X方程式的解法(打印版)

X方程式的解法含有未知数的等式叫方程。

等式的基本性质1：等式两边同时加(或减)同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式。

用字母表示为：若a＝b，c为一个数或一个代数式。则：

(1)a+c＝b+c

(2)a-c＝b-c

等式的基本性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数所得的结果仍是等式。

(3)若a=b,则b=a（等式的对称性）。

(4)若a=b,b=c则a=c（等式的传递性）。

【方程的一些概念】

方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

解方程：求方程的解的过程叫做解方程。

解方程的依据：1.移项；2.等式的基本性质； 3.合并同类项；4. 加减乘除各部分间的关系。

解方程的步骤：1.能计算的先计算；2.转化——计算——结果

例如：3x=5*6

3x=30

x=30/3

x=10

移项：把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项，根据是等式的基本性质1。方程有整式方程和分式方程。

整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程。

分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

一元一次方程

人教版5年级数学上册第四章会学到，冀教版7年级数学下册第七章会学到,苏教版5年级下第一章

定义：只含有一个未知数,且未知数次数是一的整式方程叫一元一次方程。通常形式是kx+b=0(k，b为常数，且k≠0）。一般解法：

⒈去分母方程两边同时乘各分母的最小公倍数。

⒉去括号一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号。但顺序有时可依据情况而定使计算简便。可根据乘法分配律。

⒊移项把方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。

⒋合并同类项将原方程化为ax=b(a≠0)的形式。

⒌系数化一方程两边同时除以未知数的系数。

⒍得出方程的解。

同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。

方程的同解原理：

⒈方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。

⒉方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。

做一元一次方程应用题的重要方法：

⒈认真审题

⒉分析已知和未知的量

⒊找一个等量关系

⒋设未知数

⒌列方程

⒍解方程

⒎检验

⒏写出答

教学设计示例

教学目标

1．使学生初步掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤；并会列出一元一次方程解简单的应用题；

2．培养学生观察能力，提高他们分析问题和解决问题的能力；

3．使学生初步养成正确思考问题的良好习惯．

教学重点和难点

一元一次方程解简单的应用题的方法和步骤．

课堂教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

在小学算术中，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，那么，一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢？若能解决，怎样解？用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较，它有什么优越性呢？

为了回答上述这几个问题，我们来看下面这个例题．

例1 某数的3倍减2等于某数与4的和，求某数．

(首先，用算术方法解，由学生回答，教师板书)

解法1：(4+2)÷(3-1)=3．

答：某数为3．

(其次，用代数方法来解，教师引导，学生口述完成)

解法2：设某数为x，则有3x-2=x+4．

解之，得x=3．

答：某数为3．

纵观例1的这两种解法，很明显，算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并通过解方程求得应用题的解的

方法，有一种化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一．

我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等关系．因此对于任何一个应用题中提供的条件，应首先从中找出一个相等关系，然后再将这个相等关系表示成方程．

本节课，我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤．

二、师生共同分析、研究一元一次方程解简单应用题的方法和步骤

例2 某面粉仓库存放的面粉运出15％后，还剩余42 500千克，这个仓库原来有多少面粉？

师生共同分析：

1．本题中给出的已知量和未知量各是什么？

2．已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系？(原来重量-运出重量=剩余重量)

3．若设原来面粉有x千克，则运出面粉可表示为多少千克？利用上述相等关系，如何布列方程？

上述分析过程可列表如下：

解：设原来有x千克面粉，那么运出了15％x千克，由题意，得

x-15％x=42 500，

所以x=50 000．

答：原来有50 000千克面粉．

此时，让学生讨论：本题的相等关系除了上述表达形式以外，是否还有其他表达形式？若有，是什么？

(还有，原来重量=运出重量+剩余重量；原来重量-剩余重量=运出重量)

教师应指出：(1)这两种相等关系的表达形式与“原来重量-运出重量=剩余重量”，虽形式上不同，但实质是一样的，可以任意选择其中的一个相等关系来列方程；

(2)例2的解方程过程较为简捷，同学应注意模仿．

依据例2的分析与解答过程，首先请同学们思考列一元一次方程解应用题的方法和步骤；然后，采取提问的方式，进行反馈；最后，根据学生总结的情况，教师总结如下：

(1)仔细审题，透彻理解题意．即弄清已知量、未知量及其相互关系，并用字母(如x)表示题中的一个合理未知数；

(2)根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系．(这是关键一步)；

(3)根据相等关系，正确列出方程．即所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单位要相同；题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用等；

(4)求出所列方程的解；

(5)检验后明确地、完整地写出答案．这里要求的检验应是，检验所求出的解既能使方程成立，又能使应用题有意义．P.S:在列方程时要使等式两边相等

例卷：

一．耐心填一填.(每题3分,共30分)

1．－2的相反数是，倒数是，绝对值是。

2. 若|x|=6,则x= . 3．计算：=

4. x比它的一半大6，可列方程为.

5．一艘潜艇正在－50米处执行任务，其正上方10米有一条鲨鱼在游弋，则鲨鱼所处的高度为米。

6.用“度分秒”来表示：8.31度=_____度______分_____秒.

7．1－2+3－4+5－6+…+87－88=

8．已知，则代数式的值是。

9．现定义一种新运算：，则。

10、礼堂第一排有a个座位，后面每排都比第一排多1个座位，则第n排座位有个.

二．细心选一选.(每题3分,共30分)

11.“神州”五号飞船总重7790000克，保留两个有效数字，用科记数法表示为（）

A、B、C、D、8

12. 已知2是关于X的方程3X+a=0的一个解，则a的值是（）

A. –6

B. –3

C. –4

D. –5

13.如果表示有理数,那么的值( )

A. 可能是负数

B.不可能是负数

C.必定是正数

D.可能是负数也可能是正数

14.已知一个数的平方是,则这个数的立方是( )

A. B. C. 或D. 或

15．下列式子正确的是（）

A．x-(y-z)=x-y-z B．-(x-y+z)=-x-y-z

C．x+2y-2z=x-2(z+y) D．-a+c+d+b=-(a-b)-(-c-d)

16.直线a、b、c中,a‖b,a‖c,则直线a与直线c的关系是（）

A、相交

B、平行

C、垂直

D、不确定

17．在直线上顺次取A、B、C三点，使得AB=9cm，BC=4cm，如果O是线段AC的中点，则线段OB=（）cm A．2．5 B．1.5 C．3.5 D．5

18．根据“x减去y的差的8倍等于8”的数量关系可列方程（）

A、x-8y=8

B、8(x-y)=8

C、8x-y=8

D、x-y=8×8

19.长方形的一边长等于3a+2b，另一边比它大a-b，那么这个长方形的周长是（）

A．14a+6b B．7a+3b C．10a+10b D．12a+8b

20.我国政府为解决老百姓看病难的问题,决定大幅度下调药品价格.某种药品在1999年涨价30%,2003年降价70%至.

那么这种药品在1999年涨价前的价格为:( )

A. B.

C. D.

三．用心答一答（共40分）

21．本题共三小题，每题4分

（1）计算（2）解方程：

(3 )先化解，再求值：，其中

22. 已知一个角的补角等于这个角的余角的4倍, 求这个角的度数。（5分）

23．已知如图，AO⊥BC，DO⊥OE。（5分）

（1）不添加其它条件情况下，请尽可能多地写出图中有关角的等量关系（至少3个）；

（2）如果∠COE=35°，求∠AOD的度数。

24．下表是对光明中学初一（2）班的同学就“父母回家后，你会主动给他们倒一杯水吗”情况调查结果：主动倒水的30人，偶尔倒水的20人，不倒水的10人。

(1)计算各类人数所占各个扇形圆心角的度数。（3分）

(2)制作扇形统计图，并标上百分比。（3分）

25．图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②；再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③.

⑴图②有_____个三角形；图③有_____个三角形.（每空格2分）

⑵按上面的方法继续下去，第个图形中有多少个三角形？

（用的代数式表示结论）（2分）

26. 种一批树，如果每人种10棵，则剩6棵未种；如果每人种12棵，则缺6棵。有多少人种树？有多少棵树？（6分）

二元一次方程（组）

人教版7年级数学下册会学到，冀教版7年级数学下册第九章会学到。

二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。

二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。

二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。

一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。

消元的方法有两种：

代入消元法

例：解方程组x+y=5①6x+13y=89②

解：由①得x=5-y③把③带入②，得6(5-y)+13y=89，解得y=59/7

把y=59/7带入③，得x=5-59/7，即x=-24/7

∴x=-24/7，y=59/7

这种解法就是代入消元法。

加减消元法

例：解方程组x+y=9①x-y=5②

解：①+②，得2x=14，即x=7

把x=7带入①，得7+y=9，解得y=-2

∴x=7，y=-2

这种解法就是加减消元法。

二元一次方程组的解有三种情况：

1.有一组解

如方程组x+y=5①6x+13y=89②的解为x=-24/7，y=59/7。

2.有无数组解

如方程组x+y=6①2x+2y=12②，因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。

3.无解

如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5，这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。

三元一次方程

定义：与二元一次方程类似，三个结合在一起的共含有三个未知数的一次方程。

三元一次方程组的解法：与二元一次方程类似，利用消元法逐步消元。

典型题析：

某地区为了鼓励节约用水,对自来水的收费标准作如下规定:每月每户用水不超过10吨按0.9元/吨收费;超过10吨而不超过20吨按1.6元/吨收费;超过20吨的部分按2.4元/吨收费.某月甲用户比乙用户多缴水费16元,乙用户比丙用户多缴水费7.5元.已知丙用户用水不到10吨,乙用户用水超过10吨但不到20吨.问:甲.乙.丙三用户该月各缴水费多少元(按整吨计算收费)?

解：设甲用水x吨,乙用水y吨，丙用水z吨

显然，甲用户用水超过了20吨

故甲缴费：0.9*10+1.6*10+2.4*(x-20)=2.4x-23

乙缴费：0.9*10+1.6*(y-10)=1.6y-7

丙缴费：0.9z

2.4x-23=1.6y-7+16

1.6y-7=0.9z+7.5

化简得

3x-2y=40－－－－(1)

16y-9z=145-------(2)

由(1)得x=(2y+40)/3

所以设y=1+3k,3

当k=4,y=13,x=22,代入(2)求得z=7

当k=5,y=16,代入(2),z没整数解

当k=6,y=19,代入(2),z没整数解

所以甲用水22吨,乙用水13吨，丙用水7吨

甲用水29.8元,乙用水13.8元，丙用水6.3元

[编辑本段]一元二次方程

人教版9年级数学上册会学到，冀教版9年级数学上册第二十九章会学到。

定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做一元二次方程。

由一次方程到二次方程是个质的转变，通常情况下，二次方程无论是在概念上还是解法上都比一次方程要复杂得多。一般形式：ax^2+bx+c=0 (a≠0)

一般解法有四种：

⒈公式法（直接开平方法）

⒉配方法

⒊十字相乘法

⒋因式分解法

（由于精力有限，不举例说明如何解，望有人能帮忙）

1、直接开平方法：

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的

方程，其解为x=m±.

例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11

分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以

此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丢解)

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

（2）解：9x2-24x+16=11

∴(3x-4)2=11

∴3x-4=±

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)

先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c

将二次项系数化为1：x2+x=-

方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2

方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=

当b2-4ac≥0时，x+ =±

∴x=(这就是求根公式)

例2．用配方法解方程3x2-4x-2=0

解：将常数项移到方程右边3x2-4x=2

将二次项系数化为1：x2-x=

方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2

配方：(x-)2=

直接开平方得：x-=±

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2= .

3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项

系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程2x2-8x=-5

解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0

∴a=2, b=-8, c=5

b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0

∴x= = =

∴原方程的解为x1=,x2= .

4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让

两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：

(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0

(3) 6x2+5x-50=0 (选学）(4)x2-2( + )x+4=0 （选学）

(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得

x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)

(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)

∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)

∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

(2)解：2x2+3x=0

x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)

∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)

∴x1=0，x2=-是原方程的解。

注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。

(3)解：6x2+5x-50=0

(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)

∴2x-5=0或3x+10=0

∴x1=, x2=- 是原方程的解。

(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）

(x-2)(x-2 )=0

∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。

二元二次方程：含有两个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程。

[编辑本段]附注

一般地，n元一次方程就是含有n个未知数，且含未知数项次数是1的方程，一次项系数规定不等于0；

n元一次方程组就是几个n元一次方程组成的方程组（一元一次方程除外）；

一元a次方程就是含有一个未知数，且含未知数项最高次数是a的方程（一元一次方程除外）；

一元a次方程组就是几个一元a次方程组成的方程组（一元一次方程除外）；

n元a次方程就是含有n个未知数，且含未知数项最高次数是a的方程（一元一次方程除外）；

n元a次方程组就是几个n元a次方程组成的方程组（一元一次方程除外）；

方程（组）中，未知数个数大于方程个数的方程（组）叫做不定方程（组），此类方程（组）一般有无数个解。百度百科中的词条内容仅供参考，如果您需要解决具体问题

（尤其在法律、医学等领域），建议您咨询相关领域专业人士。本词条对我有帮助

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扩展阅读：

1.参考答案

2.一、每题3分

3.1、2，，2 2、3、4、5、

4.6、8，18，36 7、－44 8、－17 9、13 10、

5.二、每题3分

6.11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

7.B A B C D B A B A D

8.三、21（1）解：原式= ……2分

9.=

10.= …………1分

11.（2）解：方程两边都乘以15，得

12.…………2分

13.去括号得：

14.移项得：

15.合并同类项得：……………1分

16.两边都除以－2，得X=－2…………1分

17.（3）解：原式= ………1分

18.= ……………1分

19.当X=2，Y=－1时，原式= ……2分

20.22、解：设这个角为X度，则它的补角为（180－X）度

21.余角为（90—X）度，由题意得：………1分

22.180－X=4（90－X）…………2分

23.解得：X=60…………1分

24.答：这个角的度数为60度………1分

25.23、解：∠DOA=∠EOC、∠DOB=∠AOE、∠AOB=∠AOC、

26.∠AOB=DOE、∠AOC=∠DOE（写出一个得1分，共3分）

27.（2）∠AOD=35o………2分

28.24、解：（1）主动倒水占180o，偶尔的120o，不倒水的60o…‘3分’

29.（2）略……3分

30.25、（1）5，9 （2）………每空2分

31.26、解：设有X人种树，则有（10X+6）棵树，

32.由题意得：…………1分

33.………………3分

34.解得X=6 所以10X+6=66…………1分

35.答：有6人种树，有66棵树。………1分

一元二次方程专题复习讲义(知识点-考点-题型总结)-----hao---use--ok

一元二次方程专题复习 一、知识结构： 一元二次方程?? ???*?韦达定理根的判别解与解法 二、考点精析 考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax ⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 针对练习： ★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。

★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程， ⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。 ★★3、若方程()112=?+ -x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范 围是 。 ★★★4、若方程2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） 2 21 C21 1 考点二、方程的解 ⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题： 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根， 则m 的值为 。 针对练习： ★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 ★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程 311=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。

一元二次方程的基本解法

第一讲：一元二次方程的基本解法 【知识要点】 ① 一元二次方程及其标准形式： 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的方程叫一元二次方程。 形如ax 2+bx+c=0(a 、b 、c 为常数，且a≠0)的方程叫一元二次方程的标准形式。 任何一元二次方程都可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等过程，转化为标准形式。 ② 一元二次方程的解法主要有： 直接开方法、配方法、求根公式法、因式分解法。 一元二次方程的求根公式为x 1,2=)04(2422≥--±-ac b a ac b b . ③一元二次方程解（根）的含义：使方程成立的未知数的值 【经典例题】 例1、直接开平方法 （1）x 2－196＝0; （2）12y 2－25＝0； （3）（x ＋1）2－4＝0； （4）12（2－x ）2－9＝0. 例2 、配方法： （1）x 2－2x ＝0； （2）2 12150x x +-= （3）24x 2x 2=+ （4）17x 3x 2+= 例3 、求根公式法： (1) 1522-=x x (2) 052222 =--x x

（3）（x ＋1）（x －1）＝x 22 （4）3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1). 例4 、因式分解法： (1) x （3x ＋2）－6(3x ＋2)＝0. (2)4x 2 ＋19x －5＝0； (3) ()()2232 -=-x x x （4）x （x ＋1）－5x ＝0. 例5、换元法解下列方程： （1）06)12(5)12(2=+---x x (2) 06)1 (5)1(2=+---x x x x 例6、配方法的应用：求证：代数式122+--x x 的值不大于 4 5.

一元二次方程及解法经典习题及解析

一元二次方程及解法经典习题及解析 知识技能： 一、填空题： 1．下列方程中是一元二次方程的序号是 ． 42=x ① 522=+y x ② ③01332=-+x x 052=x ④ 5232=+x x ⑤ 412=+x x ⑥ x x x x x x 2)5(0143223-=+=+-。。。。⑧⑦ 2．已知，关于2的方程12)5(2=-+ax x a 是一元二次方程，则a 3．当=k 时，方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于X 的一元二次方程． 4．解一元二次方程的一般方法有 ， ， ， · 5．一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 的求根公式为： ． 6．(2004·沈阳市)方程0322=--x x 的根是 ． 7．不解方程，判断一元二次方程022632 =+--x x x 的根的情况是 ． 8．(2004·锦州市)若关于X 的方程052=++k x x 有实数根，则k 的取值范围是 ． 9．已知：当m 时，方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根． 10．关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+k kx x k 的根的情况是 ． 二、选择题： 11．(2004·北京市海淀区)若a 的值使得1)2(42 2-+=++x a x x 成立，则a 的值为( ) A ．5 8．4 C ．3 D ．2 12．把方程x x 332-=-化为02=++c bx ax 后，a 、b 、c 的值分别为( ) 3.3.0.--A 3.3.1.--B 3.3.1.-C 3.3.1.--D 13．方程02=+x x 的解是( ) x A .=土1 0.=x B 1,0.21-==x x C 1.=x D

一元二次方程的解法(二)配方法(基础)

一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础） 【学习目标】 1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤； 3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能 力. 【要点梳理】 知识点一、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式： . (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±． 知识点二、配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 【典型例题】

2.2《一元二次方程的解法》专题训练题及答案

湘教版九年级数学上册 第2章 反比例函数 一元二次方程 2．2 一元二次方程的解法 根据平方根的意义解一元二次方程 专题训练题 1．已知x ＝2是一元二次方程x 2－2mx ＋4＝0的一个解，则m 的值为( ) A ．2 B ．0 C ．0或2 D ．0或－2 2．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，则下列结论正确的是( ) A ．a ＋b ＋c ＝1 B ．a ＋b ＋c ＝0 C ．a －b ＋c ＝0 D ．a －b ＋c ＝1 3．已知m 是一元二次方程x 2－x －1＝0的一个根，那么代数式m 2－m 的值等于( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．2 4．已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．－2 5．已知关于x 的一元二次方程(x ＋1)2－m ＝0有实数根，则m 的取值范围是( ) A ．m ≥－34 B ．m ≥0 C ．m ≥1 D ．m ≥2 6．方程x 2－3＝0的根是( ) A ．x ＝3 B ．x 1＝3，x 2＝－3 C ．x ＝ 3 D ．x 1＝3，x 2＝－ 3 7．一元二次方程(x ＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ＋6＝4，则另一个一元一次方程是( ) A ．x －6＝－4 B ．x －6＝4 C ．x ＋6＝4 D ．x ＋6＝－4 8．方程－4x 2＋1＝0的解是( ) A ．x ＝12 B ．x ＝－12 C ．x ＝±12 D ．x ＝±2 9．方程(x －4)2＝11的根为( ) A ．x 1＝－4＋11，x 2＝－4－11 B ．x 1＝4＋11，x 2＝4－11 C ．x 1＝11＋4，x 2＝11－4 D ．x 1＝4＋11，x 2＝－4－11 10．对于形如(x ＋m )2＝n 的方程，它的解的正确表述为( ) A ．都能用直接开平方法求解得x ＝－m ±n B ．当n ≥0时，x ＝m ±n C ．当n ≥0时，x ＝－m ±n D ．当n ≥0时，x ＝±n －m 11．下列方程中，适合用直接开平方法求解的是( ) A ．x 2＋5x ＋1＝0 B ．x 2－6x －4＝0 C ．(x ＋3)2＝16 D ．(x ＋2)(x －2)＝4x 12．方程4x 2－81＝0的解为________． 13．解下列方程： (1)16x 2＝25； (2)(2x ＋1)2－1＝0.

一元二次方程及一元二次方程的解法测试题(绝对经典)

. 第二章一元二次方程单元测验 一、选择题：(每小题3分,共36分) 1. 下列方程中是一元二次方程的是 （ ） （A ）22)1(2-=-x x （B ）01232=+-x x （C ）042=-x x （D ）02352 =-x x 2. 方程1)14(2 =-x 的根为（ ） （A ）4121==x x （B ）2121==x x （C ）,01=x 212=x （D ）,2 1 1-=x 02=x 3. 解方程 7(8x + 3)＝6(8x + 3)2 的最佳方法应选择( ） （A ）因式分解法 （B ）直接开平方法 （C ）配方法 （D ）公式法 4. 下列方程中, 有两个不相等的实数根的方程是（ ） （A ）x 2 –3x + 4＝0 （B ）x 2–x –3＝0 （C ）x 2–12x + 36＝0 （D ）x 2–2x + 3＝0 5、已知ｍ是方程012 =--x x 的一个根，则代数ｍ2 －ｍ的值等于 （ ） A 、１ B 、－１ C 、0 D 、2 6、若方程0152 =--x x 的两根为的值为则 、212111,x x x x +（ ） A 、5 B 、51 C 、5- D 、5 1- 7. 以知三角形的两边长分别是2和9, 第三边的长是一元二次方程x 2 –14x + 48＝0的解, 则这个三角形 的周长是（ ）（A ）11 （B ）17 （C ）17或19 （D ）19 8. 下列说法中正确的是 （ ）（A ）方程2 80x -=有两个相等的实数根; （B ）方程252x x =-没有实数根;（C ）如果一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么0?=; （D ）如果a c 、异号，那么方程2 0ax bx c ++=有两个不相等的实数根. 9. 若一元二次方程(1–2k)x 2 + 12x –10＝0有实数根, 则K 的最大整数值为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）–1 （D ）0 10.把方程2x 2 -3x+1=0化为(x+a)2 =b 的形式,正确的是( ) A. 23162x ??- = ???; B.2312416x ??-= ???; C. 2 31416x ? ?-= ? ?? ; D.以上都不对 11、 若方程02 =++q px x 的两个实根中只有一个根为0，那么 （ ） （A ）0==q p ; （B ）0,0≠=q p ; （C ）0,0=≠q p ; （D ）0,0≠≠q p . 12、下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是 （ ） A ． 若x 2=4，则x ＝2 B ．方程x (2x －1)＝2x －1的解为x ＝1 C ．若x 2 +2x +k =0有一根为2，则8＝－k D ．若分式1 2 32－＋－x x x 值为零，则x ＝1，2 二、填空题：(每小题3分,共30分) 1、方程()()-267-x 5x =+，化为一般形式为 ，其中二次项系数和一次项系数的和为 。 2. 当x =________时，分式1 4 32+--x x x 的值为零。 3. 若关于x 的方程02)1(2 =+--m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是______ 4.若方程042 2 =++m x x ，则m= . 5.已知0822 =--x x , 那么=--7632 x x _______________. 6. 若关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax （a ≠0）的两根分别为1，—2，则b a -的值为______. 7. 若2 2 2 (3)25a b +-=，则22 a b +=____ 8.若一元二次方程02 =++c bx ax 中，024=+-c b a ,则此方程必有一根为________. 9、若两个连续整数的积是20，则他们的和是________。 10.某企业前年的销售额为500万元，今年上升到720万元，如果这两年平均每年增长率相同，则去年销售额为 11. 如果x x 12、是方程x x 2 720-+=的两个根，那么x x 12+=____________。 13. 已知一元二次方程x x 2 350--=的两根分别为x x 12、，那么x x 12 22 +的值是____。 14. 若方程x x k 2 20-+=的两根的倒数和是 8 3 ，则k =____________。 15.已知关于x 的方程（2k+1）x 2 －kx+3=0，当k______时，?方程为一元二次方程，? 当k______时，方程为一元一次方程，其根为______．

小专题(一)-一元二次方程的解法

专题(一)一元二次方程的解法 1．用直接开平方法解下列方程： (1)x2－16＝0；(2)3x2－27＝0； (3)(x－2)2＝9；(4)(2y－3)2＝16. 2．用配方法解下列方程： (1)x2－4x－1＝0； (2)2x2－4x－8＝0； (3)3x2－6x＋4＝0； (4)2x2＋7x＋3＝0.

3．用公式法解下列方程： (1)x2－23x＋3＝0； (2)－3x2＋5x＋2＝0； (3)4x2＋3x－2＝0； (4)3x＝2(x＋1)(x－1)． 4．用因式分解法解下列方程： (1)x2－3x＝0； (2)(x－3)2－9＝0；

(3)(3x－2)2＋(2－3x)＝0； (4)2(t－1)2＋8t＝0； (5)3x＋15＝－2x2－10x； (6)x2－3x＝(2－x)(x－3)． 5．用合适的方法解下列方程： (1)4(x－3)2－25(x－2)2＝0； (2)5(x－3)2＝x2－9；

(3)t 2－22t ＋18＝0. 参考答案 1.(1)移项，得x 2＝16，根据平方根的定义，得x ＝±4，即x 1＝4，x 2＝－4. (2)移项，得3x 2＝27，两边同除以3，得x 2＝9，根据平方根的定义，得x ＝±3，即x 1＝3，x 2＝－3. (3)根据平方根的定义，得x －2＝±3，即x 1＝5，x 2＝－1. (4)根据平方根的定义，得2y －3＝±4，即y 1＝72，y 2＝－12. 2.(1)移项，得x 2－4x ＝1.配方，得x 2－4x ＋22＝1＋4，即(x －2)2＝5.直接开平方，得x －2＝±5，∴x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5. (2)移项，得2x 2－4x ＝8.两边都除以2，得x 2－2x ＝4.配方，得x 2－2x ＋1＝4＋1.∴(x －1)2＝5.∴x －1＝± 5.∴x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5. (3)移项，得3x 2－6x ＝－4.二次项系数化为1，得x 2－2x ＝－43.配方，得x 2－2x ＋12＝－43＋12，即(x －1)2＝－13.∵ 实数的平方不可能是负数，∴原方程无实数根． (4)移项，得2x 2＋7x ＝－3.方程两边同除以2，得x 2＋72x ＝－32.配方，得x 2＋72x ＋(74)2＝－32＋(74)2，即(x ＋74)2＝2516. 直接开平方，得x ＋74＝±54.∴x 1＝－12，x 2＝－3. 3.(1)∵a ＝1，b ＝－23，c ＝3，b 2－4ac ＝(－23)2－4×1×3＝0，∴x ＝－（－23）±02×1 ＝ 3.∴x 1＝x 2＝ 3. (2)方程的两边同乘－1，得3x 2－5x －2＝0.∵a ＝3，b ＝－5，c ＝－2，b 2－4ac ＝(－5)2－4×3×(－2)＝49>0，∴x ＝－（－5）±492×3＝5±76，∴x 1＝2，x 2＝－13. (3)a ＝4，b ＝3，c ＝－－4ac ＝32－4×4×(－2)＝41>＝－3±412×4＝－3±418.∴x 1＝－3＋418，x 2＝－3－418 . (4)将原方程化为一般形式，得2x 2－3x －2＝0.∵a ＝2，b ＝－3，c ＝－2，b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×(－ 2)＝11>0，∴x ＝3±1122 ＝6±224.∴x 1＝6＋224，x 2＝6－224.

人教版七年级数学上册第三章解一元一次方程——去括号去分母复习题1(含答案) (19)

人教版七年级数学上册第三章解一元一次方程——去括号 去分母复习题1（含答案) 解方程：（1）()()2831x x +=- （2）1231337 x x -+=- 【答案】（1）19x =；（2）6723x = 【解析】 【分析】 （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解答即可； （2）按照去分母、去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解答即可． 【详解】 （1）21633x x +=- 23316x x -=-- 19x -=- 19x = （2）()()71233163x x -=+- 7149363-=+-x x 1493637--=--x x 2367x -=- 6723 x = 【点睛】 本题考查的是解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是关键．

82．（1）计算：411(2)|9|3??-+-÷--- ??? （2）解方程：31322322105 x x x +-+-=- 【答案】（1）﹣4；（2）x ＝ 716 【解析】 【分析】 （1）原式先计算乘方及绝对值运算，再计算除法运算，最后算加减运算即可求出值； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解． 【详解】 （1）原式＝﹣1+6﹣9＝﹣4； （2）去分母得：5（3x+1）﹣2×10＝（3x ﹣2）﹣2（2x+3）， 去括号得：15x+5﹣20＝3x ﹣2﹣4x ﹣6， 整理得：16x ＝7， 解得：x ＝ 716． 【点睛】 本题考查乘方、绝对值和解一元一次方程，解题的关键是掌握乘方、绝对值和解一元一次方程的运算. 83．解方程：2（13﹣4y ）+3y ＝16． 【答案】y ＝2． 【解析】 【分析】

一元二次方程解法讲义

龙文教育学科教师辅导讲义 课 题 一元二次方程的解法 教学目标 1. 理解一元二次方程及其有关概念 2. 会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解 重点、难点 1. 一元二次方程的判定，求根公式 2. 一元二次方程的解法与应用 考点及考试要求 1. 一元二次方程的定义,一般形式，配方式 2. 熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法,配方法.，因式分解，公式法去 3. 一元二次方程在实际问题中的综合应用 教学内容 考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③ 整式方程．．．． 就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax 注：当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式 (3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式： 2 =++c bx ax 时，应满足（a≠0） (4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132 +=+x x B 02112 =-+ x x C 0 2 =++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。

去分母去括号一元一次方程练习题精编版

去括号解一元一次方程练习题 1.方程4(2-x)-4(x+1)=60的解是 A．7 B。6/7 C。-6/7 D。-7 2.解方程4（x-1）-x=2（x+0.5）步骤如下○1去括号，得4x-4-x=2x+1 ○2移项得4x+x-2x=1+4 ○3合并同类项得3x=5 ○4系数化为1得x=5/3其中错误的是 A ○1 B. ○2 C. ○3 D.○4 3.某中学进行义务劳动，去甲处劳动的有30人，去乙处得有24人，从乙处调一部分人到甲处，使甲处的人数是乙处人数的2倍，若设从乙处调x人到甲处，则所列方程为 A.2(30+X)=24-X B.30+X=2(24-X) C.30-X=2(24+X) D.2(30-X)=24+X 4.下列变形正确的是 A．a2-（2a-b+c）=a2-2a-b+c B。（a+1）-（-b+c）=a+1+b+c C．3a-【5b-（2c-1）】=3a-5b+2c-1 D.a-b+c-d=a-(b+c-d) 5.三个连续奇数的和是21，则他们的积为------ 6.当x=3时，代数式x（3-m）+4的值为16，求当x=-5时，此代数式的值为------ 7.一元一次方程（2+5x）-（x-1）=7的解是-------- 8.若5a+0.25与5（x-0.25）的值互为相反数，则a的值为--------- 9,。解下列方程 （1）2（x-1）+4=0 （2）4-（3-x）=-2 （3）（x+1）-2(x-1)=1-3x (4)2(x-2)-6(x-1)=3（1-x） (5)2(0.3x+4)=5+5(0.2x-7) (6)8(1-x)-5(x-2)=4(2x+1) (7)4(x-1)-10(1-2x)=-3(2x+1) ( 8)2（x+3）-5（1-x）=3（x-1）

专题：一元二次方程的八种解法(后附答案)【精品】

专题：一元二次方程的八种解法 方法1 形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)时，用直接开平方法求解用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤： (1)看：看是否符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式； (2)化：对于不符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)形式的方程先化为符合的形式； (3)求：应用平方根的意义，将一元二次方程化为两个一元一次方程求解. 1．用直接开平方法解下列方程： (1)x2－25＝0; (2)4x2＝1； (3)81x2－25＝0； (4)(2y－3)2－64＝0； (5)3(x＋1)2＝1 3 ； (6)(3x＋2)2＝25； (7)(x＋1)2－4＝0; (8)(2－x)2－9＝0.

方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解用配方法解一元二次方程的“五步法” (1)移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项. (2)化1：当方程的二次项系数不为1时，在方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1. (3)配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x＋n)2＝p的形式. (4)开方：若p≥0，则两边直接开平方得到一元一次方程；若p＜0，则原方程无解. (5)求解：解所得到的一元一次方程，求出原方程的解. 2．用配方法解下列方程： (1)x2－2x－2＝0； (2)x2-10x+29=0; （3）x2+2x=2; (4)x2－6x＋1＝2x－15；

3.用配方法解下列方程： (1)3x 2 ＋6x －5＝0; (2)12 x 2－6x －7＝0. (3)x 2 ＋16x －13＝0； (4)2x 2－3x －6＝0； 方法3 能化成形如（x+a ）（x+b ）=0时，用因式分解法求解 用因式分解法解一元二次方程的“四步法” （“右化零，左分解，两因式，各求解”） 4.用因式分解法解下列方程： (1)x 2－8x ＝0； (2)5x 2＋20x ＋20＝0；

一元二次方程及其解法

第2课时 一元二次方程及其解法 一·基本概念理解 1 一元二次方程的定义： 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2 ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 2、一元二次方程的解法 （1）、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 直接开平方法适用于解形如 b a x =+2 )(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 （2）、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有2 22)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 （3）、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程 )0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式：

) 04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c （4）、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 （5）、韦达定理 若1x ，2x 是一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根，则 a b x x -=+21，a c x x =21。以上的就称为韦达定理（或称为根与系数的关系）利用 韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=a b -，二根之积 =a c 也可以表示为a b x x -=+21,a c x x =21。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用 3、一元二次方程根的判别式 根的判别式 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42 -叫做一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=?

九年级数学上册小专题(一) 一元二次方程的解法

编号：954555300022221782598333158 学校：战神市白虎镇禳灾村小学* 教师：战虎禳* 班级：战神参班* 专题(一)一元二次方程的解法 1．用直接开平方法解下列方程： (1)x2－16＝0； (2)3x2－27＝0； (3)(x－2)2＝9； (4)(2y－3)2＝16. 2．用配方法解下列方程： (1)x2－4x－1＝0； (2)2x2－4x－8＝0；

(3)3x2－6x＋4＝0； (4)2x2＋7x＋3＝0. 3．用公式法解下列方程： (1)x2－23x＋3＝0； (2)－3x2＋5x＋2＝0； (3)4x2＋3x－2＝0； (4)3x＝2(x＋1)(x－1)．

4．用因式分解法解下列方程： (1)x2－3x＝0； (2)(x－3)2－9＝0； (3)(3x－2)2＋(2－3x)＝0； (4)2(t－1)2＋8t＝0； (5)3x＋15＝－2x2－10x； (6)x2－3x＝(2－x)(x－3)． 5．用合适的方法解下列方程： (1)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；

(2)5(x －3)2＝x 2－9； (3)t 2－ 22t ＋18 ＝0. 参考答案 1.(1)移项，得x 2＝16，根据平方根的定义，得x ＝±4，即x 1＝4，x 2＝－4. (2)移项，得3x 2＝27，两边同除以3，得x 2＝9，根据平方根的定义，得x ＝±3，即x 1＝3，x 2＝－3. (3)根据平方根的定义，得x －2＝±3，即x 1＝5，x 2＝－1. (4)根据平方根的定义，得2y －3＝±4，即y 1＝72，y 2＝－12 . 2.(1)移项，得x 2－4x ＝1.配方，得x 2－4x ＋22＝1＋4，即(x －2)2＝5.直接开平方，得x －2＝±5，∴x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5. (2)移项，得2x 2－4x ＝8.两边都除以2，得x 2－2x ＝4.配方，得x 2－2x ＋1＝4＋1.∴(x －1)2＝5.∴x －1＝±5.∴x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5. (3)移项，得3x 2－6x ＝－4.二次项系数化为1，得x 2－2x ＝－43.配方，得x 2－2x ＋12＝－43＋12，即(x －1)2＝－13 .∵实数的平方不可能是负数，∴原方程无实数根． (4)移项，得2x 2＋7x ＝－3.方程两边同除以2，得x 2＋72x ＝－32.配方，得x 2＋72x ＋(74)2＝－32＋(74)2，即(x ＋74)2＝2516 .直接开平方，得x ＋74＝±54.∴x 1＝－12 ，x 2＝－3. 3.(1)∵a ＝1，b ＝－23，c ＝3，b 2－4ac ＝(－23)2－4×1×3＝0，∴x ＝－（－23）±02×1＝ 3.∴x 1＝x 2＝ 3. (2)方程的两边同乘－1，得3x 2－5x －2＝0.∵a ＝3，b ＝－5，c ＝－2，b 2－4ac ＝(－5)2－4×3×(－2)＝49>0，∴x ＝－（－5）±492×3 ＝5±76，∴x 1＝2，x 2＝－13. (3)a ＝4，b ＝3，c ＝－2.b 2－4ac ＝32－4×4×(－2)＝41>0.x ＝－3±412×4 ＝－3±418.∴x 1＝－3＋418，x 2＝－3－418. (4)将原方程化为一般形式，得2x 2－3x －2＝0.∵a ＝2，b ＝－3，c ＝－2，b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×(－ 2)＝11>0，∴x ＝3±1122 ＝6±224.∴x 1＝6＋224，x 2＝6－224.

201x版中考数学专题复习 专题二(11-1)一元二次方程的解法学案

2019版中考数学专题复习 专题二（11-1）一元二次方程的解法学 案 【学习目标】 掌握了解一元二次方程的四种方法以及各种解法的特点，会根据不同方程的特点选用恰当的方法，从而准确、快速地解一元二次方程. 【重点难点】 重点：掌握一元二次方程的四种解法及各种解法的特点. 难点：选择适当的方法解一元二次方程. 【知识回顾】 一．回顾练习 1.下列方程中，是一元二次方程的是( ) A.x 2 -1 =（x +2）2 B.（a -1)x 2+bx +c =0 C.3（x +1) 2=2x 2-5 D.2430x x +-= 2.方程2x －9＝0的解是（ ） A.x =3 B. x = -2 C.x =4.5 D.3x =± 3．用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是（ ） A.2(2)2x -= B.2(2)2x += C.2(2)2x -=- D ．2 (2)6x -= 4．解一元二次方程5x （x -3）＝3（x -3），最简单的方法是（ ） A.配方法 B.公式法 C .因式分解法 D.都行 5. 方程x 2-4x +4=0根的情况是（ ） A.两个不相等的实数根 B.两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 6.若一元二次方程02=++c bx ax 的两实数根为x 1 、x 2，则有x 1 +x 2＝ ，x 1 ·x 2＝ 7.解方程. (1) 422=x (2)0542 =--x x 【综合运用】 1.若关于x 的一元二次方程kx 2+4x +4=0有两个实数根，则k 的取值是

2.已知m 是方程x 2-x -2=0的一个根，那么代数式m 2-m = . 3.你认为下列方程选择怎样的方法比较合适. (1) 5x 2-45=0 (2)x 2+2x -1=0 (3)3x 2=2x (4)x 2 -2x +2 1=0 4.当m 时，方程mx 2-3x =2x 2-mx +2 是一元二次方程. 当m___时，方程(m 2- 4)x 2-(m +2)x -3=0是一元一次方程. 5.用配方法证明，不论x 取任何实数时，代数式x 2-5x+7的值总大于0，再求出当x 取何值时，代数式的值最小？最小值是多少？ 6.已知关于x 的一元二次方程 01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A.43> m B ．43≥m C ．43>m 且2≠m D ．4 3≥m 且2≠m | 7.若(x 2+y 2)2-4(x 2+y 2)-5=0, 则x 2+y 2=___ 8.解方程 (1) （x -2)(3x -5)=1 (2)4222 +=+x x ）（ 【直击中考】 1.方程(m +1)122--m m x +7x -m =0是一元二次方程，则m = ． 2.若关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+5x +m 2-3m +2=0的常数项为0，则m 等于（ ） A.1 B.2 C.1或2 D.0 3.三角形两边长分别是6和8，第三边长是x 2-16x +60=0的一个实数根，求该三角形的第三条边长和周长.

人教版数学九年级上册：专题训练(二) 一元二次方程的解法 同步练习(附答案)

专题训练一元二次方程的解法 ?方法一形如(mx＋n)2＝p(m≠0，p≥0)的一元二次方程可用直接开平方法 1．若8x2－16＝0，则x的值是________． 2．一元二次方程(x＋3)2－4＝0的根为______________________________________．3．方程2(x＋3)2＝8的解是() A．x1＝2，x2＝－2 B．x1＝5，x2＝1 C．x1＝－1，x2＝－5 D．x1＝1，x2＝－7 4．用直接开平方法解下列方程： (1)3x2－1＝5；(2)4(x－1)2－9＝0. ?方法二二次项系数为1，且一次项系数为偶数的一元二次方程，用配方法求解较简便 5．用配方法解方程x2＋6x－5＝0，配方结果正确的是() A．(x＋3)2＝14 B．(x－3)2＝14 C．(x＋3)2＝4 D．(x－3)2＝4 6．用配方法解一元二次方程x2－6x－4＝0，下列变形正确的是() A．(x－6)2＝－4＋36 B．(x－6)2＝4＋36 C．(x－3)2＝－4＋9 D．(x－3)2＝4＋9 7．一元二次方程x2－8x＝48可表示成(x－a)2＝48＋b的形式，则a＋b的值为() A．20 B．12 C．－12 D．－20 8．用配方法将二次三项式a2－4a＋3变形，结果是() A．(a－2)2－1 B．(a＋2)2－1 C．(a＋2)2－3 D．(a－2)2－6 9．用配方法解下列方程： (1)x2－6x＝7；(2)x2＋4x－5＝0.

?方法三易化成一般形式且系数的绝对值较小的一元二次方程，用公式法求解较简便 10．用公式法解下列方程： (1)2x2－6x－1＝0；(2)6x2－13x－5＝0； (3)x2－7x＝－5；(4)y(y－3)＝1. ?方法四一边是0且另一边又易分解成两个一次因式的积的一元二次方程，用因式分解法求解较简便 11．方程(x＋1)(x－3)＝0的解是() A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝－3 12．下列方程，适合用因式分解法求解的是() A．x2－4 2x＋1＝0 B．2x2＝x－3 C．(x－2)2＝3x－6 D．x2－10x－9＝0 13．方程(x＋2)(x－3)＝x＋2的解是__________________________________． 14．用因式分解法解下列方程： (1)(x－5)(x＋6)＝0；(2)2(x－3)＝3x(x－3)；(3)3(x－5)2＝2(x－5)．

一元二次方程的解法—公式法

课题：1.2一元二次方程的解法 (4) 班级 姓名 【学习目标】 1、会用公式法解一元二次方程. 2、用配方法推导一元二次方程的求根公式，明确运用公式求根的前提条件是b 2 －4ac ≥0． 【重点难点】 重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程。 难点：掌握一元二次方程的求根公式及代入时的符号问题. 【新知导学】 读一读：阅读课本P 14-P 16 想一想: 1. 用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 2. 用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 因为0a ≠，方程两边都除以a ，得 把常数项移到方程右边，得 配方，得 即2224()24b b ac x a a -+= 当 0≥时 ，2422b b ac x a a -+=± 即42b b ac x a -±-= 。 3.在上述配方过程中，若240b ac -≥＜ 0时，方程有实数根吗？ 练一练： 1.方程4-x 2=3x 中a= ，b= ，c= ， b 2-4ac= 2. 用公式法解方程0232 =+-x x 【新知归纳】 一般的，对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax

（1） 当_____________时，它的实数根是_________________.这个公式叫一元二次方程的求根 公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫公式法。 （2） 当_____________时，方程没有实数根。 【例题教学】 例1.用公式法解方程： （1）22330 x x -+= （2）x x 2322=- （3）a a a =-+)2)(2(51 （4）23(1)y y += 例2.已知y 1＝2x 2＋7x －1，y 2＝6x ＋2，当x 取何值时y 1＝y 2？ 【当堂训练】 1.用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是（ ） A.x=21214412-± B. x=2 1214412-±- C. x= 21214412+± D. x=64814412-± 2.用公式法解下列方程： （１）2220x x +-=； （２）2 30x x -=

一元二次方程的解法专题训练(精编文档).doc

【最新整理，下载后即可编辑】 一元二次方程的解法专题训练 1、因式分解法①移项：使方程右边为0 ②因式分解：将方程左边因式分解； 方法：一提，二套，三十字，四分组 ③由A?B=0，则A=0或B=0，解两个一元一次方程 2、开平方法( 2=a x 3、配方法①移项：左边只留二次项和一次项，右边为常数项 （移项要变号 ．．．．． ） ②同除：方程两边同除二次项系（每项都要除 ．．．．． ） ③配方：方程两边加上一次项系数一半的平方 ．．．．．．． ④开平方：注意别忘根号和正负 ⑤解方程：解两个一元一次方程 4、公式法 ①将方程化为一般式 ②写出a、b、c ③求出ac b4 2-， ④若b2-4ac＜0，则原方程无实数解 ⑤若b2-4ac＞0，则原方程有两个不相等的实数根， 代入公式x= 2 b a -±求解 ⑥若b2-4ac＝0，则原方程有两个相等的实数根，代 入公式 2 b x a =-求解。 例1、利用因式分解法解下列方程 (x－2) 2＝(2x-3)2 0 4 2= -x x3(1)33 x x x +=+ x2 x+3=0 ()()0 16 5 8 52= + - - -x x a x a x- = = 2 1 ()0 ( 2≥ = +a a b x 解两个一元一次方程 a b x± = +

例2、利用开平方法解下列方程 5 1 )1 2( 2 1 2= - y4（x-3）2=25 24 )2 3(2= + x 例3、利用配方法解下列方程 25220 x x -+=0 12 6 32= - -x x 10 7 2= + -x x 7x=4x2+2 例4、利用公式法解下列方程 －3x2＋22x－24＝0 2x（x－3）=x－ 3．3x2+5(2x+1)=0 解一元二次方程（因式分解法）练习 （一）基础测试：（每题3分，共18分） 1．x x5 2-因式分解结果为，)3 (5 )3 ( 2- - -x x x因式分 解结果为． 2．96 20 2- +x x因式分解结果为，0 96 20 2= - +x x的 根为． 3．一元二次方程(1) x x x -=的解是． 4．小华在解一元二次方程x2－4x=0时．只得出一个根是x=4, 则被他漏掉的一个根是x=____． 5．若关于x的方程250 x x k -+=的一个根是0，则另一个根 是． 6．经计算整式1+x与4-x的积为4 3 2- -x x,则0 4 3 2= - -x x的所 有根为（） A．4 ,1 2 1 - = - =x x B．4 ,1 2 1 = - =x x C．4 ,1 2 1 = =x x 399 2 2= - -x x