超Virasoro代数上的Poisson超结构
代数结构与拓扑结构Cartan
https://www.wendangku.net/doc/ca10993028.html,/blog/static/6742112520081231911205/ R^n至少有两种重要的结构：拓扑结构和代数结构（线性空间结构）。 函数连续性只涉及第一种，而可微性则涉及两种（？拓扑—>微分拓扑，拓扑群—>李群）因为微分Df(x)=A的定义牵涉到线性运算和极限概念：f(x+h)-f(x)-Ah=o(||h||) 可微性的概念可以推广到有拓扑结构和线性代数结构这两种结构的其他空间。 现代微分概念源于非线性问题的局部线性化。 半球面是可以摊成平面区域的 要把地球表面画成地图，就非得把球面“撕破”不可 https://www.wendangku.net/doc/ca10993028.html,/lunwen/2008/200810/266972_5.shtml https://www.wendangku.net/doc/ca10993028.html,/f?kz=113722720 同伦等价(homotopy equivalent)是拓扑学中所关心的另外一种等价关系，它的 要求比同胚更宽松。取一个拓扑空间，对它进行某些特定的连续形变，所得到的空 间与原来的空间是同伦等价的。举个例子：初始空间是一个实心球，我们可以把它 压缩成一张没有体积的圆盘，再搓成一条没有面积的线段，甚至挤成一个连长度都 没有的点，得到的这些空间都跟原来的同伦等价；我们也可以从原来的实心球里“长”出半个圆盘来作为“耳朵”(半圆盘的直径还贴在实心球表面上)，甚至再 “长”出几条线段来作为“触角”(线段的一端在实心球表面上)，所得到的空间还 是跟原来的同伦等价。“终结者2”里面那个给人深刻印象的液体机器人，它在身体 没有撕裂开的情况下的各种形态就是同伦等价的。 研究拓扑的一种方法是把拓扑问题转化为代数问题。最常见的例子是计算一个拓 扑空间各个维数的同调群(homology group)和同伦群(homotopy group)，然后根据这
图论与代数-test
南 京 航 空 航 天 大 学 第1页 （共6页） 二○ ～ 二○ 学年 第二学期《 》考试试题 考试日期： 年 月 日 试卷类型： 试卷代号： 班号 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分得分 一、（1）证明：无向图中的奇度点的数目一定是偶数。 （2）分别判断下面数列是否可以图化？是否可以简单图化？如果可以，分别画出一个相应的图。写出求解过程。 ① (3,3,3,1) ②(4,3,3,3,3,3,3) 本题分数 10分 得 分
二、T 是简单无向图，请由定义直接证明：T 连通无回路 当 且仅当 T 中任意两点之间有唯一的初级通路（即基本通路）。 三、求K 7和K 2,3的点色数、边色数和面色数（请写出求解过程）。 本题分数 10分得 分 本题分数 10分 得 分
四、无向简单平面图G 中最小度δ>4，证明：G 中至少有30条边。 五、设i 是虚数单位，Z 是整数集，+是普通加法， G={a+bi | a,b ∈Z}，证明：
六、
八、f 是群G 到群H 的满同态，R 是G 上的一个二元关系， R={
组合数学
组合数学论文 现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。计算机之所以可以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好像是有思维的。组合数学不仅在软件技术中有重要的应用价值，在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析等领域都有重要的应用。在美国有一家用组合数学命名的公司，他们用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合设计。用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。 广义的组合数学就是离散数学，离散数学是狭义的组合数学和图论、代数结构、数理逻辑等的总称。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之，组合数学是一门研究离散对象的科学。随着计算机科学的日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显，因为计算机科学的核心内容是使用算法处理离散数据。 狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的问题。组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩阵、组合优化等。 组合数学中有几个著名的问题： 地图着色问题：对世界地图着色，每一个国家使用一种颜色。如果要求相邻国家的颜色相异，是否总共只需四种颜色？这是图论的问题。 船夫过河问题：船夫要把一匹狼、一只羊和一棵白菜运过河。只要船夫不在场，羊就会吃白菜、狼就会吃羊。船夫的船每次只能运送一种东西。怎样把所有东西都运过河？ 这是线性规划的问题。 中国邮差问题：由中国组合数学家管梅谷教授提出。邮递员要穿过城市的每一条路至少一次，怎样行走走过的路程最短？这不是一个NP完全问题，存在多项式复杂度算法：先求出度为奇数的点，用匹配算法算出这些点间的连接方式，然后再用欧拉路径算法求解。这也是图论的问题。 货郎问题：一个货郎要去若干城镇卖货，然后会到出发地，给定各个城镇之间的旅行时间，应怎么样计划他的路线，使他可以去每个城镇而且所用的时间最短。这个问题至今都没有有效的算法。 这几个问题将组合数学研究的问题具体表现出来，同时也可以看出他在我们生活中有着很重要的地位。 组合数学中主要可以分成以下几个部分：排列组合与容斥原理、二项式定理、递推关系与生成函数、polya定理。下面我将以这四个部分分别介绍组合数学的各方面问题。 1、排列组合与容斥原理： 排列组合里面的4个重要的基本原理：加法原理、乘法原理、减法原理、除法原理 前面两个最为基本，后面两个是根据前两个派生出来的。乘法原理有的时候的应用很巧妙，可以作为一种打开思路的办法。
含数学分析和高等代数两门课
含数学分析和高等代数两门课 数 学 分 析（I ） （1）集合与函数 实数概述，绝对值不等式，区间与邻域，有界集，确界原理，函数概念。 （2）数列极限 数列。数列极限的N -∑定义。收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。子列。数列极限存在的条件；单调有限定理、柯西收敛原理。????????????? ??+n n 11、STOLZ 定理。 （3）函数极限 函数极限概念（x x x →∞→与。瞬时函数的极限。δ-∑定义、M -∑定义）函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。 函数极限存在的条件：归结原则、柯西准则。 两个重要极限：1sin lim ,)11(lim 0==+→∞→x x e x x x x 无穷小量与无穷大量及其阶的比较。 （4）函数的连续性 函数在一点的连续性。单侧连续性。间断点及其分类。在区间上连续的函数。连续函数的局部性质：有界性、保号性、连续函数的有理运算、复合函数的连续性。闭区间上连续函数的性质：有界性、取得最大最小值性、介值性、一致连续性。初等函数的连续性。 （5）极限与连续性（续） 实数完备性的基本定理：区间套定理、数列的柯西收敛准则、聚点原理、致密性定理、有限覆盖定理、实数完备性基本定理的等价性。闭区间上连续函数性质的说明。实数系。压缩映射原理。 （6）导数与微分 引入问题（切线问题与瞬时速度问题）。导数的定义。单侧导数。导函数。导数的几何意义。和、积、商的导数。反函数的导数。复合函数的导数。初等函数的导数。 微分概念。微分的几何意义。微分的运算法则。一阶微分形式的不变性。微分在近似
初试科目考试大纲-904数学分析与高等代数
浙江师范大学硕士研究生入学考试初试科目 考试大纲 科目代码、名称: 904数学分析与高等代数 适用专业: 420104学科教学（数学） 一、考试形式与试卷结构 （一）试卷满分及考试时间 本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。 （二）答题方式 答题方式为闭卷、笔试。 试卷由试题和答题纸组成；答案必须写在答题纸相应的位置上；答题纸一般由考点提供。 （三）试卷内容结构 各部分内容所占分值为： 数学分析约100分 高等代数约50分 （四）试卷题型结构 计算题：7大题，约100分。 分析论述题：3大题，约50分。 二、考查目标（复习要求） 全日制攻读教育硕士专业学位入学考试数学分析与高等代数考试内容包括数学分析、高等代数二门数学学科基础课程，要求考生系统掌握相关学科的基本知识、基础理论和基本方法，理解数学分析和高等代数中反映出的数学思想与方法，并能运用相关理论和方法分析、解决具有一定实际背景的数学问题。 三、考查范围或考试内容概要 第一部分：数学分析 考查内容 1、数列极限 数列极限概念、收敛数列的定理、数列极限存在的条件 2、函数极限 函数极限概念、函数极限的定理、两个重要极限、无穷大量与无穷小量
3、函数的连续性 连续性概念、连续函数的性质 4、导数与微分 导数的概念、求导法则、微分、高阶导数与高阶微分 5、中值定理与导数应用 微分学基本定理、函数的单调性与极值 6、不定积分 不定积分概念与基本积分公式、换元法积分法与分部积分法 7、定积分 定积分概念、可积条件、定积分的性质、定积分的计算 8、定积分的应用 平面图形的面积、旋转体的侧面积 9、级数 正项级数、函数项级数、幂级数、傅里叶级数 10、多元函数微分学 偏导数与全微分、复合函数微分法、高阶偏导数与高阶全微分、泰勒公式与极值问题 第二部分：高等代数 考查内容 多项式、行列式、线性方向组、矩阵、线性空间、线性变换 参考教材或主要参考书： 华东师范大学编：《数学分析》（上、下），高等教育出版社，2001年，第三版。 北京大学编：《高等代数》，高等教育出版社，2003年，第三版。 四、样卷 见往年试卷。
组合数学前沿介绍
组
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Combinatorics
马昱春 MA Yuchun myc@https://www.wendangku.net/doc/ca10993028.html,
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Combinatorics
组合数学:有人认为广义的组合数学就是离散数学，也有人认 为离散数学是狭义的组合数学和图论、代数结构、数理逻辑 等的总称。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之，组合 数学是一门研究离散对象的科学。
https://www.wendangku.net/doc/ca10993028.html,/zh-cn/%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6
Combinatorics: Combinatorics is a branch of pure mathematics concerning the study of discrete (and usually finite) objects. It is related to many other areas of mathematics, such as algebra, probability theory, ergodic theory and geometry, as well as to applied subjects in computer science and statistical physics.
https://www.wendangku.net/doc/ca10993028.html,/wiki/Combinatorics 2
组合数学与离散数学
? 狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（ 也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的 问题。
– 组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩 阵、组合优化等。
? 离散数学(Discrete mathematics)是数学的几个分 支的总称，以研究离散量的结构和相互间的关系 为主要目标，其研究对象一般地是有限个或可数 无穷个元素；因此它充分描述了计算机科学离散 性的特点。
– 离散数学通常研究的领域包括：数理逻辑、集合论、 关系论、函数论、组合学、代数系统与图论。 。
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组合数学作业答案1-2章2016
组合数学作业 第一章引言 Page 13, ex3,4,7,30 ex3. 想象一座有64个囚室组成的监狱，这些囚室被排列成8 8棋盘。所有相邻的囚室间都有门。某角落处意见囚室例的囚犯被告知，如果他能够经过其它每一个囚室正好一次之后，达到对角线上相对的另一间囚室，那么他就可以获释。他能获得自由吗？ 解：不能获得自由。 方法一：对64个囚室用黑白两种颜色染色，使得横和竖方向相邻的囚室颜色不同。则对角线上两个囚室颜色为同黑或同白。总共偶数个囚室，若能遍历且不重复，则必然是黑出发白结束，矛盾。 方法二：64个囚室，若要经过每个囚室正好一次，需要走63步，即奇数步。 不妨假设该囚犯在第1行第1列，那么到第8行第8列，横着的方向需要走奇数步，竖着的方向需要走奇数步，即总共需要偶数步。 所以不能恰好经过每个囚室一次到达对角线上的囚室。 ex4. (a) 设f(n)是用多米诺牌(2-牌)对2×n棋盘作完美覆盖的个数。估计一下f(1),f(2),f(3),f(4)和f(5). 试寻找(或证明)这个计数函数f满足的简单关系。利用这个关系计算f(12)。 (b) 设g(n)是用多米诺牌(2-牌)对3×n棋盘作完美覆盖的个数。估计g(1),g(2),…,g(6). 解：(a) f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, f(n+2)=f(n+1)+f(n) f(4)=f(3)+f(2)=5, f(5)=f(4)+f(3)=8 f(6)=f(5)+f(4)=13 f(7)=f(6)+f(5)=21 f(8)=f(7)+f(6)=34 f(9)=f(8)+f(7)=55 f(10)=f(9)+f(8)=89 f(11)=f(10)+f(9)=144 f(12)=f(11)+f(10)=233 (b) g(1)=0, g(2)=3, g(3)=0, g(4)=9+2=11, g(n+4)=4g(n+2)-g(n), g(5)=0, g(6)=41. ex7. 设a和b是正整数，且a是b的因子。证明m×n棋盘有a×b的完美覆盖当且仅当a 既是m又是n的因子，而b是m或n的因子。(提示: 把a×b牌分割成a个1×b牌。) 解：充分性。当a既是m又是n的因子，而b是m或n的因子，则m×n棋盘有a×b的平凡完美覆盖。 必要性。假设m×n棋盘有a×b牌的完美覆盖。则m×n棋盘必有b牌的完美覆盖。根据书中的定理，b是m的因子或n的因子。 下面证明a既是m的因子又是n的因子。 方法一: 因为a是b的因子，所以a×b牌可以分割成b/a个a×a牌。m×n棋盘有a×a的完美覆盖，则必然有a×a牌的完美覆盖。而a×a牌是正方形的，所以只有唯一的一种平凡覆盖方式。从而m是a的倍数，n也是a的倍数。 方法二: 因为a是b的因子，不妨设b=ka。由m×n棋盘有a×b牌的完美覆盖，可任取一个完美覆盖。设第一行的n个方格由p个a×b牌和q个b×a牌盖住，则有n=pb+qa=(pk+q)a，所以n是a的倍数。同理，m也是a的倍数。
关于高等代数与数学分析的学习体会
高等代数与数学分析的学习体会 摘要：作为数学系的学生，高等代数和数学分析，是我们一进大学就开始学习的两门最重要的课程。同时它们也是数学中最基础的两门课程，几乎所有的后学课程都要用到它们。在本文中，我就自己对这两门课程的基本内容，学习体会，以及这两门课程与后学课程的联系三个方面谈了一些自己的看法。 高等代数部分 基本内容： 在谈自己对高等代数的学习体会之前，我想先回顾一下高等代数的基本内容。我们大一所学习的高等代数，主要包括两部分：多项式代数和线性代数。 其中线性代数部分又可以分成：行列式，线性方程组，矩阵，二次型，线性空间，线性变换， —矩阵，欧几里得空间，双线性函数与辛空间等一些章节。而在这些章节中，又是以向量理论，线性方程理论和线性变换的相关理论为核心的。 如果和以前学过的初等代数相比，我觉得，高等代数在初等代数的基础上把研究对象作了进一步的扩充。它引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。 简单体会： 记得大一刚学习高等代数的时候，那时感觉自己真的学得云里雾里，因为那时感觉它实在是太抽象了而无法理解。但是通过不断地对它的学习，慢慢地开始有好转，开始感觉它不再那么陌生，并对它有了初步的认识。而当我学完抽象代数之后，我发现自己对高等代数的有了更好的理解。其实高等代数中的每个不同的章节，都是由一个集合再加上一套运算规则，进而构成的一个代数结构。 例如，第一章多项式，我们所有的讨论都是在某个数域P上的一元多项式环中进行。其中的某个数域P中的一元多项式全体，就相当于某个集合，在这个集合的基础上再加上关于多项式的运算规则，就构成了一个代数结构。 因为高等代数具有这种结构，所以在学习每种代数结构时，我们总会先学这个代数结构是建立在那个集合上以及它的运算规则是怎样定义的。因此，在高等代数学习中对每种代数
北大代数结构与组合数学期中试题_计算机基础数学
信息科学技术学院2003-2004学年第二学期 本科生期末考试试卷 一、（每小题3分,共18分）判断以下命题的真假.如果为真在后面括弧内打 √，否则打?. 1．A ={x |x ∈N 且(x ,5)=1}，则构成代数系统，+为普通加法 （ ） 2．?x , y ∈R ，x o y =|x -y |，则0为
离散数学(第一讲)
一、离散数学介绍 离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。 离散数学常常被分成三门课程进行教学，即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。 其中各部分内容在本书中又有如下涉及： 1．集合论部分：集合及其运算(3.1)、二元关系(3.2)与函数(3.5)、自然数及自然数集、集合的基数注：集合这个概念比较了解，在数学上，基数(cardinal number)也叫势(cardinality)，指集合论中刻画任意集合所含元素数量多少的一个概念。这是康托尔在1874年～1884年引入最原始的集合论（现称朴素集合论）时, 给出的基数概念。他最先考虑的是集合{1,2,3} 和 {2,3,4}，它们并非相同，但有相同的基数。 那何谓两个集合有相同数目的元素？ 康托尔的答案，是所谓一一对应，即把两个集合的元素一对一的排起来，若能做到，两个集合的基数自然相同。 这个答案虽然简单，却起到了革命性的作用，因为用相同的方法即可比较任意集合，包括无穷集合的大小。 2．图论部分(第5章)：图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配
集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用3．代数结构部分（第6、7章）：代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数4．组合数学部分：组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理 组合数学在本书中没有介绍，而关于组合数学的问题却是十分有趣的，可以供大家思考一下。 组合数学中的著名问题 ?计算一些物品在特定条件下分组的方法数目。这些是关于排列、组合和整数分拆的。 ?地图着色问题：对世界地图着色，每一个国家使用一种颜色。如果要求相邻国家的颜色相异，是 否总共只需四种颜色？这是图论的问题。 ?船夫过河问题：船夫要把一匹狼、一只羊和一棵白菜运过河。只要船夫不在场，羊就会吃白菜、 狼就会吃羊。船夫的船每次只能运送一种东西。 怎样把所有东西都运过河？这是线性规划的问 题。 ?中国邮差问题：由中国组合数学家 ?管梅谷教授① ?提出。邮递员要穿过城市的每一条路至少一次，怎样行走走过的路程最短？这不是一个NP完全 问题，存在多项式复杂度算法：先求出度为奇数 的点，用匹配算法算出这些点间的连接方式，然 后再用欧拉路径算法求解。这也是图论的问题。 ?任务分配问题（也称婚配问题）：有一些员工要完成一些任务。各个员工完成不同任务所花费的时 间都不同。每个员工只分配一项任务。每项任务 只被分配给一个员工。怎样分配员工与任务以使 所花费的时间最少？这是线性规划的问题。 ?如何构作幻方。
集合论与代数结构
集合论与代数结构 课程名称：集合论与代数结构 课号：00830690 任课老师：于江生（副教授） 开课时间：每学年的下学期 学时：4学时/周 学分：4 授课对象：北大本科生（公共辅修课） 课程概要： 1.介绍Cantor的朴素集合论（包括基数理论和序数理论）和集合论ZF公理体系、GB公 理体系。回顾20世纪初数学基础之争和为解决Russell悖论所作的努力，科普G?del 不完全性定理、连续统假设及其意义。 2.介绍格论（Lattice Theory）及其应用，介绍抽象代数（Abstract Algebra）的基本概念（群、 环、域）。着重讲授群论及其应用（详细内容见《群论的应用_学生作业》）。课程的最后部分介绍域的扩张和Galois理论，并证明三等分角和倍立方体的尺规作图问题不可能。 课程目标：培养学生的数学美感，锻炼其逻辑思维能力和想象力，并使之了解近代集合论和代数学的发展。鼓励学生运用数学知识解决各自学科的实际问题，培养他们的独立科研的能力和理论联系实践的能力。 参考书及课外读物： [1]H. B. Enderton (1977), Elements of Set Theory, Academic Press, Inc. [2]L. C. Grove (1983), Algebra, Academic Press, Inc. [3]T. W. Hungerford (1980), Algebra, GTM series, Springer-Verlag [4]Jacobson, Lectures in Abstract Algebra (Vol 1, 2, 3), GTM series (No. 30, 31, 32), Springer-Verlag [5]Takeuti and Zaring, Introduction to Axiomatic Set Theory, GTM series (No. 1), Springer-Verlag [6]Takeuti and Zaring, Axiomatic Set Theory, GTM series (No. 8), Springer-Verlag [7] B. L. van der Waerden (1955), Algebra, Springer-Verlag [8]耿素云、屈婉玲、王捍贫（2002），《离散数学教程》，北京大学出版社 [9]耿素云（1998），《集合论与图论》，北京大学出版社 [10]屈婉玲（1998），《代数结构与组合数学》，北京大学出版社
离散数学教程(集合论与图论)-FudanUniversity
离散数学教程 （集合论与图论） 离散数学：计算机科学与技术的数学基础课内容：集合论，图论，组合数学，代数结构，数 理逻辑 集合论:（第1-4章） 组合数学初步:（第5-7章） 图论:（第8-11章）
教师介绍 ?教师：吴永辉博士副教授 ?简历： ?1984-1988 上海科技大学计算机系本科?1988-1991 复旦大学计算机系硕士?1991-2003 华东师范大学计算机系工作?1998-2001 复旦大学计算机系博士?2003-复旦大学计算机系工作 ?答疑E-mail: yhwu@https://www.wendangku.net/doc/ca10993028.html,
《集合论与图论》课件制作软件?Microsoft PowerPoint ?MathType Equation
《集合论与图论》课程大纲?课程性质与目的 ?教学内容与要求 ?使用教材、参考书籍 ?命题说明和题型
课程性质、目的与基本要求 ?课程性质 本课程讲授计算机科学与技术的数学基础 课《离散数学》的部分主要内容：集合论、图 论与组合数学初步，是计算机专业的主干课程 之一。 本课程前行课程为线性代数，数学分析(上)。 ?课程目的 使学生掌握集合论、图论与组合数学初步的基本内容，并对证明的思想和方法深入理 解和体会，初步培养学生的思维过程的数学化。
?基本要求： ?掌握集合论、组合学和图论的基本概 念，清楚了解引入基本概念的实际背景、各概念间相互关系；掌握基本定理以及有关理论题的证明技巧；掌握解决计数问题的基本方法和技巧；掌握图论中各算法设计的思想、正确性证明以及算法的应用。为进一步学习计算机其他课程打下坚实的基础。
代数结构
1、设二元运算x y x = ，则它满足( ) A.交换律 B. 吸收律 C. 幂等律 D. 消去律 2、在正整数集上定义二元运算y x y x = ，则它满足( ) A.交换律 B. 结合律 C.幂等律 D. 消去律 3、设Z 是整数集，在Z 上定义二元运算y y x = ，则它满足( ) A.交换律、幂等律 B. 结合律、幂等律 C.幂等律、消去律 D. 消去律、结合律 4、Z 是整数集，定义Z 上的二元运算，x y x Z y x =∈? ,,，则该运算不满足．．．交换律、结合律、幂等律中的 律。 5 设R 为实数集，定义R 上4个二元运算，不满足．．． 结合律的是（ ）。 A.y x y x -= B. 2++=y x y x C.},min{y x y x = D. },max{y x y x = 6、S=Q ×Q,其中Q 为有理数集合，定义S 上的二元运算*，?
微积分高等数学和数学分析的差别完整版
微积分高等数学和数学 分析的差别 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
数学分析对于数学专业的学生是迈进大学大门后，需要修的第一门课，也是最基础最重要的一门课程。但对于非数学专业的朋友们是个陌生的概念，如果身边有人问我数学分析学什么我会毫不犹豫地告诉他们就是微积分，那么似乎所有人都会接着提一个问题：那和我们学的微积分有什么差异为什么我们学一学期你们要学一年半到两年啊囧......这个问题就不容易回答了，于是我只能应付说学得细了，但其实并非仅仅如此。 对这个问题我在学习数学分析的过程中是不能说清楚的，正因为如此，起先学分析完全是乱学，没有重点没有次序的模仿，其结果就是感觉自己学到的东西好比是一条细线拴着好多个大秤砣，只要有一点断开，整个知识系统顿时倾覆。我也一直在思考这个问题，但直到在北师大跟着王昆扬老师学了一学期实变函数论之后，我才意识到数分与高数真正的区别在于何处。 先从微积分说起，在国内微积分这门课程大致是供文科、经济类学生选修的，其知识结构非常清晰，主要内容就是要说清两件事：第一件介绍两种运算，求导与求不定积分，并且说明它们互为逆运算。第二件介绍基础的微分学和积分学，并且给出它们之间的联系——Newton-Leibniz公式。这里需要强调的是，求不定积分作为求导数的逆运算属于微分学而不属于积分学，真正属于积分学的是Riemann定积分。不定积分与定积分虽然在字面上只差一字，但从数学定义来看却有本质的区别，不定积分是找一个函数的原函数，而Riemann定积分则是求Riemann和的极限，事实上它们之间毫无关系，既存在着没有原函数但Riemann可积的函数，也存在着有原函数但Riemann不可积的函数。但无论如何Newton-Leibniz公式好比一座桥梁沟通了不定积分（微分学）和定积分（积分学），这也是Newton-Leibniz公式被称为微积分基本定理的原因。因此我们可以看出，微积分的核心内容就是学习两种新运算，了解两样新概念，熟悉一条基本定理而已。 对于高等数学要求的层面就要比微积分高一些了，国内高等数学主要是为非数学专业的理工科学生开设的，主要的目的是解决工程上遇到的一些问题，例如求体积、求周长，求速度等等。所以高等数学除了要介绍数学知识更要学生理解各个数学概念的实际意义是什么。比如求导可以理解为求瞬时速度，可以理解求增长律，积分可以理解为求面积，求功等等。对于实际问题，数据往往是复杂的，算式也往往是冗长的，对于不易积分，不易求导的实际问题，我们怎么去求其高精度的近似解呢？那么就需要引进级数这一概念，例如将不易找到原函数的函数进行Taylor展开再逐项积，再例如利用Newton差值法计算方程的近似解。在这些问题中最令人苦恼的往往都是复杂的计算，是故高等数学对学生的计算能力要求非常高。于是高等数学的主要内容就是三条：理解数学概念背后的实际含义，熟练运用数学工具求导求积分，会使用一些手段对实际问题进行精确估计。这些可以看作是对微积分的运用，但一切仍然停留在对运算理解上。 而数学分析与以上两门课程有着本质的区别，数学分析作为数学系本科生的基础课是整个分析学的基础。什么是分析学？是分析变量以及诸多变量之间关系的学科，在数学中主要利用函数来刻画变量与变量间的关系，所以数学分析的研究主体应当是函数。在中学，我们已经学习过六类简单初等函数（常指对幂，正反三角），并且学习过一些研究初等函数的手段，但这些函数都是极其特殊的，比如他们都是逐段连续的，并且是无穷阶可导的。而学习数学分析的目的就是将函数系进行大范围扩张，去学习并且研究那些解析式不规则、不连续或者不可导的函数，这样的函数比起连续的函数可以说要多无穷多倍。那用什么方式去刻画这样的函数呢？数学分析中介绍的方法主要有两个：变限积分（尽管Riemann可积函数的变限积分也是连续的）与函数项级数。特别的，所有的初等函数都可以表示为函数项级数，但函数项级数要比初等函数的范围大很多很多，我们可以利用它构造各种千奇百怪的函数，例如处处不可导的连续函数，在有界区间内图像长度为无穷大的函数等等。这些函数的表示要比初等函数复杂很多，研究其变化性质就会变得困难得多，对此我们需要学习一些系统的定理与方法，将这些知识组合在一起就构成了数学分析这门学科。与微积分、高等代数有明显的区分，学数学分析的目的不是学习导数或者积分这样的运算，而是要扩大函数范围，学习研究复杂函数的方法。 记得在学习数学分析的时候，我曾经查阅过Liouville和Chebyshev的文章，特意去了解那些不具有初等原函数的初等函数。当时去看这些文章的初衷主要是觉得这样的函数太神奇，太不可思议了。对于其中不懂的问题，我曾经请教
代数结构简介
第三篇代数结构 Algebraic Structures
引言： 1）代数结构也称为代数系统，是抽象代数的主要研究对象。 2）抽象代数是数学的一个分支，它用代数的方法从不同的研究对象中概括出一般的数学模型并研究其规律、性质和结构。 3）抽象代数学的研究对象是抽象的，它不是以某一具体对象为研究对象，而是以一大类具有某种共同性质的对象为研究对象，因此其研究成果适用于这一类对象中的每个对象，从而达到了事半功倍的效果。
抽象代数学的主要内容： 1）研究各种各样的代数系统，它是在较高的观点上，把一些形式上很不相同的代数系统，撇开其个性，抽出其共性，用统一的方法描述、研 究和推理，从而得到一些反映事物本质的结论，再把它们应用到那些 系统中去，高度的抽象产生了广泛的应用。
构成一个抽象代数系统有三方面的要素：集合、集合上的运算以及说明运算性质或运算之间关系的公理。 整数集合Z和普通加法＋构成了代数系统〈Z,＋〉，n阶实矩阵的集合Mn(R)与矩阵加法＋构成代数系统〈Mn(R),＋〉。幂集P(B)与集合的对称差运算⊕也构成了代数系统
考察他们的共性，不难发现他们都含有一个集合，一个二元运算，并且这些运算都具有交换性和结合性等性质。为了概括这类代数系统的共性，我们可以定义一个抽象的代数系统
为了研究抽象的代数系统，我们需要先定义一元和二元代数运算以及二元运算的性质，并通过选择不同的运算性质来规定各种抽象代数系统的定义。在此基础上再深入研究这些抽象代数系统的内在特性和应用。
哈尔滨工业大学2020数学分析和高等代数考研真题
2020哈工大数分 1. 判断以下命题成立与否，并给出证明 （1） f (x )在x =0的任意领域上无界，则当x →0时，f (x )为无穷大。 （2） 数列{a n }的无穷多个子列都收敛于a ，是否可以断定lim n→∞ a n =a 。 （3） 设f (x )在有限闭区间[a,b ]上处处都可导，则f ′(x )有界。 （4） 非负数列{u n }满足u n =o (1 n )，则∑u n ∞ n=1收敛。 （5） 设f (x,y )在(0,0)上的偏导数都存在，则f (x,y )在(0,0)上连续。 2. 设lim n→∞ a n =a ，证明 lim n→∞ 12 a 1+23a 2+?+n n +1n =a 3. 叙述闭区间连续函数的Cantor 定理，并证明。 4. 函数f (x )在(0,a ]上可导，则 （1） √xf ′(x )在(0,a ]上有界，求证f (x )在(0,a ]上一致连续； （2） lim x→0 + √xf ′(x )在(0,a ]上存在，求证f (x )在(0,a ]上一致连续。 5. 函数f (x )在[a,b ]上具有连续的二阶导数，则存在c ∈[a,b ]，使得 ∫f (x )dx b a =(b ?a )f (a +b 2)+1 24(b ?a )3f ′′(c ) 6. 讨论∑ln (1+ (?1)n n p )∞ n=1的收敛性和绝对收敛性(p >0) 7. （1） 数列的和∑u n ∞n=1在区间I 上一致收敛，求证其一般项u n 在I 上一致收敛于0； （2） 讨论级数 ∑2n sin 1 3x ∞ n=1 在x >0上的一致收敛性。 8. （1） 方程： x 2+2y +cos (xy )=0 在(0,0)的充分小领域上确定唯一的连续函数y =y (x )，使y =y (0) （2） 讨论y =y (x )在x =0处的可微性 （3） 求极限lim x→0y (x )x 9. 求极限
图论与代数结构第一二三章习题解答
习题一 1. 一个工厂为一结点；若两个工厂之间有业务联系，则此两点之间用边相联；这样就得到一个无向图。若每点的度数为3，则总度数为27，与图的总度数总是偶数的性质矛盾。若仅有四个点的度数为偶数，则其余五个点度数均为奇数，从而总度数为奇数，仍与图的总度数总是偶数的性质矛盾。（或者利用度数为奇数的点的个数必须为偶数个） 2. 若存在孤立点，则m 不超过K n-1的边数, 故 m <= (n-1)(n-2)/2, 与题设矛盾。 3. 4. 用向量(a 1,a 2,a 3)表示三个量杯中水的量, 其中a i 为第i 杯中水的量, i = 1,2,3. 以满足a 1+a 2+a 3 = 8 (a 1,a 2,a 3为非负整数)的所有向量作为各结点, 如果(a 1,a 2,a 3)中某杯的水倒满另一杯得到 ( a ’1, a ’2, a ’3 ) , 则由结点到结点画一条有向边。这样可得一个有向图。 本题即为在此图中找一条由( 8, 0, 0 )到( 4, 4, 0 )的一条有向路，以下即是这样的一条： 5. 可以。 6 若9个人中没有4个人相互认识，构造图G ，每个点代表一个点，两个人相互认识则对应的两个点之间有边。 1） 若可以找到点v ，d(v)>5，则与v 相连的6个点中，要么有3个相互认识，要么有3个 相互不认识（作K 6并给边涂色:红=认识，蓝=不认识，只要证图中必有同色三角形。v 1有5条边，由抽屉原则必有三边同色(设为红)，这三边的另一顶点设为v 2, v 3, v 4。若 △v 2v 3v 4有一边为红，则与v 1构成红色△，若△v 2v 3v 4的三边无红色，则构成蓝色△）。若有3个人相互认识，则这3个人与v 相互认识，这与假设没有4个人相互认识矛盾，所以这6个人中一定有3个人相互不认识 ∑ ∑∑∑∑ ∑∑==+====-=++=-==---=--=n i i n i i n i n i n i n i i i n i i n i i i i a a n n a a a n n n a n a v v 12 12 1211 2 212 12 i i 2/)1(C )1(2)1(])1[(a a 。 ， 所以 因为 ，＋ 的负度数，则为结点的正度数，为结点记－－－－－ ( 8, 0, 0 ) ( 5, 3, 0 ) ( 5, 0, 3 ) ( 2, 3, 3 ) ( 2, 5, 1 ) (7, 0, 1 ) ( 7, 1, 0 ) ( 4, 4, 0 ) ( 4, 1, 3 )
组合数学
组合数学（combinatorial mathematics） 有人认为广义的组合数学就是离散数学，也有人认为离散数学是狭义的组合数学和图论、代数结构、数理逻辑等的总称。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之，组合数学是一门研究离散对象的科学。随着计算机科学的日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显，因为计算机科学的核心内容是使用算法处理离散数据。 狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的问题。组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩阵、组合优化等。 一些有趣的组合数学问题 ①地图着色问题：对世界地图着色，每一种国家使用一种颜色。如果要求相邻国家的颜色相异，是否总共只需四种颜色？ ②船夫过河问题：船夫要把一匹狼、一只羊和一棵白菜运过河。只要船夫不在场，羊就会吃白菜、狼就会吃羊。船夫的船每次只能运送一种东西。怎样把所有东西都运过河？ ③中国邮差问题：由中国组合数学家管梅谷教授提出。邮递员要穿过城市的每一条路至少一次，怎样行走走过的路程最短？这是一个NP完全问题。 ④任务分配问题（也称婚配问题）：有一些员工要完成一些任务。各个员工完成不同任务所花费的时间都不同。每个员工只分配一项任务。每项任务只被分配给一个员工。怎样分配员工与任务以使所花费的时间最少？ 更详细的解释： 1. 组合数学概述 组合数学，又称为离散数学，但有时人们也把组合数学和图论加在一起算成是离散数学。组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学。组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。计算机之所以可以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好象是有思维的。 组合数学不仅在软件技术中有重要的应用价值，在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析等领域都有重要的应用。在美国有一家用组合数学命名的公司，他们用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合设计。用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。最近，德国一位著