马尔可夫预测
马尔可夫过程是一种常见的比较简单的随机过程。该过程是研究一个系统的 状况及其转移的理论。它通过对不同状态的初始概率以及状态之间的转移概率的研究,来确定状态的变化趋势,从而达到对未来进行预测的目的。 三大特点: (1)无后效性
一事物的将来是什么状态,其概率有多大,只取决于该事物现在所处的状态如何,而与以前的状态无关。也就是说,事物第n 期的状态,只与第n 期内的变化和第n-1期状态有关,而与第n-1期以前的状态无关。 (2)遍历性
不管事物现在所处的状态如何,在较长的时间内马尔可夫过程逐渐趋于稳定状态,而与初始状态无关。 (3)过程的随机性。
该系统内部从一个状态转移到另一个状态是,转变的可能性由系统内部的原先历史情况的概率值表示。 1.模型的应用, ①水文预测, ②气象预测, ③地震预测,
④基金投资绩效评估的实证分析, ⑤混合动力车工作情况预测, ⑥产品的市场占有情况预测。 2.步骤
①确定系统状态
有的系统状态很确定。如:机床工作的状态可划分为正常和故障,动物繁殖后代可以划分为雄性和雌性两种状态等。但很多预测中,状态需要人为确定。如:根据某种产品的市场销售量划分成滞销、正常、畅销等状态。这些状态的划分是依据不同产品、生产能力的大小以及企业的经营策略来确定的,一般没有什么统一的标准。在天气预报中,可以把降水量划分为旱、正常和涝等状态。 ②计算初始概率()0i S
用i M 表示实验中状态i E 出现的总次数,则初始概率为
()()0
1
1,2,
i
i i n
i
i M S F i n M
=≈=
=∑
③计算一步转移概率矩阵
令由状态i E 转移到状态j E 的概率为()|ij j i P P E E =,则得到一步转移概率矩阵为:
1112121
2221
2
n n n n nn p p p p p p P p p p ??????=??????
④计算K 步转移概率矩阵
若系统的状态经过了多次转移,则就要计算K 步转移概率与K 步转移概率矩阵。
K 步转移概率矩阵为:
1112121
2221
2
()k
n n k n n nn p p p p p p P k p p p p ??????==??????
⑤预测及分析
根据转移概率矩阵对系统未来所处状态进行预测,即:
()
()111210212221
2
K
n K n n n nn p p p p p p S S
p p p ??????=??????
例题:
设某企业生产洗涤剂为A 型,市场除A 型外,还有B 型、C 型两种。为了生产经营管理上的需要,某企业要了解本厂生产的A 型洗涤剂在未来三年的市场占有倩况。为此,进行了两项工作,一是进行市场调查,二是利用模型进行预测。
市场调查首先全面了解各型洗涤剂在市场占有情况。年终调查结果:市场洗涤剂目前总容量为100万件,其中A 型占40万,B 型和C 型各占30万。
再者,要调杏顾客购买各型洗涤剂的变动情况。调查发现去年购买A 型产品的顾客,今年仍购A 型产品24万件,转购B 型和C 型产品备占8万件,去年购买B 型产品顾客,今年仍购B 型产品9万件,转购A 型15万件,转购C 型6万件,去年购买C 型产品的顾客,今年仍购C 型产品9万件,转购A 型15万件,转购B 型6万件。计算各型产品保留和转购变动率。 模型的建立: ①计算初始概率
用i M 表示i E 型产品出现的总次数,则初始概率为
()()0
1
1,2,
i
i i n
i
i M S F i n M
=≈=
=∑ (1)
②计算各类产品保留和转购变动率
用1,2,3,分别表示A,B,C 三种产品类型,令由(1,2,3)i E i =型产品转移到
(1,2,3)j E j =型产品的概率为()|ij j i P P E E =,则得到一步转移概率矩阵为:
1112121
2221
2
n n n n nn p p p p p p P p p p ??????=??????
(2) ③预测与分析
根据产品市场占有率的初始资料(1)和产品转移概率矩阵资料(2),预测未来各年度各型产品市场占有率。即:
()
()111210212221
2
K
n K n n n nn p p p p p p S S
p p p ??????=??????
(3) 模型的求解
①计算初始概率
用概率向量0S 表示各类产品市场占有的初始状态,由(1)得0(0.40.30.3)S = 。 ②计算各类产品保留和转购变动率 由(2)计算得一步转移概率矩阵为
0.60.20.20.50.30.20.50.20.3P ??
??= ??
?? ??
③预测与分析
由(3)计算得到产品市场占有率的预测如下
()
0.60.20.2(0.40.30.3)0.50.30.20.50.20.3K
K S ??
??= ??
?? ??
令k=1得后续第l 年各型产品币场占有率预测为
()
10.60.20.2(0.40.30.3)0.50.30.2(0.540.230.22)0.50.20.3S ??
??= = ??
?? ??
其中A 型产品市场占有率为54%。
令k=2得后续第2年各型产品币场占有率预测为
()
2
20.60.20.2(0.40.30.3)0.50.30.2(0.5540.2230.223)0.50.20.3S ??
??= = ??
?? ??
其中A 型产品市场占有率为55.4%。
令k=2得后续第2年各型产品币场占有率预测为
()
3
30.60.20.2(0.40.30.3)0.50.30.2(0.55540.22230.2223)0.50.20.3S ??
??= = ??
?? ??
其中A 型产品市场占有率为55.54%。
这说
明,某企业生产的A 型洗涤剂今后三年的市场占有率为54%、55.4%、55.54%,比目前40%的市场占有率有不同程度的增长,市场容量日益增加。而其他企业的B 型和C 型产品在今后三年内均为23%、22.3%、22.23%,比目前市场占有率30%都低,市场容量逐渐下降。对比结果,A 型产品在市场竞争中处于优势。以上仅仅根据三年的预测资料来说明的。今后怎样?如果市场顾客购买各型产品的流动倾向长期如此下去,各型产品市场占有率将稳定在一定水平。这时马尔可夫预测式中的K 趋向∞,各型产品市场占有率将是
()0.60.20.2lim(0.40.30.3)0.50.30.2(0.50.250.25)0.50.20.3k
k k k S →∞
→∞
??
??= = ???? ??
它表明A 型产品可长期占有一半市场,而B 、C 型产品可稳占1/4市场。