实变函数第一章复习题及解答
第一章 复习题（一）
一、判断题
1、大人全体构成集合。（× ）
2、小个子全体构成集合。（× ）
3、所有集合都可用列举法表示。（× ）
4、所有集合都可用描述法表示。（√ ）
5、对任意集合A ，总有A 。（√ ）
6、()A B B A 。（× ）
7、()
()
A B B
A
B
B
A A 。
（√ ） 8、若B A ，则()A B B
A 。
（√ ） 9、c A
A ，c
A A X ，其中X 表示全集。
（× ） 10、A B B
A 。
（× ） 11、()c
c
c A B A B ，()c
c
c A
B A B 。（× ）
12、()()()A B C A C B C ，()()()A B C A C B
C 。
（√ ） 13、若A B ，B C ，则A
C 。
（√ ） 14、若A B ，则A
B ，反之亦然。（√ ） 15、若1
2A A A ，1
2B
B B ，且1
1A B ，22A B ，则A
B 。
（× ） 16、若A B ，则A B 。（√ ） 17、若A
B ，且A
B ，则A
B 。（× ）
18、可数集的交集必为可数集。（× ）
19、有限或可数个可数集的并集必为可数集。（√ ） 20、因整数集Z 有理数集Q ，所以Q 为不可数集。（× ） 21、()c c A A 。（√ ）
二、证明题
1、证明：c A
B
A
B 。
证明：对任意x A B ，有x A 且x B ，从而x A 且c x
B ，即c x
A
B ，所以 c A B
A
B ；反之，对任意c x
A
B ，有x
A 且c x
B ，从而x A 且x
B ，
即x
A
B ，所以 c A
B
A
B 。综上所述c A
B
A
B 。
2、证明：()A A B A B 。 证明：对任意()x A A B ，有x A 且x A B ，从而x A 且x B ，即x A B ；反之，对任意x A B ，有x A 且x B ，从而x A 且x A B ，即()x A A B 。故()A A B A B 。
3、证明：()()()A B C A C B C 。
证明：对任意()x A B C ，有x A B 且x C ，从而x A 或x B 且x C ，即x A C 或x B C ，所以()()x A C B C 。 反之，对任意()()x A C B C ，有x A C 或x B C ，从而x A 且x C 或x B 且x C ，即x A 或x B 且x C ，所以()x A B C 。故
()()()A B C A C B C 。
4、证明：()()()A B C A B A C 。 证明：对任意()x A B C ，有x A 且x B ，x C ，从而x A 且x B 且x A 且x C ，即x A B 且x A C ，所以()()x A B A C 。 反之，对任意()()x A B A C ，有x A B 且x A C ，从而x A 且x B 且x A 且x C ，即x A 且x B ，x C ，所以()x A B C 。故
()()()A B C A C B C 。 5、证明：自然数集与奇数集对等。 证明：记自然数集为{0,1,2,}N n n
，奇数集为{210,1,2,}A n n 。
作映射如下：:f N
A ， ()21n
f n n
。
易见f 是N 到A 的一一映射，所以N A ，即自然数集与奇数集对等。
6、证明：在圆周上去掉一点后余下的点所成之集与实数集对等。
证明：记圆周上去掉一点后余下的点所成之集为A ，实数集为R 。作如图示，A 到R 的映射f 如下：:f N A ，()x
f x y 。
易见，f 是A 到R 的一一映射，所以A
R 。
7、证明：由直线上互不相交的开区间所组成的集合至多只有可数个。
证明：记G 为直线上互不相交的开区间所成的集合，对任意A G （A 是开区间），根据有理数的稠密性，取一个有理数A
r A ，并记{,}
A A
B
r r A A
G Q （Q 是有理数
集，它是可数集），从而B 是至多可数集。由于G 中的任意两个开区间互不相交，所以G 到B 的如下映射：
:f G
B ，()
A A
f A r ，
为G 到B 的一一映射，即G B ，所以G 为至多可数集。
8、证明：整系数多项式全体所成的集为可数集。 证明：记1
1010
{,,,}n
n
n n n n n P a x a x a a a a Z （Z 为整数集，它为可数
集），由于n P 由1n
个独立的指标10,,,n n a a a 确定，且每个指标都跑遍一个可数集。所
以n P 是可数集，又整系数多项式全体所成的集0
n n P ，所以，整系数多项式全体所成的
集为可数集。
9、证明：有理数集为可数集。
证明：记Q 为正有理数集，Q 为负有理数集，则有理数集{0}Q Q Q 。显然Q
与Q 对等，而112{,,}n
Q
n n ，12{,,
}n n
是可数集，所以Q 是可数集，从而Q 也是
可数集。故有理数集{0}
Q Q
Q 是可数集。
10、证明：若()f x 为[,]a b 上的连续函数，且()f x 不恒为常数，则([,])f a b 的基数为c 。
证明：由连续函数的性质，([,])f a b 必为闭区间，又()f x 不恒为常数，所以([,])f a b 必为长度不为零的闭区间，从而([,])f a b 的基数为c 。
11、证明：[0,1]中的无理点所成的集（记为E ）具有连续基数c 。
证明：显然[0,1]中的无理点所成的集E 是无限集，记[0,1]Q 为[0,1]中的有理点所成的集，则[0,1][0,1]
E
Q ，而[0,1]Q 为可数集，所以[0,1]E
c 。
12、证明：不可数集减可数集的差集仍为不可数集。
证明：记A 是不可数集，B 是可数集，因为()()A A
B A B ，且A B 为无限集
（因为，否则的话，A 是至多可数集，与A 是不可数集矛盾），A B 为至多可数集（因为
A
B
B ，B 是可数集，所以A B 为至多可数集），所以，A A
B ，即A
A B ，
所以，A B 仍为不可数集。