后,与函数
tan 6y x πω?
?=+ ?
??的图像重合,则ω的最小值为
A .1
6
B. 14
C. 1
3 D. 12
解:
6tan tan[(]ta )6446n y x y x x π
ππππωωω???
?=+??????→=-=+ ?+? ?
???向右平移个单位
1
64
()6
62k k k Z π
π
ωπωπ
+=
∴=+∈∴
-
, 又
min 1
02ωω>∴=
Q .故选D
9. 已知直线
()()
20y k x k =+>与抛物线
2:8C y x =相交于
A B 、两点,F 为C 的焦点,若||2||FA FB =,则k =
A. 1
3 B.23
C. 2
3 D. 223
解:设抛物线
2
:8C y x =的准线为:2l x =-直线 ()()20y k x k =+>恒过定点P ()2,0- .如图过A B 、分 别作
AM l ⊥于M ,于N , 由||2||FA FB =,则||2||AM BN =,点B 为AP 的中点.连结OB ,则
1
||||2OB AF =
,
||||OB BF ∴= 点B 的横坐标为1, 故点B 的坐标为
22022
(1,22)1(2)3k -∴=
=
--, 故选D
10. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门.则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有
A. 6种
B. 12种
C. 30种
D. 36种
解:用间接法即可.222
44430
C C C ?-=种. 故选C
11. 已知双曲线()
22
2210,0x y C a b a b -=>>:的右焦点为F ,过F 且斜率为3的直线交C 于A
B 、两点,若4AF FB =,则
C 的离心率为A .65 B. 7
5 C. 58 D. 95
解:设双曲线22
221x y C a b -=:的右准线为l ,过A
B 、分 别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N , BD AM D ⊥于,由直线
AB 的
斜率为
3,知直线AB 的倾斜角为
1
6060,||||2BAD AD AB ?∴∠=?=
,
由双曲线的第二定义有
1
||||||(||||)
AM BN AD AF FB
e
-==-
u u u r u u u r11
||(||||)
22
AB AF FB
==+
u u u r u u u r
.
又
156 43||||
25 AF FB FB FB e
e
=∴?=∴=
u u u r u u u r
Q
故选A
12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现有沿该正方体
的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标“?”的面的方位是
A. 南
B. 北
C. 西
D. 下
BN l
⊥解:展、折问题.易判断选B
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上.
13. ()4
x y y x
-
的展开式中
33
x y
的系数为 6 .
解:()4224
()
x y y x x y x y
-=-
,只需求
4
()
x y
-
展开式中的含
xy
项的系数:
2
4
6
C=
14. 设等差数列{}
n
a
的前
n项和为n S,若53
5
a a
=
则
9
5
S
S
=
9 .
解:{}
n a
Q
为等差数列,
95
53
9
9
5
S a
S a
∴==
15.设
OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C.若圆C的面积等
于7
4
π
,则球
O的表面积等于8π.
解:设球半径为R,圆C的半径为r,
2
2
77
.
44
4r
r
π
π
==
,得
由
因为
22
224
R
OC R
=?=
.由
2222
217
()
484
R R r R
=+=+
得
22
R=.故球O的表面积等于8π.
16. 已知AC BD
、为圆O:224
x y
+=
的两条相互垂直的弦,垂足为
()
1,2
M
,则四边形
ABCD的面积的最大值
为 .
解:设圆心O 到AC BD 、的距离分别为12d d 、,则222123d d OM ==+.
四边形
ABCD
的面积
22121
||||8()52S AB CD d d =
?=≤-+=
三、解答题: 17设ABC ?的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,
3
cos()cos 2A C B -+=
,2b ac =,
求B .
分析:由
3cos()cos 2A C B -+=
,易想到先将()B A C π=-+代入3
cos()cos 2A C B -+=
得
3cos()cos()2A C A C --+=
然后利用两角和与差的余弦公式展开得3
sin sin 4A C =
;又由2b ac =,利用正弦定
理进行边角互化,得2
sin
sin sin B A C =
,进而得
sin B =
.故
23
3
B π
π=
或
.大部分考生做到这里忽略了检验,
事实上,当23
B π=
时,由
1cos cos()2B A C =-+=-
,进而得3
cos()cos()21
2A C A C -=++=>,矛盾,
应舍去.
也可利用若2
b a
c =则b a b c ≤≤或从而舍去
23
B π=
.不过这种方法学生不易想到.
18(本小题满分12分)
如图,直三棱柱
111
ABC A B C -中,
,AB AC D ⊥、E 分别为1AA 、1B C 的中点,DE ⊥平面1BCC
(I )证明:
AB AC =
(II )设二面角
A BD C --为60°,求1
B
C 与平面BC
D 所成的角的大小.
(I )分析一:连结BE ,
111
ABC A B C -Q 为直三棱柱,
190,
B B
C ∴∠=?
E Q 为1B C 的中点,BE EC ∴=.又DE ⊥平面1BCC , BD DC ∴=(射影相等的两条斜线段相等)而DA ⊥平面ABC , AB AC ∴=(相等的斜线段的射影相等).
分析二:取BC 的中点F ,证四边形
AFED 为平行四边形,进而证AF ∥DE ,AF BC ⊥,得AB AC =也
可.
分析三:利用空间向量的方法.具体解法略.
(II )分析一:求
1B C
与平面BCD 所成的线面角,只需求点
1
B 到面BD
C 的距离即可.
作
AG BD ⊥于G ,连GC ,则GC BD ⊥,AGC ∠为二面角A BD C --的平面角,60AGC ∠=?.不
妨设
23AC =,则2,4AG GC ==.在RT ABD
?中,由
AD AB BD AG ?=?,易得6AD =.
设点
1
B 到面BD
C 的距离为h ,
1B C
与平面BCD 所成的角为α.
利用111
33B BC BCD S DE S h
???=?,可求得h =23,
又可求得
143B C =
11
sin 30.2h B C αα=
=∴=?
即
1B C
与平面BCD 所成的角为30.?
分析二:作出
1B C
与平面BCD 所成的角再行求解.如图可证得BC AFED ⊥面,所以面AFED BDC ⊥面.由
分析一易知:四边形
AFED 为正方形,连AE DF 、,并设交点为O ,则EO BDC ⊥面,OC ∴为EC 在面
BDC 内的射影.ECO ∴∠即为所求.以下略.
19(本小题满分12分)
设数列
{}
n a 的前n 项和为
,
n S 已知
11,a =142n n S a +=+
(I )设
12n n n
b a a +=-,证明数列{}
n b 是等比数列
(II )求数列
{}
n a 的通项公式.
解:(I )由
11,
a =及
142
n n S a +=+,有
12142,a a a +=+21121325,23
a a
b a a =+=∴=-=
由
142
n n S a +=+,...① 则当2n ≥时,有
142
n n S a -=+.....②
②-①得
111144,22(2)
n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-
又
12n n n b a a +=-Q ,
12n n b b -∴={}
n b ∴是首项
13
b =,公比为2的等比数列.
(II )由(I )可得
1
1232
n n n n b a a -+=-=?,
113
224n n n n a a ++∴
-=
∴数列{}
2n n a 是首项为12,公差为34的等比数列.
∴1331(1)22
444n n a n n =+-=-,2
(31)2n n a n -=-? 评析:第(I )问思路明确,只需利用已知条件寻找
1n n b b -与的关系即可
.
第(II )问中由(I )易得
1
1232n n n a a -+-=?,这个递推式明显是一个构造新数列的模型:
1(,n n n a pa q p q +=+为常数)
,主要的处理手段是两边除以1
n q +.
20(本小题满分12分)
某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核.
(I )求从甲、乙两组各抽取的人数;
(II )求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;
(III )记
ξ表示抽取的3名工人中男工人数,求ξ的分布列及数学期望.
(II )在第一问的基础上,这一问处理起来也并不困难.
从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率
11
462
10815C C P C ?== (III )
ξ的可能取值为0,1,2,3
1234211056(0)75C C P C C ξ==?=,11121
46342212110510528
(1)75C C C C C P C C C C ξ==?+?=
,
21622110510(3)75C C P C C ξ==?=,31(2)1(0)(1)(3)75P P P P ξξξξ==-=-=-==
21(本小题满分12分)
已知椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>
的离心率为,过右焦点F的直线
l与C相交于A、B两点,当l的斜
率为1时,坐标原点O到l
的距离为
2
(I)求
a,b的值;
(II)C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有OP OA OB
=+
u u u r u u u r u u u r
成立?
若存在,求出所有的P的坐标与
l的方程;若不存在,说明理由.
解:(I)设
(,0)
F c
,直线
:0
l x y c
--=
,由坐标原点
O到l
的距离为
2
2
=
,解得
1
c=.
又
3
c
e a b
a
==∴==
.
(II)由(I)知椭圆的方程为
22
:1
32
x y
C+=
.设11
(,)
A x y
、B22
(,)
x y
由题意知
l的斜率为一定不为0,故不妨设:1
l x my
=+
代入椭圆的方程中整理得
22
(23)440
m y my
++-=
,显然
?>.
由韦达定理有:
122
4
,
23
m
y y
m
+=-
+122
4
,
23
y y
m
=-
+........①
.假设存在点P,使
OP OA OB
=+
u u u r u u u r u u u r
成立,则其充要条件为:
点1212
P(,)
x x y y
++
的坐标为
,点P在椭圆上,即
22
1212
()()
1
32
x x y y
++
+=
.
整理得
2222
11221212
2323466
x y x y x x y y
+++++=
.
又
A B
、在椭圆上,即2222
1122
236,236
x y x y
+=+=
.
故1212
2330
x x y y
++=
................................②
将
2
12121212(1)(1)()1
x x my my m y y m y y =++=+++及①代入②解得
212m =
12y y ∴+=-,12x x +=2243
2232m m -+=
+,
即3(,2P .
当
3,(,:12222m P l x y =
-=+;
22.(本小题满分12分)
设函数
()()
21f x x aIn x =++有两个极值点
12
x x 、,且
12
x x <
(I )求a 的取值范围,并讨论
()
f x 的单调性;
(II )证明:
()2122
4In f x ->
解: (I )
()2222(1)
11a x x a
f x x x x x ++'=+=>-++
令
2
()22g x x x a =++,其对称轴为
1
2x =-
.由题意知12x x 、是方程()0g x =的两个均大于1-的不相等的实
根,其充要条件为480(1)0a g a ?=->??-=>?
,得102a << ⑴当
1(1,)x x ∈-时,
()0,()f x f x '>∴在
1(1,)
x -内为增函数;
⑵当12(,)
x x x ∈时,
()0,()f x f x '<∴在
12(,)
x x 内为减函数;
当
3,(,:12222m P l x y =-
=-+.
⑶当
2,()
x x ∈+∞时,
()0,()f x f x '>∴在
2,()
x +∞内为增函数;
(II )由(I )21
(0)0,02g a x =>∴-<<,
222(2)
a x x =-+2 ()()()
22222222221(2)1f x x aln x x x x ln x ∴=++=-++2
设
()()
22
1
(22)1()
2
h x x x x ln x x
=-++>-
,
则
()()() 22(21)122(21)1
h x x x ln x x x ln x '=-++-=-++
⑴当
1
(,0)
2
x∈-
时,
()0,()
h x h x
'>∴
在
1
[,0)
2
-
单调递增;
⑵当
(0,)
x∈+∞
时,
()0
h x
'<
,
()
h x
在
(0,)
+∞
单调递减.
()
1112ln2
(,0),()
224
x h x h
-
∴∈->-=当时
故
()
22
122
()
4
In
f x h x
-
=>
.
黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科(四) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 1.已知集合{}2,101,, -=A ,{} 2≥=x x B ,则A B =I A .{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A .2x y = B .y x = C .y x = D .2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )-sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 ( ) A .命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B .“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C .若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D .若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A .80 B .40 C .31 D .-31 7.如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A .π16+ B .π416+ C .π8+ D .π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中,常数项为 A .64 B .30 C . 15 D .1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A .(1,2) B .(2,)e C . (,3)e D .(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图,若0.9p =,则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==, S p 是 输入p 结束 输出n 12n S S =+ 否 1n n =+ 1 2 1 2 2 1 主视图 左视图 俯视图
高三上期第二次周练 数学(理科) 第Ⅰ卷(选择题,共60分) 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}=0123A ,,,, {}=21B x x a a A =-∈,,则=( )A B ? A. {}12, B. {}13, C. {}01 , D. {}13-, 2.已知i 是虚数单位,复数z 满足()12i z i +=,则z 的虚部是( ) A. i - B. i C. 1- D. 1 3.在等比数列{}n a 中, 13521a a a ++=, 24642a a a ++=, 则数列{}n a 的前9项的和9S =( ) A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4.如图所示的阴影部分是由x 轴,直线1x =以及曲线1x y e =-围成, 现向矩形区域OABC 内随机投掷一点,则该点落在阴影区域的概率是( ) A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5.在 52)(y x x ++ 的展开式中,含 2 5y x 的项的系数是( ) A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6.已知一个简单几何体的三视图如右图所示,则该几何体的 体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7.已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减,则a 的取值范围是( ) A. 11<<高考数学模拟试题