第16章 分式
第16章 分式
§16.1.1分式
一、学习目标：
1、了解分式的概念.
2、掌握分式的特点和分式有意义的条件.（重难点）
二、学习过程：
什么是整式？ ，整式中如有分母，分母中 （含、不含）字母
.
5,3,2,12,2,21a x
y
x a y x y x a --+， （二）【学】预习课本第2页——第3页 （三）【议】
要点1、通过探索发现，v
v s v a s -+2060
,20100,,与分数一样，都是 的形式，分数的
分子A 与分母B 都是 ，并且B 中都含有 .
要点2、分数有意义的条件是 ；那么分式有意义的条件是 .
（四）【导】
下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
.
344
2,2,123,6,2,52
2b
a y x y
xy x y x a b x x
+-+--+---π
思路点拨：抓住分式概念的本质. 填空：
1、当x 时，分式x 32
有意义；
2、当x 时，分式1-x x
有意义；
3、当x 时，分式x
351
-有意义；
4、当y x ,满足什么关系 时，分式
y
x y
x -+
有意义；
思路点拨：抓住分式的分母与分子的区别. x 为何值时，下列分式的值为0?
1、11+-x x
2、39
2+-x x 3、1
1--x x
解：???≠+=-0
10
1x x
解得?
?
?-≠=11
x x 所以1=x
（五）【练】
【基础】
1、见教材P5：习题
2、3 2、若分式
1
2
-x 有意义，则x 的取值范围是 （ ） A 、x ≠1 B 、x ＞1 C 、x =1 D 、x ＜1
3、分式()
121
2+-x x 的值为0，x 的值为 （ ）
A 、1
B 、±1
C 、
2
1
D 、-1 4、写出一个含有字母x 的分式（要求：不论x 取任何实数，该分式都有意义） 【拓展】
1、当x 时，分式
22x x +的值为正，当x 时，分式1
1
32+-x x 的值为非负数. 2、甲乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a 小时相遇；若同向而行则b 小时甲追
上乙，那么甲的速度是乙的速度的（ ）倍. A 、
b b a + B 、b a b + C 、a b a b -+ D 、a
b a
b +- 3、已知分式x
x 232
-.（1）当x 取何值时，分式有意义？（2）当x 为和何值时，分式的值是
正数？（3）当x 为何值时，分式的值是负数？
【提高】 1、“循环赛”是指参赛选手间都要互相比赛一次的比赛方式，如果一次乒乓球比赛有x 名选手报名参加，比赛方式采用“循环赛”，那么这次乒乓球比赛共有 场. 2、对于分式b x a x +-32，当x =-1时，分式无意义；当x =4时，分式的值为0.试求b
a
的值.
三、课堂小结：
本节课的分式概念你学到了什么？
§16.1.2 分式的基本性质（约分）
一、学习目标：
1、理解并掌握分式的基本性质，能进行分式的等值变形.（重点）
2、利用方式的基本性质把分式化成最简分式.（难点）
二、学习过程：
42+x x 有意义的x 的取值范围是： ；分式1
1
+-x x 的值是0
，则
x ；当x 时分式
24
x
x +是正数. 分数的基本性质是 ；类似的：分式的基本性质是
；用式子表示 . 分解因式：22y x -= ；xy x +2= ；
2692b ab a ++= ；962-+-x x = .
（二）【学】
预习课本第3页——第4页 （三）【议】
归纳：分式的约分定义 公因式：所以相同因式的最 次幂的积.
最简分式：
（四）【导】
判断下列分式的变形是否正确?并说明理由. （1）
=-y x x y -11； （2）=2a b c a bc 2； （3）=xy 2224
y
x ； （4）-=--22a b b a b a +1.
解：（1）错误:从分子看，分子除以一个整式x ，根据分式的基本性质，分母的整体也应当除以一个整式x ,而本题只对分母的某一项进行，不符合分式的基本性质.
变式题 写出下列等式的分子或分母。 （1）
(
)
()
01≠=+y xy
x x ； （2）
()2
232
-=-x x x xy .
约分：（1）3
21015xy y x -； （2）44422++-x x x (3) y
xy x 24
2+- 解：()
2
2
322325351015y
x y xy x
xy xy y x -=-??=
-
分式的约分方法：
1、当分式的分子与分母都是单项式时，先找出分子与分母的最大公因式（即系数 的 与相同字母的最 次幂的积），然后将分子与分母的最大公因式约去.
2、当分式的分子与分母是多项式时，应先把多项式 ，然后约去分子与分母的
3、约分后，分子与分母没有 ，称为最简分式.
约分：（1）2510522+--m m m m （2）2
2222y
xy x y x ++-
（五）【练】
【基础】
1、 见教材P5练习2，P6习题4
2、 判断：（1）
c a c b a b ++= （ ） （2）222
2y
x xy = （ ） （3）b
a b
a a
b b a 2
222+=+ （ ） （4）321632y x y x +=+ （ ） 3、 计算
()b
a a
b 2
2
-的结果是 （ ）
A 、a
B 、b
C 、1
D 、－b
【拓展】
1、化简mn
m n m +-22
2的结果是（ ）
A 、
m n m 2- B 、m n m - C 、m n m + D 、n
m n
m +- 2、分式x
x x x 969232
++-约分的结果是（ ）
A 、
x 1 B 、x x x 332+- C 、x x x 332-+ D 、x
x x 332-- 【提高】 将分式
b
a ab
235+中的a ，b 的值都扩大为原来的2倍，分式的值 。（填变大、变小、
不变）
三、课堂小结：
本节课你学到了什么？
§16.1.2 分式的基本性质（通分）
一、学习目标：
1、分式的通分.（重点）
2、准确找出不同分母分式的最简公分母.（难点）
二、学习过程：
分式的基本性质的内容是 ；用式子表示
通分：（1）32
,21 （2）6
1,43
计算：
3
1
21+，运算中应用了什么方法？ . 这个方法的依据是什么？
（二）【学】预习课本第4页——第5页 （三）【议】
归纳：分式的通分： 最简公分母：
（四）【导】
通分：（1）
xy
x 125
,312 （2）x 21，y x 4，265xy
解：xy x 12,32 的最简公分母是y x 212 所以：y
x y
y x y x 222124434131=??=
y
x x
x xy x xy 2125125125=??= 思路点拨：解决本题的关键是寻找最简公分母.
（1）
x x +21，x x -21
（2）a 392-，9
12--a a 解：
()()
112
2-=-+=+x x x x x x x x
最简公分母是：()()11-+x x x 所以：
x x +21=()()()()
111111-+-?=+x x x x x x
x x -21
=()()()()
111111+-+?=-x x x x x x
思路点拨：先将多项式分解因式，再找最简公分母.
分式的通分 〖点拨〗（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母。①如果各分式的分母都是单项式时，首先找各分母中系数的最小公倍数作为最简公分母的系数，其次找相同字母的最高次幂，把
相同字母的最高次幂的积作为最简公分母的项，与系数的积作为最简公分母。②如果各分式的分母有多项式时，首先将各分母分解因式，再按单项式求最简公分母的方法确定最简公分母。
（2）通分的方法：找到了最简公分母，比较各分母与最简公分母，看需要把各分母分别乘以哪个整式，才能把各分母化为最简公分母，然后利用分式的基本性质，把各分式的分子、分母都乘以相应的整式，使各分式的分母化为同分母的分式。
（五）【练】
【基础】
1、 教材P5练习3；P6习题5.
2、分式
2
43x
，xy 125的最简公分母是 （ ）
A 、xy 4 B. y x 248 C. y x 212 D. y x 34
3、把
2
1-x ，)3)(2(1+-x x ，2)3(2+x 通分，下列过程不正确的是 （ ） A 、最简公分母是2
)3)(2(+-x x B 、22
)3)(2()3(21+-+=-x x x x C 、2)3)(2(3)3)(2(1+-+=+-x x x x x D 、2
2)3)(2(2
2)3(2+--=+x x x x
4、
y x x +与2
22x y xy
-的最简公分母是 ______________. 5、分式3
2221072
2354y x x y y x ，，-的最简公分母是 ______________. 【拓展】通分：
（1）2
35
,232xy y x （2） 1
4,12,43232--x x x x x
（3）；xy
x 61,32- （4）
；，，x
x x x 261
91332
2----
【提高】若
311=-y x ，求y
xy x y xy x ---+2232的值
§16.2.1 分式的运算（分式的乘除）
一、学习目标：
1、掌握分式乘除法的法则及其应用.（重点）
2、分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算.（难点）
二、学习过程：
分式的约分：
最简分式：
分解因式
3
2
22y
xy
y
x+
-= ；a
a-
3= ；12
32
-
x= 计算
（1）
4
15
6
5
2
3
÷
?（2）
2
5
12
25
3
5
?
÷
（二）【学】预习课本第6页——第7页
（三）【议】
1、你知道分数乘除法混合运算顺序是什么？
2、通过类比，你能猜出分式乘除法混合运算的顺序吗？
（四）【导】
计算：（1）
ab
xy
y
x
b
a
5
4
3
22
2
2-
?
-
（2）
3
1
9
62
2
2
-
+
?
-
+
-
x
x
x
x
x
x
计算：（1）
2
2
5
6
10
3
x
y
x
y
÷（2）
9
1
9
6
1
2
2
2-
-
÷
+
-
-
a
a
a
a
a
y
x
y
x
y
x
x
y
4
2
2
1
6
5
10
3
2
2
=
?
=
?
=
计算（1）
3
2
2?
?
?
?
?
?
+
-
x
x
（2）
()()2
2
3
?
?
?
?
?
-
?
-
÷
-
a
b
ab
a
b
ab
b
a
（五）【练】
【基础】教材P8练习1、2；P10习题1. 【拓展】 1、填空：
a b ·c d = ___________；a b ÷c
d
= ________ × ________ = ________； 2272b a ·23814a b = ___________；x y 982÷
238x y = ___________； 22
+-m m m ÷2
3
2
4m
m
m -- = ___________； k
a b ??? ?? = ___________；2
23
23???
? ??-c ab = ___________；
2、计算：（1）13322-+x x x ÷)1(2
-x ·x x x 122+-； （2）2
22???
? ??-bc m a ·3
2??? ??-a bc
【提高】 1、计算：
（1）3227x
y -÷436y x ÷；24811y x （2）)2x xy -（÷xy y xy x 222+-·；2x y x -
（3）25102522++-a a a ÷a a a -+25·
a
a
a -+552
2、先化简，后求值：21+-x x ·12422+--x x x ÷1
12-x ，其中02=-x x 。
§16.2.2 分式的运算（分式的加减）
一、学习目标：
1、异分母分式的加减混合运算及其应用.（重点）
2、化异分母分式为同分母分式的过程.（难点）
二、学习过程：
计算：（1）
413121
++= ；（2）4
1
32-= .
1、异分母的分数如何加减？
2、类比分数，猜想异分母分式如何加减？ 什么是最简公分母？
（二）【学】预习课本第8页——第9页
（三）【议】
1、下列分式()3
213
2,
)1(2x x x x ----，15-x 的最简公分母为 . 2、异分母分式的加减要先化为同分母的分式
通分的关键是找最简公分母.
（四）
【导】
计算：x x x -++-2224 练：x y y
y x x -+- 解：原式=22
24-+--x x x =2
2--x x
=-1 计算：21422-+-a a a 练：4
1
16122----x x x
解：原式=()()()()()
2221222+-+?+-+a a a a a a =()()
222
2-+++a a a a
=
4
2
32-+a a
计算：222--+x x x 练：
112
---a a a 解：原式=2
122
--+x x x 转化 通分
=
()()2
2
222
----+x x x x x =242
2---x x x
=2
4
--x
（五）【练】
【基础】
教材P9、10练习1、2、习题第2. 【拓展】
1、计算1112
-+
-x x x 的结果是 （ ）
A 、 x
x -+112
B 、 x
x --112
C.、1+x
D 、 1-x
2、 设0=+-ab b a ，其中0≠ab ，则b
a 1
1-等于 （ ）
A 、 1
B 、 －1
C 、
ab 1
D 、
b
a -1 3、 直接写出计算结果：
（1）b a y x 2++-b a y x 2+- = _______________；（2）24
22---x x x = ______________； 4、 化简：???
? ??--??? ??-1112x x x x .
【提高】 、 化简：??
????--+--+a a a a a a a 244)2)(1(22÷2-a a .
、 先化简，再求值：
??? ??
--111x ÷)2(1
12
---x x ，其中2=x .
§16.2 分式的混合运算
一、学习目标：
1、明确分式混合运算的顺序，熟练的进行分式的混合运算.（重点）
2、熟练的进行分式的混合运算.（难点）
二、学习过程：
说出有理数混合运算的顺序；那么分式的混合运算与有理数的混合运算顺序相同吗？
计算：
（1）
1
1
1
3
1
1
2-
÷
?
?
?
?
?
-
+
-
+x
x
x
x
（2）
2
2
24
2
?
?
?
?
?
-
÷
?
?
?
?
?
x
y
x
y
（3）1
1
2
+
-
+
x
x
x
（4）
1
1
1
2
1
2
+
-
÷
?
?
?
?
?
+
-
x
x
x
（二）【导】
计算
（1）
x
x
x
x
x
x
x
x-
÷
?
?
?
?
?
+
-
-
-
-
+4
4
4
1
2
2
2
2
（2）
2
2
2
4
4
4
2
y
x
x
y
x
y
x
y
x
y
y
x
x
+
÷
-
-
+
?
-
先化简，再把x取一个你喜欢的数代人求值：
2
2
2
4
4
4
2
2
-
÷
??
?
?
?
?
+
-
+
+
-
-
x
x
x
x
x
x
x
（三）【练】
【基础】计算
1、???
??--+÷--13112x x x x 2、22442222-÷???
? ??--+---a a a a a a a a a
【拓展】计算
1、34342--÷
??
? ??
---x x x x x 2、969392222++-+++x x x x x x x
3、
96312-++a a 4、??
?
??++-?+-x y x y x y x x 212122
【提高】先化简，再在0、1、2、3中选一个你认为合适的a 的值，代人求值.
1
3396922
222---+-÷++-a a a a a a a a a
三、课堂小结：
分式的混合运算：关键在于运算顺序和分式的因式分解
§16.3.1可化为一元一次方程的分式方程（一）
一、学习目标：
1、掌握解分式方程的一般步骤.（重点）
2、 会检验一个数是不是原方程的根.（难点）
二、学习过程：
前面我们已经学习了哪些方程？如何求解？ （1）前面我们已经学习了 方程. （2）一元一次方程是 方程.
（3）一元一次方程解法步骤是：①去 ；②去 ；③移项；④合并 ；⑤ 化为1.
教材P12问题
（二）【学】预习课本第12页——第15页
像这样分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
分式方程与整式方程的区别在哪里？通过观察发现这两种方程的区别在于未知数是否在分母上.未知数在 的方程是分式方程；未知数不在分母的方程是 方程.
（四）【导】
解方程：
（1）
235-=x x （2）25
10
512-=-x x 解：方程两边同乘以()2-x x 得()x x 325=- 解得：5=x
检验：将5=x 时，方程的分母不等于0 ∴5=x 是原方程的解
解方程 （1）
()
212
325-=--x x x x （2）1412132-=-++x x x 解：方程两边同乘以()2-x x 得()12235=--x x 解得：3=x
检验：将3=x 时，方程的分母不等于0 ∴3=x 是原方程的解
（五）【练】
【基础】
教材P16练习1、2和习题1
2、下列关于x 的方程中，不是分式方程的是
（ ）
A 、51
1432=-+x x
B 、
x x x x 1
21+=+- C 、3
3
233-=-+x x D 、
13
1
21=-+-+x x x 3、解分式方程
1
6131
22-=-++x x x ，下列四步中，错误的一步是 （ ）
A 、 方程两边分式的最简公分母是12-x
B 、 方程两边都乘以（12-x ），得整式方程6)1(3)1(2=++-x x
C 、 解这个整式方程得x =1
D 、原方程的解为x =1 【拓展】
1、 当分式25
10522++-x x x 的值为0时，x 的值是 （
）
A 、 －5或5
B 、－5
C 、 5
D 、
5或－5
2、 若分式方程
58)1()(2-=-+x a a x 的解是x =5
1
-，则a 等于
（
）
A 、
6
5
B 、 5
C 、6
5-
D 、 5-
【提高】
对于分式方程
3
323-+=-x x x 有以下几种说法：①最简公分母为()2
3-x ；②转化为整式方程32+=x ，解得5=x ；③原方程的解为3=x ；④原方程无解，其中正确的说法个数
为 （ ）
A 、4个
B 、3个
C 、2个
D 、1个
三、课堂小结：
解分式方程的一般步骤是： 1、“化”.在方程两边同时乘以最简公分母，化为整式方程. 2、“解”.即解这个整式方程. 3、“检验”.即把整式方程的根代人最简公分母或原方程的分母.如果值不为0，就是原方程的根；如果值为0，就是增根，应当舍去.
§16.3.1可化为一元一次方程的分式方程（二）
一、学习目标：
1、能进行简单的公式变形.（重点）
2、理解“增根”和“无解”不是一回事.（难点）
二、学习过程：
方程
01
12=--x
x 的解是
已知3=x 是方程
11
2
=--x a 的解，则=a （三）【议】
在公式2
11
11R R R +
=中，1R R ≠,求出表示2R 的公式
.
已知()R s s n
r
R ≠=+，求n .
（四）【导】
点拨：理解“增根”和“无解”不是一回事
（1）分式方程的增根是由于把分式方程化为整式方程时，无形中去掉了原分式方程中分母不为0的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围.这样，整式方程的根可能使分式方程的分母为0，分式方程将失去意义.因此，这个根虽然是变形后整式方程的根，但不是原分式方程的根，这种根就是分式方程的增根.可见增根不是原分式方程的根，但却是分式方程去分母后所得整式方程的根.
（2）而分式方程无解要分为两种情况：一是原分式方程化为整式方程后，该整式方程无解；二是分式方程去分母后所得整式方程的解，但该解却是分式方程的增根.
（3）已知分式方程有增根，确定字母系数的值.解决此类问题的一般步骤是：①把分式方程化为整式方程；②求出使方程分母为0的
x 的值；③把x 的值分别代人整式方程，求出字母系数的值.
X 的分式方程3
31-=--x m
x x 有增根，则m= . 即时练习：若分式方程6
62-=-x m
x x 有增根，则m 的值为多少？
当a 为何值时，关于x 的分式方程3
49332+=-+-x x ax x 有增根？
若关于x 的分式方程132323-=-++--x
mx
x x 无解，求出m 的值.
（五）【练】
【基础】
1、若方程01
1=-+x m
有增根，则m = _________________. 2、当x = ___________时，25--x x 与 x
x 1+互为相反数。 3、解方程：
（1）1
132-=+x x ； （2）
1
6
37222-=-++x x x x x .
【拓展】
1、如果关于x 的方程3
132--=-x m x 有增根，则m 的值等于 （ ）
B 、 －3
B 、－2
C 、－1
D 、 3
2、若
2
524-=--x m
x x 无解，则m = _________________. 【提高】解方程：1
222
+=+-x x
x x x
三、课堂小结：
解分式方程要检验根
§16.3.2 可化为一元一次方程的分式方程（应用题）
一、学习目标：
1、能分析题目中的等量关系，掌握列分式方程解应用题的方法和步骤.
2、列分式方程解应用题.（重点）
3、根据题意，找出等量关系，正确列出方程.（难点）
二、学习过程：
知识点 分式方程的应用
〖思想〗找 关系，设未知数，建立方程模型。 〖步骤〗审、设、列、解、验、答.
〖注意〗关键是找好相等关系建立方程，其余的相等关系注意用来表达相关数量.
（一）【导】
类型之一 行程问题
、B 两地相距60㎞，甲、乙两人同时从A 地骑车出发前往B 地，结果甲比乙早到3
21小时，已知甲的速度是乙的速度的1.5倍，求甲、乙两人的速度.
类型之二 工程问题
甲、乙两个工程队合作一项工程，需要16天完成，现两个队合做9天，甲队被调走，乙队又单独做了21天才完成，问甲、乙两队单独做各需几天完成？
类型之三 管理问题
某商场有管理人员40人，销售人员80人，为了提高服务水平和销售量，商场决定从管理人员中抽调一部分人充实销售部分，使管理人员与销售人员的人数比为1:4，那么应抽调的管理人员是多少？
（二）【练】
【基础】
教材P16练习3，习题2、3 【拓展】
1、张老师和李老师同时从学校出发，步行15km 去一旅游景点，张老师比李老师每小时多走1km ，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走
x km ，根据题意，可列方程
（ ）
A 、
21
15115=-+x x B 、
x 15－
115+x 21
= C 、
2
1
15115=--x x
D 、x 15－
115-x 2
1
= 2、炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台，设乙队每天安装x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是 （
）
A 、
2
60
66-=x x B 、
266-x =x 60 C 、260
66+=x x D 、
x
x 60
266=+ 3、某市为治理污水，需要铺设一段全长为300m 的污水排放管道，铺设120m 后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务。求原计划每天铺设管道的长度。如果设原计划每天铺设x m 管道，那么根据题意，可得方程_________________________________________________________. 4、某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元.已知（2）班比（1）班人均捐款多 4元，（2）班的人数比（1）班的人数少10%。请你根据上述信息，就这两个班的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程.
5、进入防汛期后，某地对河堤进行了加固.该地驻军在河堤加固的工程中出色地完成
了任务。这是记者与驻军指挥官的一段对话：
§16.4.1 零指数幂与负整数指数幂
一、学习目标：
1、 能熟练运用同底数幂的除法性质进行计算.
2、 会用p
a
-=
p a
1（p a ,0≠是正数）及10
=a (0≠a )进行计算.（重、难点） 二、学习过程：
正整数指数幂的运算性质有哪些？
1、同底数幂的乘法： ；
2、幂的乘方： ；
3、积的乘方： ；
4、同底数幂的除法： ；
5、商的乘方： ；
6、0指数幂，即当≠a 时，10
=a .
在n
m
a a ÷中，当m ＜n 时，我们来看下面这一计算 （1）35
25
2
55
55--==÷ （2）当0≠a 时，25353--==÷a a a a
3525
2
515555==÷ 2535
31a
a a a a ==÷
由此得出： 由此得出：
归纳：()01
≠=
-a a
a p p （二）【学】预习课本第17页——第18页 （三）【导】
填空：=-2
4 ；=??
? ??--2
21 ；()=-01π ；()=--1
4 ；
若12=m x ，则=-m
x
2 ；(
)=-3
12b a ；()=--2
23bc a .
将()(
)
3
2121
223---?y x yz
x 的结果写成只含有正整数指数幂的形式
. 解：原式=6322489---?y x z y x =2
472--z xy =2
472z
y x
计算：
1、1
21123-??? ??--???
? ??- 2、0
1201523-+--
3、3
105.3-? 4、41212320
1
-??
? ??-÷-+?-
（四）【练】
【基础】
1、教材P20练习1、习题1、2
2、下列各式中正确的是 （ ）
A 、422=--
B 、 6233)3(-=-
C 、 4x ÷4
8
1x x =
D 、 10=a
3、将1
61-???
??-，0)2(-，2)3(-这三个数按从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A 、 0
)2(-＜1
61-??
? ??-＜2)3(-
B 、1
61-??? ??-＜0)2(-＜2)3(- C 、2)3(-＜0)2(-＜1
61-??
? ??-
D 、 0)2(-＜2)3(-＜1
61-??
? ??- 【拓展】 1、计算213313
--???
?
??-?n n
的结果等于 （ ）
A 、 n
231??
? ??- B 、n 23-
C 、
n
231
D 、 9
1-
2、若1)1|(|0=+x ，则x = __________.
3、计算：
（1）24-×321-??
? ??÷0)2(-π （2）()
2016
2015
02211-???? ??-
（3）[][]3
11
3
2)25()5(-----÷ （4）已知01
29
1
3
x x ，求=-.
【提高】计算下列各式，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式。
（1）223)(--c b a ；
（2）242)(-c ab ·323)(c ab -.
第十六章分式
第十六章分式 16、1分式16、1、1从分数到分式 学习目标：1、了解分式产生的背景和分式的概念以及分式与整式概念的区别与联系。 2、掌握分式有意义的条件，进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感。 3、以描述实际问题中的数量关系为背景，体会分式是刻画现实生活中数量关系的一类代数式。 重点：分式的概念和分式有意义的条件。 难点：分式的特点和分式有意义的条件。 一、预习新知： 1、什么是整式？ 2、下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？两者有什么区别? 1x -y 1 x-2y —a；2x+y ；；；；3a ；5 22 a x 3、阅读“引言”，“引言”中出现的式子是整式吗？ 4、 自主探究：完成P 2的“思考”，通过探究发现， s V10060 与分数 、、 a s20 v20-v 样，都是的形式，分数的分子A与分母B都是 并且B中都含有 _____________ 。 5、归纳：分式的意义：________________________________________________________________ 。上面 1 x - 2y s V 所看到的100 、 -6^都是 。 a x a s20 v20-v 我们小学里学过的分数有意义的条件是。那么分式有意义的条件是_______________________________ 。 二、课堂展示： 例1、在下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1 ）、5x-7 ；（2）、3X2-1；（3）；（4）、皿P）；（5）、一5 ；（6）、 2a+1 7 -xy y2 2x -1 ⑺、2；（8）、壮 例2、P3的“例1
第16章 分式期末复习水平测试(B)及答案
第十六章 分式期末复习水平测试(B) 度的反复训练才能取得跟多的收获，我们设计的试卷主要就是从这点出发，所以从你下载这张试卷开始，就与知识接近了一步。 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、化简（－ x 1 ）÷x x +21的结果是（ ） A 、－x －1 B 、－x +1 C 、－11+x D 、1 1 +x 2、代数式 11 -x 有意义时，字母x 的取值范围是（ ） A 、x ＞0 B 、x ≥0 C 、x ＞0且x ≠1 D 、x ≥0且x ≠1 3、下列各式计算正确的是（ ） A 、36x x =x 2 B 、222--x =x -11 C 、m m --392=m+3 D 、11+x +x ·x 1=1 1+x 4、计算（3+m m ）－（296m -）÷（32 -m ）的结果为（ ） A 、1 B 、33+-m m C 、33-+m m D 、33+m m 5、解分式方程 x x x -- --71 78=8，可知方程（） 解为x =7 B 、解为x =8 C 、解为x =15 D 、无解 6、关于x 的方程x m －x n =n 1－m 1 （m≠n ）的解是（ ） A 、不等于0的任意数 B 、mn C 、－mn D 、m+n 7、一只船顺流航行90km 与逆流航行60km 所用的时间相等，若水流速度是2km/h ，求船在静水中的速度，设船在静水中速度为x km/h ，则可列方程（ ） A 、290+x =260-x B 、290-x =260+x C 、x 90+3=x 60 D 、x 60+3=x 90 8、下列各式从左到右变形正确的是（ ）
七年级分式难题(含解析)
七年级分式难题 一、选择题 1、如果=3，那么a12b4等于（） A．6B．9C．27D．81 2、如果a+b=3，那么分式的值为：( ) A .3 B . C .-3 D .- 3、若表示一个整数，则整数x可取的值共有（） A．8个B．4个C．3个D．2个 4、实数m，n满足mn=1，记，，则P、Q的大小关系为（） A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．不确定 5、如果m为整数，那么使分式的值为整数的m的值有（） A．2个B．3个C．4个D．5个 6、已知，则的值是（）
A．B．C．D． 7、已知关于x的方程的解大于0，则a的取值范围是（） A．a＞0B．a＜0C．a＞2D．a＜2且a≠-2 8、分式的最小值是（） A．-5B．-3C．5D．3 9、已知，则x（）+y（）+z（）的值是（） A．1B．-1C．-3D．3 10、如图，设（a＞b＞0），则有（） C．1＜k＜2D．k＞2 A．B． 二、填空题 11、已知==，则=__________. 12、当x=1时，分式无意义；当x=4时分式的值为0，则（m+n）2012的值是__________．
13、已知＝?，则a+b=__________． 14、已知，则=__________． 15、若分式方程=2+无解，则a的值为__________． 16、已知a2+=2，则=__________． 三、解答题 17、东营市某学校2015年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍。且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元。 （1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元； （2）2016年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个。恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？ 18、已知实数m满足m2-3m+1=0． （1）m+=__________． （2）求m2+的值． （3）求m-的值． 19、计算 20、京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书。从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成。 （1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元。为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费
第十六章分式知识点整理人教版
第十六章《分式》知识点整理（人教版） 分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 分式有意义的条是分母不为零，分式值为零的条分子为零且分母不为零 2分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 3分式的通分和约分：关键先是分解因式 4分式的运算： 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。 分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把
分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减 混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。 任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即；当n为正整数时， 6正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂． （1）同底数的幂的乘法：； （2）幂的乘方：; （3）积的乘方：； （4）同底数的幂的除法：； （）商的乘方：； 7分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。 解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。 解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要
验根。 解分式方程的步骤：（1）能化简的先化简； 方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； 解整式方程； 验根． 增根应满足两个条：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。 分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 列方程应用题的步骤是什么？审；设；列；解；答． 应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有四种：行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题． 数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法． 工程问题基本公式：工作量=工时×工效． 顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水．
八年级数学下册 第16章 分式 16.1 分式及其基本性质 16.1.2 第2课时 分式的通分练习
[16.1 2. 第2课时 分式的通分] 一、选择题 1．下列关于几个分式的最简公分母的说法正确的是( ) A ．分式中所有分母的积 B ．最简公分母中数字因数取所有分母的数字因数的最大公约数 C ．各分母中所有因式的最低次幂的积 D ．各分母中所有因式的最高次幂的积 2．分式12a 和1 3b 的最简公分母是( ) A ．6ab B ．5ab C.16ab D.2 5ab 3．分式1 m －n 和1 n ＋m 通分时，最简公分母应取( ) A ．m －n B ．m ＋n C ．n －m D ．m 2－n 2 4．把分式1x －2，1()x －2()x ＋3，2 () x ＋32通分，下列过程不正确的是( ) A ．最简公分母是(x －2)(x ＋3)2 B.1x －2＝（x ＋3）2 （x －2）（x ＋3）2 C.1 （x －2）（x ＋3）＝x ＋3 （x －2）（x ＋3）2 D.2（x ＋3）2＝2x －2 （x －2）（x ＋3）2 5．如果分式3a a 2－ b 2经过通分后分母变为2(a －b )2(a ＋b )，那么分子应变为( ) A ．6a (a －b )2(a ＋b ) B ．2(a －b ) C ．6a (a －b ) D ．6a (a ＋b ) 二、填空题 6．分式a －33a 2b ，c －58a 3bc 3，b －2 2ab 2的最简公分母是________．
7．把分式a－1 a2＋2a＋1与 5 1－a2通分后的结果是____________________． 8．写出两个分式，使得它们的最简公分母为12x·(x－y)2，这样的两个分式可以是____________． 三、解答题 9．通分： (1)3 x2，－1 6xy；(2)1 mn， －1 x2－2x＋1；
新初中数学分式难题汇编及答案
新初中数学分式难题汇编及答案 一、选择题 1．下列计算错误的是( ) A ．()326327x x -=- B ．()()325y y y --=-g C ．326-=- D ．()03.141π-= 【答案】C 【解析】 【分析】 根据同底数幂的乘法法则，积的乘方法则、零次幂、负指数幂进行计算 【详解】 A ． ()32 6327x x -=-，不符合题意； B ． ()()325y y y --=-g ，不符合题意； C ． -312=8 ，原选项错误，符合题意； D ． ()03.141π-=，不符合题意； 故选：C 【点睛】 本题考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方法则、零次幂、负指数幂，掌握同底数幂的乘法法则，积的乘方法则、零次幂、负指数幂是解题的关键． 2．已知 24111 P Q x x x =+-+-是恒等式,则（ ） A ． 2, 2P Q ==- B ．2, 2P Q =-= C ．2P Q == D ．2P Q ==- 【答案】B 【解析】 【分析】 首先利用分式的加减运算法则，求得()()2111 Q x x x P Q x Q P P ++-=-++-，可得方程组04P Q Q P +=??-=? ，解此方程组即可求得答案． 【详解】 解：∵()()()() ()()22111411111P x Q x P Q x Q P P Q x x x x x x -++++-=+==+-+---， ∴()()4P Q x Q P ++-=，
∴04P Q Q P +=??-=?，解之得：22P Q =-??=? ， 故选：B ． 【点睛】 此题考查了分式的加减运算、二元一次方程的解法以及整式相等的性质，解题的关键是掌握分式的加减运算法则． 3．若2310a a -+=，则12a a + -的值为（ ） A 1 B ．1 C ．-1 D ．-5 【答案】B 【解析】 【分析】 先将2310a a -+=变形为130a a -+ =，即13a a +=，再代入求解即可. 【详解】 ∵2310a a -+=，∴130a a -+ =，即13a a +=， ∴12321a a +-=-=.故选B. 【点睛】 本题考查分式的化简求值，解题的关键是将2310a a -+=变形为13a a +=. 4．若2250(0)a ab b ab ++=≠，则 b a a b +=（ ） A ．5 B ．-5 C ．5± D ．2± 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，先得到225a b ab +=-，代入计算即可. 【详解】 解：∵2250(0)a ab b ab ++=≠， ∴225a b ab +=-， ∴2255b a a b ab a b ab ab +-+===-； 故选：B. 【点睛】
分式综合难题
课前练习 1、设0a b >>，2260a b ab +-=，则 a b b a +-的值等于 ． 2、若实数x y 、满足0xy ≠，则y x m x y =+的最大值是 ． 3、a 、b 为实数，且ab =1，设P = 11a b a b +++，Q =1111 a b +++，则P Q （填“＞”、“＜”或“＝”）． 4、已知2 20x -=，求代数式22 2(1)11x x x x -+-+的值． 5、计算：523353 [()][()]y y y -÷- 6、先化简，再求值：4738263213111,4,()()24293a b a b a b a b ab ==-+-÷- 7、若 36,92m n ==，求2413m n -+的值 8、如果，则 432252()(3)4m n a x y x y x y ÷=a= ，m= ，n= 9、如果10933 7144x y M xy ÷=-，则M ＝ 10、当x 2－4x ＋1=0时， 11、化简 12、若4360270a b c a b c --=+-=，，求23657222 222a b c a b c ++++的值。 13、一组按规律排列的式子：()0,,,,4 11 38252≠--ab a b a b a b a b ，其中第7个式子是 第n 个式子是 14、若222 2,2b a b ab a b a ++-=则= 15、已知b ab a b ab a b a ---+=-2232,311求 的值
16、若0 第十六章分式 16．1 分式 16.1.1 从分数到分式 一、教学目标 1．了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考] ，学生自己依次填出：，，，. 2．学生看P3 的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20 千米/ 时，它沿江以最大航速 顺流航行100 千米所用实践，与以最大航速逆流航行60 千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/ 时 . 轮船顺流航行100 千米所用的时间为小时，逆流航行60 千米所用时间小时，所以=. 3. 以上的式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？ 五、例题讲解 P5 例1. 当x 为何值时，分式有意义. [ 分析] 已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [ 提问] 如果题目为：当x 为何值时，分式无意义. 你知道怎么解题吗？这样可以使学生 一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. ( 补充) 例2. 当m为何值时，分式的值为0？ （1）（2）(3) [ 分析] 分式的值为0 时，必须同时满足两个条件：○ 1 分母不能为零；○ 2 分子为零， 这样求出的m的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [ 答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 16.1.2 分式的基本性质 一、教学目标 1．理解分式的基本性质. 2．会用分式的基本性质将分式变形. 二、重点、难点 1．重点: 理解分式的基本性质. 2．难点: 灵活应用分式的基本性质将分式变形. 三、例、习题的意图分析 1．P7 的例 2 是使学生观察等式左右的已知的分母（或分子），乘以或除以了什么整式， 然后应用分式的基本性质，相应地把分子（或分母）乘以或除以了这个整式，填到括号里作 为答案，使分式的值不变. 2．P9 的例3、例4 地目的是进一步运用分式的基本性质进行约分、通分. 值得注意的是： 约分是要找准分子和分母的公因式，最后的结果要是最简分式；通分是要正确地确定各个分 母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公 最新初中数学分式难题汇编及答案 一、选择题 1．计算2 11 a a a -+-的正确结果是（ ） A ．21 1a a -- B ．21 1 a a -- - C ． 11 a - D ．11 a - - 【答案】A 【解析】 【分析】 先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按同分母分式加减的法则计算就可以了. 【详解】 2 11 a a a -+-， =2(1)1 a a a --- =222111a a a a a -+--- = 21 1a a --. 故选：A. 【点睛】 本题考查了数学整体思想的运用，分式的通分和约分的运用，解答的过程中注意符号的运用以及完全平方公式的运用. 2．已知11m n -=1，则代数式222m mn n m mn n --+-的值为（ ） A ．3 B ．1 C ．﹣1 D ．﹣3 【答案】D 【解析】 【分析】 由11m n -=1利用分式的加减运算法则得出m-n=-mn ，代入原式=222m mn n m mn n --+-计算可得． 【详解】 ∵11 m n -=1， ∴ n m mn mn -=1， 则 n m mn -=1， ∴mn=n-m ，即m-n=-mn ， 则原式= ()22m n mn m n mn ---+=22mn mn mn mn ---+=3mn mn -=-3， 故选D ． 【点睛】 本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式的加减运算法则和整体代入思想的运用． 3．在下列四个实数中，最大的数是( ) A ． B ．0 C ．12- D ． 13 【答案】C 【解析】 【分析】 根据实数的大小比较法则即可得． 【详解】 1122 -= 则四个实数的大小关系为11 023 -<<< 因此，最大的数是12- 故选：C ． 【点睛】 本题考查了实数的大小比较法则，掌握大小比较法则是解题关键． 4．若a ＝－0.22，b ＝－2－2，c ＝（－12）－2，d ＝（－1 2 ）0，则它们的大小关系是（ ） A ．a 新初中数学分式难题汇编附答案 一、选择题 1．测得某人一根头发的直径约为0.000 071 5米，该数用科学记数法可表示为（ ） A ．0.715×104 B ．0.715×10﹣4 C ．7.15×105 D ．7.15×10﹣5 【答案】D 【解析】 2．关于分式 2 5x x ，下列说法不正确的是（ ） A ．当x=0时，分式没有意义 B ．当x ＞5时，分式的值为正数 C ．当x ＜5时，分式的值为负数 D ．当x=5时，分式的值为0 【答案】C 【解析】 【分析】 此题可化转化为分别求当分式等于0、大于0、小于0、无意义时的x 的取值范围，分别计算即可求得解． 【详解】 A ．当x=0时，分母为0，分式没有意义；正确，但不符合题意． B ．当x>5时，分式的值为正数；正确，但不符合题意 C ．当0＜x ＜5时，分式的值为负数；当x=0是分式没有意义，当x ＜0时，分式的值为负数，原说法错误，符合题意． D ．当x=5时，分式的值为0；正确，但不符合题意． 故选：C ． 【点睛】 本题主要考查分式的性质的运用，注意分式中分母不为0的隐性条件． 3．人的头发直径约为0.00007m ，这个数据用科学记数法表示（ ） A ．0.7×10﹣4 B ．7×10﹣5 C ．0.7×104 D ．7×105 【答案】B 【解析】 【分析】 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣ n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】 解：0.00007m ，这个数据用科学记数法表示7×10﹣5． 故选：B ． 分式题型易错题难题大 汇总 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 分式单元复习 （一）、分式定义及有关题型 一、分式的概念： 形如 B A （A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0）的式子，叫做分式。 概念分析：①必须形如“ B A ”的式子；②A 可以为单项式或多项式，没有其他的限制； ③B 可以为单项式或多项式，但必须含有字母。．．． 例：下列各式中，是分式的是 ①1+ x 1 ②)(21y x + ③3x ④x m -2 ⑤3-x x ⑥1394y x + ⑦π x 练习：1、下列有理式中是分式的有（ ） A 、 m 1 B 、162y x - C 、xy x 7151+- D 、5 7 2、下列各式中，是分式的是 ①x 1 ②)(21y x + ③3x ④x m -2 ⑤3-x x ⑥13 94y x + ⑦πy +5 1、下列各式：()x x x x y x x x 2 225 ,1,2 ,34 ,151+---π其中分式共有（ ）个。 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 二、有理式：整式和分式统称有理式。 即：? ?????? ?分式 多项式单项式整式有理式 例：把下列各有理式的序号分别填入相应的横线上 ① 2 1x ②)(51y x + ③x -3 ④0 ⑤3a ⑥c ab 12+ ⑦y x +2 整式： ；分式 。 ①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（???≠=0 B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或???<<00 B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或???><00 B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） ⑧分式的值为整数：（分母为分子的约数） 例:当x 时，分式 22 +-x x 有意义；当x 时，2 2-x 有意义。 八年级数学下册第十六章《分式》整章水平测试 一、精心选一选，相信你一定能选对！（每题3分，共30分） 1．代数式-32x ，4x y -，x+y ，22x π +，，55b a ，98，中是分式的有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．当x≠-1时，对于分式11 x -总有（ ）． A ．11x -=21x + B ．11x -=211x x +- C ．11x -=211x x -- D ．11x -=13 x -- 3．下列变形正确的是（ ）． A ．a b a b c c -++=-; B ．a a b c b c -=--- C ．a b a b a b a b -++=--- D ．a b a b a b a b --+=--+ 4．分式325x y xy -中的字母x ，y 都扩大为原来的4倍，则分式的值（ ）． A ．不变 B ．扩大为原来的4倍 C ．扩大为原来的8倍D ．缩小为原来的 14 5．将（16 ）-1，（-2）0，（-3）2这三个数按从小到大的顺序排列，正确的结果是（ ）． A ．（-2）0<（16）-1<（-3）2 B ．（16 ）-1<（-2）0<（-3）2 C ．（-3）2<（-2）0<（16）-1 D ．（-2）0<（-3）2<（16 ）-1 6．若分式2 112(4)x x --的值为正数，则x 的值为（ ）． A ．x<2 B ．2 八年级(下)数学单元检测题 （第十六章 分式） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列式子是分式的是（ ） A ．2x B ．x 2 C ．π x D ．2y x + 2．下列各式计算正确的是（ ） A ．11--=b a b a B ．ab b a b 2 = C ．()0,≠=a ma na m n D ．a m a n m n ++= 3．下列各分式中，最简分式是（ ） A ．()()y x y x +-73 B ．n m n m +-22 C ．2222ab b a b a +- D ．222 22y xy x y x +-- 4．化简2 293m m m --的结果是（ ） A.3+m m B.3 +-m m C.3-m m D.m m -3 5．若把分式xy y x +中的x 和y 都扩大2倍，那么分式的值（ ） A ．扩大2倍 B ．不变 C ．缩小2倍 D ．缩小4倍 6．若分式方程 x a x a x +-=+-321有增根，则a 的值是（ ） A ．1 B ．0 C ．—1 D ．—2 7．已知432c b a ==，则c b a +的值是（ ） A ．54 B. 47 C.1 D.4 5 8．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x 千米/时，则可列方程（ ） A ． x x -=+306030100 B ．30 6030100-=+x x C ．x x +=-306030100 D ．306030100+=-x x 9．某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后 分 式 分式课前测评：（每题10分） 1. 对于分式3 92+-x x ，当x__________时，分式无意义；当x__________时，分式 的值为0； 2. 若 21111D D D +=，则D=___________；若5 922=-+b a b a ，则a ：b =__________； 3. 已知1 3a a -= ，那么221 a a + =_________ ； 4. 若分式732 -x x 的值为负数，则x 的取值范围为_______________； 5. 若 =+) 1(1 n n _______－________，则 =?++?+?+?100 991431321211 _________； 6. 若已知1 3 2112 -+=-++x x x B x A （其中A 、B 为常数），则A=__________，B=__________； 7. 若把分式 x y x 23+的x 、y 同时缩小12倍，则分式的值 （ ） A ．扩大12倍 B ．缩小12倍 C ．不变 D ．缩小6倍 8. “五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面 包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设参加游览的同学共x 人，则所列方程为（ ） A ．32180 180=+-x x B ． 31802180=-+x x C ．32 180 180=--x x D ． 3180 2180=--x x 9. 在正数范围内定义一种运算☆，其规则为a ☆b ＝b a 11 +，根据这个规则x ☆ 23 )1(= +x 的解为（ ） A ．32=x B ．1=x C ．32 -=x 或1 D ．3 2 = x 或1- 10、已知0=++c b a ，求：?? ? ??++?? ? ??++?? ? ??+b a c a c b c b a 111111 的值。 附加题：（每题5分） 1、若解关于x 的分式方程23 4222+= -+-x x mx x 会产生增根，求m 的值。 2、若方程a x x -= -2 11的解为正数,则a 的取值范围是___________. 难题讲解： 1的值等于 。 2k 的值为 . 3的值等于 。 4、已知a 2 －3a+1=05、若x 、y 的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A 、y x 23 B 、223y x C 、y x 232 D 、23 23y x 6、无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A ． 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5 x x - 7、如果分式2 2+-a a 的值为为零,则a 的值为( ) A. 1± C. 2- D.以上全不对 8、若分式 112+-a a 与1 21+-a a 的值相等,则a 为( ) B.2 1 D.不等于1的一切实数 初二分式所有知识点总结和常考题 知识点： 1.分式：形如 A B ，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母. 2.分式有意义的条件：分母不等于0. 3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变. 4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分. 5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分. 6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式. 7.分式的四则运算： ⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用 字母表示为：a b a b c c c ±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分 式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd ±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分 母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd ?= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与 被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc ÷=?= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n n n a a b b ?? = ??? 8.整数指数幂： ⑴m n m n a a a +?=（m n 、是正整数） ⑵() n m mn a a =（m n 、是正整数） ⑶()n n n ab a b =（n 是正整数） ⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >） ⑸n n n a a b b ?? = ??? （n 是正整数） 第十六章 分式知识点及典型例子 一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。 例1.下列各式a π，11x +，15 x+y ，22a b a b --，-3x 2，0?中，是分式的有（ ）个。 二、 分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】 分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】 分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B ≠0且A=0 即子零母不零】 例2.下列分式，当x 取何值时有意义。（1）2132 x x ++； （2）2323x x +-。 例3.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）。 A ．121x + B ．21x x + C ．231x x + D ．2221x x + 例4．当x______时，分式2134 x x +-无意义。当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零。 例5.已知1x -1y =3，求5352x xy y x xy y +---的值。 三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不 变。 （0≠C ） 四、分式的通分和约分：关键先是分解因式。 例6.不改变分式的值，使分式115101139 x y x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（? ）。 例7.不改变分式2323523 x x x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，则是（? ）。 例8.分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（ ）。 例9.约分：（1）22699x x x ++-； （2）2232m m m m -+- C B C A B A ??=C B C A B A ÷÷= 第十六章分式 单元规划 本章内容：分式的概念；分式的基本性质；分式的约分与通分；分式的四则运算；整式指数幂的概念及运算性质；分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。 本章重点：分式的四则运算。 本章难点：分式的四则混合运算；列分式方程解应用题。 课时安排：本章教学时间约需13课时，具体分配如下： 16.1分式2课时; 16.2分式的运算6课时; 16.3分式方程3课时; 数学活动 本章小结2课时. 第一节分式 一、课程学习目标 （一）知识目标： 1、以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式. 2、类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则. （二）能力目标： 1、能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，进一步培养符号感。 2、认识和体会特殊与一般的辩证关系，提高数学运用能力。 （三）情感目标： 通过类比分数、分数的基本性质及分数的约分、通分，推测出分式、分式的基本性质及分式约分、通分，在学生已有数学经验的基础上，提高学生学数学的乐趣。 二、本节教学重点：是分式的意义、分式的基本性质 三、本节教学难点：分式的特点及要求；分子、分母是多项式的约分、通分。 四、主要教学思路：在教师的指导下，利用多媒体，让学生自主探究、分组合作交 流等方式展开教学活动。 把体积v的水倒入底面积为s的圆柱形容器中水面高度为。 师生行为：学生分组讨论、思考归纳；教师纠正，指出正确答案。 活动(五)课后作业，学习延伸 教材第10页第1、2、3、8、13题，学习阶梯练中的练习。师生行为：布置作业，学生记录作业。 板书设计： 教学反馈： 最新初中数学分式难题汇编附答案 一、选择题 1．下列各式从左到右变形正确的是（ ） A ． 13(1)223x y x y ++=++ B ．0.20.03230.40.0545a b a d c d c d --=++ C ．a b b a b c c b --=-- D ．22a b a b c d c d --=++ 【答案】C 【解析】 【分析】 依据分式的基本性质进行变化，分子分母上同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式 的值不变． 【详解】 A 、该式子不是方程，不能去分母，故A 错误； B 、分式中的分子、分母的各项没有同时扩大相同的倍数，故B 错误； C 、a-b b-a =d-c c-d 故C 正确； D 、分式中的分子、分母的各项没有同时除以2，故D 错误．故选C ． 【点睛】 本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练运用性质. 2．下列计算正确的是（ ）． A 2=- B ．2(3)9--= C ．0( 3.14)0x -= D ．2019(1)|4|5---=- 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用二次根式的性质以及负指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】 A 2=，故此选项错误； B 、（-3）-2=19 ，故此选项错误； C 、（x-3.14）0=1，故此选项错误； D 、（-1）2019-|-4|=-5，正确． 故选：D ． 【点睛】 此题考查二次根式的性质以及负指数幂的性质、零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键． 3．下列运算中，不正确的是（ ） A ．a b b a a b b a --=++ B ．1a b a b --=-+ C ．0.55100.20.323a b a b a b a b ++=-- D ．()()221a b b a -=- 【答案】A 【解析】 【分析】 根据分式的基本性质分别计算即可求解. 【详解】 解：A. a b b a a b b a --=-++，故错误. B 、C 、D 正确. 故选：A 【点睛】 此题主要考查分式的基本性质，熟练利用分式的基本性质进行约分是解题关键. 4．若2310a a -+=，则12a a + -的值为（ ） A 1 B ．1 C ．-1 D ．-5 【答案】B 【解析】 【分析】 先将2310a a -+=变形为130a a -+ =，即13a a +=，再代入求解即可. 【详解】 ∵2310a a -+=，∴130a a -+ =，即13a a +=， ∴12321a a +-=-=.故选B. 【点睛】 本题考查分式的化简求值，解题的关键是将2310a a -+=变形为13a a +=. 5．若2250(0)a ab b ab ++=≠，则 b a a b +=（ ） A ．5 B ．-5 C ．5± D ．2± 1 、填空题 1. 在代数式 2. 3. 4. 5. 6. 7. 第十六章分式全章测试 3^1xyaa1x212 a b, —， , , , 2 , x 4 x 3 2 b x 2 1 2 x 时，分式 没有意义；当x x 2 时, 2 2b , 2中，分式有 3 3a 1 ~2~ x 分式 -有意义；当x 1 时, 3x 1 分式3x 1 的值是零. x 1 不改变分式的值，把分式的分子和分母各项系数都化成整数: 计算：爲m -3 = 0.4a i b -a 0.3b 5 x =-4是方程」 —的解，贝V a= ______ x 1 x 3 5 —的值互为相反数，则满足条件的 3 2x x 3 3与一 x x 的值是 c 2 ,, 2x x 时，等式 2—— x(x 5) 2x 1 务」成立. x 5 加工一批产品 m 件，原计划a 天完成，今需要提前 品. 已知空气的单位体积质量为 _____ g/cm 3.（用科学记数法表示 b 天完成，则每天应生产 件产 10.设 a >b >0, a 2+ b 2-6ab = 0, 0.001239g/cm ) a b b 的值等于 那么 100 单位体积的空气质量为 二、选择题 11.下列分式为最简分式的是 （ 33b (A)33b 2 a (B)- b a b 2 2 x (C) 或 12.下列分式的约分运算中，正确的是 x 9 (A)克 a c (B — a b (C) — a 13.分式 1 x 2 1 x 2 2x r x (A)( x 2+ 1)(x - 1) (C)(x — 1)2(x 2+ 1) 14.下列各式中，正确的个数有 1 —的最简公分母是（ ). (B)( x 2 (D)(x - 1) 1)(x 2+ 1) 2 ( ). ①2- 2=- 4; ②(32)3 = 35; ④(-1)- 1= 1.第十六章分式教案
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