变量间的相关关系与统计案例(一)案

变量间的相关关系与统计案例（一）

一、学习目标：

1、会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系。

2、了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（线性回归方程系数公式不要求记忆）。

二、重点、难点：变量间的相关关系。

三、导读、导思：

1、两类变量关系类型：函数关系和相关关系，它们的区别在于是确定性关系还是非确定性关系。

通过散点图可以判断两个变量之间是否具有相关关系：

①如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，则变量之间具有 ；

②如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，则变量之间具有 ；

③如果所有的样本点都落在某一直线附近，则变量之间具有 2、正相关与负相关

如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为 ； 如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值却由大变小，这种相关称为 。 利用散点图判断正、负相关：

① 如果散点图中的点散步在从左下角到右上角的区域内，称为正相关； ② 如果散点图中的点散步在从左上角到右下角的区域内，称为负相关。 3、回归直线：设x 和y 是具有相关关系的两个变量，且对应于n 个观测值的n 个点大致分布在一条直线附近，若所求的直线方程为x b a y ∧∧∧+=，其中

∑∑∑∑=-=-

-=-

=--∧--=?????????? ??-???

??-??? ??-=n i i n i i i n i i n i i i x n x y x n y x x x y y x x b 1221121，我们将这个方程叫做回归直线方程， ∧∧b a ,叫做回归系数，相应的直线叫做回归直线。 （1）使样本数据点到回归直线的距离的平方和Q= 为最小的方法叫最小二乘法。回归方程的截距a 和斜率b 构成的点（∧

∧b a ,）应该是函数()βα,Q 为最小值点。

（2）求回归直线方程的一般步骤：

①作散点图，判断散点是否在一条直线附近；

②如果散点在一条直线附近，利用公式计算a 、b ，并写出回归直线方程； ③利用回归方程，由一个变量的值，预测或控制另一个变量的取值。

四、导练展示：

1、判断：

（1）线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，贴近这些样本点的数学方法。（） （2）利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示。 （3）通过回归方程a bx y +=∧

及其回归系数b ，可以估计和观测变量的取值和变化趋势。（ ）

（4）因为由任何一给定观测值都可以求得一个回归直线方程，所以没有必要进行相关性检验。（ ）

（5）回归直线方程a bx y +=∧

的参数b,a 可用公式∑

∑=-=-

-∧

--=n

i i

n

i i i x

n x y

x n y x b 12

21

和

-

--=x b y a 计算。（ ）

2、工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为x y

8050+=∧，下列判断正确的是（ ）

①劳动生产率为1000元时，工资为130元 ②劳动生产率提高1000元，则工资提高80元 ③ 劳动生产率提高1000元，则工资提高130元 ④ 当月工资为210元时，劳动生产率为2000元 A 、① B 、② C 、③ D 、④

3、某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次

（1） 在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； （2） 求出y 关于x 的线性回归方程a bx y +=∧，并在坐标系中画出回归直线；

（3） 试预测加工10个零件需要多少小时。

五、达标训练：

1、为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做

10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为1l 和2l 。已知两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均值都是s ，对变量y 的观测数据的平均值都是t ，那么下列说法正确的是（）

A 、1l 和2l 有交点（s,t ）

B 、1l 和2l 相交，但交点不一定是（s,t ）

C 、1l 和2l 必定平行

D 、1l 和2l 必定重合 2

若由资料知y 对x 呈线性相关关系，试求： （1） 线性回归方程x b a y ∧

∧∧+=的回归系数∧

∧b a ,。 （2） 估计使用年限为10年时，维修费用是多少？

六、反思小结：

高中数学第三章统计案例3.1独立性检验假设检验(hypothesistesting素材苏教版选修2_3202012251102

假设检验(hypothesis testing) 方法演变：t检验、z检验、F检验、卡方检验，方差分析( ANOVA) ?概述 假设检验是分析数据的一种方法。回答此类问题：“随机发生的事件的概率是多少?”另一方面的问题是：“我们从数据中发现的结果是真的吗？”当问题是有关大的总体而只能得到总体的一个样本时用假设检验。这种方法被用来回答在质量改进中一系列重要的问题，如“我们在过程中所做的改变对产出创造了有意义的差别吗？”或”顾客对场地A的满意度是不是比其他场地高？” 最常用的检验是：z检验、t检验、F检验、卡方（χ2）检验和方差分析。这些检验和其他的检验都是基于均值、方差、比例及其他统计量所形成的具有常见模式的频率分布。最有名的分布就是正态分布，它是：检验的基础。t检验、F检验和卡方(χ2)检验是基于t分布、F分布和卡方分布。 ?适用场合 ·想知道一组或更多组数据的平均值、比例、方差或其他特征时； ·当结论是基于更大总体中所取得的样本时。 例如： ·想确定一个过程的均值或方差有否改变； ·想确定很多数据集的均值或方差是否不同： ·想确定两组不同的数据集的比例是否不同； ·想确定真正的比例、均值或方差是否和一个定值相等（或大于或小于）。 ?实施步骤 假设检验的步骤由三部分组成：理解要解决的问题并安排检验（以下步骤1～3）；数字计算通常由计算机完成（步骤4和步骤5）；应用数值结果到实际问题中（步骤6）。虽然计算机能处理数字，但理解假没检验隐含的观念对第1部分和第3部分至关重要。 如果第一次接触假设检验，那么从看“注意事项”中的术语和定义开始。这些定义解释了假设检验的慨念，然后再回来看这个步骤。 本书不可能详细地涉及假设检验。这个步骤是个综述和快速参考。要得到更多的信息，查阅统计学参考书或请教统计学家。 1确定要从数据中获得的结论。选择适当的检验方法。用哪种检验取决于检验的目的和数据的种类。可以用表5.7和表5.8概括的常用的假设检验，或者请教统计学家以得到帮助。 2建立零假设和备择假设。确定问题是属于双尾检验、左尾检验还是右尾检验。 3选择显著性水平。。 4计算检验统计量，可借助计算机软件。 5用统计分布的统计表或计算机程序等来确定检验统计量的P值。对于z检验可用表A.1正态曲线以下的曲线。 6把P值与左尾或右尾检验的α或者双尾检验的α／2作比较，如果P值较小，那么拒绝零假设并会得到备择假设可能正确的结论。否则，不能拒绝零假设，并得出没有足够证据支持备择假设的结论。 ?备择步骤 步骤1～4同上。然后： 5用统计表或计算机程序确定如下所示的检验统计量的临界值和拒绝域。以z检验作为示例，对t检验、F检验或卡方检验，用统计量f、F或χ2来替换z。 6比较检验统计量和拒绝域。如果检验统计量值落在拒绝域内，拒绝零假设，结论是备择假设可能止确。否则，不拒绝零假设，结论是没有足够的证据支持备择假设。 ?示例：t检验

统计与统计案例真题与解析

统计与统计案例 A 级 基础 一、选择题 1．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1 000人、高二1 200人、高三n 人中抽取81人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为30，那么n ＝( ) A ．860 B ．720 C ．1 020 D ．1 040 2．为规范学校办学，某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是( ) A ．13 B ．19 C ．20 D ．51 3．“关注夕阳、爱老敬老”——某爱心协会从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金，下表记录了第x 年(2013年是第一年)与捐赠的现金y (单位：万元)的对应数据，由此表中的数据得到了y 关于x 的线性回归方程y ^ ＝mx ＋0.35，则预测2019年捐赠的现金大约是( ) A.5万元 C ．5.25万元 D ．5.5万元 4．如图所示的茎叶图记录了甲乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( )

A.3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7 5．(2019·衡水中学检测)某超市从2019年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位：箱)的数据中分别随机抽取100个，并按(0，10]，(10，20]，(20，30]，(30，40]，(40，50]分组，得到频率分布直方图如下： 记甲种酸奶与乙种酸奶的日销售量(单位：箱)的方差分别为s21，s22，则频率分布直方图(甲)中的a的值及s21与s22的大小关系分别是() A．a＝0.015，s21s22 C．a＝0.015，s21>s22D．a＝0.15，s21

案例统计公式(绝对精华)

统计案例 一、回归分析 1. 线性回归方程???y bx a =+的求法 （1）求变量x 的平均值，即1231 ()n x x x x x n =+++???+ （2）求变量y 的平均值，即1231 ()n y y y y y n = +++???+ （3）求变量x 的系数?b ，即1 2 1 ()() ?() n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑（题目给出，不用记忆） 1 2 1()() ?() n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑ 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2n n n n i i i i i i i i n n n i i i i i x y x y xy x y x xx x =======--+= -+∑∑∑∑∑∑∑1 22 21 2n i i i n i i x y nx y nx y nx y x nx nx ==--+= -+∑∑12 21 n i i i n i i x y nx y x nx ==-= -∑∑（理解记忆） （其中1 1 n n i i i x x nx ====∑∑，1 1 n n i i i y y ny ====∑∑，() ,x y 称为样本点中心） （4）求常数?a ，即??a y bx =- （5）写出回归方程???y bx a =+（?a ，?b 的意义：以?a 为基数，x 每增加1个单位，y 相应地平均增加?b 个单位） 注意：若?0b >则正相关，若?0b <则负相关. 2. 相关系数 假设两个随机变量的取值分别是()11,x y ，()22,x y ，……，(),n n x y ，则变量间线性相关系数的计算公式如下： ()() n n i i i i x x y y x y nx y r ---= = ∑∑ 相关系数r 的性质： （1）当0r >时，表明两个变量正相关；当0r <时，表明两个变量负相关；当0r =时，表明

(新)高中数学第一章统计案例1_1独立性检验假设检验素材新人教B版选修1-21

假设检验 1、某厂生产的化纤纤度服从正态分布 )04.0,(2 μN 。某天测得25根纤维的纤度的均值39.1=x ，问与原设计的标准值1.40有无显著差异？（取05.0=α） 解 设厂生产的化纤纤度为X ，则总体)04.0,(~2μN X ，且总体方差2204.0=σ已 知。顾客提出要检验的假设为 40 .1:0=μH ， 40.1:1≠μH 因为已知总体标准差04.0=σ，所以选用U 检验，且在0H 成立的条件下有 )1,0(~25 04.00 N X U μ-= 针对备择假设40.1:1≠μH ，拒绝域的形式可取为 } /{0 c n X U W >-= =σμ 为使犯第一类错误的概率不超过05.0=α，就要在40.10 =μ时，使临界值c 满足 ()05 .0=>c U P 成立。由此，在给定显著性水平05.0=α时，得到临界值为 96 .1975.02/1===-u u c α 故相应的拒绝域为

{} 96.1>=U W 利用来自总体的样本值求得 25 .125 /04.040.139.1-=-= u 即 975 .096.125.1u u =<= 成立。显然，样本未落在拒绝域内，因此在05.0=α水平上认为纤维的纤度与原设计的标准值1.40没有显著差异。 2、设某厂生产的洗衣机的使用寿命(单位:小时)X 服从正态分布),(2σu N 但2 ,σu 未 知。随机抽取20台，算得样本均值1832=X ,样本标准差=S 497,检验该厂生产的洗衣机的平均使用时数“2000=μ”是否成立？(取检验水平05.0=α) 解 待检验假设 2000 0=μ:H 20001≠μ:H H 的拒绝域： 21α - >t T =2.093 T 的观测值 512 .1/2000 -=-=n S X T W ∈ 不能拒绝 H ,可以认为洗衣机的平均使用时数“2000=u ”. 3、在正常情况下，某炼钢厂的铁水含碳量（%）X ～ ),.(2 554σN （σ未知）。一日测得5炉铁水含碳量如下：

高中数学 专题 统计与统计案例

一、选择题 1．利用系统抽样法从编号分别为1,2,3，…，80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为( ) A ．73 B ．78 C ．77 D ．76 解析：样本的分段间隔为80 16＝5，所以13号在第三组，则最大的编号为13＋(16－3)×5 ＝78.故选B. 答案：B 2．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量如下表所示： 则这20A ．180,170 B ．160,180 C ．160,170 D ．180,160 解析：用电量为180度的家庭最多，有8户，故这20户家庭该月用电量的众数是180，排除B ，C ；将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160,180，故这20户家庭该月用电量的中位数是170.故选A. 答案：A 3．(2017·高考全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了如图所示的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是( ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

解析：根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都在减少，所以A 错误．由图可知，B 、C 、D 正确． 答案：A 4．(2018·宝鸡质检)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则该样本中三等品的件数为( ) A ．5 B ．7 C ．10 D ．50 解析：根据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为1－(0.050 0＋0.062 5＋0.037 5)×5＝0.25，因此该样本中三等品的件数为200×0.25＝50. 答案：D 5．(2018·兰州模拟)已知某种商品的广告费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据： 根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为y ^ ＝6.5x ＋17.5，则表中m 的值为( ) A ．45 B ．50 C ．55 D ．60 解析：∵x ＝2＋4＋5＋6＋8 5＝5， y ＝ 30＋40＋50＋m ＋705＝190＋m 5 ， ∴当x ＝5时，y ＝6.5×5＋17.5＝50， ∴190＋m 5＝50，解得m ＝60. 答案：D

(新人教A版)2020版高考数学大一轮复习第九章统计第3节变量间的相关关系与统计案例讲义理

考试要求 1.了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性；2.了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件，会用一元线性回归模型进行预测；3.理解2×2列联表的统计意义，了解2×2列联表独立性检验及其应用. 知 识 梳 理 1.相关关系与回归分析 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数. (1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关. (2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关. (3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系. 2.线性回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法. (2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程为y ^ ＝b ^ x ＋a ^ ，则b ^ ＝∑n i ＝1 (x i －x － )(y i －y － )∑n i ＝1 (x i －x － )2＝∑n i ＝1 x i y i －nx － y － ∑n i ＝1 x 2 i －nx －2，a ^＝y －－b ^x －.其中，b ^是回归方程的斜率，a ^ 是在y 轴上的截距. 回归直线一定过样本点的中心(x － ，y － ). 3.回归分析 (1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法. (2)样本点的中心：对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中(x － ，y － )称为样本点的中心. (3)相关系数 当r >0时，表明两个变量正相关； 当r <0时，表明两个变量负相关. r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强. r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.

【免费下载】概率论与数理统计案例

实例1 发行彩票的创收利润某一彩票中心发行彩票 10万张, 每张2元. 设头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个,奖金各 5 千元;三等奖 10个, 奖金各1千元; 四等奖100个, 奖金各100元; 五等奖1000个, 奖金各10 元.每张彩票的成本费为 0.3 元, 请计算彩票发行单位的创收利润.解：设每张彩票中奖的数额为随机变量X , 则X 10000 5000 1000 100 10 0p 51/1052/10510/105100/1051000/100p 每张彩票平均能得到奖金 05512()10000500001010E X p =? +?++? 0.5(),=元每张彩票平均可赚20.50.3 1.2(), --=元因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为：100000 1.2120000().?=元实例2 如何确定投资决策方向?某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为 30%，可得利润8万元 ， 失败的机会为70%，将损失 2 万元．若存入银行，同期间的利率为5% ，问是否作此项投资?解：设 X 为投资利润，则 X 8 -2p 0.3 0.7()80.320.71(),E X =?-?=万元存入银行的利息:故应选择投资.1050.5(),%?=万元实例3　商店的销售策略某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式，记使用寿命为X （以年计），规定1,1500;12,2000;23,2500; 3,3000.X X X X ≤<≤<≤>一台付款元一台付款元一台付款元一台付款元10,1e ,0,()100, 0.x X x f x x Y -?>?=??≤? 设寿命服从指数分布概率密度为试求该商店一台家用电器收费的数学期望定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术、电气课校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料、电气设备调试高中中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并

统计案例一_----独立性检验

统计案例一独立性检验 研修学院数学教研室闻岩 一、课标要求 学生将在必修课程学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。 内容与要求 1．统计案例（约14课时） 通过典型案例，学习下列一些常见的统计方法，并能初步应用这些方法解决一些实际问题。 （1）通过对典型案例（如“肺癌与吸烟有关吗”等）的探究，了解独立性检验（只要求22列联表）的基本思想、方法及初步应用。 （2）通过对典型案例（如“质量控制”“新药是否有效”等）的探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用（参见例1）。------删掉了 （3）通过对典型案例（如“昆虫分类”等）的探究，了解聚类分析的基本思想、方法及初步应用。------删掉了 （4）通过对典型案例（如“人的体重与身高的关系”等）的探究，进一步了解回归的基本思想、方法及初步应用。 说明与建议 1．统计案例的教学中，应鼓励学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，认识统计方法的特点（如统计推断可能犯错误，估计结果的随机性），体会统计方法应用的广泛性。应尽量给学生提供一定的实践活动机会，可结合数学建模的活动，选择1个案例，要求学生亲自实践。对于统计案例内容，只要求学生了解几种统计方法的基本思想及其初步应用，对于其理论基础不作要求，避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算。 2．教学中，应鼓励学生使用计算器、计算机等现代技术手段来处理数据，有条件的学校还可运用一些常见的统计软件解决实际问题。 例1某地区羊患某种病的概率是0.4，且每只羊患病与否是彼此独立的。今研制一种新的预防药，任选5只羊做实验，结果这5只羊服用此药后均未患病。问此药是否有效。 初看起来，会认为这药一定有效，因为服药的羊均未患病。但细想一下，会有问题，因为大部分羊不服药也不会患病，患病的羊只占0.4左右。这5只羊都未患病，未必是药的作用。分析这问题的一个自然想法是：若药无效，随机抽取5只羊都不患病的可能性大不大。若这件事发生的概率很小，几乎不会发生，那么现在我们这几只羊都未患病，应该是药的效果，即药有效。 现假设药无效，5只羊都不生病的概率是 (1-0.4)5≈0.078. 这个概率很小，该事件几乎不会发生，但现在它确实发生了，说明我们的假设不对，药是有效的。 这里的分析思想有些像反证法，但并不相同。给定假设后，我们发现，一个概率很小几乎不会发生的事件却发生了，从而否定我们的“假设”。 应该指出的是，当我们作出判断“药是有效的”时，是可能犯错误的。犯错误的概率是0.078。也就是说，我们有近92%的把握认为药是有效的。 二、全国考纲的要求 17．统计案例 了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题． ①独立检验 列联表）的基本思想、方法及简单应用． 了解独立检验（只要求22

专题突破练20 统计与统计案例

专题突破练20 统计与统计案例 1. (2020吉林辽源高三检测,18)某城市在进行创建文明城市的活动中,为了解居民对“创建文明城市”的满意程度,组织居民给活动打分(分数为整数.满分为100分).从中随机抽取一个容量为120的样本.发现所有数据均在[40,100]内.现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图,但不小心污损了部分图形,如图所示.观察图形,回答下列问题: (1)算出第三组[60,70)的频数,并补全频率分布直方图; (2)请根据频率分布直方图,估计样本的众数、中位数和平均数.(每组数据以区间的中点值为代表) 2.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位:亿元)的折线图. 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,17)建立模型①;y ^ =-30.4+13.5t ;根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,7)建立模型②:y ^ =99+17.5t. (1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.

3.(2020河南郑州高三检测,19)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图: (1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由; (2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m 的工人数填入下面的列联表: (3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附:K2=n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,其中n=a+b+c+d.

计数原理、概率、随机变量及其分布、统计、统计案例

计数原理、概率、随机变量及其分布、统计、统计案例 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，P (ξ≤4)＝，则P (ξ≤－2)＝( ) A ． B ． C ． D ． 2．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分) 已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,6 B ．2,7 C ．3,6 D ．3,7 3．将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的两个盒 子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( ) A ．10种 B ．20种 C ．36种 D ．52种 4．已知f (x )、g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，fx gx ＝a x ，f 1g 1＋ f －1 g －1＝52，则关于x 的方程abx 2＋2x ＋5 2＝0(b ∈(0,1))有两个不同实根的概率为( ) 5．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A ．243 B ．252 C ．261 D ．279 6．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： ①y 与x 负相关且y ^ ＝－； ② y 与x 负相关且y ^ ＝－＋； ③y 与x 正相关且y ^ ＝＋； ④y 与x 正相关且y ^ ＝－－. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③

高中数学统计案例--独立性检验 同步练习

统计案例--独立性检验 同步练习 1、下列关于卡方2χ的说法正确的是（ ） A.2χ在任何相互独立问题中都可用与检验是否相关 B. 2χ的值越大，两个事件的相关性越大 C.2χ是用来判断两个相互独立事件相关与否的一个统计量，它可以用来判断两个事件是否相关这类问题 D. ) )()()(() (2d b c a d c b a bc ad n ++++-= χ. 2、在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法中正确的是（ ） A. 若统计量635.62>χ，我们有99%的把握说吸烟与患肺病有关，则某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病 B. 若从统计中求出，有99%的把握说吸烟与患肺病有关，则在100个吸烟者中必有99人患有肺病 C. 若从统计量中求出有95%把握说吸烟与患肺病有关，是指有5%的可能性使得推断错误 D. 以上说法均错误 3 A. 种子经过处理跟是否生病有关 B. 种子经过处理跟是否生病无关 C. 种子是否经过处理决定是否生病 D. 以上都是错误的 4、若由一个22?列联表中的数据计算得013.42=χ，那么有 的把握认为两个变量有关系. 5、独立性检验所采用的思路是：要研究A 、B 两类型因子彼此相关，首先假设这两类因子彼此 ，在此假设下构造2χ统计量.如果2χ的观测值较大，那么在一定程度上说明假设 . 6、某大学在研究性别与职称（分正教授、副教授）之间是否有关系，你认为应该搜集那些数据？ . 7、打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关，下表是一次调查所得数据，试问：每一晚都打与患心脏病有关吗？有多大把握认为你的结论成立？

8、为了研究某种新药的副作用（如恶心等），给50位患者服用此新药，另外50名患者服用 9、某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革的关系，随机抽取了189名员工进行调查，其中支持企业改革的调查者中，工作积极的54人，工作一般的32人，而不太赞成企业改革的调查者中，工作积极的40人，工作一般的63人. (1)根据以上数据建立一个2 2 的列联表； (2)对于人力资源部的研究项目，根据以上数据可以认为企业的全体员工对待企业改革的 态度与其工作积极性是否有关系？

高考一轮复习变量间的相关关系与统计案例

第3讲 变量间的相关关系与统计案例 【2015年高考会这样考】 以选择题或填空题的形式考查回归分析及独立性检验中的基本思想方法及其简单应用． 【复习指导】 高考在该部分的主要命题点就是回归分析和独立性检验的基础知识和简单应用．复习时要掌握好回归分析和独立性检验的基本思想、方法和基本公式． 基础梳理 1．相关关系的分类 从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关． 2．线性相关 从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线． 3．回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离平方和最小的方法叫最小二乘法． (2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据： (x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则 ?? ??? b ^＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y )∑i ＝1n (x i －x )2 ＝ ∑i ＝1n x i y i －n x y ∑i ＝1 n x 2i －n x 2 ， a ^＝y －b ^ x . 其中，b 是回归方程的斜率，a 是在y 轴上的截距． 4．样本相关系数

r＝ ∑ i＝1 n (x i－x)(y i－y) ∑ i＝1 n (x i－x)2∑ i＝1 n (y i－y)2 ，用它来衡量两个变量间的线性相关关系． (1)当r＞0时，表明两个变量正相关； (2)当r＜0时，表明两个变量负相关； (3)r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r|＞0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系． 5．线性回归模型 (1)y＝bx＋a＋e中，a、b称为模型的未知参数；e称为随机误差． (2)相关指数 用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：R2＝，R2的值越大，说明残差 平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好．在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好． 6．独立性检验 (1)用变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，这种变量称为分类变量．例如：是否吸烟，宗教信仰，国籍等． (2)列出的两个分类变量的频数表，称为列联表． (3)一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为： 2×2列联表 y1y2总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计a＋c b＋d a＋b＋c＋d K2＝n(ad－bc)2 (a＋b)(a＋c)(c＋d)(b＋d) (其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)，可利用独立性检验

随机变量、统计案例

随机变量的分布列及统计案例复习学案参考答案 例1、解析 ∵P (A )＝C 22＋C 23 C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25 ＝110， ∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1 4 . 答案 B 例2、解析 该题为几何概型，圆的半径为1，正方形的边长为2，∴圆的面积为 π，正方形面积为2，扇形面积为π4.故P (A )＝2π，P (B |A )＝P （A ∩B ）P （A ）＝1 4. 答案 (1)2π (2)1 4 例3、 专题三 离散型随机变量的分布列、均值与方差 例4、 解 设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件是一等品的事件，依题意得 ?????????P （A ·B －）＝14，P （B ·C －）＝112，P （A ·C ）＝29，即???? ??? ??P （A ）·（1－P （B ））＝14，P （B ）·（1－P （C ））＝112，P （A ）·P （C ）＝29， 得27[P (C )]2－51P (C )＋22＝0， 解得P (C )＝23或P (C )＝119 (舍)． ∴P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝2 3 . 即甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率分别为13，14，2 3. (2)记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件． P (D )＝1－P (D －)＝1－(1－P (A ))·(1－P (B ))·(1－P (C ))＝1－23× 34×13＝56，即从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为56.

2021届高三新题数学9月(适用新高考)专题二十 统计与统计案例(原卷版)

专题二十 统计与统计案例 一、单选题 1．（2020·河南宛城·南阳华龙高级中学月考（文））在一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y （2n ≥， 1x ，2x ，……，n x 不全相等）的散点图中，若所有样本点()(),1,2,,i i x y i n =???都在直线2 15 y x = +上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ） A ．-1 B ．0 C ． 12 D ．1 二、多选题 2．（2020·江苏省丰县中学期末）某俱乐部为了解会员对运动场所的满意程度，随机调查了50名会员，每位会员对俱乐部提供的场所给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表，经计算2K 的观测值 5.059k ≈，则可以推断出（ ） 附： A ．该俱乐部的男性会员对运动场所满意的概率的估计值为 2 3 ； B ．调查结果显示，该俱乐部的男性会员比女性会员对俱乐部的场所更满意； C ．有97.5%的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异； D ．有99%的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异. 第II 卷（非选择题）

三、解答题 3．（2020·河南宛城·南阳华龙高级中学月考（文））微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.据统计，某公司200名员工中0090的人使用微信，其中每天使用微信时间少于一小时的有60人，其余的员工每天使用微信时间不少于一小时，若将员工分成青年（年龄小于40岁）和中年（年龄不小于40岁）两个阶段，那么使用微信的人中0075是青年人.若规定：每天使用微信时间不少于一小时为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中 2 3 都是青年人. （1）若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，完成22?列联表： （2）由列联表中所得数据判断，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“经常使用微信与年龄有关”？ 2 2 ()()()()() n ad bc k a b c d a c b d -=++++ 4．（2020·江苏泰州·期末）某企业的甲、乙两种产品在东部地区三个城市以及西部地区两个城市的销售量x ， y 的数据如下：

2019版高考数学总复习第十章算法初步统计统计案例58变量间的相关关系与统计案例课时作业文20180

课时作业 58 变量间的相关关系与统计案例 一、选择题 1．(2018·石家庄模拟(一))下列说法错误的是( ) A ．回归直线过样本点的中心(x －，y － ) B ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1 C ．对分类变量X 与Y ，随机变量K 2 的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小 D ．在回归直线方程x ^＝0.2x ＋0.8中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y ^ 平均增加0.2个单位 解析：本题考查命题真假的判断．根据相关定义分析知A ，B ，D 正确；C 中对分类变量 X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越大，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故 C 错误，故选C. 答案：C 2．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x (万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y (万元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝0.76，a ^＝y －－b ^x － .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( ) A ．11.4万元 B ．11.8万元 C ．12.0万元 D ．12.2万元 解析：∵x －＝10.0，y －＝8.0，b ^＝0.76，∴a ^＝8－0.76×10＝0.4，∴回归方程为y ^ ＝0.76x ＋0.4，把x ＝15代入上式得，y ^ ＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)． 答案：B 3．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 合计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 由K 2 ＝ n ad －bc 2a ＋b c ＋ d a ＋c b ＋d ，

2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第九章 第五节 变量间的相关关系、统计案例 理

第五节 变量间的相关关系、统计案例 知识梳理 1．散点图． (1)将变量所对应的点描出来，就组成了变量之间的一个图， 这种图为变量之间的________． (2)从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势可用一条光滑的曲线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合． 答案：1.（1）散点图 2．相关关系． (1)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为____________；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为____________． (2)线性相关：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做____________． (3)若两个变量x 和y 的散点图中，所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关是______________的．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的． 答案：2.（1）正相关 （2）回归直线 （3）非线性相关 3．回归直线． (1)最小二乘法：如果有n 个点：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )可以用下面的表达式来刻画这些点与回归直线的接近程度： [y 1－(a ＋bx 1)]2＋[y 2－(a ＋bx 2)]2＋…＋[y n －(a ＋bx n )]2，使得上式达到最小值的y ^＝b ^x ＋a ^ 就是我们要求的直线，这种方法称为最小二乘法． (2)在回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^ ＝ ∑i ＝1 n x i －x y i －y ∑i ＝1 n x i －x 2 ＝ ∑i ＝1 n x i y i －n x ·y ∑i ＝1 n x 2 i －n x 2 ，a ^1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系． 2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 3.了解下列两种常用的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题． (1)独立检验：了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用； (2)回归分析：了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．

高中数学 第三章 统计案例 3.1 独立性检验 卡方检验素材 苏教版选修2-3

2 χ 检验 （一） 掌握内容 1. 2χ检验的用途。 2. 四格表的2 χ检验。 （1） 四格表2 χ检验公式的应用条件； （2） 不满足应用条件时的解决办法； （3） 配对四格表的2 χ检验。 3. 行?列表的2 χ检验。 （二） 熟悉内容 频数分布拟合优度的2 χ检验。 （三） 了解内容 1．2 χ分布的图形。 2．四格表的确切概率法。 (一) 2χ检验的用途 2χ检验（Chi-square test ）用途较广，主要用途如下： 1．推断两个率及多个总体率或总体构成比之间有无差别 2．两种属性或两个变量之间有无关联性 3．频数分布的拟合优度检验 (二) 2 χ检验的基本思想 1．2 χ检验的基本思想是以2 χ值的大小来反映理论频数与实际频数的吻合程度。在零假设0H （比如0H ：21ππ=）成立的条件下，实际频数与理论频数相差不应该很大，即2 χ值不应该很大，若实际计算出的2 χ值较大，超过了设定的检验水准所对应的界值，则有理由怀疑0H 的真实性，从而拒绝0H ，接受H 1（比如1H ：21ππ≠）。 2． 基本公式：()∑ -= T T A 2 2 χ，A 为实际频数（Actual Frequency ）,T 为理论频数 （Theoretical Frequency ）。四格表2 χ检验的专用公式正是由此公式推导出来的，用专用公 式与用基本公式计算出的2χ值是一致的。 (三)率的抽样误差与可信区间 1．率的抽样误差与标准误 样本率与总体率之间存在抽样误差，其度量方法： n p ) 1(ππσ-= ，π为总体率，或 (8-1) n p p S p ) 1(-= ， p 为样本率； (8-2) 2．总体率的可信区间 当n 足够大，且p 和1-p 均不太小，p 的抽样分布逼近正态分布。 总体率的可信区间：（p p S u p S u p ?+?-2/2/,αα）。 (8-3) (四)2 χ检验的基本计算

3 第3讲 变量间的相关关系、统计案例

第3讲 变量间的相关关系、统计案例 1．变量间的相关关系 常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系． 2．两个变量的线性相关 (1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线． (2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关． (3)回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^ ＝，a ^＝y －－b ^x －． (4)相关系数 当r >0时，表明两个变量正相关； 当r <0时，表明两个变量负相关． r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 3．独立性检验 (1)2×2列联表：假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称2×2列联表)为： y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计 a ＋c b ＋d a ＋ b ＋ c ＋d (2)K 2K 2＝ n （ad －bc ）2 （a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ） (其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．( ) (2)利用散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示．( )

高考数学统计与统计案例.doc

高考数学统计与统计案例1．小吴一星期的总开支分布如图 1 所示，一星期的食品开支如图 2 所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为() A．1%B．2%C．3%D．5% C[ 由图 1 所示，食品开支占总开支的 30%，由图 2 所示，鸡蛋开支占食 品开支的30 ＝ 1 ， 30＋40＋100＋80＋ 50 10 1 ∴鸡蛋开支占总开支的百分比为30%×10＝3%.故选 C.] 2．(2019 德·州模拟 )某人到甲、乙两市各7 个小区调查空置房情况，调查得到的小区空置房的套数绘成了如图所示的茎叶图，则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为() A．4B． 3C．2D．1 B[ 由茎叶图可以看出甲、乙两市的空置房的套数的中位数分别是79,76，因此其差是 79－ 76＝3，故选 B.] 3．某工厂对一批新产品的长度(单位： mm)进行检测，如图是检测结果的频

率分布直方，据此估批品的中位数() A．20B． 25C．22.5D．22.75 C[ 品的中位数出在概率是 0.5 的地方 . 自左至右各小矩形面依次 0.1,0.2,0.4，??，中位数是 x，由 0.1＋0.2＋0.08 ·(x－20)＝0.5，得 x＝ 22.5， 故 C.] 4．(2019 ·三明模 )在某次高中数学中，随机抽取 90 名考生，其分数如所示，若所得分数的平均数，众数，中位数分 a， b， c， a，b，c 的大 小关系 () A．b