第2章 点、直线和平面的投影

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第2章点、直线和平面的投影

一、本章重点：

1．点的坐标与投影，重影点；

2．直线在三面投影体系中的投影特性；

3．平面的投影特性，平面上的直线和点。

二、本章难点：

1．求线段的实长及其对投影面的倾角；

2．两直线的相对位置；

3．直线上的点和平面上的线。

三、本章要求：

掌握点、直线和平面的投影特性，两点的相对位置及重影点。直线上点的投影，平面上的直线和点投影。了解一般位置直线求实长和对投影面的倾角。

四、教学手段

讲授法，演示法教学、习题集作业

五、本章内容：

2．1 投影法的基本知识

2.1.1 投影法概述

在日常生活中，我们经常看到物体在日光或灯光照射下，在地面或墙上产生影子，这种现象叫投射。人们根据这种自然现象，经过科学的抽象提出了投影法。

将发自投射中心且通过物体上各点的直线称为投射线，投射线通过物体，向选定的平面投射，并在该面上得到图形的方法称为投影法。投射线的方向称为投射方向，选定的平面称为投影面，投射所得到的图形称为投影。

图2.1 中心投影法图2.2 平行投影法

1．中心投影法

该投影法的特点是，物体距离投影面的距离不同时，得到的投影的大小不同。因此，中心投影法不能够真实地反映物体的形状和大小，所以机械制图不采用这种投影法绘制。但中心投影法具有立体感强的特点，常用于绘制建筑物的外观图，也称为透视图。

2．平行投影法

投影线相互平行，在投影面上作出物体投影的方法，就称为平行投影法。

平行投影法的特点是，物体的投影与物体距投影面的距离无关，投影都能够真实地反映物体的形状和大小。

平行投影法中又可分为两种，一种是正投影，投影线方向垂直于投影面。另一种是斜投影，投影线方向倾斜于投影面。在机械制图中应用的是正投影法，它是我们学习的重点。

3. 正投影法的基本特性

⑴实形性

当直线或平面图形平行于投影面时，其投影反映直线的实长或平面的实形，如图2.5(a)所示。

⑵积聚性

当直线或平面图形垂直于投影面时，直线的投影积聚成一点，平面的投影积聚成一直线，如图2.5(b)所示。

⑶类似性

当直线或平面图形倾斜于投影面时,直线的投影仍为直线,但小于实长,平面图形的投影小于真实形状,但类似于空间平面图形,图形的基本特性不变,如多边形的投影仍为多边形,如图2.5(c)所示。

另外，平行投影法还有这样的规律：

（1）平行两直线的投影仍互相平行。

（2）属于直线的点，其投影仍属于直线的投影

（3）点分线段之比，投射后保持不变。

(a) (b) (c)

图2.5 正投影法的基本特性

2.1.2 三视图的形成

根据GB/T14692—1993《技术制图投影法》规定，用正投影法所绘制的物体的图形，称为视图。

1．三投影面体系

图2.6 三投影面体系图2.7 三视图的形成过程三投影面体系由三个相互垂直的投影面组成。其中V面称为正立投影面，简称正面；H面称为水平投影面，简称水平面；W面称为侧立投影面，简称侧面。在三投影面体系中，两投影面的交线称为投影轴，V面与H面的交线为OX轴，H面与W面的交线为OY轴，V面与W面的交线称OZ轴。三根投影轴的交点为原点，记为O。

2．三视图的形成

(a) (b) ( c)

图2.8 三视图的形成

如图2.7所示,将物体放在三投影面体系内,分别向三个投影面投射。为了使所得的三个投影处于同一平面上，保持V面不动，将H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ轴向右旋转90°，与V面处于同一平面上，如图2.8(a)所示。这样便得到物体的三个视图。V面上的视图称为主视图，H面上的视图称为俯视图，W面上的视图称为左视图,如图2.8(b)所示。在画视图时，投影面的边框及投影轴不必画出，三个视图的相对位置不能变动，即俯视图在主视图的下边，左视图在主视图的右边，三个视图的配置如图2.8(c)所示,不必标注三个视图的名称。

3．三视图之间的对应关系

三视图之间的对应关系是：

主视图：反映物体的上、下、左、右四个方位，同时反映了其高度、长度；

俯视图：反映物体的左、右、前、后四个方位，同时反映了其长度、宽度；

左视图：反映物体的上、下、前、后四个方位，同时反映了其高度、宽度。

三视图之间的投影规律：主、俯视图长对正，主、左视图高平齐，俯、左视图宽相等。简言之：长对正；高平齐；宽相等。

图2.9 三视图之间的对应关系

2.2 点的投影

2.2.1 点的两面投影图的性质

1. 一点的两面投影连线垂直于投影轴（aa'⊥OX），且aa'到点O的距离反映x坐标。

2. 一点的水平投影到OX轴的距离（aax）等于该点到V面的距离（Aa'），都反映其y 坐标（aax=Aa'=y）；其正面投影到OX轴的距离（a'ax）等于该点到H面的距离（Aa），都反映其z坐标（a'ax=Aa=z）。

2.2.1 点的三面投影规律

组成物体的基本元素是点、线、面。图2.10（a）所示的三棱锥是由四个面、六条线、四个点组成。点是最基本的几何元素，下面分析锥顶A点的投影规律。

点的投影规律如下：

⒈点的V面投影与H面投影的连线垂直于OX轴，即a ＇a⊥OX;

⒉点的V面投影与W面投影的连线垂直于OZ轴，即a ＇a〃⊥OZ;

⒊点的H面投影到OX轴的距离等于其W面投影到OZ轴的距离，即aaX＝a〃aZ。

(a) (b) (c)

图2.10 点的三面投影规律

2.2.2 点的三面投影与直角坐标的关系

如图2.12（a）所示，点在空间的位置可由点到三个投影面的距离来确定。如果将三个投影面作为坐标面，投影轴作为坐标轴，则点的投影与点的坐标关系如下：

(a) (b)

图2.12 点的三面投影与直角坐标的关系

⒈点到W面的距离为A a〃＝a＇a Z＝aa y＝O a X＝X轴坐标；

⒉点到V面的距离为A a＇＝aa X＝a〃a Z＝O a y＝Y轴坐标；

⒊点到H面的距离为A a＝a＇a X＝a〃a y＝O a Z＝Z轴坐标。

例已知空间点B的坐标为：X＝15，Y＝20，Z＝25（单位为mm,）也可写成B(15,20,25)。求作B点的三面投影。

(a) (b) (c)

图2.13 已知点的坐标作投影图

分析已知空间点的三个坐标，便可作出该点的两个投影，再求作另一投影。

作图⒈在OX轴上向左量取15，得b X，如图2.13（a）；

⒉过b X作OX轴的垂线，在此垂线上向下量取20得b;向上量取25得b＇，如图2.13（b）；

⒊由b、b＇作出b〃，如图2.13（c）。

2.2.3 两点的相对位置

两点间的相对位置是指空间两点之间上下、左右、前后的位置关系。

(a) (b)

图2.14 两点的相对位置

根据两点的坐标，可判断空间两点间的相对位置。两点中，X坐标值大的在左；Y坐标值大的在前；Z坐标值大的在上。图2.14中，X A＞X B,A点在B点之左；Y A＞Y B,A点在B 点之前；Z B＞Z A,B点在A点之上。

属于同一条投射线上的点，在该投射线所垂直的投影面上的投影重合为一点。空间的这些点，称为该投影面的重影点。

重影点在标注时，将不可见的投影加括号，如C点在上，遮住了下面的A点，所以A 点的水平投影用（a）表示。

(a) (b)

图2.15 重影点的投影

2.2.4其他分角的点

由于，投影平面是没有边际的，两投影面把空间分为四个部分，每部分称为分角。分别以第一、二、三、四分角命名之，三个投影面将空间分成八个角，如图所示。我国标准规定工程图样采用第一角画法。

作业：

《机械制图习题集》P6——7

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2.3 直线的投影

2.3.1 一般位置直线

一般位置直线在三个投影面上的投影都不反映实长，而且于投影轴的夹角也不反映空间直线对投影面的夹角。

(a) (b)

图2.16 一般位置直线的投影

2.3.2 投影面平行线

直线平行于一个投影面与另外两个投影面倾斜时，称为投影面平行线。

正平线——平行于V面倾斜于H、W面；

水平线——平行于H面倾斜于V、W面；

侧平线——平行于W面倾斜于H、V面。

投影面平行线特性：平行于那个投影面，在那个投影面上的投影反映该直线的实长，而且投影与投影轴的夹角，也反映了该直线对另两个投影面的夹角，而另外两个投影都是类似形，比实长要短。

它们的投影特性如表2.1所示。

3.3.3 投影面垂直线

直线垂直于一个投影面与另外两个投影面平行时，称为投影面垂直线。

正垂线——垂直于V面平行于H、W面；

铅垂线——垂直于H面平行于V、W面；

侧垂线——垂直于W面平行于V、H面。

投影面垂直线特性：垂直于那个投影面，在那个投影面上的投影积聚成一个点，而另外两个投影面上的投影平行于投影轴且反映实长。它们的投影特性如表2.2所示。

例分析正三棱锥各棱线相对于投影面的位置，如图2.17。

⑴棱线SB sb和s＇b＇分别平行于OY H和OZ，可确定SB为侧平线，侧面投影s〃b〃反映实长，如图2.17（a）。

⑵棱线AC侧面投影a〃c〃重影，可判断AC为侧垂线，a＇c＇＝ac ＝AC，如图2.17（b）。

⑶棱线SA 三个投影sa、s＇a＇、s〃a〃对投影轴倾斜，所以必定是一般位置直线，如图2.17（c）。

(a) (b) (c)

图2.17 分析直线相对于投影面的位置

2.3.4 直线上的点

直线上点的投影具有从属关系。

⒈如果点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投影上。反之，若点的各个投影都在直线的同面投影上，则点一定在该直线上。

如图2.18（a）所示，若C点在直线AB上，则c在ab上，c＇在a＇b＇上，c〃在a〃b〃上。如果已知直线AB上C点的一个投影c＇，可按图3.18（b）所示方法作出c和c〃。

⒉从属于直线的点分割线段长度之比，在投影图上保持不变。

(a) (b)

图2.18 直线上点的投影

如图2.18所示，点C将线段AB分为AC、CB两段，则AC∶CB＝ac∶cb＝a＇c＇∶c＇b＇＝a〃c〃∶c〃b〃。

例已知侧平线AB的两投影a＇b＇和ab，以及AB上点C的V面投影c＇，求作H 面投影c，如图2.19（a）所示。

(a) (b) (c)

图2.19 求作侧平线上点C的水平投影

分析

由于直线AB是侧平线，因此由c＇不能直接作出c，但根据点在直线上的投影性质，c〃必定在a〃b〃上, 如图2.19（b）所示。

作图

⑴作出AB的W面投影a〃b〃，同时求出C点的W面投影c〃。

⑵根据点的投影规律，由c＇、c〃求作c，如图2.19（c）所示。

2.3.5一般位置直线的实长及倾角——直角三角形法

一般位置直线的投影不反映实长及其对投影面的真实倾角。为了求得其实长及其对投影面的真实倾角，现介绍一种图解方法——直角三角形法。

如图2.3-6 （ a ）所示，AB 为一般位置直线，图2.3-6（ b ）为利用一般位置直线AB 的水平投影a ′ b ′ 求实长及与其对H 面真实倾角α 的空间模型。自点A 作AC ∥ab ，则△ABC 为直角三角形。在这个直角三角形中：

斜边AB = 直线的实长

∠BAC = 直线AB 对H 面的真实倾角α

一个直角边AC = ab

另一直角边BC = z B - z A （两点到H 面的距离差）

由此可见，直线段AB 的实长和对投影面的真实倾角均可利用直角三角形△ABC 求出。所以称此法为直角三角形法。其作图步骤为：

（1 ）过水平投影b 或a 作ab 的垂线bT 。

（2 ）在bT 上量取bB O = △z ，则aB O 即为AB 实长，∠baB O 即为直线AB 对H 面的真实倾角α 。

应该特别注意的是，在求直线对某投影面的倾角时，所作直角三角形必须以直线在该投影面的投影为一直角边，如图所示。

(a) 求对H 的倾角α(b) 求对V 的倾角β(c) 求对W 的倾角γ

图 2.3-7求直线对某投影面的倾角

2.3-5 直线的迹点

直线与投影面的交点称为该直线的迹点。它是属于直线的特殊点。在三投影面体系中，一般位置的直线倾斜于三个投影面，所以有三个迹点。直线与H面的交点称为水平迹点，常以M标记；与V面的交点称为正面迹点，常以N标记；与W面的交点称为侧面迹点，常以S标记

按照迹点的定义，就可从直线的投影图确定直线的各个迹点。如图3-13所示，由于点M属于H面，故z坐标为零，即m'必在OX轴上；又由于点M属于直线AB，故m'必在a'b'上，m在ab上。因此，求直线AB的水平迹点M的作图过程为：

1.?延长直线AB的正面投影a'b'与OX轴相交于m'。

2.?自m'引OX轴的垂线，与直线的水平投影ab的延长线相交，即确定m的位置。

同理，求正面迹点N的作图过程为：

1. 延长直线AB的水平投影ab与OX轴相交于n。

2. 自n引OX轴的垂线，与直线的正面投影a'b'的延长线相交，即确定n'的位置。

2.3.6两直线的相对位置

空间两直线的相对位置有三种：平行、相交和交叉( 异面) 。

（一）两直线平行

若空间两直线平行，则其同名投影必平行。反之，若空间两直线的各组同名投影平行，则该两直线必平行。

如图所示，AB ∥CD ，则ab ∥cd ，a′b′ ∥c′d′， a ″b″∥c″d″ 。

一般情况下，判断两直线是否平行，只需检查两面投影即可判定，但若二直线为某投影面平行线，则需视其在所平行的投影面上的投影是否平行而判定。

（二）两直线相交

若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影符合点的投影规律，反之亦然。

如图2.3-12所示，直线AB 、CD 相交于K ，由于点K 是两直线的共有点，因此，两直线水平投影ab 与cd , 正面投影a′b′与c′d′应分别相交于k ，k′，且kk′⊥OX 。

判断两直线是否相交，在一般情况下，只需判断两面同名投影相交，且交点符合点的投影规律即可，但如果两直线中有一条直线是投影面的平行线，则需进一步判断。

（三）两直线交叉

既不平行又不相交的两直线称为交叉两直线。在投影图上，若两直线的各同名投影既不具有平行两直线的投影性质，又不具有相交两直线的投影性质，即可判定为交叉两直线。

交叉两直线可能有一个或两个投影平行，但不会有三个同名投影平行。交叉两直线的同名投影也可能会相交，但它们的交点不符合点的投影规律，交点实际上是两直线上对投影面的一对重影点的投影。如图2.3-14 所示，直线AB 和CD 的水平投影的交点是直线CD 上的点Ⅳ和AB 上的点Ⅲ（对H 面的重影点）的水平投影，直线AB 和CD 的正面投影的交点是直线AB 上的点Ⅰ和CD 上的点Ⅱ（对V 面的重影点）的正面投影。

2.3-7 直角投影定理

当互相垂直的两直线同时平行于同一投影面时，在该投影面的投影仍为直角。当互相垂直的两直线都不平行于投影面时，投影不是直角。除以上两种情况外，这里将要讨论的情况，作图时是经常遇到的，它是处理一般垂直问题的基础。

定理I：垂直相交（或交叉）的两直线，其中有一条直线平行于一投影面时，则两直线在该投影面的投影仍反映直角。

证明如下：设相交两直线AB⊥AC，且AB∥H面，AC不平行H面。显然，直线AB 垂直于平面AacC（因AB⊥Aa，AB⊥AC）。今ab∥AB，则ab⊥平面AacC，因此ab⊥ac，亦即∠bac＝90°。

它们的投影图，其中a'b' ∥OX轴（AB为水平线），∠bac＝90°。

定理II（逆）：相交两直线在同一投影面的投影成直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角

右图中，∠DEF的

正面投影∠d'e'f'=90°

，又de∥OX轴，即

DE为正平线。根据

定理II，∠DEF必为直角

例已知定点A及正平线CD。试过点A作直线与已知直线CD垂直相交。

作业：

《机械制图习题集》P8——12

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2.4 平面的投影

2.4.1 投影面平行面

投影面平行面是指平行于一个投影面而与另外两个投影面垂直的平面。它有三种：水平面(//H面)、正平面(//V面)、侧平面(//W面)。它们的投影特性如表2.3所示。

投影面平行面的投影特性：

1.平面在所平行的投影面上的投影表达实形；

2.其余投影均为直线，有积聚性，且平行于相应的投影轴。

2.4.2 投影面垂直面

投影面垂直面是指垂直于一个投影面而对另外两个投影面倾斜的平面。按与其垂直的投影面的不同可分为：铅垂面(⊥H)、正垂面(⊥V)、侧垂面(⊥W)三种，它们的投影特性如表2.4所示。

投影面垂直面的投影特性：

1.在所垂直的投影面上的投影，为倾斜于相应投影轴的直线，有积聚性，它和相应投影轴的夹角，即平面对相应投影面的倾角。

2.平面多边形的其余投影均为类似形。

2.4.3 一般位置平面

与三个投影面都倾斜的平面称为一般位置平面，如图2.20所示，△ABC与三个投影面都倾斜，所以它的三个投影都不反映实形，但具有类似性。

例2.5分析正三棱锥各棱面与投影面的相对位置，如图2.21。

(a) (b) (c)

图2.22 分析正三棱锥各棱面与投影面的相对位置

⑴底面ABC V面和W面投影分别积聚为平行于OX轴和OY W轴的直线段，可确定

底面ABC是水平面，水平投影反映实形，如图2.21（a）。

⑵棱面SAB 三个投影sab、s＇a＇b＇、s〃a〃b〃都没有积聚性，均为棱面SAB的类似形，可判定棱面SAB是一般位置平面，如图2.21（b）。

⑶棱面SAC 从W面投影中的重影点a〃 (c〃)可知，棱面SAC的一边AC是侧垂线。根据几何定理，一个平面上的任一直线垂直于另一平面，则两平面互相垂直。因此，可判定棱面SAC是侧垂面，W面投影积聚成一直线,如图2.21（c）

3.4.4 平面内的点和线

1.平面内的点

点在平面内时，该点必在平面内的一已知直线上。因此，在平面内找点时，一般要在平面内作辅助线，然后在所作直线上取点。

例已知△ABC平面内点K的正面投影k'，求水平投影k，如图2.22(a)。

作图过K点可作任意直线，一般为了作图简便，往往可过平面上已知点作直线，如图2.22(b)所示，可过k'作a'd'，则点K的水平投影必在AD的水平投影上，即求出K点的水平投影k。

(a) (b)

图2.22 求作一般位置平面上点的投影

2.平面内的线

直线在平面内的几何条件如下：

⑴直线通过平面内的已知两点；

⑵直线含平面内的已知点，又平行于平面内的一已知直线。

例2.7判断点D是否在△ABC确定的平面内，如图2.24所示。

分析

如果点D在平面内，则与平面内的任意点的连线应满足直线在平面内的几何条件。

(精心整理)直线与平面的关系

第二章 直线与平面的位置关系 一、平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L ， B ∈ L =>L α A ∈α，B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线及直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理2作用：确定一个平面的依据。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 二、空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 异面直线：不在同一个平面内的两条直线。异面直线既不相交也不平行。 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过这点的直线是异面直线。这个定理是判定空间两条直线是异面直线的理论依据。 5 注意点：（1）直线所成的角θ∈(0， ]。 （2）条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； （3）直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； （4）计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 三、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 2

高考数学总复习直线和平面的位置关系练习题

2010高考数学总复习 直线和平面的位置关系练习题 一、选择题： 1．已知直线的位置关系是与则若与平面a l a l l l ,,//,//,,=?βαβαβα （ ） A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．不确定 2．过空间一点作平面，使其同时与两条异面直线平行，这样的平面 （ ） A ．只有一个 B ．至多有两个 C ．不一定有 D ．有无数个 3．如果直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为 21θθ和，则 （ ） A ．1sin sin 22 12 ≥+θθ B ．1sin sin 22 12 ≤+θθ C ．1sin sin 22 12 >+θθ D ．1sin sin 22 12 <+θθ 4．设E 、F 、G 分别是四面体的棱BC 、CD 、DA 的中点，则此四面体中与过E 、F 、G 的截 面平行的棱有 （ ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条 5．用α表示一个平面，l 表示一条直线，则平面α内至少有一条直线与l （ ） A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．垂直 6．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，直线l 过点A 且垂直于平面ABC ，动点P ∈l ，当点P 逐渐远离点A 时，∠PCB 的大小 （ ） A ．变大 B ．变小 C ．不变 D ．有时变大有时变小 7．设a ,b 是平面α外的任意两条线段，则“a ，b 的长相等”是a ,b 在平面α内的射影长相等” 的 （ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 8．设PA ，PB ，PC 是从点P 引出的三条射线，每两条的夹角都等于60°，则直线PC 与平

空间中直线和平面之间的位置关系

空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系 1、直线和平面平行的定义 如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。 2、直线与平面位置关系的分类 （1）直线与平面位置关系可归纳为

(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外， 我们用记号α?a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形． (3)直线与平面位置关系的图形画法： ①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内， 而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是 无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外； ②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边 形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感； ③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。 例1、下列命题中正确的命题的个数为 。 ①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一 条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有 一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个 平面。 变式1、下列说法中正确的是 。 ①直线l 平行于平面α内无数条直线，则l αααα?b αα?b α.1 C ?答案：B 变式3、 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l 与平面α的位置关系. 图3 解：直线l 与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.

直线与平面、平面与平面的位置关系知识点

//a b a b α α??//a α//a b 直线与平面、平面与平面的位置关系 【知识梳理】 【直线与平面平行的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）定义法：直线与平面无公共点． （2）判定定理： （3）其他方法：//a αββ? 2．性质定理：//a a b α βαβ??= 【平面与平面平行的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）定义法：两平面无公共点． （2）判定定理：////a b a b a b P β β αα ???= //αβ （3）其他方法：a a α β⊥⊥ //αβ； ////a γ βγ //αβ 2．性质定理：//a b αβ γαγβ?=?= //a α //a b

【直线与平面垂直的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）用定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直． （2）判定定理：a b a c b c A b c α α ⊥⊥?=?? a α⊥ （3）推论：//a a b α ⊥ b α⊥ （3）性质① a b α α⊥? a b ⊥ ② a b α α⊥⊥ 【平面与平面垂直的判定方法和性质定理】 （1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （2）判定定理 a a αβ?⊥ αβ⊥ （3）性质：①性质定理 l a a l αβ αβα ⊥?=?⊥ αβ⊥ ② l P PA A αβαβαβ⊥?=∈⊥垂足为 A l ∈ ③ l P PA αβ αβα β⊥?=∈⊥ PA α? 【转化思想】 面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直 //a b

直线与平面的关系

第二章直线与平面的位置关系 一、平面的基本性质 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内符号表示为 A∈L,B∈L =>L α A∈α,B ∈α 公理1作用:判断直线就是否在平面内 公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线及直线外一点,有且只有一个平面。 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。 公理2作用:确定一个平面的依据。 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为:P∈α∩β =>α∩β=L,且P∈L 公理3作用:判定两个平面就是否相交的依据 二、空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 强调:公理4实质上就是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 异面直线:不在同一个平面内的两条直线。异面直线既不相交也不平行。 异面直线判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不经过这点的直线就是异面直线。这个定理就是判定空间两条直线就是异面直线的理论依据。 5 注意点:(1)直线所成的角θ∈(0, ]。 (2)条异面直线所成的角就是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b; (3)直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; (4)计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 三、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内——有无数个公共点(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点(3)直线在平面平行——没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示 a αa∩α=A a∥α L A · α C · B · A · α P · αL β 共面直线 2

空间直线与平面的位置关系(夹角)

§14.3空间直线与平面的位置关系（夹角） 【知识解读】 1、线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 2、线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 3、平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行． 4、推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行． 5、平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6、面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线都平行于另一个平面． 7、线面角--直线l与其在平面 上的射影所成的锐角称为直线与平面所成的角

F E D C B A 【例题讲解】 例1、简述下列问题的结论，并画图说明： （1）直线?a 平面α，直线A a b = ，则b 和α的位置关系如何？ （2）直线α?a ，直线a b //，则直线b 和α的位置关系如何？ 例2、已知：空间四边形A B C D 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，求证：//EF BCD 平面． 例3、两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM =FN ，求证MN ∥平面BCE _ C _ B

B M H S C A A 例4、在正方体中,棱长为a .求：(1)直线1AB 与面1111D C B A 所成的角；(2)直线1DB 与面1111D C B A ； 例5、四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点， 求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。 例6、如图，几何体ABCDE 中，△ABC 是正三角形，EA 和DC 都垂直于平面ABC ，且 a AB EA 2==，a DC =，F 、G 分别为EB 和AB 的中点.（1）求证：FD ∥平面ABC ；（2） 求证：AF ⊥BD ； 1111D C B A ABCD -

机械制图教案-点、直线和平面的投影

教学设计

教学过程 教学环节教师讲授、指导（主导）内容 学生学习、 操作（主体）活动 时间 分配 一、二、三、组织教学与引入前言 问候同学，组织课堂教学，强调课堂纪律。 复习、提问 1、绘图工具的使用方法 2、草图如何绘制 导入新课 任何物体都是由点、线、面等几何元素构成的，只有学 习和掌握了几何元素的投影规律和特征，才能透彻理解机械 图样所表示物体的具体结构形状。本次课先来学习点的投影。 （一）点的投影及其标记 当投影面和投影方向确定时，空间一点只有唯一的一个 投影。如图2－11（a）所示，假设空间有一点A，过点A分 别向H面、V面和W面作垂线，得到三个垂足a、a′、a″，便 是点A在三个投影面上的投影。 规定用大写字母（如A）表示空间点，它的水平投影、 正面投影和侧面投影，分别用相应的小写字母（如a、a′和a″） 表示。 根据三面投影图的形成规律将其展开，可以得到如图2 －11（b）所示的带边框的三面投影图，即得到点A两面投影； 省略投影面的边框线，就得到如图2－11（c）所示的A点的 三面投影图，（注意：要与平面直角坐标系相区别。） （a）（b） 师生问好，强调课堂 纪律。 提问学生到黑板完成 练习题 详细讲解点在实际中 的应用 详细讲解点的投影及 标记 3 5 10 15

教学过程 教学环节 教师讲授、指导（主导）内容 学生学习、 操作（主体）活动 时间 分配 （c） 图2－11 点的两面投影 （二）点的三面投影规律 1、点的投影与点的空间位置的关系 从图2－11（a）、（b）可以看出，Aa、A a′、A a″分别为 点A到H、V、W面的距离，即： A a = a′a x = a″a y (即a″a YW)，反映空间点A到H面的距 离； A a′=a a x= a″a z ，反映空间点A到V面的距离； A a″= a′a z = a a y (即a YH)，反映空间点A到W面的距离； 上述即是点的投影与点的空间位置的关系，根据这个关 系，若已知点的空间位置，就可以画出点的投影。反之，若 已知点的投影，就可以完全确定点在空间的位置。 2、点的三面投影规律 由图2－11中还可以看出： a a YH = a′a z 即a′a⊥OX a′a x= a″a YW即a′a″⊥OZ a a x= a″a z 这说明点的三个投影不是孤立的，而是彼此之间有一定 的位置关系。而且这个关系不因空间点的位置改变而改变， 因此可以把它概括为普遍性的投影规律： （1）点的正面投影和水平投影的连线垂直OX轴，即a′a ⊥OX； （2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直OZ轴，即a′a″ ⊥OZ； （3）点的水平投影a和到OX轴的距离等于侧面投影a″ 到OZ轴的距离，即a a x = a″a z 。（可以用45°辅助线或以原 点为圆心作弧线来反映这一投影关系） 小结：总结本节课内容并布置课后作业。 学生练习，教师指导 详细讲解点的投影和 空间位置关系 详细讲解点的三面投 影 学生练习，教师讲解 总结并不知作业 10 15 15 15 2

直线和平面的关系

直线与平面平行的判定 一、教学思想：本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，让学生在观察分析、自主探索，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。 二、学生学习情况分析： 学生基础差，学习积极性不高，学习方面有一定困难。 三，教学目标：本节课是在前面已学空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认(合情推理，不要求证明)归纳出直线与平面平行的判定定理。本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线线平行、面面平行的判定的学习作用重大。 四、教学重点与难点 重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立几空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。 五、教学过程设计 （一）知识准备、新课引入 提问1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面有哪几种位置关系？并完成下表：(多媒体幻灯片演示) 提问2：根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。 （二）判定定理的探求过程 1、直观感知 提问：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗？ 生1：例举日光灯与天花板，树立的电线杆与墙面。 生2：门转动到离开门框的任何位置时，门的边缘线始终与门框所在的平面平行(由学生到教室门前作演示)，然后教师用多媒体动画演示。 2、动手实践 教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示：当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动，观察另一边与桌面的位置给人以平行的感觉，而当把直角腰放在桌面上并转动，观察另一边与桌面给人的印象就不平行。又如老师直立讲台，则大家会感觉到老师（视为线）与四周墙面平行，如老师向前或后倾斜则感觉老师(视为线)与左、右墙面平行，如老师向左、右倾斜，则感觉老师(视为线)与前、后墙面平行(老师也可用事先准备的木条放在讲台桌上作上述情形的演示)。 3、探究思考 (1)上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同？关键是什么因素起了作用呢？通过观察感知发现直线与平面平行，关键是三个要素：①平面外一条线②平面内一条直线③这两条直线平行 (2)如果平面外的直线a与平面内的一条直线b平行，那么直线a与平面平行吗？ 4、归纳确认：（多媒体幻灯片演示） 直线和平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线和这个平面平行。 简单概括：（内外）线线平行，线面平行

高中数学 空间点,直线和平面的位置关系公式

空间点，直线和平面的位置关系 一，线在面内的性质： 定里1. 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 二，平面确定的判定定理： 定里2. 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。 定里3.经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 定里4. 经过两条相交直线有且只有一个平面。 定里5.经过两条平行直线有且只有一个个平面。 三，两面相交的性质： 定里6. 如果两个平面有一个公共点，那么还有其它公共点，则这些公共点的集合是一条直线。 四，直线平行的判定定理： 定里7. 平行于同一直线的两直线平行。 五，等角定理： 定里8.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且同向，那么这两个角相等。 六，异面直线定义： 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。（异面直线间的夹角只能是：锐角或直角） 七，直线和平面平行的判定定理： 定理9. 平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。 符合表示：

β ββ////a b a b a ???????? 推理1. 如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ? ????=??βαβαα 八，平面与平面平行判定定理： 定理1. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 符号表示： β αββαα //////??????????=??b a M b a b a 推论1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 九，平面与平面平行的性质： 定理1. 如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。 符号表示： d l d l ////??? ???==γβγαβα

直线和平面的位置关系

直线和平面的位置关系（1） 田家炳实验中学 马晓红 一、考纲要求 1．了解空间直线和平面的位置关系； 2．掌握直线和平面平行的判定和性质. 二、知识梳理 1．直线和平面的位置关系 、 、 ． 2．直线和平面平行的判定定理 如果平面外 和这个平面内 平行，那么这条直线和这个平面平行． (记忆口诀：线线平行 线面平行) 3．直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面 ，经过 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．(记忆口诀：线面平行 线线平行) 证线线平行的途径还有：三角形的中位线、梯形的中位线、线面垂直的性质定理、平面内平行线的判定定理、平行公理、平面与平面平行的性质定理等. 三、基础训练 1．（1）若两直线a 、b 异面，且 a ∥ α,则b 与α的位置关系可能是 （2）若两直线a 、b 相交，且a ∥ α，则b 与α的位置关系可能是 （3）“直线a 垂直于平面α内的无数条直线”是“a 垂直于平面α”的 条件 2．对于直线m ，n 和平面α，下面命题中的真命题是 ①如果m ?α，n ?α，m ，n 是异面直线，那么n ∥α ②如果m ?α，n ?α，m ，n 是异面直线，那么n 与α相交 ③如果m ?α，n ∥α，m ，n 共面，那么m ∥n ④如果m ∥α，n ∥α，m ，n 共面，那么m ∥n 3．在四面体ABCD 中，M 、N 分别为△ACD 和△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________． 4．已知直线m ，n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m ，n 距离相等的点 的集合可能是(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集．其中正确的是 5．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l ，m 为不同的直线，α、β为不重合的平面)，则此条件为________． ① ?????m ?αl ∥m ?l ∥α ② ?????l ∥m m ∥α ?l ∥α ③ ? ????l ⊥βα⊥β ?l ∥α 6．已知P-ABC 为正三棱锥，D 为BC 中点，则直线BC 与平面P AD 的位置关系是 四、典型例题 例1.（2008年江苏卷）如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD , AD ⊥BD ，点E , F 分别是AB , BD 的中点. 求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面ACD ； 例2：在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，ABCD PD 平面⊥,DC PD =，

第2章 点、直线和平面的投影概论

广东技术师范学院天河学院 教案

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第2章点、直线和平面的投影 一、本章重点： 1．点的坐标与投影，重影点； 2．直线在三面投影体系中的投影特性； 3．平面的投影特性，平面上的直线和点。 二、本章难点： 1．求线段的实长及其对投影面的倾角； 2．两直线的相对位置； 3．直线上的点和平面上的线。 三、本章要求： 掌握点、直线和平面的投影特性，两点的相对位置及重影点。直线上点的投影，平面上的直线和点投影。了解一般位置直线求实长和对投影面的倾角。 四、教学手段 讲授法，演示法教学、习题集作业 五、本章内容： 2．1 投影法的基本知识 2.1.1 投影法概述 在日常生活中，我们经常看到物体在日光或灯光照射下，在地面或墙上产生影子，这种现象叫投射。人们根据这种自然现象，经过科学的抽象提出了投影法。 将发自投射中心且通过物体上各点的直线称为投射线，投射线通过物体，向选定的平面投射，并在该面上得到图形的方法称为投影法。投射线的方向称为投射方向，选定的平面称为投影面，投射所得到的图形称为投影。 图2.1 中心投影法图2.2 平行投影法

1．中心投影法 该投影法的特点是，物体距离投影面的距离不同时，得到的投影的大小不同。因此，中心投影法不能够真实地反映物体的形状和大小，所以机械制图不采用这种投影法绘制。但中心投影法具有立体感强的特点，常用于绘制建筑物的外观图，也称为透视图。 2．平行投影法 投影线相互平行，在投影面上作出物体投影的方法，就称为平行投影法。 平行投影法的特点是，物体的投影与物体距投影面的距离无关，投影都能够真实地反映物体的形状和大小。 平行投影法中又可分为两种，一种是正投影，投影线方向垂直于投影面。另一种是斜投影，投影线方向倾斜于投影面。在机械制图中应用的是正投影法，它是我们学习的重点。 3. 正投影法的基本特性 ⑴实形性 当直线或平面图形平行于投影面时，其投影反映直线的实长或平面的实形，如图2.5(a)所示。 ⑵积聚性 当直线或平面图形垂直于投影面时，直线的投影积聚成一点，平面的投影积聚成一直线，如图2.5(b)所示。 ⑶类似性 当直线或平面图形倾斜于投影面时,直线的投影仍为直线,但小于实长,平面图形的投影小于真实形状,但类似于空间平面图形,图形的基本特性不变,如多边形的投影仍为多边形,如图2.5(c)所示。 另外，平行投影法还有这样的规律： （1）平行两直线的投影仍互相平行。 （2）属于直线的点，其投影仍属于直线的投影 （3）点分线段之比，投射后保持不变。 (a) (b) (c) 图2.5 正投影法的基本特性

空间中直线与平面、平面与平面之间的关系

科目：数学 课题§2.1.3空间中直线与平面、平面与平面 之间的关系 课型新课 教学目标（1）了解空间中直线与平面的位置关系；（2）了解空间中平面与平面的位置关系；（3）培养学生的空间想象能力. 教学过程教学内容备 注 一、自主学习 1.空间点与直线，点与平面分别有哪几种位置关系？空间两直线有哪几种位置关系？ 2.就空间点、线、面位置关系而言，还有哪几种类型有待分析？

二、质疑提问思考1:一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有哪几种位置关系？ 思考2:对于一条直线和一个平面，就其公共点个数来分类有哪几种可能？ 思考3:如图，线段A′B所在直线与长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面所在的平面有几种位置关系？ 思考4:通过上面的观察和分析，直线与平面有三种位置关系，即直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.这些位置关系的基本特征是什么? （1）直线在平面内---有无数个公共点； （2）直线与平面相交---有且只有一个共点； （3）直线与平面平行---没有公共点. 思考5:下图表示直线与平面的三种位置，如何用符号

语言描述这三种位置关系？ 思考6:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外. 用符号语言怎样表述？ 思考7:过平面外一点可作多少条直线与这个平面平行？若直线l平行于平面α，则直线l与平面α内的直线的位置关系如何？ 思考1:拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种变化？ 思考2:如图，围成长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？

思考3：由上面的观察和分析可知，两个平面的位置关系只有两种，即两个平面平行，两个平面相交.这两种位置关系的基本特征是什么？ （1）两个平面平行---没有公共点； （2）两个平面相交---有一条公共直线. 思考4:下图表示两平面之间的两种位置，如何用符号语言描述这两种位置关系？

高中数学必修2知识点总结：第二章_直线与平面的位置关系

高中数学必修2知识点总结 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2 作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2

第3章 点、直线和平面的投影

图3.1 中心投影法图3.2 平行投影法 1．中心投影法 该投影法的特点是，物体距离投影面的距离不同时，得到的投影的大小不同。因此，中心投影法不能够真实地反映物体的形状和大小，所以机械制图不采用这种投影法绘制。但中心投影法具有立体感强的特点，常用于绘制建筑物的外观图，也称为透视图。 2．平行投影法 投影线相互平行，在投影面上作出物体投影的方法，就称为平行投影法。 平行投影法的特点是，物体的投影与物体距投影面的距离无关，投影都能够真实地反映物体的形状和大小。 平行投影法中又可分为两种，一种是正投影，投影线方向垂直于投影面。另一种是斜投影，投影线方向倾斜于投影面。在机械制图中应用的是正投影法，它是我们学习的重点。 3. 正投影法的基本特性 ⑴实形性 当直线或平面图形平行于投影面时，其投影反映直线的实长或平面的实形，如图3.5(a)所示。 ⑵积聚性 当直线或平面图形垂直于投影面时，直线的投影积聚成一点，平面的投影积聚成一直线，如图3.5(b)所示。 ⑶类似性 当直线或平面图形倾斜于投影面时,直线的投影仍为直线,但小于实长,平面图形的投影小于真实形状,但类似于空间平面图形,图形的基本特性不变,如多边形的投影仍为多边形,如图3.5(c)所示。 (a) (b) (c)

图3.5 正投影法的基本特性 3.1.2 三视图的形成 根据GB/T14692—1993《技术制图投影法》规定，用正投影法所绘制的物体的图形，称为视图。 1．三投影面体系 图3.6 三投影面体系图3.7 三视图的形成过程 三投影面体系由三个相互垂直的投影面组成。其中V面称为正立投影面，简称正面；H面称为水平投影面，简称水平面；W面称为侧立投影面，简称侧面。在三投影面体系中，两投影面的交线称为投影轴，V面与H面的交线为OX轴，H面与W面的交线为OY轴，V面与W面的交线称OZ轴。三根投影轴的交点为原点，记为O。 2．三视图的形成 (a) (b) ( c) 图3.8 三视图的形成 如图3.7所示,将物体放在三投影面体系内,分别向三个投影面投射。为了使所得的三个投影处于同一平面上，保持V面不动，将H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ轴向右旋转90°，与V面处于同一平面上，如图3.8(a)所示。这样便得到物体的三个视图。V面上的视图称为主视图，H面

空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系教案

第 1 页 共 2 页 1 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）了解空间中直线与平面的位置关系； （2）了解空间中平面与平面的位置关系； （3）培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法 （1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握； （2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。 二、教学重点、难点 重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。 难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。 三、学法与教学用具 1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型 四、教学思想 （一）创设情景、导入课题 教师以生活中的实例以及课本P 48的思考题为载体，提出了：空间中直线与平面有多少种位置关系？（板书课题） （二）研探新知 1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 a α a ∩α=A a ∥α 例4（投影） 师生共同完成例4 例4的给出加深了学生对这几种位置关系的理解。 2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种位置关系： （1）两个平面平行 —— 没有公共点 （2）两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线 用类比的方法，学生很快地理解与掌握新内容，这两种位置关系用图形表示为 α β α β L

空间直线与平面,平面与平面的位置关系

精锐教育学科教师辅导讲义

∴,所以,与平面所成角得余弦值为. 例2、如图,已知ＡP⊥BＰ,PＡ⊥PC,∠ＡＢP＝∠ＡCP=60o,PB=PC＝BＣ,D就是ＢC中点,求AＤ与平面PBC所成角得余弦值. 解析:∵AP⊥BP,P A⊥PC,∴AＰ⊥PBC 连PD,则PD就就是AD在平面PＢC上得射影 ∴∠ＰＤＡ就就是ＡD与平面PBＣ所成角 又∵∠ABP=∠AＣP=60o,PＢ=ＰC＝ＢC,D就是ＢＣ中点, ∴ＰＤ=,PＡ=BC∴AＤ= ∴ ∴AD与平面PＢC所成角得余弦值为 巩固练习: 1选择题 (１)一条直线与平面所成角为θ,那么θ得取值范围就是( ) ?(A)(0o,9０o)(B)［0o,９0o] (Ｃ)[0o,1８0o］(D)[０o,１８0o) (2)两条平行直线在平面内得射影可能就是①两条平行线;②两条相交直线;③一条直线;④两个点.上述四个结论中, 可能成立得个数就是() ?(A)1个?(B)２个(C)3个(D)４个 (3)从平面外一点Ｐ引与平面相交得直线,使Ｐ点与交点得距离等于1,则满足条件得直线条数不可能就是( ) ?(A)０条或1条(Ｂ)０条或无数条? (C)1条或2条(D)0条或1条或无数条 答案:(1)B (2)Ｃ(3)D 2.填空题 (1)设斜线与平面α所成角为θ,斜线长为,则它在平面内得射影长就是. (2)一条与平面相交得线段,其长度为10ｃm,两端点到平面得距离分别就是2cm,3cm,这条线段与平面α所成得角就 是。 (3)若(2)中得线段与平面不相交,两端点到平面得距离分别就是２cm,3ｃm,则线段所在直线与平面α所成得角就 是. ?答案:(１) (２) (３) 3.若Ｐ为⊿AＢC所在平面外一点,且PＡ＝ＰＢ=ＰC,求证点Ｐ在⊿ABC所在平面内得射影就是⊿ＡBC得外心. 分析:斜线段长相等,则射影长也相等从而由P A=PＢ=ＰC,点P得射影到⊿ABC得三个顶点得距离相等,所以射影为⊿ABC得外心、 例3、如图,平面,,若,求二面角得正弦值。 解析:过作于,过作交于,连结, 则垂直于平面,为二面角得平面角, ∴,又平面, ∴,,∴平面,∴,, 又∵,,∴平面,∴,设,则, 在中,,∴, 同理,中,, ∴, 所以,二面角得正弦值为。

必修直线与平面的位置关系一轮习题

第1章 立体几何初步 §1.2.3 直线与平面的位置关系 重难点：了解直线与平面的位置关系，在判定和证明直线与平面的位置关系时，除了能熟练运用判定定理和性质定理外，还要充分利用定义；线面关系的判定和证明，要注意线线关系、线面关系的转化． 经典例题：直角?ABC 所在平面外一点S ，且SA=SB=SC. ⑴求证：点S 与斜边中点D 的 连线SD ⊥面ABC ； ⑵若直角边BA=BC ，求证：BD ⊥面SAC ． 当堂练习： 1．下面命题正确的是 （ ） A ．若直线与平面不相交，则这条直线与这个平面没有公共点 B ．若直线与平面不相交，则这条直线与这个平面内的任何一条直线没有公共点 C ．若一条直线与一个平面有公共点，直线与这相交 D ．直线在平面外，则直线与平面相交或平行 2．直线b 是平面α外的一条直线，下列条件中可得出b||α的是（ ） A ．b 与α内的一条直线不相交 B ．b 与α内的两条直线不相交 C ．b 与α内的无数条直线不相交 D ．b 与α内的所有直线不相交 3．下列命题正确的个数是（ ） ①若直线λ上有无数个点不在平面α内, 则α||λ; ②若直线λ与平面α平行, 则 λ与平面α内有任意一条直线都平行; ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行, 那么另一条直线也与这个平面平行; ④若直线λ与平面α平行, 则λ与平面α内的任意一条直线都没有公共点. A ．0个 B ． 1个 C ． 2个 D ．3个 4．下无命题中正确的是（ ） ①过一点, 一定存在和两条异面直线都平行的平面; ②垂直于同一条直线的一条直线和一个平面平行; ③若两条直线没有公共点, 则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平行. A ． ① B ． ③ C ． ①③ D ． ①②③ 5．直线a,b 是异面直线，A 是不在a,b 上的点，则下列结论成立的是（ ） A ． 过A 有且只有一个平面平行于a ，b B ． 过A 至少有一个平面平行于a ，b C ． 过A 有无数个平面平行于a ，b D ． 过A 且平行于a ，b 的平面可能不存在 6． 直线a,b 是异面直线，则下列结论成立的是（ ） A ． 过不在a ，b 上的任意一点，可作一个平面与a ，b 平行 B ． 过不在a ，b 上的任意一点，可作一条直线与a ，b 相交 C ． 过不在a ，b 上的任意一点，可作一条直线与a ，b 都平行 D ． 过a 可以并且只可以作一个平面与b 平行 7．下面条件中, 能判定直线α平面⊥λ的一个是（ ） A ． λ与平面α内的两条直线垂直 B ． λ与平面α内的无数条直线垂直 C ． λ与平面α内的某一条直线垂直 D ． λ与平面α内的任意一条直线垂直 8．空间四边形ABCD 中, AC=AD, BC=BD, 则AB 与CD 所成的角为（ ） A ． 300 B ． 450 C ． 600 D ． 900 9．如果直线λ与平面α不垂直, 那么在平面α内（ ） A ． 不存在与λ垂直的直线 B ． 存在一条与λ垂直的直线 C ． 存在无数条与λ垂直的直线 D ． 任意一条都与λ垂直 10．定点P 不在?ABC 所在平面内, 过P 作平面α, 使?ABC 的三个顶点到平面α的距离相等, 这样的平面共有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 11．?ABC 所在平面外一点P, 分别连结PA 、PB 、PC, 则这四个三角形中直角三角形最多有（ ） A ． 4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个 12．下列四个命题：①过平面外一点存在无数条直线和这个平面垂直；② 若一条直线和平面内的无数多条直线垂直，则这条直线和平面垂直；③仅 当一条直线和平面内两条相交直线垂直且过交点时这条直线才和平面垂 直；④若一条直线平行于一个平面，则和这条直线垂直的直线必和这个平面垂直. 其中正确的个数是（ ） A ．0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 13．如图，在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2，G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体，使G 1，G 2，G 3三 D S G 2G 3G 1F E G

直线与平面关系判定

人教版高二数学必修二第二章知识点总结 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行 四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如 图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四 个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α ☆公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一 个平面。符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只 有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 ☆公理2作用：确定一个平面的依据。 （3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L ☆公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线。没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c

空间直线与平面间的关系——基础知识

空间直线与平面间的关系 一、直线与平面的关系。 一条直线a和平面β的位置关系有且只有三种： ①直线在平面内——有无数个公共点记为：a?β a∩β＝A ②直线和平面相交——有且只有 ．．．．一个公共点记为： ③直线和平面平行——没有公共点记为：a∥β 二、直线与平面平行。 1、直线与平面平行的判定。 直线和平面平行的判定，除用定义外，主要是用判定定理，此外还用到其它特殊位置关系的性质定理。如：中位线、平行四边形的对边平行等 ※ ①(定义)如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。 ②(判定定理)如果平面外 ．．．一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． a?β，b?β，a∥b，则a∥β ③如果平面外的两条平行直线中有一条和这个平面平行，那么另一条也和这个平面平行。 a∥b ，a?β，b?β，a∥β则 b∥β ④如果两个平面平行，那么一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面。 α∥β，a?α，则a∥α ⑤一个平面和不在这个平面内的一条直线都垂直于另一个平面，那么这条直线平行于这个平面。 α⊥β，a⊥β，a?α则a⊥α ⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行。 α∥β，a?α，a?β，a∥α则a∥β ⑦如果一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行。 a⊥α，b⊥a，b?α，则b∥α

2、直线与平面平行的性质。 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 a∥α，a?β，α∩β＝b，则a∥b ※注意 不是“一条直线平行于一个平面，则该直线平行于这个平面内的一切直线。” 性质的推广：如果一条直线与一个平面平行，则这个平面内有无．数条 ．．直线与这条直线平行。 三、平行平面。 空间两个平面的位置关系有且只有两种 ．．．．．．： ①平行——没有公共点。记为：α∥β ②相交——有一条公共直线。记为：α∩β=a 1、两个平面平行的判定。 ①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行。 ②如果一个平面内有两条相交直线 ．．．．都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 a?β，b?β，a∩b=P，a∥α，b∥β ③垂直于同一直线的两平面平行。（两个平面不重合） a⊥α，a⊥β则α∥β ④平行于同一平面的两平面平行。 α∥γ，β∥γ则α∥β ⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行。 a∥b，c∥d，a?α，c?α，b?β，d?β，b∩d=P则α∥β 2、两个平行平面的性质。 ①如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线均平行于另一个平面。 α∥β，a?α则a∥β ②如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 α∩γ=a，β∩γ=b则a∥b ③如果两个平面都和第三个平面平行，那么这两个平面也互相平行。 α∥γ，β∥γ则α∥β ④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。 α∥β，a⊥α则a⊥β ⑤夹在两平行平面的两条平行线段相等。