高中数学必修一总复习讲义

第一章 集合

测试一 集合与集合的表示方法

Ⅰ学习目标

1.了解集合的含义，体会元素与集合间的“属于”关系.

2.能选择自然语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。

Ⅱ基础性训练

一、选择题

1.集合()(){}

2130x Z x x ∈--= 可化简为（ ）

（A ）

12

（B ）{}3

（C ）1,32??????

（D ）1,32??

-

-????

2.下列结论正确的是（ ） （A ）0N ?

（B ）集合{}*20A x N x x =∈-= 与集合{}

20B x Z x x =∈-=相等 （C ）所有偶数的集合可表示为{}

2,C x x k k N ==∈

（D ）被3除余1的整数集合可表示为{}

31,M x x k k Z ==+∈ 3.设集合(){},21,,P x y y x x R y R =<+∈∈，则在下列四个元素中，属于集合P 的元素

是（ ） （A ）()1,1--

（B ）()1,4

（C ）()0,0

（D ）()2,3-

4.集合()5,1x y x y x y ??+=???

???-=-?????

用列举法表示为（ ）

（A ）()2,3

（B ）

(){}2,3

（C ）()1,4

（D ）(){}

1,4

5.设0a < ，则不等式10ax -< 的解集为（ ） （A ）1x x a ??>

????

（B ）1x x a ??>-???

?

（C ）1x x a ??<

????

（D ）1x x a ??<-????

二、填空题

6.用符号“∈ ”或“? ”填空：

（1）若A Z = ，则1

2

-

A ；2- A ； （2）若{}

2210B x x x =--= ，则1

2

- B ；2- B .

7.集合{}

13x N x ∈-< 用列举法表示为 . 8.自然数中6个最小的完全平方数组成的集合为 . 9.用列举法表示集合{}

0,5x Z x x x ∈+=>-且为 . 10.用描述法表示的集合{}

22,y y x x x R =-+∈ 可化简为 . 三、解答题

11.用列举法表示下列集合： （1）{}

26A x Z x =∈-≤<；

（2）{}

4,,B y y x x N y N ==-+∈∈； （3）99C x N

N x ??=∈∈??-??

.

12.分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）大于4- 且小于6的整数所组成的集合； （2）方程32560x x x --= 的实数根所组成的集合.

Ⅲ拓展性训练

13.设集合{

}

2

0A x x x =-= ，集合()111,2n

B x x n Z ????==

+-∈??????

，试问这两个集合

是否相等？证明你的结论.

14.已知集合{}

2210,A x R ax x a R =∈++=∈.若A 中元素至多只有一个，求实数a 的取值范围.

测试二 集合之间的关系和运算

Ⅰ学习目标

1.理解集合间的包含与相等关系的含义，能识别给定集合的子集.

2.了解全集与空集的含义.

3.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集.

4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.

5.能使用维恩（Venn ）图表达集合间的关系及运算，初步体会直观图示对理解抽象概念的作用.

Ⅱ基础性训练

一、选择题

1.已知集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,6A B == ，则集合A B 等于（ ）

（A ）{}1,2,6

（B ）{}3,4,5

（C ）{}1,2

（D ）{}6

2.若集合{}

{}

10,2A x x B x x =-≥=> ，则集合A B 等于（ ）

（A ）{}

1x x ≥

（B ）{}

21x x x ><-或 （C ）{}

22x x x <->或

（D ）{

}

21x x x <-≥或

3.已知集合,A B 满足A B A = ，那么下列各式中一定成立的是（ ）

（A ）A

B （B ）B

A

（C ）A B B = （D ）A B A =

4.已知集合{},P a b = ，那么满足条件{},,P Q a b c = 的集合Q 的个数为（ ）

（A ）2个

（B ）3个

（C ）4个

（D ）5个

5.若集合{}{}

21,,B 41,A x x k k Z x x l l Z ==-∈==±∈，则（ ）

（A ）A B = （B ）A B （C ）B A

（D ）A B Z =

二、填空题

6.用适当的符号填空： （1）m {},m n ；

（2）{}m {},m n ；

（3）? {},m n .

7.已知集合{},,A a b c = ，则A 的真子集有 个，它们分别是 . 8.已知集合{}{}|26,|A x x B x x a =≤<=< .若A B ，则实数a 的取值集合

为 . 9.设集合(){}()1,|1,,|1y U x y y x A x y x

+??

=

=-==???

?

，则U

A = .

10.已知全集{}{}(

)(),,,,,,,,,S

S a b c d e A B S A

B b B

A a d =?==，那么集合

S

B = .

三、解答题

11.已知集合{}{}1,2,1,2,3,4,5A B == .若A

M B ?，请写出满足上述条件的集合

M .

12.已知全集U R = ，集合{}1|57,8,2A x x B x x x ??

=-<<=><

???

?或 ， （1）求A B ；

（2）求()U

A B

13.已知集合{}{

}2

2

20,0A x x px B x x x q =+-==-+= ，且}{2,0,1,A

B =-求实数

,p q 的值.

Ⅲ 拓展性训练

14.已知集合{}42A x x =-≤< ，{}

13B x x =-≤< ，{},C x a a R =≥∈ . （1）若()A B C =? ，求a 的取值范围； （2）若()

A B C ，求a 的取值范围.

15.设集合{}

22,,M a a x y x y Z ==-∈ 求证：（1）一切奇数属于集合M ；

（2）偶数()42k k Z -∈ 不属于M ； （3）属于M 的两个整数，其乘积仍属于M .

测试三 集合全章综合练习

一、选择题

1.已知集合A N = ，则集合{}

260B x R x x =∈+-= ,则集合A B 等于（ ）

（A ）{}2

（B ）{}3

（C ）{}2,3-

（D ）{}3,2-

2.设全集{}

,10U R A x x ==+<, ，则集合U

A 等于（ ）

（A ）{}

1x x >-

（B ）{}1x x ≥-

（C ）{}

1x x >

（D ）{}

1x x ≥

3.已知集合(){},2P x y x y a =

+= ，(){},2Q x y x y b =-= .若(){}1,1P

Q =- ，则

a b + 等于（ ）

（A ）3-

（B ）1-

（C ）0

（D ）2

4.设集合,M N 是非空集合，U 是全集，M N U ，下列结论中不正确的是（ ）

（A ）

(

)U

M N U =

（B ）M N N =

（C ）

(

)U

M N =?

（D ）(

)U

M

N =?

5.已知全集U N =，集合{}

2,A x x n n N ==∈，{}

4,B x x n n N ==∈，则下列各等式中正确的是（ ） （A ）U A B =

（B ）(

)

U

U B A =

（C ）(

)U

U A B =

（D ）(

)

(

)U

U

U A B =

二、填空题

6.若集合{}

A =对角线长度相等的四边形，{}

B =对角线互相垂直的四边形，

{}C =平行四边形，则A C = ；B C = .

7.若集合{}{}

1,1,02A x x x B x x =<->=<<或或，则A B = .

8.设集合{}{}

12,M x x N x x a =-≤<=<.若M N =?，则实数a 的取值范围

是 .

9.某单位共有员工85人，其中68人会骑车，62人会驾车，既会骑车也会驾车的人有57人，则既不会骑车也不会驾车的人有 人.

10.定义集合运算：{}

,,A B z z x y x A y B ?==+∈∈ .若集合{}1,0,1A =- ，

{}2,3,4B = ，则集合A B ?= .

三、解答题

11.给出下列三个集合，指出它们之间的关系，并加以区别：

{}{}(){}222

1,1,,1A x y x B y x C x y y x ==+==+=

=+。

12.设全集{}

22,4,U a =，集合{}{}4,3,1U

A a A =+=，求实数a 的值.

13.设全集U R =，集合{}{}

12,40A x x B x x p =-≤≤=+<.若U

B A ，求实数p 的

取值范围.

拓展性训练

14.已知集合{}{}

222,120A B x x ax a =-=++-=，若A B B =，求实数a 的取值范

围.

15.设1234,,,a a a a N +∈，集合{}{}

2222

1,2341234

,,,,,,A a a a a B a a a a ==，满足以下两个条件： ①{}1414,,10A

B a a a a =+=；

②集合A

B 中的所有元素的和为124 ，其中1234a a a a <<<.

求1234,,,a a a a 的值.

第二章 函数 测试四 函数的概念

Ⅰ学习目标

1.进一步体会函数是描绘变量相互依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.

2.了解构成函数的要求，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.

Ⅱ基础性训练

一、选择题

1.函数y = ）

（A ）{}

1x x ≤

（B ）{}

0x x ≥

（C ）{}10x x x ≥≤或（D ）{}

01x x ≤≤

2.下列各组函数中(),f x 和()g x 表示同一函数的是（ ）

（A ）()()0,1f x x g x ==

（B ）()(),f x x g x ==

（C ）()()2,f x x g x ==

（D ）()()3

2

,x f x x g x x

==

3.设函数()231f x x x =-+，则()()f a f a --等于（ ） （A ）0

（B ）6a -

（C ）222a +

（D ）2262a a -+

4.对于从集合A 到集合B 的映射，有下述四个结论： ①B 中的任何一个元素在A 中必有原象； ②A 中的不同元素在B 中的象也不同； ③A 中的任何一个元素在B 中的象是唯一的； ④A 中任何一个元素在B 中可以有不同的象. 其中正确结论的个数是（ ） （A ）1 个

（B ）2 个

（C ）3 个

（D ）4个

5.函数2

1

2y x =

-的值域是（ ） （A ）1,2??-∞ ??

?

（B ）(),0-∞

（C ）()1,0,2??-∞+∞????

（D ）10,2

?? ??

?

二、填空题

6.若函数()2

2f x x x =+-，则()1f = .

7.函数()f x =

的定义域是 . 8.已知()231f x x =-，且()4f a =，那么a = . 9.函数21

2

y x =

+的最大值是 . 10.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文

（解密），已知加密规则；明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4a b b c c d d +++.例如，明文

1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文

为 . 三、解答题

11.已知函数()2f x x x =+. （1）求()1f -的值； （2）求()2f f ????的值；

（3）求()1f x -的表达式.

12.设0a >，函数()2a f x x x

=+，且()15f -=-.

（1）求a 的值； （2）证明：()()0f x f x -+=.

13.设全集U R =，函数()f x =A ，

函数()2

23g x x x =--的值域为B ，求集合(

)U

A B .

Ⅲ拓展性训练

14.已知函数()2

f x ax bx c =++，且满足()()()00,11f f x f x x =+-=+，求()f x 的

值域.

测试五 函数的表示法

Ⅰ学习目标

1.能根据不同需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.

2.了解简单的分段函数，并能简单应用.

Ⅱ基础性训练

一、选择题

1.直角坐标系内，函数y x =的图象（ ） （A ）关于原点对称 （B ）关于y 轴对称 （C ）关于x 轴对称

（D ）不具有对称轴

2.下列各图中，可表示函数()y f x =的图象的只可能是（ ）

3.若函数()f x 满足()21f x x -=，则()f x 的解析式是（ ） （A ）()()2

1f x x =+ （B ）()()2

1f x x =- （C ）()2

1f x x =+

（D ）()2

1f x x =-

4.若函数()f x 满足()()()f ab f a f b =+，且()()23,32f f ==，那么()18f 等于（ ） （A ）8

（B ）7

（C ）6

（D ）5

5.右图表示某人的体重与年龄的关系，那么（ ） （A ）体重随年龄的增长而增加 （B ）25岁之后体重不变

（C ）体重增加最快的是15岁至25岁 （D ）体重增加最快的是15岁之前 二、填空题 6.若函数()2

2,

0,31,0,

x f x x x ≥?=?

+

7.如图，有一块边长为acm 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为xcm 的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，设长方体盒子的体积是3ycm ，则y 关于x 的函数关系式为 ；此函数的定义域是 .

8.若函数()2,0,31,0,x x f x x x +≥?=?+

则()f x 的值域是 .

9.某市按以下规定收取水费：若每月用水不超过320m ，则每立方米水价按2元收取；若超过320m ，则超过部分按每立方米3元收取.如果某户居民在某月所交水费的平均价为每立方米2.2元，那么这户居民这月共用水 3m . 10.已知函数()(),f x g x 分别由下表给出：

则()1f g ????的值为 ； 当()2g f x =????时，x = . 三、解答题

11.设函数()2

2,1,

122,2x x f x x x x x +≤-??=-<

， （1）求()32,2f f f ??

??- ???????

的值； （2）若()3f x =，求x 的值.

12.作出下列函数的图象： （1）21y x =-；

（2）()2

24303y x x x =--≤≤.

x

1 2 3

()f x

2

1

1

x

1

2 3

()g x

3

2

1

13.建一个容积为38m 、深为2m 的长方体无盖水池，如果池底造价是2

120/m 元，池壁的造价是2

80/m 元，求水池的总造价y （元）与池底宽()x m 之间的函数关系式.

Ⅲ 拓展性训练

14.设,A B 两地相距260km ，汽车以52/km h 的速度从A 到B 地，在B 地停留1.5h 后，再以65/km h 的速度返回A 地.试将汽车离开A 地后行走的路程s 表示为时间t 的函数.

15.在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到12,,

,n a a a 共

n 个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值” a 是这样的一个量：与其他近似值

比较，a 与各数据的差的平方和最小.依此规定，从12,,,n a a a 推出的a = .

测试六 函数的单调性

Ⅰ 学习目标

通过已学习过的函数模型，特别是二次函数，理解函数的单调性，并能简单应用.

Ⅱ基础性训练

一、选择题

1.下列函数()f x 中,满足“对任意()12,0,x x ∈+∞ ，当12x x < 时，都有()()12f x f x >”

的是（ ） （A ）()1

f x x =

（B ）()f x x =

（C ）()21f x x =+ （D ）()2

f x x =

2.函数()()2f x x x =--的一个单调递减区间可以是（ ） （A ）[]2,0-

（B ）[]0,2

（C ）[]1,3

（D ）[)

0,+∞

3.函数()242f x x ax =++在(),6-∞内单调递减，则a 的取值范围是（ ） （A ）3a ≥

（B ）3a ≤

（C ）3a ≥-

（D ）3a ≤-

4.设0a >，函数()2f x ax bx c =++的图象关于直线1x =对称，则()()()

1,2,3f f f 之间的大小关系是（ ）

（A ）()()()123f f

f << （B ）()()()321f

f f <<

（C ）()()()132f f f <<

（D ）()()()231f f f <<

5.在函数()y f x =的图象上任取两点()12,A x y ，()22,B x y ，称

21

21

y y y x x x -?=?-为函数()y f x =从1x 到2x 之间的平均变化率.设函数()21f x x x =+-，则此函数从1x 到2x 之间

的平均变化率为（ ） （A ）()()21121x x x x -++

（B ）121

x x ++

（C ）()()21121x x x x -+-

（D ）121x x +-

二、填空题 6.函数()1

f x x =

在的单调递减区间为 . 7.定义在R 上的函数()f x 的图象如右图所示，则()f x 的单调递减区间是 .

8.若函数()2

23f x x px =++在(],1-∞上是减函数，在[)1,+∞上是增函数，则

p = .

9.已知一次函数()1y k x k =++在R 上是增函数，且其图象与x 轴的正半轴相交，则k 的取值范围是 .

10.已知函数()()2

0f x ax bx c a =++≠是(],0-∞上的减函数，且()f x 的最小值为正数，

则()f x 的解析式可以为 .（只要写出一个符合题意的解析式即可，不必

考虑所有可能的情形） 三、解答题

11.设a R ?，判断函数()()23f x a x =++()x R ∈的单调性，并写出单调区间.

12.证明： （1）()1

f x x x

=+

在[)1,+∞上是增函数； （2）当0a <时，()2f x ax bx c =++在,2b a ??

-+∞????

上最减函数.

Ⅲ 拓展性训练

13.函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数.

设函数()f x 在[]0,1上为非减函数，且满足以下三个条件： ① ()00f =； ②()1

32x f f x ??=

???

； ③()()11f x f x -=-

.

则1138f f ????+= ? ?????

. 14.已知函数()1

2

ax f x x +=+在区间()2,-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围.

测试七 函数的奇偶性

Ⅰ 学习目标

理解函数的奇偶性及其图象特征，并能简单应用.

Ⅱ 基础性训练

一、选择题

1.函数()()1

0f x x x x

=-≠是（ ） （A ）有奇数

（B ）偶函数

（C ）既是奇函数又是偶函数

（D ）既不是奇函数也不是偶函数

2.函数()2

f x x x =+的图象（ ）

（A ）关于原点对称 （B ）关于y 轴对称 （C ）关于x 轴对称 （D ）不具有对称轴

3.若函数2

y x bx c =++是偶函数，则有（ ） （A ）,b R c R ∈∈ （B ）,0b R c ∈=

（C ）0,0b c == （D ）0,b c R =∈

4.设函数()3

21f x ax bx =+-，且()13f -=，则()1f 等于（ ） （A ）3-

（B ）3

（C ）5-

（D ）5

5.若偶函数()f x 在[]0,5上是减函数，则()()()2,3,0f f f -的大小关系是（ ） （A ）()()()230f f f -<< （B ）()()()023f f f <-<

（C ）()()()320f f f <-<

（D ）()()()032f f f <<-

二、填空题

6.设函数()f x 的图象关于y 轴对称，且()f a b =，则()f a -= .

7.如果函数()2

f x x a x

=-

+为奇函数，那么a = . 8.设函数()f x 是R 上的偶函数，且在(),0-∞上是减函数，若()()1f a f > ，则实数a 的

取值范围是 .

9.设函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()21f x x =- ，则当0x <时，()f x 的解

析式为 .

10.设定义在()1,1-上的奇函数()f x 是增函数，且()()210f a f a +-<，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题

11.判断下列函数的奇偶性，并加以证明：

（1）()11f x x x =++-； （2）()g x =； （3）()21

x x

h x x -=-.

12.设函数()f x 是偶函数，且在(),0-∞上是增函数，判断()f x 在()0,+∞上的单调性，并加以证明.

Ⅲ 拓展性训练

13.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意[)()1212,0,x x x x ∈+∞≠，有

()()

2121

0f x f x x x -<-成立，试比较()()()2,1,3f f f -的大小.

14.设函数()f x 的定义域为R ，对任意12,x x R ∈，恒有()()()1212f x x f x f x +=+成立. （1）求证：()f x 是奇函数；

（2）若0x >时，()0f x <，证明：()f x 是R 上的减函数.

15.（1）设函数()f x 和()g x 同为R 上的增（减）函数，试探究函数()()f x g x +的单调性；

（2）设函数()f x 和()g x 分别是R 上的增、减函数，试探究函数()()f x g x -的单调性；

（3）设函数()f x 和()g x 同为R 上的奇（偶）函数，试探究函数

()()()(),f x g x f x g x +的奇偶性；

（4）设函数()f x 和()g x 分别是R 上的奇、偶函数，试探究函数()()f x g x 的奇偶性.

测试八 一次函数和二次函数

Ⅰ 学习目标

1.在实中学习的基础上，进一步掌握一次函数和二次函数的性质与图象.

2.初步掌握利用待定系数法确定函数的解析式.

Ⅱ 基础性训练

一、选择题

1.函数2

2y x x =-在R 上的最小值为（ ） （A ）2-

（B ）1-

（C ）0

（D ）1

2.函数221y x x =-+-在[]0,3上的最大值为（ ） （A ）4-

（B ）1-

（C ）3

（D ）0

3.若函数()0y kx b k =+≠的图象不通过第一象限，则,k b 的符号是（ ） （A ）0,0k b << （B ）0,0k b <> （C ）0,0k b ><

（D ）0,0k b >>

4.若函数()()1y x x a =+-为偶函数，则a 等于（ ） （A ）2-

（B ）1-

（C ）1

（C ）2

5.设,a b R ∈，函数()f x ax b =+在区间[]1,1-上的最大值是（ ） （A ）a b +

（B ）a b -+

（C ）a b +

（D ）a b +

二、填空题

6.函数23y x =-在区间[]1,0-上的最大值与最小值的和为 .

7.设函数()f x 是二次函数，()()()14,05,25f f f -=-=-=，则()f x 的解析方式为 .

8.若函数()2

2f x x x m =-+在区间[]0,3上的最大值是4，则m = .

9.若函数1y kx =+在[]1,1-上的最大值为2，则k = .

10.已知函数()()2

f x x bx c x R =++∈，且()()02f f =.关于函数()f x 有下列结论：

①()()12f f -<； ②()f x 在区间(],0-∞上是减函数；

③()f x 在区间[)0,+∞上是增函数；

④对任意x R ∈，必有()1f x c ≥-成立.

其中正确的结论序号是 .（将全部正确结论的序号都填上） 三、解答题

11.已知函数()2

21f x x x =--.

（1）当[]3,0x ∈-时，求()f x 的最大值和最小值； （2）当[]3,2x ∈-时，求()f x 的最大值和最小值.

12.已知函数,x y 满足2

2

4x y +=，求2

83x y ++的最大值.

Ⅲ 拓展性训练

13.设函数()()2f x x a =+对于任意实数t R ∈都有()()11f t f t -=+成立.

（1）求实数a 的值；

（2）如果[]0,5x ∈，那么x 为何值时函数()f x 有最小值和最大值？并求出最小值与最大值.

14.已知函数()2

1y x a x b =+++，对任何实数x 都有y x ≥成立，且当3x =时，3y =，

求,a b 的值.

测试九 函数综合练习

一、选择题 1.

函数1

y x

=

的定义域为（ ） （A ）[]4,1-

（B ）[)4,0-

（C ）(]0,1

（D ）[)

(]4,00,1-

2.设a 为常数，函数()2

43f x x x =-+.若()f x a +为偶函数，则a 等于（ ） （A ）2-

（B ）2

（C ）1-

（D ）1

3.设集合A ={}06x x ≤≤ ，{}

02B y y =≤≤，则从A 到B 的对应法则f 是映射的是

（ ）

（A ）:3f x y x →= （B ）:f x y x →= （C ）1

:2f x y x →=

（D ）1:3f x y x →=

4.若函数2

y x bx c =++在[)0,+∞上是单调函数，则实数b 的取值范围是（ ） （A ）0b ≤

（B ）0b ≥

（C ）0b <

（D ）0b >

5.定义在R 上的奇函数()f x 在[]0,3上是增函数，在()3,+∞上最减函数，且()34f =，则函数()f x 在[)3,0-上（ ） （A ）是增函数，且最大值是4 （B ）是减函数，且最大值是4 （C ）是增函数，且最小值是4-

（D ）最减函数，且最小值是4-

二、填空题

6.若函数()f x x b =+是R 上的奇函数，则b = .

7.设函数()21f x x =+，则方程()21f x x +=的解为 .

8.设()2

1,1,

1,1,x x f x x x 2?-≥?=?-

3f ?= ??

，52f f ??

??= ???????

. 9.函数()f x 定义在()0,+∞上，对任意1x ，()20,x ∈+∞均有()()()1212f x x f x f x +=+

成立，且()83f =，则()2f = .

10.函数2

21y x x =-++在区间[]3,a -上是增函数，则实数a 的取值范围是 .

三、解答题 11.已知函数()2

1

23

f x x x =-+，求函数()f x 的定义域和值域.

12.设函数()2f x x x

=-

. （1）证明：()f x 是奇函数；

（2）判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性，并加以证明.

13.已知函数()()2

f x x a =+在区间[]1,2-上的最大值是4，求实数a 的值.

拓展性训练

14.设a R ∈，函数()2

4f x x ax =++.

（1）解不等式()()10f x f x x +-<； （2）求()f x 在区间[]1,2上的最小值()g a .

15.已知函数()f x 定义在实数集R 上，当0x >时，()01f x <<，且对于任意实数,m n 均有()()()f m n f m f n +=成立. （1）求()0f 的值；

数学必修三全册试卷及答案

第I 卷（选择题） 一、单选题（60分） 1．某班级有名学生，其中有名男生和名女生，随机询问了该班五名男生和五名503020女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为， ， ， ， 116124118122，五名女生的成绩分别为， ， ， ， ，下列说法一定正确的120118123123118123是（B ） A ． 这种抽样方法是一种分层抽样 B ． 这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 C ．这种抽样方法是一种系统抽样 D ． 该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 2．掷两枚均匀的骰子，已知点数不同，则至少有一个是3点的概率为（ C ） A ．103 B ．185 C ．31 D ．4 1 3．如图，矩形中点位边的中点，若在矩形内部随机取一个点，ABCD E CD ABCD Q 则点取自内部的概率等于（ D ） Q ABE A ． B ． C ． D ． 4131322 14．某杂志社对一个月内每天收到的稿件数量进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），

则该样本的中位数、众数分别是（ D ） A ． 47，45 B ． 45，47 C ． 46，46 D ． 46，45 5． 在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ B ）A. B. C. D.11231015110 6．高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，则甲丙相邻的概率为（ A ）A ． 12 B ．13 C ．23 D ．14 7．将2005x =输入如下图所示的程序框图得结果（　A ） A ．2006 B ．2005 C ．0 D ．2005 - 8．98和63的最大公约数为（ B ）A.6 B.7 C.8 D.9 9．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为k:5:3，现用分层抽样

高中数学必修3讲义 专题1.1 算法与程序框图

1．算法的概念 12世纪的算法是指用阿拉伯数字进行算术运算的过程 数学中的算法算法通常是指按照一定规则解决___________的明确和有限的步骤现代算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题 算法具有确定性、有效性、有限性等特征． 算法设计与一般意义上的解决问题不同，它是对一类问题的一般解法的抽象与概括，主要借助一般的问题解决方法，又要包括此类问题的所有情形．它往往是把问题的解决划分为若干个可执行的步骤，有时甚至是重复多次，但最终都必须在有限个步骤之内完成． （1）用数学语言描述算法解决问题的过程大体可分为三步： 第一步，明确问题的性质，分析题意． 我们将问题简单地分为数值问题和非数值问题，不同类型的问题可以有针对性地采用不同的方法进行处理． 第二步，建立问题的描述模型． 对于数值型问题，可以建立数学模型，通过数学语言来描述问题．对于非数值型问题，我们可以建立过程模型，通过过程模型来描述问题． 第三步，设计、确立算法． 对于数值型问题，我们可以采用数值分析的方法进行处理，数值分析中有许多现成的固定算法，我们可以直接使用．当然我们也可以根据问题的实际情况设计算法．对于非数值型问题，根据过程模型分析算法并进行处理，也可以选择一些成熟的办法进行处理，如排序、递推等． （2）算法设计应注意： ①与解决问题的一般方法有联系，从中提炼出算法；

②将解决问题的过程分为若干个可执行步骤； ③引入有关的参数或变量对算法步骤加以表达； ④用最简练的语言将各个步骤表达出来； ⑤算法的执行要在有限步内完成． 2．程序框图 程序框图又称流程图，是一种用___________、___________及___________来表示算法的图形．程序框图是人们用来描述算法步骤的形象化的方法． 在程序框图中，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序．另外，程序框内还要有必要的文字说明．构成程序框图的图形符号、名称及其功能如下表： 图形符号名称功能 终端框(起止框) 表示一个算法的起始和结束 输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息 处理框(执行框) 赋值、计算 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明 判断框 “是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N” 流程线连接程序框 连接点连接程序框图的两部分 说明：一个完整的程序框图一定会包含终端框（用于表示一个算法的开始和结束），处理框（赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等）和流程线． 3．算法的三种基本逻辑结构 通常一个算法只能由三种基本逻辑结构构成，这三种基本逻辑结构分别是：顺序结构、条件结构和循环结构． （1）顺序结构 顺序结构是由若干个___________的步骤组成的．这是任何一个算法都离不开的基本结构． 顺序结构可以用程序框图表示为

新人教版高中数学 概率综合讲义必修三

概率综合 开篇语 每一章学习之后，都要进行总结，我们说，适时的总结对数学的学习是非常有好处的，能起到事半功倍的作用，也是数学学习的重要方法之一．本讲老师将带着屏幕前的同学们一起把必修3的概率部分进行小结．首先我们把基础知识和基本方法进行梳理，然后借助典型例题再次体现双基的落实．重难点易错点解析 随机事件的意义；随机事件概率的含义；互斥事件的概率计算公式；古典概型；几何概型． 金题精讲 题一：在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从到会教师中随机挑选一人表演节 目．如果每位教师被选到的概率相等，而且选到男教师的概率为9 20，那么参加这次联欢会的教师共有() A．360人B．240人C．144人D．120人 题二：某学习小组有3名男生和2名女生，从中任取2人去参加演讲比赛，事件A＝“至少一名男生”，B＝“恰有一名女生”，C＝“全是女生”，D＝“不全是男生”，那么下列运算结果不正确的是() A．A∩B＝B B．B∪C＝D C．A∩D＝B D．A∪D＝C 题三：现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． (1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率． 题四：某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示： (1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？ (2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？ (3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率． 题五：已知直线l过点(－1,0)，l与圆C：(x－1)2＋y2＝3相交于A、B两点，则弦长|AB|≥2的概率为________． 概率综合 讲义参考答案 金题精讲

人教版A版高中数学必修三教案新部编本 全册

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校

第一章算法初步 (1) 1.1算法与程序框图 (2)

1.1.1 算法的概念（第1课时） (3) 1.1 算法与程序框图（共3课时） 1.1.1算法的概念（第1课时） 【课程标准】通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义. 【教学目标】1.理解算法的概念与特点； 2.学会用自然语言描述算法，体会算法思想； 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力. 【教学重点】算法概念以及用自然语言描述算法 【教学难点】用自然语言描述算法 【教学过程】 一、序言

算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始. 同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力. 在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想. 二、实例分析 例1：写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解：第一步：把水注入电锅； 第二步：打开电源把水烧开； 第三步：把烧开的水注入热水瓶. （以上算法是解决某一问题的程序或步骤） 例2：给出求1+2+3+4+5的一个算法. 解： 算法1 按照逐一相加的程序进行 第一步：计算1+2，得到3； 第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6； 第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10； 第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，得到15. 算法2 可以运用公式1+2+3+…+n =2 ) 1(+n n 直接计算 第一步：取n =5； 第二步：计算 2 ) 1(+n n ； 第三步：输出运算结果. （说明算法不唯一） 例3：（课本第2页，解二元一次方程组的步骤） （可推广到解一般的二元一次方程组，说明算法的普遍性） 例4：用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： 第一步：根据题意，选择标准方程或一般方程； 第二步：根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组； 第三步：解出a ，b ，r 或D ，E ，F ，代入标准方程或一般方程. 三、算法的概念 通过对以上几个问题的分析，我们对算法有了一个初步的了解.在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些 在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序 或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成 .

高中数学必修2《概率》知识点讲义

第三章 概率 一．随机事件的概率 1、基本概念： ????????不可能事件确定事件事件必然事件 随机事件 （1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件； （4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件； （5）事件：确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A ，B ，C ……表示。 2、概率与频数、频率： 在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例f n (A)= A n n 为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A) 稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。 频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值 A n n ，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率。 二．概率的基本性质 1、各种事件的关系： （1）并（和）事件 （2）交（积）事件 （3）互斥事件 （4）对立事件 2、概率的基本性质： （1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； （2）P(E)=1(E 为必然事件）； （3）P(F)=0(F 为必然事件）； （4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)； （5）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；

人教版高中数学必修3讲义 几何概型

3.3几何概型 3.3.1几何概型 1．理解几何概型的定义及特点．(重点) 2．掌握几何概型的计算方法和求解步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题．(难点) 3．与长度、角度有关的几何概型问题．(易混点) [基础·初探] 教材整理1几何概型 阅读教材P135～P136例1以上的部分，完成下列问题． 1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的特点 (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个． (2)每个基本事件出现的可能性相等． 3．几何概型的概率公式 P(A)＝ 构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) .

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关．() (2)在射击中，运动员击中靶心的概率在(0,1)内．() (3)几何概型的基本事件有无数多个．() 【答案】(1)√(2)×(3)√ 2．如图所示，有四个游戏盘，将它们水平放稳后，向上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是 () 【解析】A中奖概率为3 8 ，B中奖概率为1 4 ，C中奖概率为1 3 ，D中奖概率 为1 3 ，故选A. 【答案】 A 3．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________． 【解析】∵区间[－1,2]的长度为3，由|x|≤1得x∈[－1,1]，而区间[－1,1] 的长度为2，x取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x，|x|≤1的概率P＝2 3. 【答案】2 3 教材整理2均匀分布 阅读教材P136例1及以下的部分，完成下列问题． 当X为区间[a，b]上的任意实数，并且是等可能的，我们称X服从[a，b]上的均匀分布，X为[a，b]上的均匀随机数． X服从[3,40]上的均匀分布，则X的值不能等于() A．15B．25 C．35 D．45

人教版必修二高中数学笔记讲义

第1讲 第1章 §1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征 ¤学习目标：认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述生活中简单物体的结构.逐步培养观察能力和抽 1.下列说法错误的是（ ） A.多面体至少有四个面 B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形 C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形 分析：多面体至少应有四个顶点组成（否则至多3个顶点，而3个顶点只围成一个平面图形），而四个顶点当然必须围成四个面，所以A 正确；棱柱侧面为平行四边形，其侧棱和侧面的个数与底面多边形的边数相等，所以B 正确；长方体、正方体都是棱柱，所以C 正确；三棱柱的侧面是平行四边形，不是三角形，所以D 错误. 答案：D 2.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm ，则每条侧棱长为___________ cm. 分析：n 棱柱有2n 个顶点，由于此棱柱有10个顶点，那么此棱柱为五棱柱，又因棱柱的侧棱都相等，五条侧棱长的和为60 cm ，可知每条侧棱长为12 cm. 答案：12 3.在本节我们学过的常见几何体中,如果用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是___________. 分析：棱锥、棱柱、棱台、圆锥等几何体的截面都可以是三角形，因此本题答案是开放的，作答时要考虑周全. 答案：棱锥、棱柱、棱台、圆锥 第2讲 §1.1.2 简单组合体的结构特征 ¤学习目标：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ¤知识要点：观察周围的物体，大量的几何体是由柱、锥、台等组合而成的，这些几何体称为组合体. ¤例题精讲：【例1】在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 解：在长方体''''ABCD A B C D -中，取四棱锥'A ABCD -，它的四个侧面都是直角三角形. 选D. 【例2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为,r R ，求球的半径. 解：圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得 梯形腰长为R +r = 第3讲 §1.2.2 空间几何体的三视图 ¤学习目标：能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图 所表示的立体模型，会使用材料（如：纸板）制作模型. ¤知识要点： 1. “视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图. 光线自物体的前面向后投影所得的投影图成为“正视图”，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”，自上向下投影所得的图形称为“俯视图”. 用这三种视图即可刻划空间物体的几何结构，称为“三视图”.

人教版高中数学必修三专题讲义古典概型 课后练习

古典概型课后练习 题一：一个盒子中装有5个编号依次为1、2、3、4、5的球，这5个球除号码外完全相同，有放回的连续抽取两次，每次任意地取出一个球． （1）列举出所有可能结果． （2）设第一次取出的球号码为x，第二次取出的球号码为y，写出B=“点（x，y）落在直线y=x+1 上方”这一事件包含的基本事件． 题二：一个盒子中装有4个编号依次为1、2、3、4的球，这4个球除号码外完全相同，先从盒子中随机取一个球，该球的编号为X，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为Y． （1）列出所有可能结果． （2）写出A=“取出球的号码之和小于4”这一事件包含的基本事件． （3）写出B=“编号X＜Y”这一事件包含的基本事件． 题三：从1、2、3、4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于20的概率 题四：一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1，2，3，4的红色卡片和三张分别写有数字1，2，3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同． （1）从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字1的概率； （2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数大于22的概率． 题五：某医院派出医生下乡医疗，一天内派出医生人数及其概率如下： 求：(1) 题六：袋中有若干小球，分别为红色、黑色、黄色、白色，从中任取一球，得到红球的概率

为1 4 ，得到黑球或黄球的概率为 1 2 ，得到黄球或白球的概率为 5 12 ．试求任取一球，得到黑 球，得到黄球，得到白球的概率各是多少？ 题七：在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等．求取出的两个球上标号为相邻整数的概率． 题八：在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4，5的五个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等．求事件“取出的两个球上标号之和能被3整除”的概率． 题九：从1，3，5，7这四个数中随机地取两个数组成一个两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率为． 题十：已知：a、b、c为集合A={1，2，3，4，5，6}中三个不同的数，通过如下框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=5的概率是． 题十一：假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果．经随机模拟产生了20组随机数： 93 28 12 45 85 69 68 34 31 25

(推荐)高一数学必修一复习资料

第一章 §1.1 集合 1. 关于集合的元素的特征 （1）确定性（组成元素不确定的如：我国的小河流） （2）互异性 （3）无序性 集合相等：构成两个集合的元素完全一样 (1)若集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同则称集合A 等于集合B,记 作A=B. (2) B A A B B A =???, 例：已知A={1,1+d ，1+2d}，B={1，q ，q 2}，若A=B ，求的，d ，q 的值。 解：d=－，q=－ 2. 元素与集合的关系； （1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belong to ）A ，记作a ∈A （2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于（not belong to ）A ，记作a ?A 子集与真子集：如果集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作B A ?或A B ?. 若集合P 中存在元素不是集合Q 的元素，那么P 不包含于Q ，或Q 不包含P.记作 Q P ? 若集合A 是集合B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 叫做集合B 的真子集. B A ?或A B ?. 子集与真子集的性质：传递性：若B A ?，C B ?，则C A ? 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集. 3. 常用数集及其记法 非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 4. 集合的表示方法 （1） 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。 如：{1，2，3，4，5}，{x 2，3x+2，5y 3-x ，x 2+y 2}，…； （2） 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{} 内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或

人教版高中数学必修3全册教案

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1.1 算法与程序框图（共3课时） 1.1.1算法的概念（第1课时） 一、序言 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始. 同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力. 在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想. 二、实例分析 例1：写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解：第一步：把水注入电锅； 第二步：打开电源把水烧开； 第三步：把烧开的水注入热水瓶. （以上算法是解决某一问题的程序或步骤） 例2：给出求1+2+3+4+5的一个算法. 解：算法1 按照逐一相加的程序进行 第一步：计算1+2，得到3； 第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6； 第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10； 第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，得到15. 算法2 可以运用公式1+2+3+…+n= 2)1 (+ n n 直接计算第一步：取n=5； 第二步：计算 2)1 (+ n n ； 第三步：输出运算结果. （说明算法不唯一） 例3：（课本第2页，解二元一次方程组的步骤） （可推广到解一般的二元一次方程组，说明算法的普遍性） 例4：用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： 第一步：根据题意，选择标准方程或一般方程； 第二步：根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；

高中数学必修3复习-统计的讲义与习题(含答案及详细解答过程)

【知识点：统计】 一．简单随机抽样 1．总体和样本 总体：在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体． 个体：把每个研究对象叫做个体． 总体容量：把总体中个体的总数叫做总体容量． 为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：，，， 研究，我们称它为样本 ．．．其中个体的个数称为样本容量 ．．．．。 2．简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。 3．简单随机抽样常用的方法： （1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取。 在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差围； ③概率保证程度。 4．抽签法: （1）给调查对象群体中的每一个对象编号； （2）准备抽签的工具，实施抽签 （3）对样本中的每一个个体进行测量或调查 例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。 5．随机数表法： 例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。 二．系统抽样 1．系统抽样（等距抽样或机械抽样）： 把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。 d（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模） 三.分层抽样 1．分层抽样（类型抽样）： 先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，

高中数学必修二讲义 专题3.2 直线的方程

一、直线的点斜式方程 1．直线的点斜式方程的定义 已知直线l 经过点000(,)P x y ，且斜率为k ，则直线l 的方程为 . 这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的 ，简称 . 当直线l 的倾斜角为0°时(如图1)，tan 00=,即k =0,这时直线l 与x 轴平行或重合，l 的方程就是 00y y -=,或0y y =. 当直线l 的倾斜角为90°时(如图2)，直线没有斜率，这时直线l 与y 轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示.因为这时l 上每一点的横坐标都等于0x ，所以它的方程是00x x -=,或0x x =. 深度剖析 （1）当直线的斜率存在时，才能用直线的点斜式方程. （2）当k 取任意实数时，方程00()y y k x x -=-表示过定点00(,)x y 的无数条直线. 2．直线的点斜式方程的推导 如图，设点(,)P x y 是直线l 上不同于点000(,)P x y 的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式得

y y k x x - = - (1),即 00 () y y k x x -=-(2). 注意方程(1) 与方程(2)的差异：点 P的坐标不满足方程(1)，但满足方程(2)，因此，点 P不在方程(1)表 示的图形上，而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称为直线l的方程. 上述过程可以证明直线上每个点的坐标都是方程(2)的解.对上面的过程逆推，可以证明以方程(2)的解为 坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点 P,斜率为k的直线l的方程. 二、直线的斜截式方程 1．直线的斜截式方程的定义 我们把直线l与y轴交点(0,)b的纵坐标b叫做直线l在y轴上的. 如果直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则方程为(0) y b k x -=-，即叫做直线的，简称. 当b=0时，y kx =表示过原点的直线；当k=0且b≠0时，y b =表示与x轴平行的直线；当k=0且b=0时，0 y=表示与x轴重合的直线. 深度剖析 （1）纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、零或负数. 纵截距也可能不存在，比如当直线与y轴平行时. （2）由于有些直线没有斜率，即有些直线在y轴上没有截距，所以并非所有直线都可以用斜截式表示. 2．直线的斜截式方程的推导 已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为k，求直线l的方程.这个问题相当于给出了直线上一点(0,)b及 直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的一种特殊情况，代入点斜式方程可得(0) y b k x -=-,

高中数学必修一集合经典题型总结(高分必备)

慧诚教育2017年秋季高中数学讲义 必修一第一章复习 知识点一集合的概念 1．集合 一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示． 2．元素 构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示． 3．空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为?. 知识点二集合与元素的关系 1．属于 如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A. 2．不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A. 知识点三集合的特性及分类 1．集合元素的特性 ________、________、________. 2．集合的分类 (1)有限集：含有________元素的集合． (2)无限集：含有________元素的集合． 3．常用数集及符号表示 名称非负整数集(自然数集)整数集实数集 符号N N*或N＋Z Q R 知识点四集合的表示方法 1．列举法 把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．

2．描述法 用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．知识点五集合与集合的关系 1．子集与真子集 定义符号语言图形语言(Venn图) 子集如果集合A中的________元素 都是集合B中的元素，我们就 说这两个集合有包含关系，称 集合A为集合B的子集 ________(或 ________) 真子集如果集合A?B，但存在元素 ________，且________，我们 称集合A是集合B的真子集 ________(或 ________) 2.子集的性质 (1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________． (2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________． (3)如果A?B，B?C，则________． (4)如果A?B，B?C，则________． 3．集合相等 定义符号语言图形图言(Venn图) 集合相等如果集合A是集合B的子集 (A?B)，且 ________________，此时， 集合A与集合B中的元素是 一样的，因此，集合A与集 合B相等 A＝B 4.集合相等的性质 如果A?B，B?A，则A＝B；反之，________________________.

人教版高中数学必修3讲义 第3章章末综合测评3

章末分层突破 [自我校对] ①P(A)＋P(B) ②P(A)＋P(B)＝1 ③A包含的基本事件的个数基本事件的总数 随机事件的概率 1. (1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然

事件，简称必然事件． (2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件． (3)确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件． (4)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件，简称随机事件． (5)事件的表示方法：确定事件和随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示． 2．对于概率的定义应注意以下几点 (1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验． (2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率． (3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值． (4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小． (5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P(A)≤1. 对一批U盘进行抽检，结果如下表： 抽出件数a 50100200300400500 次品件数b 345589 次品频率b a (2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是多少？ (3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？ 【精彩点拨】结合频率的定义进行计算填表，并用频率估计概率． 【规范解答】(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04,0.025,0.017, 0.02,0.018. (2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.

高一数学必修一讲义1.1集合

本讲主要学习集合含义与表示，集合基本关系，集合基本运算三个方面，集合表示法一般含有_______和_______两种，通过学习要了解这两种方法的区别与联系，在此之外还学习了集合间的包含关系与相等关系，以及集合间的并集、交集、补集的含义，通过本部分的学习，同学们要了解集合的含义，能用Venn图表示集合的关系及运算。 一、重难点知识归纳 (一)元素与集合的含义 元素: 研究的对象 集合概念: 一些________组成的总体(简称集) 属于: 如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作________；如果a不是集合A中的元素，就说a_______集合A，记作________。 (二)列举法与描述法 列举法: 把集合的元素一一列举出来，并用_______括起来表示集合的方法叫做列举法. 描述法: 用集合所含元素的_________表示集合的方法称为描述法. 在学习过程中，我们要学会如何选择表示法表示集合，列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法。一般情况下，对有限集，在元素不太多的情况下，宜采用_________，它具有直观明了的特点；对无限集，一般采用_________表示。 (三)子集、真子集、空集

子集: 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中的_______元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B的________，记作________,读做“A包含于B”(或“__________”). 真子集: 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的_________，记作____________ 空集:_________的集合叫做空集，记作________，并规定：空集是任何集合的___________ Venn图: 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 学习这几个概念时，应注意一下几点： ①若集合A是集合B的真子集，那么集合A必是集合B的_________，反之则不一定。 ②若集合A与集合B中的元素是一样的，则集合A与集合B________。 ③元素与集合之间是__________关系，而集合与集合之间则是___________关系，如设A={a},B={a,b}，则有a____B，A_____B ④集合中元素的特征:_________；_________；_________ 5、如果集合A中有n个元素，则A的子集个数是__________，真子集个数是___________。 (四)并集、交集、补集

高一数学必修三知识点讲义

高中数学必修3知识点 一：算法初步 1：算法的概念 （1）算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成. （2）算法的特点: ①有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的. ②确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可. ③顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个 步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题. ④不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法. ⑤普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计 算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决. 2：程序框图 （1）程序框图基本概念： ①程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及 文字说明来准确、直观地表示算法的图形。 一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。 ②构成程序框的图形符号及其作用

学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下： 1、使用标准的图形符号。 2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。 3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。 4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。 5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 3：算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。 （1）顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。 顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A框和B框是依次执行的，只有在执行完A 框指定的操作后，才能接着执行B框所 指定的操作。 （2）条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的 算法结构。 条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能同时执行 A框和B框，也不可能A框、B框都不执行。一个判断结构可以有多个判

高中数学必修二立体几何讲义

高中数学 必修2知识点 第一章 空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2空间几何体的三视图和直观图 1 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 3直观图：斜二测画法 4斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2r rl S ππ+= 4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积24R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底3 1 3台体的体积 h S S S S V ?++=)3 1 下下上上（ 4球体的体积 334R V π= 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 222r rl S ππ+= D C B A α L A · α

2019学年人教版高中数学必修一精品讲义word文件

1．1集__合 1．1.1 集合的含义与表示 第一课时 集合的含义 集合的概念 [提出问题] 观察下列实例： (1)某公司的所有员工； (2)平面内到定点O 的距离等于定长d 的所有的点； (3)不等式组? ???? x ＋1≥3， x 2≤9的整数解； (4)方程x 2－5x ＋6＝0的实数根； (5)某中学所有较胖的同学． 问题1：上述实例中的研究对象各是什么？ 提示：员工、点、整数解、实数根、较胖的同学． 问题2：你能确定上述实例的研究对象吗？ 提示：(1)(2)(3)(4)的研究对象可以确定． 问题3：上述哪些实例的研究对象不能确定？为什么？ 提示：(5)的研究对象不能确定，因为“较胖”这个标准不明确，故无法确定． [导入新知] 元素与集合的概念 定义 表示 元素 一般地，我们把研究对象统称为元素 通常用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示 集合 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集) 通常用大写拉丁字母A ，B ，C ，…表示

[化解疑难] 准确认识集合的含义 (1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的． (2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素. 元素的特性及集合相等 [提出问题] 问题1：“知识点一”中的实例(3)组成的集合的元素是什么？ 提示：2,3. 问题2：“知识点一”中的实例(4)组成的集合的元素是什么？ 提示：2,3. 问题3：“知识点一”中的实例(3)与实例(4)组成的集合有什么关系？ 提示：相等． [导入新知] 1．集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等． 2．集合元素的特性 集合元素的特性：确定性、互异性、无序性． [化解疑难] 对集合中元素特性的理解 (1)确定性：作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的． (2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素． (3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如由1,2,3构成的集与3,2,1构成的集合是同一个集合. 元素与集合的关系及常用数集的记法[ 某中学2017年高一年级20个班构成一个集合． 问题1：高一(6)班、高一(16)班是这个集合中的元素吗？ 提示：是这个集合的元素．

(完整版)高中数学必修2《统计》知识点讲义

第二章统计 一、三种抽样方法 1、统计的的基本思想是：用样本的某个量去估计总体的某个量 总体：在统计中，所有考察对象的全体。 个体：总体中的每一个考察对象。 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做这个总体的一个样本。 样本容量：样本中个体的数目。 2、抽样方法：要求：总体中每个个体被抽取的机会相等 （1）简单随机抽样：抽签法和随机数表法 简单随机抽样的特点是：不放回、等可能． 抽签法步骤 （1）先将总体中的所有个体（共有N个）编号（号码可从1到N） （2）把号码写在形状、大小相同的号签上，号签可用小球、卡片、纸条等制作 （3）将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌（4）抽签时，每次从中抽出一个号签，连续抽取n次（5）抽出样本 随机数表法步骤 （1）将总体中的个体编号(编号时位数要统一)；（2）选定开始的数字；（3）按照一定的规则读取号码；（4）取出样本 （2）系统抽样 系统抽样特点：容量大、等距、等可能． 步骤: 1.编号,随机剔除多余个体,重新编号 2.分组 (段数等于样本容量),确定间隔长度 k=N/n 3.抽取第一个个体编号为i 4.依预定的规则抽取余下的个体编号为i+k, i+2k, … （3）分层抽样 分层抽样特点：总体差异明显、按所占比例抽取、等可能． 步骤：1.将总体按一定标准分层; 2.计算各层的个体数与总体的个体数的比; 3.按比例确定各层应抽取的样本数目 4.在每一层进行抽样 (可用简单随机抽样或系统抽样)

二、用样本估计总体 1、用样本的频率分布估计总体的分布 ①作样本频率分布直方图的步骤： （1）求极差； （2）决定组距与组数; (组数＝极差/组距) （3）将数据分组； （4）列频率分布表（分组，频数，频率）； （5）画频率分布直方图。 根据频率分布表做频率分布直方图应注意两点： 频率 ⑴纵轴的意义： 组距 ⑵横轴的意义：样本内容（每个矩形下面是组距）. 例1、为了了解中学生的身高情况,对育才中学同龄的50名男学生的身高进行了测量,结果如下：（单位：cm） 175 168 180 176 167 181 162 173 171 177 171 171 174 173 174 175 177 166 163 160 166 166 163 169 174 165 175 165 170 158 174 172 166 172 167 172 175 161 173 167 170 172 165 157 172 173 166 177 169 181 列出样本的频率分布表,画出频率分布直方图. 解：在这个样本中,最大值为181,最小值为157,它们的差是24,可以取组距为4,分成7组,根据题意列出样本的频率分布表如下： 频率分布直方图(略)