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第5章振动和波动习题解答

第5章振动和波动

5-1 一个弹簧振子0.5kg m =，50N m k

=，振幅0.04m A =，求

(1) 振动的角频率、最大速度和最大加速度；

(2) 振子对平衡位置的位移为x = 0.02m 时的瞬时速度、加速度和回复力； (3) 以速度具有正的最大值的时刻为计时起点，写出振动方程。解：（1）)rad (105

.050

===

m k ω max 222max 100.040.4(m/s)100.044(m/s )

v A a A ωω==?===?=

(2) 设cos()x A t ω?=+，则

d sin()d x

v A t t ωω?==-+ 2222d cos()d x a A t x t

ωω?ω==-+=-

当x=0.02m

时，cos()1/2,

sin()2t t ω?ω?+=+=，所以

20.20.346(m/s)2(m/s )1(N)

v a F ma ===-==-

(3) 作旋转矢量图，可知：π

?=- π0.04c o s (10)

x t =-

5-2 弹簧振子的运动方程为0.04cos(0.70.3)(SI)x t =-，写出此简谐振动的振幅、角频率、频率、周期和初相。

解：

A=0.04(m) 0.7(rad/s)0.3(rad)

0.11(Hz)8.98(s)

2π

T ω?ω

νν

==-=

5-3 证明：如图所示的振动系统的振动频率为

υ=

式中

12,k k 分别为两个弹簧的劲度系数，m 为物体的质量。

解：以平衡位置为坐标原点，水平向右为x 轴正方向。设物体处在平衡位置时，弹簧1的伸长量为10x ,弹簧2的伸长量为20x ，则应有

0202101=-+-x k x k

当物体运动到平衡位置的位移为x 处时，弹簧1的伸长量就为x x +10，弹簧2的伸长量就

为x x -20

，所以物体所受的合外力为

11022012()()()F k x x k x x k k x =-++-=-+

由牛顿第二定律得 2122d ()d x

m k k x t =-+

即有 2122()

d 0d k k x x t m

++= 上式表明此振动系统的振动为简谐振动，且振动的圆频率为

ω=

振动的频率为

2π

5-4 如图所示，U 形管直径为d ，管内水银质量为m ，密度为ρ，现使水银面作无阻尼自由振动，求振动周期。

习题5-4 图

解：以平衡时右液面位置为坐标原点，向上为x 轴正方向，建立坐标系。右液面偏离原点为至x 时，振动系统所受回复力为：

22ππ242

d d g F x g x ρρ=-??=-

振动角频率

ω振动周期

2T =5-5 如图所示，定滑轮半径为R ，转动惯量为J ，轻弹簧劲度系数为k ，物体质量为m ，现将物体从平衡位置拉下一微小距离后放手，不计一切摩擦和空气阻力。试证明该系统作简谐振动，并求其作微小振动的周期。

解：弹簧、滑轮、物体和地球组成的系统不受外力作用，非保守内力作功之和为零，系统机械能守恒，以物体的平衡位置为坐标原点向下为x 轴正方向，建立坐标系。设平衡时弹簧伸长0l ，有：0kl mg = （1）

物体位于x 位置时（以原点为重力势能零点）：

220111

()222

v k x l J mv mgx C R ??+++-= ??? 对上式两边求导：

0()0v a

k x l v J

mva mgv R R

++?+-= 从上式消去v ，且将（1）式代入，得到

2k a x x J m R ω=-

=-+

说明系统作简谐振动。振动周期为：

2T = 5-6 如图所示，轻弹簧的劲度系数为k ，定滑轮的半径为R 、转动惯量为J ，物体质量为m ，将物体托起后突然放手，整个系统将进入振动状态，用能量法求其固有周期。

解：设任意时刻t ，物体m 离平衡位置的位移为x ，速率为v ，则振动系统的总机械能

22111

222

v E kx C J mv R ??=+++= ???恒量

式中C 为滑轮的重力势能，为一常量，上式两边对t 求导得

0v a

kxv J

mva R R +?+= 22

a x x J m R ω=-=-+

于是

ω=

2T = 5-7 如图所示，质量为10g 的子弹，以01000m v =速度射入木块并嵌在木块中，使弹簧压缩从而作简谐运动，若木块质量为4.99kg ，弹簧的劲度系数为3810N m ?，求振动的振

幅。（设子弹射入木块这一过程极短）

解：先讨论子弹与木块的碰撞过程，在碰撞过程中，

子弹与木块组成的系统的动量守恒，

习题5-6 图

设碰撞后子弹与木块共同以速度v 运动，则有

()2(m/s)mv m m v

mv v m m '=+=='

+ 然后系统做简谐振动，因为简谐振动过程中机械能守恒，所以振幅A 可由初始时刻系统的机械能确定，已知初始时刻系统的势能为零，所以有

2211()22

m m v kA '+=

20.05m A =

= 5-8 如图所示，在一个倾角为θ的光滑斜面上，固定一个原长为0l 、劲度系数为k 、质量可以忽略不计的弹簧，在弹簧下端挂一个质量为m 的重物，求重物作简谐运动的平衡位置和周期。

解：设物体处在平衡位置时弹簧伸长量为0x ,则

00sin sin mg mg kx x k

θ==

平衡位置距O '点为：00

0sin mg l x l k

+=+

以平衡位置为坐标原点，如图建立坐标轴Ox ，当物体运动到离开平衡位置的位移为x 处时，弹簧的伸长量就是x x +0,所以物体所受的合外力为

0sin ()F mg k x x F kx θ=-+=-即

物体受力与位移成正比而反向，即可知物体做简谐振动国，此简谐振动的周期为

2T = 5-9 两质点分别作简谐振动，其频率、振幅均相等，振动方向平行。在每次振动过程中，它们在经过振幅的一半的地方时相遇，而运动方向相反。求它们相差，并用旋转矢量图表示

出来。

解：根据题意，两质点分别在2

x =

和2A x -=处相向通过，由此可以画出相应的旋转

矢量图，从旋转矢量图可得两个简谐振动的相位差为π3

π或32==????。

5-10 一简谐振动的振幅A = 24c ｍ、周期T = 3s ，以振子位移x = 12cm 、并向负方向运动时为计时起点，作出振动位移与时间的关系曲线，并求出振子运动到x = -12c ｍ处所需的最短时间。

解：依题意可得，2π2π3T ω=

=，又由旋转矢量法可知π3

?= 所以振动方程为：2ππ0.24cos()(m)3

x t =+ 质点运动到x = -12c ｍ处最小相位变化为π3，所以需要最短时间为

π3

30.5(s)2π2π

t T ??==?=

5-11 如图所示，一轻弹簧下端挂着两个质量均为m = 1.0kg 的物体B 和C ，此时弹簧伸长2.0c ｍ并保持静止。用剪刀断连接B 和C 的细线，使C 自由下落，于是B 就振动起来。选B 开始运动时为计时起点，B 的平衡位置为坐标原点，在下列情况下，求B 的振动方程

(1)x 轴正向向上；

(2)x 轴正向向下。

-A )

s (t

习题 5-10图

解：已知m=1kg,m l BC 02.0=,可得)/(1000

/2m N l mg k BC == )rad/s (1010==

ω 当以B 的平衡位置为坐标原点，振动振幅为

)(01.001.002.002.0m k mg A =-=-=

由题意知，振动初速度00=v

(1)x 轴正向向上时：π?=-=)(01.00

m x

振动方程为))(1010cos(

01.0m t x π+=

(2)x 轴正向向下时：0)(01.00

==?m x 振动方程为))(1010cos(

01.0m t x =

5-12 劲度系数为k 的轻弹簧，上端与质量为m 的平板相联，下端与地面相联。如图所示，今有一质量也为m 的物体由平板上方h 高处自由落下，并与平板发生完全非弹性碰撞。以平板开始运动时刻为计时起点，向下为正，求振动周期、振幅和初相。

习题5-11 图

习题 5-13图

解：物体下落与平板碰撞前速度：gh v 2=

0()mv m m v =+

所以物体与平板碰撞后共同运动的速度：gh v 22

以平衡位置为坐标原点，向下为x 轴正方向，建立坐标系。依题意：k

mg x -=0 在x 处，物体和平板受力：

22()mg

F mg k x kx k

=-+

则：2π2T

T ω===

A = 见旋转矢量图，有：

0arccos(

)x A ?ππ=+=+

5-13 在一平板上放一重9.8N 的物体，平板在竖直方向作简谐振动，周期T =0.50s ，振幅A =0.020m ，试求

(1)重物对平板的压力F ；

(2)平板以多大振幅运动时，重物将脱离平板?

解：以平衡位置为坐标原点，向下为x

轴正方向，物体在x 处时，

习题5-12 图

习题 5-14图

9.816mg N ma m x N mg m x x

ωωπ-==-=+=+

(1)重物对平板的压力2

9.816F x π

（2）当N=0时重物将脱离平板，由2max 9.8160N

x π=+=，得

max 0.062()x m =-,max 0.062()A x m ==

5-14 一木块在水平面上作简谐运动，振幅为5.0c ｍ，频率为ν，一块质量为m 的较小木块叠在其上，两木块间最大静摩擦力为0.4ｍg ，求振动频率至少为多大时，上面的木块将相对于下面木滑动?

解：以平衡位置为坐标原点，向右为x 轴正方向，建立坐标系，小木块在x 处：

22π

2F m x T

ωωπν=-=

= 在最大位移处，F 最大，2max F m x ω=

当mg A m f F s s μω>

>2max

，即时小木块开始相对于大木块滑动，由此得：

8.85(rad/s)ω>= 8.85

1.4(Hz)2π

ν>

= 振动频率至少应略大于1.4Hz 时，上面小木块相对于下面木块滑动。

5-15 一台摆钟的等效摆长L = 0.995ｍ，摆锤可上下移动以调节其周期。该钟每天快1分27秒。假如将此摆当作一个质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑，则应将摆锤向下移动多少距离，才能使钟走得准确?

解：设原摆钟周期为T ，钟走时准确时，其钟摆长为L '，周期为T '，则

246060878648724606086400

T T '??+==?? 而2

286487()0.9950.997(m)86400L T L L T ''??==?= ???

0.002(m)2(mm)L L '-==

应将摆锤下移2mm 。

习题 5-18图

5-16 一弹簧振子，弹簧的劲度系数 = 25N m k ，当物体以初动能0.2J 和初势能0.6J

振动时，求

(1) 振幅；

(2) 位移是多大时，势能和动能相等? (3)

位移是振幅的一半时，势能多大? 解：（1）00

0.20.60.8()k p E E E J =+=+=

0.253()2

E kA A m =∴= (2)

k p E E =

时，12p E E =，即22111

222

kx kA =?，得

0.179()2

x A m =

= (3)当A x 21

时，221111()0.2()22424

p A E k kA E J ==?== 5-17 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，两个振动的振动方程为

1π

0.04cos(2

)(SI)6x t

2π

0.03cos(2)(SI)6

x t =-

求合振动的振幅和初相。解： 6.08(cm)A =

011221122

4sin

3sin()sin sin 66arctan arctan

4.7cos cos 4cos 3cos()

A A A A ππ

???ππ???+?-+===+?+?- 5-18 有两个同方向、同频率的简谐振动，它们合振动的振幅为10cm ，合振动与第一个振动的相差为π/6，若第一个振动的振幅A 1=8.0cm ，求

（1）第二个振动的振幅A 2；

（2）第一个振动和第二个振动的相位差。解：依题意，作旋转矢量图，可知

5(cm)

A≈

222

cos0.131

A A A

A A

?=≈

?≈

5-19已知两个分振动的振动方程分别为

2cosπ

x t

2cos(π)

y t

求合振动轨道曲线。

解：两个振动方程消去t得：4

x,所以合振动轨迹是圆。

5-20质量为4536kg的火箭发射架在发射火箭时，因向后反冲而具有反冲能量，这能量由发射架压缩一个弹簧而被弹簧吸收。为了不让发射架在反冲终了后作往复运动，人们使用一个阻尼减震器使发射架能以临界阻尼状态回复到点火位置去。已知发射架以10m s的初速向后反冲并移动了3m。试求反冲弹簧的劲度系数和阻尼减震器提供临界阻尼时的阻力系数。

解：已知 m=4536kg，v0=10m/s，A=3m

反冲时，反射架动能转换成弹簧弹性势能22

mv kA

===

453610

50400(N/m)

===

临界阻尼时

βω

=，由

β=有，阻力系数：

)

kg/s

(

30240

4536

=ω

λm

5-21已知地壳平均密度约3

2.810kg m

?，地震波的纵波波速约5.5×103m，地震波的横波波速约3.5×103m s，计算地壳的杨氏模量与切变模量。

解:由

纵

得，)

（kg/m

.82

纵

=ρ

由

横

得，)

kg/m

（

.32

横

=ρ

5-22 已知空气中的声速为344m ，一声波在空气中波长是0.671m ，当它传入水中时，波长变为2.83m ，求声波在水中的传播速度。

解：根据波在不同介质中传播时，频率不变，又因为λν

/u =，得

空

水

u u =

，所以m/s)（10451.13

空

空水水

?==

λλu u 5-23 有一沿x 轴正方向传播的平面简谐横波，波速u =1.0m s ，波长λ = 0.04ｍ，振幅A = 0.03ｍ，若从坐标原点O 处的质元恰在平衡位置并向y 轴负方向运动时开始计时，试求

(1) 此平面波的波函数；

(2) x 1=0.05ｍ处质元的振动方程及该质元的初相位。解：（1）由题知：u=1m/s,m 04.0=λ,所以

)rad/s (5004

.001

.022ππλ

πν

ω=?=

O 处质点的振动方程为：0

0.03cos(50)2

y t π

π=+

所以，波函数为:0.03cos(5050)2

y t x π

ππ=-+

(2)当x 1=0.05ｍ时，代入波函数有

0.03cos(502)0.03cos50y t t πππ=-=

初相位02?π=或-。

5-24 有一沿x 轴正向传播的平面简谐波，波速为2m s ，原点处质元的振动方程为

0.6cos π(SI)y t =，试求

(1) 此波的波长； (2) 波函数；

(3) 同一质元在1秒末和2秒末这两个时刻的相位差； (4) x A =1.0m 和x B =1.5m 处两质元在同一时刻的相位差。解：由题意可得：A=0.6m,)rad/s (πω=，s 22==

(1) 224uT m λ==?=

(2)

0.6cos(π)2

y t x =-

(3) 同一质点，位置（x 坐标）不变

习题5-27 图

2122x x ππ?πππ?

????=?--?-= ? ??

???

(4)同一时刻，t 不变

()2

B A x x π

π??=-

-=-

即B 点比A 点落后

。 5-25 振动频率为500Hz ν=的波源发出一列平面简谐波，波速350m u =，试求

(1) 相位差为π

的两点相距多远；

(2) 在某点，时间间隔为310s t -?=的两个状态的相位差是多少？解：(1)

/350/5000.7m uT u λν====

π/30.70.117m 2π

2π

x ?λ??==?=

(2)

32π2π2π50010πt

t T

?ν-??=

=?=??= 5-26 有一波长为λ的平面简谐波，它在a 点引起的振动的振动方程为

cos()y A t ω?=+，试分别在如图所示四种坐标选择情况下，写出此简谐波的波函数。

解：（1）2cos[]x

y A t πω?λ

（2）2cos[]x

y A t πω?λ=

（3）2cos[()]y A t x l π

ω?λ=--+ (4) 2cos[()]y A t x l π

ω?λ

=+++ 5-27 图示为t = 0时刻的平面简谐波的波形，求 (1) 原点的振动方程； (2) 波函数； (3) P 点的振动方程；

习题5-26 图

习题5-28 图

)

(4) a 、b 两点的运动方向。

解：（1）原点振动方程：0π

0.04cos()(m)2

y t ω=+

由图可知，m 4.0=λ，所以2π2π0.082

π(rad/s)0.45

u ωλ?=== 所以：02π

0.04cos(π)(m)52y t =+

(2)波函数2π

0.04cos(π5π)(m)52y t x =-+

(3) 2π0.04cos(π5π0.4)52p y t =-?+23

0.04cos(ππ)(m)52

t =-

(4) a:向下 b:向上

5-28 一列平面简谐波沿x 轴正方向传播，波速为u ，波源的振动曲线如图所示。 (1) 画出t = T 时刻的波形曲线，写出波函数； (2) 画出4x λ

=处质元的振动曲线。

解：（1）由振动曲线可知，波源振动方程为

02π3π

cos(

y A t T =+，设波源在x=0处，则波函数为2π2πx 3πcos()2

y A t T Tu =-+ 当t = T 时，2πx 3π

cos()2

y A Tu =-

(2) 当4

x λ

时,

2π

cos(

π)y A t T

=+ )

5-29 已知一平面简谐波的波函数cos π(4+2)(SI)y A t x =，

(1)写出t = 4.2s 时各波峰位置的坐标表示式，计算此时离原点最近的一个波峰的位置，该波峰何时通过坐标原点?

(2)画出t = 4.2s 时的波形图。

解：（1）t = 4.2s 时，cos(16.8π+2π)=cos(0.8π+2π)y A x A x = 波峰位置所对应的质点的位置为：0.8π+2π2π x k =(k 为整数)

即

)m (4.0-=k x (k 为整数)

则此时离原点最近的波峰位置为x=-0.4m 。

由于该波向x 轴负方向传播，原点比x=-0.4的点先到达波峰

0(0.4)0.2(s)2

x t u ?--?=

== 即)(42.4s t t =-=?

(2) t = 4.2s 时的波形图（如图）

5-30 图示为0=t 时刻沿x 轴正方向传播的平面简谐波的波形图，其中振幅A 、波长λ、波速u 均为已知。

(1) 求原点处质元的初相位0?； (2) 写出P 处质元的振动方程； (3) 求P 、Q 两点相位差。

解：（1）由波形图可知，在t=0时，o 点处的质点向 y 轴负向运动，利用旋转矢量法可得，0

π2

。（2）原点O 处质元的振动表达式可写为0

2ππcos(

y A ut λ=+ P 处质元的振动从时间上比O 处质元的振动落后

2λ

，因此P 处质元的振动表达式为 2ππ

cos[()]22p y A u t u λλ=-+

得 2ππ

cos[]2p y A ut λ=-

（3）P 、Q 两点相位差为：2π2ππ2

x λ

?λλ?=?=?= 5-31 一线状波源发射柱面波，设介质是不吸收能量的各向同性均匀介质。求波的强度和振幅与离波源距离的关系。

解：取两个长均为l ，半径分别为r 1和r 2的同轴圆柱面S 1和S 2，由于介质不吸收能量，所以通过S 1的平均能流1P 与通过S 2的平均能流2P 相等，

即12P P =，又因为,P

P IS I

，所以111222222111/

2π/2πI P S S hr r I P S S hr r ===

= 习题5-30 图

221

I uA ρω=

12A A ∴

==5-32 设简谐波在直径 d = 0.10ｍ的圆柱形管内的空气介质中传播，波的强度I = 1.0×10-22W

m ，波速为u = 250m ，频率ν = 300Hz ，试计算

(1) 波的平均能量密度和最大能量密度各是多少? (2) 相距一个波长的两个波面之间平均含有多少能量? 解：（1）I

u ω=

2531.010410(J/m )250

I u ω--?∴===?

53max 2810(J/m )ωω-==?

(2)

227π/4π/4 2.6210(J)E V d d u ωωλων-====?

5-33 一个声源向各个方向均匀地发射总功率为10W 的声波，求距声源多远处，声强级为100 dB 。

解：距声源r 处的声波强度为

4πr

P P

I S =

= 声强级为0

10lg

L I =，式中122010W m I -=，即124πr 10010lg 10

P -=，解得：r=8.92m 5-34 设正常谈话的声强621.010W m I -=?，响雷的声强20.1W m I '=，它们的声强级各是多少？

解：正常谈话的声强级为6

1201010lg 10lg 60(dB)10I L I --===

雷声的声强级为1

1201010lg 10lg 110(dB)10

I L I --''===

5-35 纸盆半径R =0.1m 的扬声器，辐射出频率ν= 103Hz 、功率P = 40W 的声波。设空气密度ρ = 1.293kg

m ，声速u =344m ，不计空气对声波的吸收，求纸盆的振幅。

解：2πR

P P

I S =

=，又因为2212I uA ρω=，所以

3.8110(m)A -=

=? 5-36 P 、Q 为两个以同相位、同频率、同振幅振动的相干波源，它们在同一介质中传播，设波的频率为ν、波长为λ，P 、Q 间距离为3λ/2，R 为PQ 连线上P 、Q 两点外侧的任意一点，求

（1）自P 发出的波在R 点的振动与自Q 发出的波在R 点的振动的位相差；（2）R 点合振动的振幅。

解：（1）R 在Q 外侧时，3

2π2π()203πRP RQ P Q r r λ????-?=--

=-=- R 在P 外侧时，32π()2π()203πRP RQ P Q r r λ???λλ

?--?=--

-= (2)P 和Q 波源在R 点引起的振动正好为反相，所以A=0。 5-37 一弦的振动方程为0.02cos0.16cos750(SI)y x t

=，求

（1）合成此振动的两个分振动的振幅及波速为多少？（2）两个相邻节点间的距离为多大？

（3）t =2.0×10-3s 时，位于x =5.0cm 处的质元的速度为多少？解：（1）弦振动为驻波，该振动方程与驻波的标准表达式2π

2cos cos y A x t ωλ

=相比

较，得A=0.01m ，

2π

=0.16，得λ=39.2m ，

750ω=rad/s ，所以：

3750

4.710(m/s)2π

0.16

u λω

λ==

=? 两分振动的振幅都为A=0.01m 。 (2)两个相邻节点间的距离为18.6m 2

=。

（3）质元的运动速度

2750cos0.16sin750y

v x t t

=-?? t =2.0×10-3s 时，位于x =5.0cm 处的质元的速度为3

1.0410(m/)v s =-?。

5-38 如图所示，一列振幅为A 、频率为ν平面简谐波，沿x 轴正方向传播，BC 为波密介质的反射面，波在P 点反射。已知34OP λ=，6DP λ=，在0=t 时，O 处质元经过平衡位置向负方向运动。求入射波与反射波在D 点处叠加的合振动方程。

解：根据题意，可确定O 处质元振动的初相位为

，这样O 处质元的振动方程为： 0π

cos(2πt+)2y A ν=

入射波的波动表达式为：2ππcos(2π+)2

y A t x νλ=-入反射波在O 点的振动相位比入射波在O 点的振动相位要落后

2π(23/4)

π4πλ?λ

??=

式中加π是考虑反射端有半波损失而加上的。由此可得反射波在O 点的振动方程为

0π

cos(2πt+4π+)2

y A ν=反

反射波向左传播，所以反射波的波动表达式为：

2π

πcos(2π+)2

y A t x νλ=+

反入射波与反射波叠加后形成驻波的波动表达式为：

2π

2cos

cos(2π)2

y y y A x t νλ=+=+入反位于12

7643λ

λλ=-=

x 的D 点，其合振动表达式为

2π7ππ2cos cos(2π)cos(2π)1222D y A t t λννλ??

=+=+ ???

5-39 速度为20m 的火车A 和速度也为20m s 的火车B 相向行驶，火车A 以频率ν = 500Hz 鸣汽笛，试就下列两种情况求火车B 中乘客听到的声音的频率。(设声速为340m )

(1) A 、B 相遇之前； (2) A 、B 相遇之后。解：(1) A 、B 相遇之前

习题5-38 图

R R S S 34020

500562.5(Hz)34020

u V u V νν++=

=?=-- (2) A 、B 相遇之后

R R S S 34020

500444.4(Hz)34020

u V u V νν+-=

=?=-+ 5-40 一人造地球卫星发出ν= 108Hz 的微波信号，卫星探测器在某一时刻检测到由地面站反射回的信号与卫星发出的信号产生了拍频ν? = 2400Hz 的拍，求此时卫星沿地面站方向的分速度。

解：设卫星沿地面站方向的分速度为V ，由地面站反射回而被卫星接收到的信号为：

c V c c V

c c V c V

ννν++'=

=--

二者之间的频率差为：

1)c V V

c V c V

ννννν+'?=-=-=-- 可得卫星沿地面站方向的分速度为：

833102400

3.610(m/s)22400210

c V ν???==≈??++? 正号，说明向地面站靠拢。

5-41 从远方某一星体发射的光谱，经研究确认其中有一组氢原子的巴尔末线系。经测定，地球上氢原子的434nm 谱线与该星体上氢原子的589nm 谱线属于同一谱线。试由此推断该星体是正在远离还是正在接近地球?它相对地球的运动速度是多大?

解：设星体相对地球的运动速度为V ，星体上波长为λ=434nm 的氢原子，地球接收到该氢原子的波长为λ′=589nm ，频率为ν′，即：

c c V νν'- =c c c

所以此星体正远离地球。

机械振动习题集与答案

《机械振动噪声学》习题集 1－1 阐明下列概念，必要时可用插图。 (a) 振动； (b) 周期振动和周期； (c) 简谐振动。振幅、频率和相位角。 1－2 一简谐运动，振幅为 0.20 cm，周期为 0.15 s，求最大的速度和加速度。 1－3 一加速度计指示结构谐振在 82 Hz 时具有最大加速度 50 g，求其振动的振幅。 1－4 一简谐振动频率为 10 Hz，最大速度为 4.57 m/s，求其振幅、周期和最大加速度。1－5 证明两个同频率但不同相位角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动。即： A cos n t + B cos (n t + ) = C cos (n t + ' )，并讨论＝0、/2 和三种特例。 1－6 一台面以一定频率作垂直正弦运动，如要求台面上的物体保持与台面接触，则台面的最大振幅可有多大？ 1－7 计算两简谐运动x1 = X1 cos t和x2 = X2 cos ( + ) t之和。其中<< 。如发生拍的现象，求其振幅和拍频。 1－8 将下列复数写成指数A e i 形式： (a) 1 + i3 (b) 2 (c) 3 / (3 - i ) (d) 5 i (e) 3 / (3 - i ) 2 (f) (3 + i ) (3 + 4 i ) (g) (3 - i ) (3 - 4 i ) (h) ( 2 i ) 2 + 3 i + 8 2－1 钢结构桌子的周期＝0.4 s，今在桌子上放W = 30 N 的重物，如图2－1所示。已知周期的变化＝0.1 s。求：( a ) 放重物后桌子的周期；( b )桌子的质量和刚度。 2－2 如图2－2所示，长度为 L、质量为 m 的均质刚性杆由两根刚度为k 的弹簧系住，求杆绕O点微幅振动的微分方程。 2－3 如图2－3所示，质量为m、半径为r的圆柱体，可沿水平面作纯滚动，它的圆心O 用刚度为k的弹簧相连，求系统的振动微分方程。图2－1 图2－2 图2－3 2－4 如图2－4所示，质量为m、半径为R的圆柱体，可沿水平面作纯滚动，与圆心O距离为a 处用两根刚度为k的弹簧相连，求系统作微振动的微分方程。 2－5 求图2－5所示弹簧－质量－滑轮系统的振动微分方程。

(完整版)机械振动习题答案

机械振动测验一、填空题 1、所谓振动，广义地讲，指一个物理量在它的①平均值附近不停地经过②极大值和③极小值而往复变化。 2、一般来说，任何具有④弹性和⑤惯性的力学系统均可能产生机械振动。 3、 XXXX 在机械振动中，把外界对振动系统的激励或作用，①激励或输入；而系统对外界影响的反应，称为振动系统的⑦响应或输出。 4、常见的振动问题可以分成下面几种基本课题：1、振动设计2、系统识别3、环境预测 5、按激励情况分类，振动分为：①自由振动和②强迫振动；按响应情况分类，振动分为：③简谐振动、④周期振动和⑤瞬态振动。 6、 ①惯性元件、②弹性元件和③阻尼元件是离散振动系统三个最基本的元件。 7、在系统振动过程中惯性元件储存和释放①动能，弹性元件储存和释放②势能，阻尼元件③耗散振动能量。 8、如果振动时系统的物理量随时间的变化为简谐函数，称此振动为①简谐振动。 9、常用的度量振动幅值的参数有：1、峰值2、平均值3、均方值4、均方根值。 10、系统的固有频率只与系统的①质量和②刚度有关，与系统受到的激励无关。二、试证明：对数衰减率也可以用下式表示，式中n x 是经过n 个循环后的振幅。 1 ln n x x n δ=

三、求图示振动系统的固有频率和振型。已知12m m m ==，123k k k k ===。

北京理工大学1996年研究生入学考试理论力学（含振动理论基础）试题自己去查双（二）自由度振动 J，在平面上在弹簧k的限制下作纯滚动，如图所示，四、圆筒质量m。质量惯性矩 o 求其固有频率。

五、物块M质量为m1。滑轮A与滚子B的半径相等，可看作质量均为m2、半径均为r的匀质圆盘。斜面和弹簧的轴线均与水平面夹角为β，弹簧的刚度系数为k。又m1 g>m2 g sinβ , 滚子B作纯滚动。试用能量法求：（1）系统的微分方程；（2）系统的振动周期。

振动与波动习题与答案

确定，即 4. 周期与频率作谐振动的物体完成一次全振动所需的时间T 称为周期，单位时间内完成的振动次数γ称为频率。周期与频率互为倒数，即 ν = 1T 或 T 1=ν 5. 角频率(也称圆频率）ω 作谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与周期、频率的关系为 ω π=2T 或 πν=ω2 6. 相位和初相谐振动方程中（?+ωt ）项称为相位，它决定着作谐振动的物体的状态。t=0时的相位称为初相，它由谐振动的初始条件决定，即应该注意，由此式算得的?在0~2π范围内有两个可能取值，须根据t=0时刻的速度方向进行合理取舍。 7. 旋转矢量法作逆时针匀速率转动的矢量，其长度等于谐振动的振幅A ，其角速度等于谐振动的角频率ω，且t=0时，它与x 轴的夹角为谐振动的初相?，t=t 时刻它与x 轴的夹角为谐振动的相位?ω+t 。旋转矢量A ?的末端在x 轴上的投影点的运动代表着质点的谐振动。 8. 简谐振动的能量作谐振动的系统具有动能和势能，其动能 )(sin ?+ωω==t A m m E k 22222 12 1v 势能 )(cos ?+ω==t kA kx E p 2222 12 1 机械能 22 1 kA E E E p k =+= 9. 两个具有同方向、同频率的简谐振动的合成其结果仍为一同频率的简谐振动，合振动的振幅初相 2 2112211?+??+?= ?cos cos sin sin tan A A A A （1）当两个简谐振动的相差),,,( Λ210212±±=π=?-?k k 时，合振动振幅最大，为 21A A +，合振动的初相为1?或2?。

《机械振动》单元测试题(含答案)

《机械振动》单元测试题(含答案) 一、机械振动选择题 1．如右图甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以O 点为平衡位置，在a 、b 两点之间做简谐运动，其振动图象如图乙所示．由振动图象可以得知( ) A ．振子的振动周期等于t 1 B ．在t ＝0时刻，振子的位置在a 点 C ．在t ＝t 1时刻，振子的速度为零 D ．从t 1到t 2，振子正从O 点向b 点运动 2．如图所示，在一条张紧的绳子上悬挂A 、B 、C 三个单摆，摆长分别为L 1、L 2、L 3，且L 1＜L 2＜L 3，现将A 拉起一较小角度后释放，已知当地重力加速度为g ，对释放A 之后较短时间内的运动，以下说法正确的是（） A ．C 的振幅比 B 的大 B ．B 和 C 的振幅相等 C ．B 的周期为2π 2 L g D ．C 的周期为2π 1 L g 3．如图所示的单摆，摆球a 向右摆动到最低点时，恰好与一沿水平方向向左运动的粘性小球b 发生碰撞，并粘在一起，且摆动平面不便．已知碰撞前a 球摆动的最高点与最低点的高度差为h ，摆动的周期为T ，a 球质量是b 球质量的5倍，碰撞前a 球在最低点的速度是b 球速度的一半．则碰撞后 A 56 T

B ．摆动的周期为 65 T C ．摆球最高点与最低点的高度差为0.3h D ．摆球最高点与最低点的高度差为0.25h 4．如图所示,甲、乙两物块在两根相同的弹簧和一根张紧的细线作用下静止在光滑水平面上,已知甲的质量小于乙的质量．当细线突然断开斤两物块都开始做简谐运动,在运动过程中（） A ．甲的最大速度大于乙的最大速度 B ．甲的最大速度小于乙的最大速度 C ．甲的振幅大于乙的振幅 D ．甲的振幅小于乙的振幅 5．如图所示，一端固定于天花板上的一轻弹簧，下端悬挂了质量均为m 的A 、B 两物体，平衡后剪断A 、B 间细线，此后A 将做简谐运动。已知弹簧的劲度系数为k ，则下列说法中正确的是（） A ．细线剪断瞬间A 的加速度为0 B ．A 运动到最高点时弹簧弹力为mg C ．A 运动到最高点时，A 的加速度为g D ．A 振动的振幅为 2mg k 6．用图甲所示的装置可以测量物体做匀加速直线运动的加速度，用装有墨水的小漏斗和细线做成单摆，水平纸带中央的虚线在单摆平衡位置的正下方。物体带动纸带一起向左运动时，让单摆小幅度前后摆动，于是在纸带上留下如图所示的径迹。图乙为某次实验中获得的纸带的俯视图，径迹与中央虚线的交点分别为A 、B 、C 、D ，用刻度尺测出A 、B 间的距离为x 1；C 、D 间的距离为x 2。已知单摆的摆长为L ，重力加速度为g ，则此次实验中测得的物体的加速度为（） A ． 212()x x g L π- B ． 212()2x x g L π- C ． 212()4x x g L π- D ． 212()8x x g L π-

机械振动习题及答案

机械振动一、选择题 1. 下列4种运动（忽略阻力）中哪一种是简谐运动（ C ） ()A 小球在地面上作完全弹性的上下运动 ()B 细线悬挂一小球在竖直平面上做大角度的来回摆动 ()C 浮在水里的一均匀矩形木块，把它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动 ()D 浮在水里的一均匀球形木块，把它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动解析：A 小球不是做往复运动，故A 不是简谐振动。B 做大角度的来回摆动显然错误。D 由于球形是非线性形体，故D 错误。 2．如图1所示，以向右为正方向，用向左的力压缩一弹簧，然后松手任其振动。若从松手时开始计时，则该弹簧振子的初相位应为图一（ D ） ()0A ()2 πB

()2 π-C ()πD 解析： 3.一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻质弹簧下面，其振动周期为T 。若将此轻质弹簧分割成3等份，将一质量为2m 的物体挂在分割后的一根弹簧上，则此弹簧振子的周期为（ B ） ()63T A ()36T B ()T C 2 ()T D 6 解析：有题可知：分割后的弹簧的劲度系数变为k 3，且分割后的物体质量变为m 2。故由公式k m T π2=，可得此弹簧振子的周期为3 6T 4．两相同的轻质弹簧各系一物体（质量分别为21,m m ）做简谐运动（振幅分别为21,A A ）,问下列哪一种情况两振动周期不同（ B ） ()21m m A =，21A A =,一个在光滑水平面上振动，另一个在竖直方向上振动 ()B 212m m =，212A A =,两个都在光滑的水平面上作水平振动 ()C 21m m =，212A A =，两个都在光滑的水平面上作水平振动 ()D 21m m =，21A A =，一个在地球上作竖直振动，另一个在月球上作竖直振动

振动与波动习题与答案

振动与波动习题与答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

第10章振动与波动一. 基本要求 1. 掌握简谐振动的基本特征，能建立弹簧振子、单摆作谐振动的微分方程。 2. 掌握振幅、周期、频率、相位等概念的物理意义。 3. 能根据初始条件写出一维谐振动的运动学方程，并能理解其物理意义。 4. 掌握描述谐振动的旋转矢量法，并用以分析和讨论有关的问题。 5. 理解同方向、同频率谐振动的合成规律以及合振幅最大和最小的条件。 6. 理解机械波产生的条件。 7. 掌握描述简谐波的各物理量的物理意义及其相互关系。 8. 了解波的能量传播特征及能流、能流密度等概念。 9. 理解惠更斯原理和波的叠加原理。掌握波的相干条件。能用相位差或波程差概念来分析和确定相干波叠加后振幅加强或减弱的条件。 10. 理解驻波形成的条件，了解驻波和行波的区别，了解半波损失。二. 内容提要 1. 简谐振动的动力学特征作谐振动的物体所受到的力为线性回复力，即取系统的平衡位置为坐标原点，则简谐振动的动力学方程（即微分方程）为 2. 简谐振动的运动学特征作谐振动的物体的位置坐标x 与时间t 成余弦（或正弦）函数关系，即由它可导出物体的振动速度 )sin(?+ωω-=t A v 物体的振动加速度 )cos(?+ωω-=t A a 2 3. 振幅A 作谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值，振幅的大小由初始条件确定，即 4. 周期与频率作谐振动的物体完成一次全振动所需的时间T 称为周期，单位时间内完成的振动次数γ称为频率。周期与频率互为倒数，即 ν= 1T 或 T 1=ν 5. 角频率(也称圆频率）ω 作谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与周期、频率的关系为 ω π = 2T 或 πν=ω2 6. 相位和初相谐振动方程中（?+ωt ）项称为相位，它决定着作谐振动的物体的状态。t=0时的相位称为初相，它由谐振动的初始条件决定，即应该注意，由此式算得的?在0~2π范围内有两个可能取值，须根据t=0时刻的速度方向进行合理取舍。

机械振动课程期终考试卷-答案

一、填空题 1、机械振动按不同情况进行分类大致可分成（线性振动）和非线性振动；确定性振动和（随机振动）；（自由振动）和强迫振动。 2、周期运动的最简单形式是（简谐运动），它是时间的单一（正弦）或（余弦）函数。 3、单自由度系统无阻尼自由振动的频率只与（质量）和（刚度）有关，与系统受到的激励无关。 4、简谐激励下单自由度系统的响应由（瞬态响应）和（稳态响应）组成。 5、工程上分析随机振动用（数学统计）方法，描述随机过程的最基本的数字特征包括均值、方差、（自相关函数）和（互相关函数）。 6、单位脉冲力激励下，系统的脉冲响应函数和系统的（频响函数）函数是一对傅里叶变换对，和系统的（传递函数）函数是一对拉普拉斯变换对。 2、在离散系统中，弹性元件储存( 势能)，惯性元件储存（动能），（阻尼）元件耗散能量。 4、叠加原理是分析（线性）系统的基础。 5、系统固有频率主要与系统的（刚度）和（质量）有关，与系统受到的激励无关。 6、系统的脉冲响应函数和（频响函数）函数是一对傅里叶变换对，和（传递函数）函数是一对拉普拉斯变换对。 7、机械振动是指机械或结构在平衡位置附近的（往复弹性）运动。 1．振动基本研究课题中的系统识别是指根据已知的激励和响应特性分析系统的性质，并可得到振动系统的全部参数。（本小题2分） 2．振动按激励情况可分为自由振动和强迫振动两类。（本小题2分）。 3．图（a）所示n个弹簧串联的等效刚度= k ∑ = n i i k1 1 1 ；图（b）所示n个粘性阻尼串联的等效粘性阻尼系数= e C ∑ = n i i c1 1 1 。（本小题3分）（a）（b）题一 3 题图 4．已知简谐振动的物体通过距离静平衡位置为cm x5 1 =和cm x10 2 =时的速度分别为s cm x20 1 = &和s cm x8 2 = &，则其振动周期= T；振幅= A10.69cm。（本小题4分） 5．如图（a）所示扭转振动系统，等效为如图（b）所示以转角 2 ?描述系统运动的单自由度系统后，则系统的等效转动惯量= eq I 2 2 1 I i I+，等效扭转刚度= teq k 2 2 1t t k i k+。（本小题4分）

机械原理习题答案安子军

习题解答第一章绪论 1-1 答： 1 ）机构是实现传递机械运动和动力的构件组合体。如齿轮机构、连杆机构、凸轮机构、螺旋机构等。 2 ）机器是在组成它的实物间进行确定的相对运动时，完成能量转换或做功的多件实物的组合体。如电动机、内燃机、起重机、汽车等。 3 ）机械是机器和机构的总称。 4 ） a. 同一台机器可由一个或多个机构组成。 b. 同一个机构可以派生出多种性能、用途、外型完全不同的机器。 c. 机构可以独立存在并加以应用。 1-2 答：机构和机器，二者都是人为的实物组合体，各实物之间都具有确定的相对运动。但后者可以实现能量的转换而前者不具备此作用。 1-3 答： 1 ）机构的分析：包括结构分析、运动分析、动力学分析。 2 ）机构的综合：包括常用机构设计、传动系统设计。 1-4 略

习题解答第二章平面机构的机构分析 2－1 ～ 2－5 （答案略） 2-6 (a) 自由度 F＝1 (b) 自由度 F＝1 (c) 自由度 F＝1 2-7 题 2 － 7 图 F ＝ 3 × 7 － 2 × 9 － 2 ＝ 1

2 -8 a) n ＝7 ＝10 ＝0 F ＝3×7－2×10 ＝1 b) B 局部自由度 n ＝3 ＝ 3 ＝2 F＝3×3 －2×3－2＝1 c) B 、D 局部自由度 n ＝3 ＝3 ＝2 F＝3×3 －2×3－2 ＝1 d) D( 或 C) 处为虚约束 n ＝3 ＝4 F＝3×3 － 2×4＝1 e) n ＝5 ＝7 F＝3×5－2×7＝1 f) A 、 B 、 C 、E 复合铰链 n ＝7 ＝10 F ＝3×7－2×10 ＝1 g) A 处为复合铰链 n ＝10 ＝14 F ＝3×10 － 2×14＝2 h) B 局部自由度 n ＝ 8 ＝ 11 ＝ 1 F ＝3×8－2×11－1 ＝1 i) B 、 J 虚约束 C 处局部自由度 n ＝ 6 ＝ 8 ＝ 1 F ＝3×6 － 2×8－1＝1 j) BB' 处虚约束 A 、 C 、 D 复合铰链 n ＝7 ＝10 F ＝3×7－2×10＝1 k) C 、 D 处复合铰链 n＝5 ＝6 ＝2F ＝3×5－2×6－2 ＝1 l) n ＝ 8 ＝ 11 F ＝ 3×8－2×11 ＝ 2 m) B 局部自由度 I 虚约束 4 杆和 DG 虚约束 n ＝ 6 ＝ 8 ＝ 1 F ＝3×6－2×8－1 ＝1 2-9 a) n ＝ 3 ＝ 4 ＝ 1 F ＝ 3 × 3 － 2 × 8 － 1 ＝ 0 不能动。 b) n ＝ 5 ＝ 6 F ＝ 3 × 5 － 2 × 6 ＝ 3 自由度数与原动件不等 , 运动不确定。

15机械振动习题解答

第十五章机械振动一选择题 1. 对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的？( ) A. 物体在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值； B. 物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零； C. 物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零； D. 物体处负方向的端点时，速度最大，加速度为零。解：根据简谐振动的速度和加速度公式分析。答案选C 。 2.下列四种运动（忽略阻力）中哪一种不是简谐振动？（） A. 小球在地面上作完全弹性的上下跳动； B. 竖直悬挂的弹簧振子的运动； C. 放在光滑斜面上弹簧振子的运动； D. 浮在水里的一均匀球形木块，将它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动。解：A 中小球没有受到回复力的作用。答案选A 。 3. 一个轻质弹簧竖直悬挂，当一物体系于弹簧的下端时，弹簧伸长了l 而平衡。则此系统作简谐振动时振动的角频率为（） A. l g B. l g C. g l D. g l 解由kl =mg 可得k =mg /l ，系统作简谐振动时振动的固有角频率为l g m k ==ω。故本题答案为B 。 4. 一质点作简谐振动（用余弦函数表达），若将振动速度处于正最大值的某时刻取作t =0，则振动初相?为（） A. 2π- B. 0 C. 2π D. π 解由 ) cos(?ω+=t A x 可得振动速度为 ) sin(d d ?ωω+-==t A t x v 。速度正最大时有0) cos(=+?ωt ，1) sin(-=+?ωt ，若t =0，则 2 π-=?。故本题答案为A 。 5. 如图所示，质量为m 的物体，由劲度系数为k 1和k 2的两个轻弹簧连接，在光滑导轨上作微小振动，其振动频率为 ( )

振动、波动练习题

振动 1. （3380）如图所示，质量为m 的物体由劲度系数为k 1和k 2的两个轻弹簧连接，在水平光滑导轨上作微小振动，则系统的振动频率为 (A) m k k 2 12+π=ν ． (B) m k k 2 121+π=ν ． (C) 212121k mk k k +π= ν ． (D) ) (21 2121k k m k k +π=ν ．［ B ］ 2. （3042）一个质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为A 21，且向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为［］ 3.（5186）已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒．则此简谐振动的振动方程为： (A) ) 3 232cos(2π+π=t x ． (B) )3 232cos(2π-π=t x ． (C) )3 234cos(2π+π=t x ． (D) )3 234cos(2π-π=t x ． (E) )4134cos(2π-π=t x ．［］ 4. (5181) 一质点作简谐振动，已知振动频率为f ，则振动动能的变化频率是 (A) 4f . (B) 2 f . (C) f . (D) 2/f . (E) f /4 ［］ 5. （5311）一质点作简谐振动，已知振动周期为T ，则其振动动能变化的周期是 (A) T /4． (B) 2/T ． (C) T ． (D) 2 T ． (E) 4T ．［］

6. (3030) 两个同周期简谐振动曲线如图所示．x 1的相位比x 2的相位 (A) 落后/2． (B) 超前． (C) 落后． (D) 超前．［］ 7. （3009）一弹簧振子作简谐振动，振幅为A ，周期为T ，其运动方程用余弦函数表示．若t = 0时， (1) 振子在负的最大位移处，则初相为______________________； (2) 振子在平衡位置向正方向运动，则初相为________________； (3) 振子在位移为A /2处，且向负方向运动，则初相为______． 8. （3015）在t = 0时，周期为T 、振幅为A 的单摆分别处于图(a)、(b)、(c)三种状态．若选单摆的平衡位置为坐标的原点，坐标指向正右方，则单摆作小角度摆动的振动表达式（用余弦函数表示）分别为 (a) ______________________________； (b) ______________________________； (c) ______________________________． 9.（3553）无阻尼自由简谐振动的周期和频率由__________________________决定．对于给定的简谐振动系统，其振辐、初相由______________决定． 10. （3057）三个简谐振动方程分别为 )2 1 cos(1π+=t A x ω， )67cos(2π+=t A x ω和)6 11 cos(3π+=t A x ω画出它们的旋转矢量图，并在同一坐标上画出它们的振动曲线． 11. （3816）一质点沿x 轴以 x = 0 为平衡位置作简谐振动，频率为 Hz ．t = 0时x = 0.37 cm 而速度等于零，则振幅是_____________________，振动的数值表达式为______________________________． 12.（3046）一简谐振动的旋转矢量图如图所示，振幅矢量长 2 cm ，则该简谐振动的初相为____________．振动方程为 ______________________________． 13. （3017）一质点沿x 轴作简谐振动，其角频率 = 10 rad/s ．试分别写出以下两种初始状态下的振动方程： (c)v 0v 0v = 0 ω ωπt x O t =0 t = t π/4 O x

机械振动基础试卷3答案

（共计15分）故系统的周期为 2.重物m 1悬挂在刚度为k 的弹簧上，并处于静平衡位置，另一重物m 2 从高度为h 处自由落到m i 上无弹跳，如图2所示，求其后的运动。（共计15分）解：根据题意，取M=M 1+m 2所处的平衡位置为原点，向下为正，得系统运动的微分方程为: =詈cos （pZ t ） jl^sin （pZ t ） k m 1 m 2 . k . m, m 2 3.如图3所示系统两个圆盘的半径为r ,设 I 1 I 2 I,k 1 k 2 k,k 3 3k,求系统的固有频率和振型。（共计15分）解：取1, 2为系统的广义坐标，系统的动能为 E T I 1 12 212 22 11 （ 12 22）振动分析与实验基础课程考试 3答案 1.求如图1所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂, 且k 2 2k 〔， k g k 〔 o 解: 等效刚度二一1— 1 1 (-—) k 1 k 2 k 3 永1 5k 1 k m 3m 解得 x x 0cos n t —°sin n t n T 乙2 n

2). 1 2 1 2 1 2 U 尹i (r J 2 步(「! r 2)2 尹(「2)2 系统的特征方程为: 在频率比/ n = , 2时，恒有X A 2).在/ n V 、2 , X/A 随E 增大而减小，而在 / n > 2 , X/A 随 E 增大而增大 (共计15分) 证明：1).因—<1 (2 / n )2|H() A^ 1 故当 / n = 2 时， |H(W )| .—. V 1 (2 J 2)2 所以，X 1 (2 2 )2 1,故无论阻尼比E 取何值恒有 X/A A ；1 (2 厨 (2 / n )2 ( / n )2 2( / n )2 1 (2 / n )2 (1 ( / n )2)2 (2 / n )2'2 系统的势能为从而可得 k 1r 2 k 2r 2 k 2r 2 k 2r 2 k 2r 2 k 3r 2 2kr 2 kr 2 kr 2 4kr 2 得 W 12 (3 .2)牛 (3 其振型分别为：U 1 u 2 4. H( )| 1 (2 / n )2, |H( )| 1/ . 1-( / n ) 2 2 (2 / n )2 证明: 1).无论阻尼比E 取何值,

机械振动学习题解答大全

机械振动习题解答（四）·连续系统的振动连续系统振动的公式小结： 1 自由振动分析杆的拉压、轴的扭转、弦的弯曲振动微分方程 22 222y y c t x ??=?? (1) 此式为一维波动方程。式中，对杆，y 为轴向变形，c =；对轴，y 为扭转角，c ；对弦，y 为弯曲挠度，c 令(,)()i t y x t Y x e ω=，Y (x )为振型函数，代入式(1)得 20, /Y k Y k c ω''+== (2) 式(2)的解为 12()cos sin Y x C kx C kx =+ (3) 将式(3)代入边界条件，可得频率方程，并由此求出各阶固有频率ωn ，及对应的振型函数Y n (x )。可能的边界条件有 /00, 0/0p EA y x Y Y GI y x ??=??? ?'=?=????=???? 对杆，轴向力固定端自由端对轴，扭矩 (4) 类似地，梁的弯曲振动微分方程 24240y y A EI t x ρ??+=?? (5) 振型函数满足 (4)4420, A Y k Y k EI ρω-== (6) 式(6)的解为 1234()cos sin cosh sinh Y x C kx C kx C kx C kx =+++ (7) 梁的弯曲挠度y (x , t )，转角/y x θ=??，弯矩22/M EI y x =??，剪力 33//Q M x EI y x =??=??。所以梁的可能的边界条件有 000Y Y Y Y Y Y ''''''''======固定端，简支端，自由端 (8) 2 受迫振动杆、轴、弦的受迫振动微分方程分别为 222222222222(,) (,), (,) p p u u A EA f x t t x J GI f x t J I t x y y T f x t t x ρθθ ρρ??=+????=+=????=+??杆：轴：弦： (9) 下面以弦为例。令1 (,)()()n n n y x t Y x t ?∞==∑，其中振型函数Y n (x )满足式(2)和式(3)。代入式(9)得 1 1 (,)n n n n n n Y T Y f x t ρ??∞ ∞ ==''-=∑∑ (10) 考虑到式(2)，式(10)可改写为 21 1 (,)n n n n n n n Y T k Y f x t ρ??∞ ∞ ==+=∑∑ (11) 对式(11)两边乘以Y m ，再对x 沿长度积分，并利用振型函数的正交性，得 2220 (,)l l l n n n n n n Y dx Tk Y dx Y f x t dx ρ??+=???

振动与波习题测试

精心整理第4章振动与波动一、选择题 1. 在下列所述的各种物体运动中, 可视为简谐振动的是 [ ] (A) 将木块投入水中, 完全浸没并潜入一定深度, 然后释放 . [ , [ (C) 周期相同, 平衡位置不同 (D) 周期不同, 平衡位置相同 4. 如图4-1-4所示，升降机中有一个作谐振动的单摆, 当升降机静止时, 其振动周期为2 s ，当升降机以加速度上升时, 升降机中的观察者观察到其单摆的振动周期与原来的振动周期相比，将 [ ] (A) 增大 (B) 不变图4-1-4

(C) 减小 (D) 不能确定 . 5. 两质点在同一方向上作同振幅、同频率的简谐振动．在振动过程中, 每当它们经过振幅一半的地方时, 其运动方向都相反．则这两个振动的相位差为 [ ] (A) π (B) π3 2 (C) π3 4 (D) π5 4 6 在简谐振动的速度和加速度表达式中，都有一个负号, 这是意味着 [ π [ [ 时刻 [ ] (A) )21 cos(t A x ω= (B) )cos(2t A x ω= (C) )3π2sin(--=T t A x π (D) )3 π 2cos(-=T t A x π 10. 当一质点作简谐振动时, 它的动能和势能随时间作周期变化．如果ν是质点振动的频率, 则其动能变化的频率为

[ ] (A) ν4 (B) ν2 (C) ν (D) 2 ν 11. 已知一简谐振动系统的振幅为A , 该简谐振动动能为其最大值一半的位置是 [ ] (A) 1 2 A (B) 22A (C) 32A (D) A 12. 一弹簧振子作简谐振动, 当其偏离平衡位置的位移大小为振幅的1/4时, 其动能为振动总能量的 [ T ． [ 14. ? [ [ 16 如果两个同方向同频率简谐振动的振动方程分别为π)4 3 3cos(73.11+=t x (cm)和 π)4 1 3cos(2+ =t x (cm)，则它们的合振动方程为 [ ] (A) π)433cos(73.0+=t x (cm) (B) π)41 3cos(73.0+=t x (cm) (C) π)1273cos(2+=t x (cm) (D) π)125 3cos(2+=t x (cm)

机械振动基础试卷

机械振动基础试卷集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

振动分析与实验基础课程考试试卷 1 1. 设有两个刚度分别为21,k k 的线性弹簧如图1所示，试证明：1）它们并联时的总刚度eq k 为： 2）它们串联时的总刚度eq k 为： (共计15分) 2. 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ，设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。 (共计15分) 3. 求如图2所示系统微幅扭振的周期。图中两个摩擦轮可分别绕水平轴1O ，2O 转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置（半径1O A 与2O B 在同一水平线上），弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘，质量分别为1m ,2m 。(共计15分) 4. 试证明：对数衰减率也可用下式表示 n n x x l n 01=δ （式中n x 是经过n 个循环后的振幅）。并给出在阻尼比ξ为0.01，0.1，0.3时振幅减小到50%以下所需要的循环数。(共计15分) 5. 如图3所示的扭振系统，设, 221I I =12t t K K = 1).写出系统的刚度矩阵和质量矩阵。 2).写出系统的频率方程并求出固有频率和振型，画出振型图。 (共计15分) 6. 证明：对系统的任一位移{}x ，Rayleigh 商满足221)(n x R ωω≤≤

这里[]K和[]M分别是系统的刚度矩阵和质量矩阵，1ω和nω分别是系统的最低和最高固有频率。(共计15分) 7. 求整流正弦波 T tπ A x(t) 2 sin =的均值，均方值和方差。(共计10分)

大学物理第五章机械振动习题解答和分析要点

5-1 有一弹簧振子，振幅A=2.0?10-2m，周期T=1.0s，初相?=3π/4.试写出它的振动位移、速度和加速度方程。分析根据振动的标准形式得出振动方程，通过求导即可求解速度和加速度方程。解：振动方程为：x=Acos[ωt+?]=Acos[ 3π 42πTt+?] 代入有关数据得：x=0.02cos[2πt+ 振子的速度和加速度分别是： v=dx/dt=-0.04πsin[2πt+3π 4 3π 4](SI) ](SI) a=dx/dt=-0.08πcos[2πt+222](SI) 5-2若简谐振动方程为x=0.1cos[20πt+π/4]m，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）t=2s时的位移、速度和加速度. 分析通过与简谐振动标准方程对比，得出特征参量。解：(1)可用比较法求解.根据x=Acos[ωt+?]=0.1cos[20πt+π/4] 得：振幅A=0.1m，角频率ω=20πrad/s，频率ν=ω/2π=10s 周期T=1/ν=0.1s，?=π/4rad （2）t=2s时，振动相位为：?=20πt+π/4=(40π+π/4)rad 22 由x=Acos?，ν=-Aωsi n?，a=-Aωcos?=-ωx得 -1， x=0.0707m,ν=-4.44m/s,a=-279m/s 5-3质量为2kg的质点，按方程x=0.2sin[5t-(π/6)](SI)沿着x轴振动.求：（1）t=0时，作用于质点的力的大小；（2）作用于质点的力的最大值和此时质点的位置. 分析根据振动的动力学特征和已知的简谐振动方程求解，位移最大时受力最大。2解：（1）跟据f=ma=-mωx，x=0.2sin[5t-(π/6)] 2 将t=0代入上式中，得：f=5.0N 2 （2）由f=-mωx可知，当x=-A=-0.2m时，质点受力最大，为f=10.0N 5-4为了测得一物体的质量m，将其挂到一弹簧上并让其自由振动，测得振动频率ν1=1.0Hz；而当将另一已知质量为m'的物体单独挂到该弹簧上时，测得频率为 ν2=2.0Hz.设振动均在弹簧的弹性限度内进行，求被测物体的质量. 分析根据简谐振动频率公式比较即可。解：由ν=1 2πk/m，对于同一弹簧（k相同）采用比较法可得：ν1 ν2=m'm 解得：m=4m'

6.机械振动习题及答案

一、选择题 1、一质点作简谐振动，其运动速度与时间的曲线如图所示，若质点的振动按余弦函数描述，则其初相为 [ D ] （A ） 6π (B) 56π (C) 56π- (D) 6π- (E) 23 π- 2、已知一质点沿y 轴作简谐振动，如图所示。其振动方程为3cos()4 y A t π ω=+，与之对应的振动曲线为 [ B ] 3、一质点作简谐振动，振幅为A ，周期为T ，则质点从平衡位置运动到离最大振幅 2A 处需最短时间为 [ B ] （A ）;4T (B) ;6T (C) ;8 T (D) .12T 4、如图所示，在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为m 的物体，再用此弹簧改系一质量为m 4的物体，最后将此弹簧截断为两个弹簧后并联悬挂质量为m 的物体，此三个系统振动周期之比为 (A);2 1 : 2:1 (B) ;2:21:1 [ C ] (C) ;21:2:1 (D) .4 1 :2:1

5、一质点在x 轴上作简谐振动，振幅cm A 4=，周期s T 2=，其平衡位置取坐标原点。若0=t 时刻质点第一次通过cm x 2-=处，且向x 轴负方向运动，则质点第二次通过cm x 2-=处的时刻为 (A);1s (B) ;32s (C) ;34 s (D) .2s [ B ] 6、一长度为l ，劲度系数为k 的均匀轻弹簧分割成长度分别为21,l l 的两部分，且21nl l =，则相应的劲度系数1k ，2k 为 [ C ] （A ）;)1(,121k n k k n n k +=+= （B ）;11,121k n k k n n k +=+= (C) ;)1(,121k n k k n n k +=+= (D) .1 1 ,121k n k k n n k +=+= 7、对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的 [ C ] （A ）物体处在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值；（B ）物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零；（C ）物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零；（D ）物体处于负方向的端点时，速度最大，加速度为零。 8、一个质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为 A 2 1 ，且向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为［ B ］

机械振动总结复习习题及解答

欢迎阅读 1、某测量低频振动用的测振仪（倒置摆）如下图所示。试根据能量原理推导系统静平衡稳定条件。若已知整个系统的转动惯量23010725.1m kg I ??=-，弹簧刚度m N k /5.24=，小球质量 kg m 0856.0=，直角折杆的一边cm l 4=。另一边cm b 5=。试求固有频率。 k b l θθ I 0m 解：弹性势能 2 )(2 1θb k U k =, 重力势能 )cos (θl l mg U g --= 总势能 m g l m g l kb U U U g k -+=+=θθcos 2 122 代入0==i x x dx dU 可得可求得0=θ满足上式。再根据公式02 2>=i x x dx U d 判别0=θ位置是否稳定及其条件：即满足mgl kb >2条件时，振动系统方可在0=θ位置附近作微幅振动。系统的动能为 22 10θ?=I T 代入0)(=+dt U T d 可得

由0=θ为稳定位置，则在微振动时0sin ≈θ，可得线性振动方程为：固有频率代入已知数据，可得 2、用能量法解此题：一个质量为均匀半圆柱体在水平面上做无滑动的往复滚动，如上图所示，设圆柱体半径为R ，重心在c 点,oc=r,，物体对重心的回转体半径为L ，试导出运动微分方程。解：如图所示，在任意角度θ（t ）时，重心c 的升高量为 ?=r （1－cos θ）=2rsin 22θ 取重心c 的最低位置为势能零点，并进行线性化处理，则柱体势能为 V=mg ?=2mg r sin 22θ ≈ 21mgr 2θ （a ） I b =I c +m bc 2=m(L 2+bc 2) （b ） bc 2=r 2+R 2-2rRcos θ(t) （c ）而柱体的动能为 T=21 I b ? θ2 把（b ）式，（c ）式两式代入，并线性化有 T=21 m[L 2＋（R －r ）2]? θ2 （d ）根据能量守恒定理，有 21 m[L 2＋（R －r ）2]? θ2＋21mgr 2θ=E=const 对上式求导并化简，得运动微分方程为 [L 2＋（R －r ）2]? ?θ＋gr θ=0 （e ） 3、一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。解：取圆柱体的转角θ为坐标，逆时针为正，静平衡位置时0θ=，则当m 有θ转角时，系统有：由()0T d E U +=可知：解得 22/()n kr I mr ω=+（rad/s ） 4、图中，半径为r 的圆柱在半径为R 的槽内作无滑滚动，试写出系统作微小振动时的微分方程解 1）建立广义坐标。设槽圆心O 与圆柱轴线O 1的连线偏离平衡位置的转角为广义坐标，逆时针方向为正。

振动波动练习题

振动 1、 (3380)如图所示,质量为m 的物体由劲度系数为k 1与k 2的两个轻弹簧连接,在水平光滑导轨上作微小振动,则系统的振动频率为 (A) m k k 212+π=ν . (B) m k k 2121+π=ν . (C) 212121k mk k k +π=ν . (D) )(212 121k k m k k +π=ν . ［ B ］ 2、 (3042)一个质点作简谐振动,振幅为A ,在起始时刻质点的位移为A 21,且向x 轴的正方向运动,代表此简谐振动的旋转矢量图为［］ 3、(5186) 已知某简谐振动的振动曲线如图所示,位移的单位为厘米,时间单位为秒.则此简谐振动的振动方程为: (A) )3 232cos(2π+π=t x . (B) )3 232cos(2π-π=t x . (C) )3 234cos(2π+π=t x . (D) )3 234cos(2π-π=t x . (E) )4 134cos(2π-π=t x . ［］ 4、 (5181) 一质点作简谐振动,已知振动频率为f ,则振动动能的变化频率就是 (A) 4f 、 (B) 2 f 、 (C) f 、 (D) 2/f 、 (E) f /4 ［］ 5、 (5311)一质点作简谐振动,已知振动周期为T ,则其振动动能变化的周期就是 (A) T /4. (B) 2/T . (C) T . (D) 2 T . (E) 4T . ［］ 6、 (3030) 两个同周期简谐振动曲线如图所示.x 1的相位比x 2的相位 (A) 落后π/2. (B) 超前π/2. (C) 落后π . (D) 超前π. ［］ 7、 (3009) 一弹簧振子作简谐振动,振幅为A ,周期为T ,其运动方程用余弦函数表示.若t = 0时, (1) 振子在负的最大位移处,则初相为______________________; (2) 振子在平衡位置向正方向运动,则初相为________________;

第5章 振动和波动习题解答

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