第4章习题解答讲解
第4章 习题与答案
4-1作简谐振动的物体，每次通过同一位置时，不一定相同的量是 [ ] (A) 位移 ； (B) 速度 ； (C) 加速度； (D) 能量。
[答案：B ]
4-2 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为 [ ]
(A) π； (B) π/2； (C) 0； (D) θ [答案：C ]
4-3 谐振动的振动曲线如题4-3图所示，则有[ ] （A ）A 超前π/2； （B ）A 落后π/2； （C ）A 超前π； （D ）A 落后π。 [答案：A ]
4-4 一个质点作简谐振动，振辐为A ，在起始时刻质点的位移为A /2，且向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为题4-4图 中哪一个? [ ]
[答案：B ]
4-5 两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。第一个质点的振动方程为x 1 = A cos(ωt + α)。当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点恰在最大负位移处。则第二个质点的振动方程为 [ ] (A) )π21cos(2+
+=αωt A x ； (B) )π21
cos(2-+=αωt A x ； (C) )π2
3cos(2-+=αωt A x ； (D) )cos(2π++=αωt A x 。 [答案：A ]
4-6 已知某简谐振动的振动曲线如题4-6图所示。则此简谐振动的振动方程（SI ）为 [ ]
(A) 题4-4图
题4-3图
（A ）22
0.02cos()33x t =π+
π；
（B ）22
0.02cos()33
x t =π-π；
（C ）42
0.02cos()33x t =π+π；
（D ）42
0.02cos()33
x t =π-π。
[答案：C ]
4-7 弹簧振子作简谐振动，先后以相同的速度依次通过A 、B 两点，历时1秒，质点通过B 点后再经过1秒又第二次通过B 点，在这2秒内质点通过的总路程为12cm ，则质点的振动周期和振幅分别为 [ ]
（A ）3s 、12cm ； （B ）4s 、6cm ； （C ）4s 、9cm ； （D ）2s 、8cm 。 [答案：B ]
4-8 一质点作简谐振动，振动方程式为)cos(?ω+=t A x ，动能和势能相等时，它的位移为[ ] (A) 2A x =
； (B) A x 22= ； (C) A x 2
3
=； (D) A x =。 [答案：B ]
4-9 作简谐运动的单摆，在最大角位移向平衡位置运动过程中 [ ] （A ）动能减少，势能增加； (B) 动能增加，势能减少； （C ）动能增加，势能增加； (D) 动能减少，势能减少。 [答案：B ]
4-10 一弹簧振子作简谐振动，其运动方程用余弦函数表示。若t = 0时，振子在位移为A /2处，且向负方向运动，则初相为 。 [答案：π/3 ]
4-11 一水平弹簧简谐振子的振动曲线如题4-11图所示。当振子处在位移为零、速度为-ωA 、加速度为零的状态时，对应于曲线上的 点；当振子处在位移的绝对值为A 、速度为零、加速度为-ω2A 的状态时，对应于曲线上的_______点。 [答案：b ，f ；a ，e ]
4-12两质点1和2均沿X 轴作简谐振动，振幅分别为A 1和A 2。振动频率相同。在t=0时，
题4-11图
-
质点1在平衡位置向X 轴负向运动，质点2在2
2
A -处向x 轴正向运动，两质点振动的相位差12???-=?= . [答案：π6
5 ]
4-13一质点沿x 轴作简谐振动，振动范围的中心点为x 轴的原点. 已知周期为T ,振幅为A . (a)若t =0时质点过x =0处且朝x 轴正方向运动,则振动方程为x = . (b)若t =0时质点处于x =A /2处且朝x 轴负方向运动,则振动方程x = . [答案：A cos(2πt /T -π/2)，A cos(2πt /T +π/3) ]
4-14 已知两个作简谐振动的物体的质量相同，振动曲线如图所示。则这两个简谐振动的总能量之比12/E E 为_________________。 [答案：1:1]
4-15 一质点同时参与了两个同方向的简谐振动,它们的振动方程分别为x 1=0.05cos(ω t+π/4) (SI)和
x 2=0.05cos(ω
t +19π/12)
(SI)，其合成运动的运动方程为
x = . [答案：0.05cos(ωt -π/12) ]
4-16从运动学角度看什么是简谐振动? 从动力学角度看什么是简谐振动?一个物体受到一个使它返回平衡位置的力，它是否一定作简谐振动?
答：从运动学角度看，物体在平衡位置附近作来回往复运动，运动变量(位移、角位移等)随时间t 的变化规律可以用一个正(余)弦函数来表示，则该物体的运动就是简谐振动。
从动力学角度看，物体受到的合外力(合外力矩)与位移(角位移)的大小成正比，而且方向相反，则该物体就作简谐振动。 根据简谐振动的定义可以看出，物体所受的合外力不仅要与位移方向相反，而且大小应与位移大小成正比。所以，一个物体受到一个使它返回平衡位置的力，不一定作简谐振动。
4-17试说明下列运动是不是简谐振动： (1)小球在地面上作完全弹性的上下跳动；
(2)小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动； (3)曲柄连杆机构使活塞作往复运动； (4)小磁针在地磁的南北方向附近摆动。
答：简谐振动的运动学特征是：振动物体的位移(角位移)随时间按余弦或正弦函数规律变化；动力学特征是：振动物体所受的合力(合力矩)与物体偏离平衡位置的位移(角位移)成正比而
x (cm)
反向；从能量角度看，物体在系统势能最小值附近小范围的运动是简谐振动，所以： (1)不是简谐振动，小球始终受重力，不满足上述线性回复力特征； (2)是简谐振动，小球只有在“小幅度”摆动时才满足上述特征；
(3)不是简谐振动．活塞所受的力与位移成非线性关系，不满上述动力学特征； (4)是简谐振动，小磁针只有在“小幅度”摆动时才满足上述特征。
4-18若把单摆或弹簧振子放到月球上去，它们的振动周期会发生变化吗?
答：由单摆的周期g l T π2=可知，把单摆放到月球上去以后，由于其重力加速度g 发生了变化，所以单摆的振动周期就变长了。而由弹簧振子的振动周期k m T π2=可知，在月球上弹簧振子的振动周期不会变，因为弹簧振子的振动周期不涉及地球或月球的因素，只与弹簧振子本身的因素有关。
4-19在振动中，为什么要用相位来表示振动物体的运动状态?
答：在力学中，物体在某一时刻的运动状态是用位移、速度和加速度来描述的。在振动中，其特点是运动状态变化的周期性，对于这种运动，已知相位可以确定位移、速度和加速度，但是，只用位移、速度和加速度这些物理量无法反映其周期性的特征。对于简谐振动，当振幅和振动频率一定时，振动物体在任一时刻相对平衡位置的位移及其速度都由相位来决定。在一个周期内，相应的相位在0～2π之间，物体所经历的运动状态在各点都不相同；在下一周期则重复上述各运动状态。所以，物体经历两个相同的运动状态，必须间隔一个周期或周期T 的整数倍时间，相应地相位间的差则为2π或2π的整数倍。这样，用相位来既可以决定物体的运动状态，又可以反映出这种运动的周期性特征。
另外，在比较两个同频率简谐振动的运动状态变化的步调时，用相位表示更一目了然，具有明显的优越性。例如，若12??-大于零或小于零，就表示振动物体2超前振动物体1或落后于振动物体1；若12??-＝0则表示两个物体的振动是同步的。因此，在振动学中，用相位来表示运动状态。
4-20弹簧振子的无阻尼自由振动是简谐振动，同一弹簧振子在周期性驱动力持续作用下的稳态受迫振动也是简谐振动，这两种简谐振动有什么不同?
答：无阻尼自由振动(简谐振动)的振幅由20
2
020
ωυ+=x A 决定，振动周期由02π=T 决定，
即A 和T 由系统的初始状态0x 、0υ和系统本身的固有性质决定，其中的0ω是简谐振动系统的固有角频率。
而弹簧振子在周期性驱动力持续作用下的稳态受迫振动的振幅由
(
)
2
22
220
4ω
βω
ω+-=
m F A
决定，由此可知，系统的振幅不再由系统的初始状态0x 和0υ决定，而依赖于振子的性质、阻尼的大小和周期性驱动力的特征。
稳态受迫振动的振动频率也不决定于系统本身的固有性质，而由驱动力的频率
π
ων21='=
'T 决定。
4-21何谓拍现象，出现拍现象的条件是什么？如果参与叠加的两个振动的频率相差很大，能否出现拍现象?
答：两个频率都较大，但频率之差都很小的两个同方向简谐振动合成所产生的合振动其振幅周期性变化的现象叫做拍。出现拍现象要求两个分振动的角频率都较大且非常接近，其差值很小时，即12ωω-远小于1ω和2ω。如果参与叠加的两个振动的频率相差很大，不能出现拍现象。
4-22 由质量为M 的木块和劲度系数为k 的轻质弹簧组成在光滑水平台上运动的谐振子，如题4-36图所示。开始时木块静止在O 点，一质量为m 的子弹以速率v 0沿水平方向射入木块并嵌在其中，然后木块（内有子弹）作简谐振动。若以子弹射入木块并嵌在木块中时开始计时，试写出系统的振动方程。取x 轴如图所示。
解：写系统的振动方程，要求出A ，ω，φ
)/(m M k +=ω
∵ A m ω=v , ∴ ω/m A v =
v m 为子弹与木块（一个整体）开始运动的速率，由动量守恒得：
m m M m v v )(0+= ∴ )/(0m M m m +=v v
∴ )
(1
0m M k m k m M m M m A +=++=v v π=2
1
φ
∴
1
v ]2
x m t π=+
4-23 一质量均匀的方木块静止在水面上，没入水中的高度为H 。如果将木块轻轻下压再放手，它将上下浮动。试证明木块的上下浮动为简谐振动，且周期为g H /2π。（不考虑水
题4-22图
的阻力）
解：由受力分析可知，当木块离开平衡位置的位移为x 时，重力与浮力的合力为
x gS F )(水ρ-=，这里水ρ和S 分别是水的密度和木块的底面积。此外，由平衡条件，木块
的质量HS m 水ρ=。可见，木块的运动等效于一质量HS m 水ρ=，劲度系数gS k 水ρ=
的弹簧振子的运动，故为简谐振动。振动周期
g
H
k m T π
π
22==
4-24质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在 x 1=A /2 处，且向左运动时，另一个质点2在 x 2= -A /2处，且向右运动。求这两个质点的位相差。 解：
-A /2
-A /2
设两个同频率、同振幅的简谐振动表达式分别为
11cos()x A t ωφ=+， 22cos()x A t ωφ=+
由 1/2c o s ()
A A t ωφ=+，且向左运动，得 13
t π
ωφ+=
由 2/2c o s ()A A t ωφ-=+，且向右运动，得 223
t π
ωφ+=- 则两个质点的位相差 212()()33
t t ππ
ωφωφπ+-+=--=- （ 或 π）
4-25简谐运动的小球，速度最大值为3m v =cm/s ，振幅2A =cm ，若从速度为正的最大值的某时刻开始计算时间。（1）求振动的周期；（2）求加速度的最大值；（3）写出振动表达式。
解：（1）振动表达式为 c o s ()x A t ω
?=+ 振幅0.02A m =，0.03/m v A m s ω==，得 0.03
1.5/0.02
m v rad s A ω=== 周期 22 4.191.5
T s π
π
ω
=
=
= （2）加速度的最大值 2
2
2
1.50.020.045/m a A m s
ω==?=
（3）速度表达式 sin()cos()2
v A t A t π
ωω?ωω?=-+=++
由旋转矢量图知，02
π
?+
=， 得初相 2
π
?=-
振动表达式 0.02cos(1.5)2
x t π
=- （SI ）
4-26知某简谐振动的振动曲线如题4-26图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒。求此简谐振动的振动方程。
解：设振动方程为 )c o s (φω+=t A x 由曲线可知 A = 10 cm
当t = 0，φcos 1050=-=x ，0sin 100<-=φωv
解上面两式，可得 初相 3
2π
=
φ 由图可知质点由位移为 x 0 = -5 cm 和v 0 < 0的状态到x = 0和 v > 0的状态所需时间t = 2 s ，代入振动方程得
)3
22
c o s (100π
+=ω 则有 2/33/22π=π+ω， ∴ 12
5π
=ω 故所求振动方程为 )3
2125cos(1.0π
π+=t x (SI)
4-27 质量为1kg 的质点作简谐振动，其振动方程为)4
1
31cos(100.62
π-π?=-t x (SI)
（1）写出动能和势能的表达式；
（2）当x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半； （3）质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少? 解：（1） 3
π
ω=
，2
1.10k m ω==
势能 2221111
1.1[6.010c o s ()]22
34P E k x t -=
=???-ππ 32112.010cos ()34
t -=?-ππ 动能 22211111
1[ 6.010s i n ()]
22334
k E m v t -==??-??-πππ 3211
2.010sin ()34
t -=?-ππ
总能量 2223
11 1.1(6.010) 2.01022E kA J --==???=?
（2） 势能 212P E k x = 总能量 2
21kA E =
由题意，4/212
2kA kx =， 21024.42
-?±=±
=A x m
(3) 周期 T = 2π/ω = 6 s
从平衡位置运动到2
A x ±
= ?t 为 T /8
∴ ?t = 0.75 s
4-28一弹簧振子作简谐振动，振幅A =0.20m ，如弹簧的劲度系数k =2.0N/m ，所系物体的质量m=0.50kg ，试求：
（1）当动能和势能相等时，物体的位移是多少?
（2）设t=0时，物体在正最大位移处，达到动能和势能相等处所需的时间是多少?（在一个周期内。） 解：(1)由题意，
222121kx m =υ及简谐振动特征，2222
1
2121kA kx m =+υ，得 2
A x ±
=
(2)由条件，s rad m
k /2==ω，A A x 22
cos =?=?，得
4
7
,45
,43
,4π
π
π
π
?=
?
8
7,85,83,8ππππω?=?=?t
s s s s t 7.2,0.2,2.1,39.0=?
4-29有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为m 20.0，位相与第一振动的位相差为
6
π
，已知第一振动的振幅为m 173.0，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差．
解：由题意可做出旋转矢量图． 由图知
01
.02/32.0173.02)2.0()173.0(30cos 222122122=???-+=?
-+=A A A A A
∴ m 1.02=A 设角θ为O AA 1，则
θcos 2212
2212A A A A A -+=
即 0
1
.0173.02)02.0()1.0()173.0(2cos 2
222122
221=??-+=
-+=A A A A A θ 即2
π
θ=，这说明，1A 与2A 间夹角为
2π，即二振动的位相差为2
π
.
4-30 有两个同方向、同频率的简谐振动，它们的振动表式为：
)4310cos(05.01π+=t x ，)4
1
10cos(06.02π+=t x （SI 制）
（1）求它们合成振动的振幅和初相位。
（2）若另有一振动)10cos(07.003?+=t x ，问0?为何值时，31x x +的振幅为最大；0?为何值时，32x x +的振幅为最小。 解：根据题意，画出旋转矢量图 （1）)(078.006.005.0222
221m A A A =+=+=
6
5
21==
A A tg θ，'48398.39o o ==θ '1004884o =+=θ??
（2）当4
3100π
??=
=时，31x x +振幅最大。 π??±=-20
0，ππ??45200=±=（或π4
3
-）时，32x x +振幅最小。