2013-2014(秋)线性代数期末考试试题(打印)

中国农业大学

2013~2014学年秋季学期

线性代数（B ）课程考试试题（2014.1）

注：本试卷共八页、八道大题，满分100分

一、填空题（本题满分15分，共5道小题，每道小题3分，少填、多填或填错均不得分）． 1．设A 为3阶方阵，且||2A =，A *为A 的伴随矩阵，T A 为A 的转置矩阵，则

1||T A A A *-= ．

2．A 为4阶方阵，且()3R A E +=，则A 的一个特征值为 ．

3．已知向量组()11,2,1T

α=-，()22,0,T

t α=，()30,4,5T

α=-线性相关，则t = ．

4．已知三阶方阵112224336A ??

?= ?

???

，*A 为A 的伴随矩阵，则*A 的伴随矩阵**()A = ． 5．二次型112312323123(,,)(,,)246123x f x x x x x x x x ??

?? ?

?= ? ? ? ?????

的秩为 ．

二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分．以下每道题有四个答案，

其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效．） 1. 3阶方阵()123,,A ααα=，且12324ααα=+，则A 的行列式A =【 】．

(A) 2； (B) 3； (C) 4； (D) 0．

2. 设2002

0231

A a -?? ?

= ? ??

?与1000

2

000

2B -?? ?= ? ?-?

?

相似，则a =【 】． (A) 0； (B) 2； (C) 1； (D) 3．

3．若n 维列向量α为n 阶方阵A 的一个特征向量，n 阶方阵P 可逆，则1P AP -的一个特征向量为【 】．

考生诚信承诺

1． 本人清楚学校关于考试管理、考场规则、考试作弊处理的规定，并严格遵照执行． 2． 本人承诺在考试过程中没有作弊行为，所做试卷的内容真实可信．

学院： 班级： 学号： 姓名： 4．设4阶方阵A 的秩()2R A =， 123,,ααα是非齐次线性方程组Ax b =的三个线性无关的解向量，则Ax b =的通解不可以表示为【 】（,12c c 为任意实数）．

(A) ()()1121212c c ααααα+-+-； (B) ()()2131223c c ααααα+-+-； (C) ()()1113223c c ααααα+-+-； (D) ()()2112223c c ααααα+-+-． 5．设矩阵 A 、B 、C 均为n 阶方阵，若AB C =，且B 可逆，以下正确的是【 】．

(A) 矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价； (B) 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价； (C) 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价； (D) 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价． 三、（本题满分14分）

1. 计算行列式1111

2345

49162582764125

；

2. 证明n阶行列式

2

2

2

2

2

21000

2100

02100

(1)

00210

00021

00002

n n

a

a a

a a

D n a

a a

a a

a a

==+

．

学院：班级：学号：姓名：

四、（本题满分12分）已知n阶方阵A、B满足2,2

A A A

B AB E

=--=，E为n阶单位矩阵，（1）证明A B

-可逆；

（2）当

100

031

062

A

??

?

=-

?

?

-

??

时，求B．

五、（本题满分12分）若向量(2,1,1)T a β=+能被向量组12(1,0,3),(1,1,),T T a αα==-

3(1,1,6)T a α=-线性表示，

（1）求a 的值；

（2）求β由123,,ααα线性表出的一般表达式．

学院：班级：学号：姓名：

六、（本题满分12分）已知3是矩阵

0100

1000

001

0012

A

a

??

?

?

=

?

?

?

??

的特征值，

（1）求a的值；

（2）求正交矩阵C，使T

C AC为对角矩阵，并写出该对角阵．

七、（本题满分10分）二次型22123112233112233(,,)2()()f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，令

()()123123,,,,,T T

a a a

b b b αβ==，

（1）证明二次型123(,,)f x x x 对应的矩阵为2T T ααββ+；

（2）若,αβ正交且均为3维单位列向量，证明二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Cy =下的标

准形为 22

12

2y y +．

学院： 班级： 学号： 姓名： 八、（本题满分10分）

（1）（6分）设A 为3阶方阵，1α，2α为A 的分别属于特征值1-，1的特征向量，向量3α

满足323A ααα=+，证明,,123ααα线性无关；

（2）（4分）设A 为n 阶正定矩阵，E 为n 阶单位矩阵，证明1A E +>．