2013年数学高考题山东文科word版
2013年夏季招生全国统一考试数学文史类(山东卷)
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2013山东，文1)复数z ＝2
2i i
(-)(i 为虚数单位)，则|z |＝( )．
A ．25
B
C ．5
D 答案：C
解析：44i 134i
43i i i
z ---=
=--，所以|z | 5.故选C. 2．(2013山东，文2)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且(A ∪B )＝{4}，B
＝{1,2}，则A ∩＝( )．
A ．{3}
B ．{4}
C ．{3,4}
D ．
答案：A
解析：∵(A ∪B )＝{4}，∴A ∪B ＝{1,2,3}． 又∵B ＝{1,2}，∴A 一定含元素3，不含4. 又∵
＝{3,4}，∴A ∩
＝{3}．
3．(2013山东，文3)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x
，则f (－1)＝( )． A ．2 B ．1 C ．0 D ．－2 答案：D
解析：∵f (x )为奇函数，
∴f (－1)＝－f (1)＝111??-+ ???
＝－2.
4．(2013山东，文4)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如下图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )．
A ．8
B ．83
C ．，
8
3
D ．8,8 答案：B
解析：由正(主)视图数据可知正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高也是2，如图：
由图可知PO ＝2，OE ＝1，所以PE =
所以V ＝
13×4×2＝83，S ＝1
422
?
5．(2013山东，文5)函数f (x )
的定义域为( )．
A ．(－3,0]
B ．(－3,1]
C ．(－∞，－3)∪(－3,0]
D ．(－∞，－3)∪(－3,1] 答案：A
解析：由题可知12030x x ?-≥?+>??213x x ?≤?>-?
?0,
3,x x ≤??
>-? ∴定义域为(－3,0]．
6．(2013山东，文6)执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的a 的值为－1.2，第二次输入的a 的值为1.2，则第一次、第二次输出的a 的值分别为( )．
A ．0.2,0.2
B ．0.2,0.8
C ．0.8,0.2
D ．0.8,0.8 答案：C
解析：第一次：a ＝－1.2＜0，a ＝－1.2＋1＝－0.2，－0.2＜0，a ＝－0.2＋1＝0.8＞0，a ＝0.8≥1不成立，输出0.8.
第二次：a ＝1.2＜0不成立，a ＝1.2≥1成立，a ＝1.2－1＝0.2≥1不成立，输出0.2.
7．(2013山东，文7)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b
c ＝( )．
A ．
B ．2
C
D ．1 答案：B
解析：由正弦定理sin sin a b
A B
=
得：1sin A =，
又∵B ＝2A ，∴1sin A ==
∴cos A ，∴∠A ＝30°，
∴∠B ＝60°，∠C ＝90°，
∴c 2.
8．(2013山东，文8)给定两个命题p ，q ．若?p 是q 的必要而不充分条件，则p 是?q 的( )．
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案：A
解析：由题意：q ??p ，?p q ，根据命题四种形式之间的关系，互为逆否的两个命题同
真同假，所以等价于所以p 是?q 的充分而不必要条件．故选A.
9．(2013山东，文9)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )．
答案：D
解析：因f (－x )＝－x ·cos(－x )＋sin(－x )＝－(x cos x ＋sin x )＝－f (x )，故该函数为奇函数，排除B ，又x ∈π0,
2?
?
??
?
，y ＞0，排除C ，而x ＝π时，y ＝－π，排除A ，故选D. 10．(2013山东，文10)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：
则7个剩余分数的方差为( )．
A ．
1169 B ．36
7
C ．36 D
答案：B
解析：∵模糊的数为x ，则：
90＋x ＋87＋94＋91＋90＋90＋91＝91×7， x ＝4，
所以7个数分别为90,90,91,91,94,94,87，
方差为s 2
＝2222
29091291912949187917
(-)+(-)+(-)+(-)
＝367
.
11．(2013山东，文11)抛物线C 1：y ＝2
12x p
(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：2213x y -=的右
焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝
( )．
A ．
16 B ．8 C ．3 D ．3
答案：D
解析：设M 2001,
2x x p ?
? ??
?，21''2x y x p p ??== ???
，故M
点切线的斜率为03x p =，故
M 1,36p p ?? ? ???.
由1,36p p ?? ? ???，0,2p ?? ??
?，(2,0)三点共线，可求得p
D. 12．(2013山东，文12)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当z
xy
取得最小值时，
x ＋2y －z 的最大值为( )．
A ．0
B ．
98 C ．2 D ．94
答案：C
解析：由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0得x 2＋4y 2－3xy ＝z ，
22443331z x y xy
xy xy xy
+=-≥=-=， 当且仅当x 2＝4y 2即x ＝2y 时，z
xy
有最小值1，
将x ＝2y 代入原式得z ＝2y 2，
所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ， 当y ＝1时有最大值2.故选C.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．(2013山东，文13)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为__________．
答案：解析：如图，当AB 所在直线与AC 垂直时弦BD 最短，AC
=
CB ＝r ＝2，
∴BA
=
BD
＝
14．(2013山东，文14)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组2360,20,0x y x y y +-≤??
+-≥??≥?
所表示
的区域上一动点，则|OM |的最小值是__________．
解析：由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示．
由图可知OM 的最小值即为点O 到直线x ＋y －2＝0的距离，即d min
=. 15．(2013山东，文15)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA ＝(－1，t )，OB
＝(2,2)．若∠
ABO ＝90°，则实数t 的值为__________．
答案：5
解析：∵OA ＝(－1，t )，OB
＝(2,2)，
∴BA ＝OA
－OB ＝(－3，t －2)．
又∵∠ABO ＝90°，∴BA ·
OB
＝0， 即(－3，t －2)·(2,2)＝0，
－6＋2t －4＝0， ∴t ＝5.
16．(2013山东，文16)定义“正对数”：ln ＋
x ＝0,01,
ln ,1,x x x <
现有四个命题：
①若a ＞0，b ＞0，则ln ＋
(a b )＝b ln ＋
a ；
②若a ＞0，b ＞0，则ln ＋(ab )＝ln ＋a ＋ln ＋
b ；
③若a ＞0，b ＞0，则ln a b ??
???
＋
≥ln ＋a －ln ＋
b ； ④若a ＞0，b ＞0，则ln ＋
(a ＋b )≤ln ＋
a ＋ln ＋
b ＋ln 2. 其中的真命题有__________．(写出所有真命题的编号) 答案：①③④
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
17．(2013山东，文17)(本小题满分12分)某小组共有A ，B ，C ，D ，E 五位同学，他们的身高(单位：米)2
(1)以下的概率； (2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．
解：(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共6个．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的2人身高都在1.78以下的事件有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个．
因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P＝3
6
＝
1
2
.
(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，
D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有：(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个．
因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P＝
3 10
.
18．(2013山东，文18)(本小题满分12分)设函数f(x)＝
2
sin2ωx－sin ωx cos ωx(ω＞
0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4 .
(1)求ω的值；
(2)求f(x)在区间
3π
π,
2
??
??
??
上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)＝
2
-sin2ωx－sin ωx cos ωx
＝
1cos21
sin2 222
x
x
ω
ω
-
-
＝
2cos 2ωx－
1
2
sin 2ωx
＝
πsin2
3
x
ω
??
--
?
??
.
因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π
4
，
又ω＞0，所以2ππ
=4
24
ω
?.因此ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝
πsin2
3
x
??
--
?
??
.
当π≤x≤3π
2
时，
5π
3
≤
π8π
2
33
x-≤.
所以
π
sin21
3
x
??
≤-≤
?
??
，
因此－1≤f(x).
故f (x )在区间3ππ,
2??
????
上的最大值和最小值分别为2，－1.
19．(2013山东，文19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥P A ，
AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点．
(1)求证：CE ∥平面P AD ；
(2)求证：平面EFG ⊥平面EMN .
(1)证法一：取P A 的中点H ，连接EH ，DH . 因为E 为PB 的中点， 所以EH ∥AB ，EH ＝
1
2
AB .
又AB ∥CD ，CD ＝
1
2
AB ， 所以EH ∥CD ，EH ＝CD .
因此四边形DCEH 是平行四边形， 所以CE ∥DH . 又DH ?平面P AD ，CE 平面P AD ，
因此CE ∥平面P AD . 证法二：连接CF .
因为F 为AB 的中点， 所以AF ＝
1
2
AB .
又CD ＝
1
2
AB ， 所以AF ＝CD . 又AF ∥CD ，
所以四边形AFCD 为平行四边形． 因此CF ∥AD .
又CF 平面P AD ， 所以CF ∥平面P AD .
因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点， 所以EF ∥P A .
又EF 平面P AD ， 所以EF ∥平面P AD . 因为CF ∩EF ＝F ，
故平面CEF ∥平面P AD . 又CE ?平面CEF ， 所以CE ∥平面P AD .
(2)证明：因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点， 所以EF ∥P A .
又AB ⊥P A ，所以AB ⊥EF . 同理可证AB ⊥FG .
又EF ∩FG ＝F ，EF ?平面EFG ，FG ?平面EFG ， 因此AB ⊥平面EFG .
又M ，N 分别为PD ，PC 的中点， 所以MN ∥CD .
又AB ∥CD ，所以MN ∥AB . 因此MN ⊥平面EFG . 又MN ?平面EMN ，
所以平面EFG ⊥平面EMN .
20．(2013山东，文20)(本小题满分12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足
12121
12
n n n b b b a a a +++=- ，n ∈N *，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，
由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1得：
1111
4684,
212211,a d a d a n d a n d +=+??
+(-)=+(-)+? 解得a 1＝1，d ＝2.
因此a n ＝2n －1，n ∈N *.
(2)由已知12121
12n n n b b b a a a +++=- ，n ∈N *， 当n ＝1时，111
2
b a =；
当n ≥2时，111111222
n n n n n b a -??=---= ???. 所以
1
2
n n n b a =，n ∈N *. 由(1)知a n ＝2n －1，n ∈N *，
所以b n ＝21
2
n
n -，n ∈N *. 又T n ＝23135212222n
n -++++ ， 231113232122222
n n n n n T +--=++++ ， 两式相减得
2311122221222222n n n n T +-??=++++- ??? 113121222
n n n -+-=--， 所以T n ＝23
32
n
n +-. 21．(2013山东，文21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －ln x (a ，b ∈R )． (1)设a ≥0，求f (x )的单调区间；
(2)设a ＞0，且对任意x ＞0，f (x )≥f (1)．试比较ln a 与－2b 的大小． 解：(1)由f (x )＝ax 2＋bx －ln x ，x ∈(0，＋∞)，
得f ′(x )＝221
ax bx x
+-.
①当a ＝0时，f ′(x )＝1
bx x
-.
若b ≤0，当x ＞0时，f ′(x )＜0恒成立， 所以函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)． 若b ＞0，当0＜x ＜
1
b
时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．
当x ＞
1
b
时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增． 所以函数f (x )的单调递减区间是10,b ?? ???，单调递增区间是1,b ??
+∞ ???
.
②当a ＞0时，令f ′(x )＝0，
得2ax 2＋bx －1＝0. 由Δ＝b 2＋8a ＞0得
x 1
x 2
.
显然，x 1＜0，x 2＞0.
当0＜x ＜x 2时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 当x ＞x 2时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．
所以函数f (x )的单调递减区间
是0,4b a ?- ???
，单调递增区间
是
4b a ??
-++∞
? ???
. 综上所述，
当a ＝0，b ≤0时，函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)；
当a ＝0，b ＞0时，函数f (x )的单调递减区间是10,b ?? ???，单调递增区间是1,b ??+∞ ???
；
当a ＞0时，函数f (x )的单调递减区间
是0,4b a ??
- ? ???
，单调递增区间
是
4b a ??
-++∞
? ???
. (2)由题意，函数f (x )在x ＝1处取得最小值，
由(1)
是f (x )的唯一极小值点，
故4b a
-＝1，整理得
2a ＋b ＝1，即b ＝1－2a . 令g (x )＝2－4x ＋ln x ， 则g ′(x )＝
14x
x
-， 令g ′(x )＝0，得x ＝14
. 当0＜x ＜
1
4
时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增；
当x ＞
1
4
时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减． 因此g (x )≤14g ??
???
＝1＋1ln 4＝1－ln 4＜0，
故g (a )＜0，即2－4a ＋ln a ＝2b ＋ln a ＜0，
即ln a ＜－2b .
22．(2013山东，文22)(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2
，离心率为
2
. (1)求椭圆C 的方程；
(2)A ，B 为椭圆C 上满足△AOB
的面积为
4
的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P .设OP ＝tOE
，求实数t 的值．
解：(1)设椭圆C 的方程为22
22=1x y a b
+(a ＞b ＞0)，
由题意知222,22,a b c c
a
b ?=+?
?=??=??
解得a
b ＝1.
因此椭圆C 的方程为2
2
x ＋y 2＝1.
(2)当A ，B 两点关于x 轴对称时， 设直线AB 的方程为x ＝m ，
由题意m ＜0或0＜m
.
将x ＝m 代入椭圆方程2
2x ＋y 2＝1，
得|y |
所以S △AOB ＝|m
4
=. 解得m 2＝32或m 2＝1
2.①
又OP ＝tOE ＝()
12t OA OB + ＝1
2
t (2m,0)＝(mt,0)，
因为P 为椭圆C 上一点，所以2
2
mt ()＝1.②
由①②得t 2＝4或t 2＝
43
.
又因为t ＞0，所以t ＝2或t 当A ，B 两点关于x 轴不对称时， 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋h .
将其代入椭圆的方程2
2
x ＋y 2＝1，
得(1＋2k 2)x 2＋4khx ＋2h 2－2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由判别式Δ＞0可得1＋2k 2＞h 2，
此时x 1＋x 2＝2
412kh
k -+，x 1x 2＝222212h k -+，
y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2h ＝2
212h
k
+，
所以|AB |
＝.
因为点O 到直线AB 的距离d
，
所以S △AOB ＝
1
|AB |d
＝12?
||h .
又S △AOB ＝4，
||h =③
令n ＝1＋2k 2，代入③整理得3n 2－16h 2n ＋16h 4＝0，
解得n ＝4h 2或n ＝
2
43
h ， 即1＋2k 2＝4h 2或1＋2k 2＝
2
43
h .④ 又OP ＝tOE ＝()
12
t OA OB +
＝1
2
t(x1＋x2，y1＋y2)＝
22
2
,
1212
kht ht
k k
??
-
?
++
??
，
因为P为椭圆C上一点，
所以
22
2
22
12
1 21212
kh h
t
k k
??
????
-+=
??
? ?
++
????
??
??
，
即
2
2
2
1 12
h
t
k
=
+
.⑤
将④代入⑤得t2＝4或t2＝4
3
，
又知t＞0，故t＝2或t. 经检验，适合题意．
综上所得t＝2或t＝
3
.