高一数学基础知识讲义(2021)——函数及其性质

高一数学基础知识讲义（2021）——函数及其性质

第二讲 函数及其性质

知识要点一：

函数及其相关概念

⑴映射：设,A B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合A 到集合B 的映射。

记作：:f A B →。

⑵象与原象：给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈，如果,a b 对应那么元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象。

⑶一一映射：设,A B 是两个非空集合，:f A B →是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的任意一个元素，在集合A 中都有且只有一个原象，把这个映射叫做从集合A 到集合B 的一一映射。

⑷函数：设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作：

(),y f x x A =∈这里x 叫自变量，自变量的取值范围叫做这个函数的定义域，所有函

数值构成的集合，叫做这个函数的值域。

这里可以看出一旦一个函数的定义域与对应法则确定，则函数的值域也被确定，所以决定一个函数的两个条件是：定义域和对应法则。

⑸函数的表示方法：解析法、图像法、列表法。

⑹区间：

定 义

名 称

符 号

{}

x a x b ≤≤

闭区间

[],a b

{}

x a x b <<

开区间

(),a b

{}

x a x b ≤<

半开半闭区间

[),a b

{}

x a x b <≤

半开半闭区间

(],a b

闭区间是包括端点，开区间不包括端点。实数集R 可以表示为(),-∞+∞，“∞”

读作“无穷大”，例如：“3x ≥”可以表示为[)3,+∞，“4x <-”可以表示为

(),4-∞-。

高考要求：

了解映射的概念，理解函数的有关概念，掌握对应法则图像等性质，能够熟练求解函数的定义域、值域。

例题讲解：

夯实基础

一、判断下列关系哪些是映射。

1）,,:A Z B Z f ==平方；

2）,,:A R B R f +==平方；

3）{}

11,,:A x x B R f =-≤<=求倒数；

4）{},0,1,:A N B f ==当n 为奇数时，1n →；当n 为偶数时，0n →；

5）{},Z A C Z B -==正奇数，:21,f n m n →=-其中,n A m B ∈∈；

二、已知()23

,1

x f x x +=

-求()(),2f t f x +。

()()()23

()1

223

2721

21

t f t t x x f x x x +=

-++++=

=

++-解：

三、求下列函数的定义域。

1）21

23y x x =

+-

2）3

249y x =-

2230

(3)(1)031

x x x x x x +-≠+-≠∴≠-≠解： 且

3）

()

111x y x +=

--

{}

1101

110x 110x x x x x x x x ?≠-?-≥?≤??--=≠?∴≤≠-≠解： 0且 且

四、求函数解析式：

1）已知

,1)1(2

x

x x f -=求)(x f 。 2）已知

569)13(2+-=+x x x f ，求)(x f 。

2

2

1()11

()1()1

x f x x f x x x x

f x x =-∴=

-

∴=-解：

222

21

313

(1)1

()965

93

212254848

t x t t t f x t t t t t x x -+=--∴=?-?+-+-++-+-+解： x=

= = =

3）已知)(x f 是二次函数，且满足,2)()1(,1)0(x x f x f f =-+=求)(x f 。

222(0)(0)1(1)(1)2211

x bx c a f C

x b x c x bx c x x bx a b bx x a b -+≠∴==+-++---=+++-=∴==-解：设a a a 2a

2()1f x x x =-+

4）若函数)(x f 满足方程

a

x R x ax x

f x af ,0,,)1

()(≠∈=+为常数，且

1±≠a ，求)(x f 。

222222211()()(1)1()()(2)a ()()a af f x a x x

a f x af a x x f x a x a a x a f x x

?+=???

?+=??

=--=

解： （-1） （-1）

注意：求函数的解析式大致有如下几种方法：

①拼凑法；②换元法；③待定系数法；④解析法。注意因题型而选择方法。

小结：求函数的定义域，就是求使得该函数表达式有意义自变量的范围，大致有如下几种方法：①一次函数、二次函数的定义域是全体实数；

②函数表达式形式是分式的，分母不为0；

③函数表达式形式是根式的，如果开偶次方根，被开方式要大于等于零；如果开奇次方根，被开方式可以取全体实数；

④零指数幂与分数指数幂的底数不能为零；

⑤在有实际意义的解析式中，一定要由实际问题决定其定义域；

⑥多个限制条件取交集。

五、求下列函数的值域

1）

()

()4113(1)4115(3)43111

f x x x f f =-+-≤≤-=-?-+==-?+=-解：

2）

()[]

222

()241234

1

22

(2)224211(3)234317

1,7f x x x x x f f y =-+≤≤=

=?=?-?+==?-?+=∴∈解：

3）223y x x =-++

22

214

14y x x x =

--++=--+∴≤解： （） （） 0y 2

4）1y x x =--

22222210

151()24

1511()44

5

{}4

x t x t x t t y t t t t t t y y -=≥∴-==--

+=--=--+=--++∴≤

解：设 =1-

注意：函数的值域一定是在其定义域下控制的值域，随着所给函数定义域的不同，相同表达式的函数的值域也互不相同。在今后我们将会学习更多的新的函数和相关性质，也会对其定义域和值域在进一步探讨。

知识要点二：

函数性质

⑴函数的单调性：

①定义：一般地，设()f x 的定义域为I ：

如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；区间D 称为单调递增区间。

如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数；区间D 称为单调递减区间。

②复合函数的单调性：同增异减

⑵函数的奇偶性

①设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈，

且()()f x f x -=-，则这个函数叫奇函数。

（如果已知函数是奇函数，当函数的定义域中有0时，我们可以得出()00f =）

设函数()y g x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈，

若()()g x g x -=，则这个函数叫偶函数。

从定义我们可以看出，讨论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断，看其定义域是否关于原点对称。也就是说当x 在其定义域内时，x -也应在其定义域内有意义。

②图像特征

如果一个函数是奇函数?这个函数的图象关于坐标原点对称。

如果一个函数是偶函数?这个函数的图象关于y 轴对称。

③复合函数的奇偶性：同偶异奇。

高考要求：掌握函数的单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的

单调性、奇偶性的方法。

命题趋向：这一部分历来是考试重点，在函数的对应法则、定义域、值

域，判断函数的单调性，奇、偶性考查较多，而且对这部分知识的考查有深度有力度，在客观题中主要考查一、两个性质，解答题中的综合运用往往是学生解题能力的体现，在这里也容易拉开学生的档次。

例题讲解：

夯实基础

一、判断下列函数的单调性。

1）()1

0,y x x =∈+∞当

12121221

1212

12,(0,)()()1101

()()x x x x f x f x x x x x x x f x f x y x

∈+∞>---=<∴<∴=↓证明：任取 =

是

2）()1f x x =-+当[)1,x ∈-+∞

[()()()()()()[1212112221

12121221

1212,1,)1111111011

0()1,)x x x x f x x f x x x x f x f x x x x x x x x x f x f x f x ∈-+∞>≥-=-+=-+--=-++++++-++

+∴-<∴-+∞↓

证明：任取 =

在是

3）()2

31

x

f x x -=-在（11x -<<）

二、判断下列函数的奇、偶性。

1）33y x x =-+ 奇函数

2）()()111x

f x x x

+=--

1010111x

x x x +≥-≠-∴-≤∴ 关于原点不对称. 非奇非偶

3）()0f x =

既是奇函数，又是偶函数.

4）

()???≤+>+-=)0()0(2

2x x x x x x x f

2222∴解： x>0 -x<0

f(x)=-x +x f(-x)=x -x f(x)=f(-x) f(0)=0 x<0 -x>0

f(x)=x +x f(-x)=-x -x f(-x)=-f(x)

5）()2

212

-+-=

x x x f

()()22

220

11x x x f x x

f x ≥+-≠∴≤≤≠≠-∴=≠解：

1-x 0 -1 x -4 x 0 x 0

为奇函数

结论：函数就奇、偶性来划分可以分成奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数也是偶函数。

三、已知()y f x =是奇函数，当0x >时，()221f x x x =-+，求当0x <时，

()f x 得解析式。

解：设0x <，则0x ->

当0x >时，()221f x x x =-+

()()()2

22121f x x x x x ∴-=---+=++

()y f x =是奇函数，

()()()222121f x f x x x x x ∴=--=-++=---为所求0x <时()y f x =的解析

式。

能力提升

一、已知函数()1

21

x

f x a =-+，若()f x 为奇函数，求实数a 的取值。

解：首先考虑定义域，知x R ∈，由奇函数的定义()()f x f x -=-建立等式求解计算起来就比较麻烦，我们还知道已知函数是奇函数，当函数的定义域中有0时，我们可以得出()00f =，()00f ∴=易得12

a =。

二、、已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且()()1

1

f x

g x x +=

-，试求()()f x g x 与的表达式。

解：令()()11f x g x x +=-的x 取x -得()()11

f x

g x x -+-=--

()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，

()()()(),,f x f x g x g x ∴-=-=-

()()()()1111f x g x x f x g x x ?

-=??--∴??+=?-?

两式相加得()()222

111121

2,11111x x f x f x x x x x x --++=+==∴=+----

两式相减得()()222111122,11111

x x x x

g x g x x x x x x -++-=-==∴=-+---

三、设()x f y =的定义域是R ，对于任意y x ,都有()()()0

,>+=+x y f x f y x f

时()()12,0-=

0-==∴-=∴解： （1）令y=-x 则有f(0)=f （x ）+f(-x) f(0)f （x ）f （-x ） f(0) f （x ）f （-x ） y=f （x ）是奇函数。

解：在定义域任取21,x x ，且21x x >

那么令

)(0)()()(,21212121212

1<-∴>->-+=-∴-==x x f x x x x x f x f x x f x y x x 且又

上是单调递减

在是奇函数又R x f x x x f x f x f x f x x f x f x f x f )()()(0)()()()

()()(2

121212122∴><∴<-=--=-

函数及其性质函数及其性质函数及其性质函数及其性质函数及其性质函数及其性质函数及

其性质