2012年自考中国文化概论大题和难题

报童的诀窍 问题一 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为 b，零售价 为 a，退回价为 c，应该自然的假设为 a>b>c，这就是说，报童售出一份报纸赚 a―b，退回一份赔 b―c， 报童每天如果购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱。请你为报童筹 划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。 为了掌握需求量的随机规律，可以用收集历史资料或向其他报童调查的办法做市场预测。 练习： 利用上述模型计算，若每份报纸的购进价为 0.75 元，售出价为 1 元，退回价为 0.6 元，需求量服从均 值 500 份， 均方差 50 份的正态分布， 报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高， 最高收入是多少？ 一、模型假设 （1）报纸每份的购进价为 b ，零售价为 a ，退回价为 c ，且 a >b>c （2）报纸的需求量是随机的，设在报童的销售范围内每天报纸需求量为 r 份的概率是 二、模型建立 f (r ) 假设每天购进量为 n 份，因需求量 r 是随机的，可以等于、小于或大于 n ，致使报童每天的收入也是 随机的，则此模型的目标函数不能是报童每天的收入，而应该是他的长期的收入。从概率论的观点看，这 相当于报童每天收入的平均值，下面简称平均收入。 记报童每天购进 n 份报纸的平均收入为 G (n) ，如果这天 r 果r ≤ n ，则他售出 r 份，退回 n ? r 份；如 > n ，则 n 份全部售出，又需求量 r 的概率为 f (r ) ，于是得到 G (n) = ∑ [(a ? b)r ? (b ? c)(n ? r )] f (r ) + r =0 n r = n +1 ∑ (a ? b)nf (r ) f (r ) 改写成概率密度 ∞ 通常需求量 r 和购进量 n 都相当大，所以可以将 r 视为连续变量，同时将 p (r ) ，则上式变成 G (n) = ∫ [(a ? b)r ? (b ? c)(n ? r )] p(r )dr + ∫ (a ? b)np (r )dr 0 n n ∞ 对 G (n) 求导得 n ∞ dG = ?(b ? c) ∫ p (r )dr + (a ? b) ∫ p (r )dr 0 n dn 令 dG = 0 ，得 dn ∫ ∫n n 0 ∞ p(r ) dr p(r ) dr = (a ? b ) p = 1 (b ? c ) p2 1 因为 ∫ ∞ 0 p(r )dr = 1 ，所以上式可表示为 ∫ n 0 p(r ) = dr a ?b a ?c 满足上式中的 n ，即为报童平均收入最大的报纸购进量 三、模型求解由题设得 a 布。 下面用 matlab 求解 >> a=1;b=0.75;c=0.6; >> m=500; >> s=50; >> n=norminv((a-b)/(a-c),m,s) n = 515.9320 >> syms x >> pr=1/(sqrt(2*pi)*s)*exp(-(x-m)^2/(2*s^2)); >> double(Gn) ans = 117.4161 即报童获得最大收入的进报量为 516 份，最大收入为 117 元 %定义概率函数 %简化结果 >> Gn=int(((a-b)*x-(b-c)*(n-x))*pr,0,n)+int((a-b)*n*pr,n,inf); %计算最大收入 %平均值 %标准差 %分位点 = 1, b = 0.75, c = 0.6 ， E (r ) = 500, σ r） 50 ，不妨设报纸的需求量服从正态分