工程光学课后答案(12 13 15章)1
1λ十二 十三 十五
第十二章 习题及答案
１。双缝间距为１mm ，离观察屏１m ，用钠灯做光源，它发出两种波长的单色光 =589.0nm 和2λ=589.6nm ，问两种单色光的第10级这条纹之间的间距是多少？
解：由杨氏双缝干涉公式，亮条纹时：
d D
m λα=
（m=0, ±1, ±2···）
m=10时，
nm
x 89.51
1000105891061=???=-，
nm
x 896.511000106.5891062=???=- m x x x μ612=-=?
２。在杨氏实验中，两小孔距离为1mm ，观察屏离小孔的距离为50cm ，当用一
片折射率 1.58的透明薄片帖住其中一个小孔时发现屏上的条纹系统移动了0.5cm ，试决定试件厚度。
2
1r r l n =+??2
2212?
??
???-+=x d D r 2
2
2
2
2?
?
?
???++=x d D r x d x d x d r r r r ??=??
?
???--??? ???+=
+-222))((2
2
1212mm r r d x r r 22112105005
12-=?≈+??=
-∴ ,
mm l mm l 2
210724.110)158.1(--?=?∴=?- 3.一个长30mm 的充以空气的气室置于杨氏装置中的一个小孔前，在观察屏上观
察到稳定的干涉条纹系。继后抽去气室中的空气，注入某种气体，发现条纹系移动了２５个条纹，已知照明光波波长λ=656.28nm,空气折射率为000276
.10=n 。
试求注入气室内气体的折射率。
0008229.10005469.0000276.130
1028.6562525)(6
00=+=??=
-=-?-n n n n n l λ
４。垂直入射的平面波通过折射率为n 的玻璃板，透射光经透镜会聚到焦点上。玻璃板的厚度沿着C 点且垂直于图面的直线发生光波波长量级的突变d,问d 为多少时焦点光强是玻璃板无突变时光强的一半。
解：将通过玻璃板左右两部分的光强设为0
I ,当没有突
变d 时，
00004cos 2)(,0I k I I I I p I =???++==?
当有突变d 时d n )1('-=?
)
2
1()1(2)412(
1)
2,1,0(,2
)1(20'cos )(2
1
)(''cos 22'cos 2)('000000+-=+-=
±±=+
=-=?∴=?+=?++=m n m n d m m d n k p I p I k I I k I I I I p I λλ
π
πλ
π
６。若光波的波长为λ，波长宽度为λ?，相应的频率和频率宽度记为γ和γ?，
证明：λλ
νν
?=?，对于λ＝632.8nm 氦氖激光，波长宽度nm 8102-?=?λ，求
频率宽度和相干
长度。 解：
γ
γ
λ
λ
γγγγγ
λλ?=
?∴????
???-=???? ???-=?==C C D C CT 2
,/
当λ＝632.8nm 时
Hz Hz
c
4814
149
8105.18.6321021074.41074.48.63210103?=???=?∴?=??=??==-γλλγγλγ
相干长度 )(02.20102)8.632(8
2
2max km =?=≈?-λλ
７。直径为0.1mm 的一段钨丝用作杨氏实验的光源，为使横向相干宽度大于
1mm ，双孔必须与灯相距多远？
mm d b l l
d b b c c c 182105501011.0,9
6
=???=?=∴=?
=?--λλλβ 8。在等倾干涉实验中，若照明光波的波长nm 600=λ，
平板的厚度h=2mm ，折射率n=1.5，其下表面涂高折射率介质（n>1.5），问（1）
在反射光方向观察到的贺条纹中心是暗还是亮？（2）由中心向外计算，第10个亮纹的半径是多少？（观察望远镜物镜的焦距为20cm ） （3）第10个亮环处的条纹间距是多少？
解：（1）因为平板下表面有高折射率膜，所以2cos 2nh Δ??=
4
46
0210 1016001066006625.121cos 应为亮条纹，级次为＝＝＝时，中心当－∴??==?
=???=nm mm m mm
λ?
)
(67.0 )(00336.0012067.02600
5.1'2 )3()
4.13067.020 843
.3)(067.011026005.11'1 2106
1216
1mm R rad h n n mm R rad q q N h n n N o
N ＝＝
（＝）（?=????=?=?==+??=+-≈
θλθλθ
注意点：（1）平板的下表面镀高折射率介质
(2) 10≤ 当中心是亮纹时q=1 当中心是暗纹时q=0.5 其它情况时为一个分数 b d 有半波损失 也有半波损失 光程差22nhcos θ＝? 9。用氦氖激光照明迈克尔逊干涉仪，通过望远镜看到视场内有20个暗环，且中心是暗斑。然后移动反射镜M1，看到环条纹收缩，并且一一在中心消失了20个环，此时视场内只有10个暗环，试求（1）M1移动前中心暗斑的干涉级次（设干涉仪分光板G1不镀膜）; （2）M1移动后第5个暗环的角半径。 解： λλλλ λ θθλ θλ θ10,20 102 202 10 10 10205 .0 5.10 11 1 5 .0 5.20 11 1)1(21221221'11222 1111 1==?=? =?=-=?====+-==+-=h h N h h h h h h h h q N q N h n n M q N q N h n n M N N N N 解得＝得又，，’’镜移动后在，＝，’镜移动前在 )(707.05205.015.51'1 )2(5.40 5.4022022211001rad q N h n n m m nh N ==+-+-==∴?==+=?λ λλθλλ λλλ＝＋ 本题分析：1。视场中看到的不是全部条纹，视场有限 2。两个变化过程中，不变量是视场大小，即角半径不变 3。条纹的级次问题： 亮条纹均为整数级次，暗条纹均与之相差0.5，公式中以亮条纹记之 11.用等厚条纹测量玻璃楔板的楔角时,在长达5cm 的范围内共有15个亮纹,玻璃楔板的折射率n=1.52,所用光波波长为600nm,e e cm rad e n mm N l e 个个亮条纹相当于个条纹 范围内有注意 解1415 145 155:) (106.550 52.1214600/2 )( 1450:5=?=???==== -λα 12.图示的装置产生的等厚干涉条纹称牛顿环.证明 λN r R 2 = ,N 和r 分别表示第N 个暗纹和对应的暗纹半径. λ为照明光波波长,R 为球面曲率半径. 证明:由几何关系知, z λλ λ λ N r N h N R r h h h Rh h R R r 2 2 2 2222R (1) 22 ) 12(2 2h (1) 2 2)(= ?=+=+ =-=--=式得代入又得略去 14.长度为10厘米的柱面透镜一端与平面玻璃相接触,另一端与平面玻璃相隔0.1mm,透镜的曲率半径为1m.问:(1)在单色光垂直照射下看到的条纹形状怎样,由接触点向外计算,第N 个暗条纹到接500nm. )(25.0)500( 500N 2 500 20001000(2N (1)2 2 2)12(22 (2)(1) ---2000 1000210001 2|| ||||2)( 1000 1000 1 100011000.1(1):2 22 222 222mm N m x z N x z x N h N h N h z x R z x h R z y y y R y R R z mm x x kx y k =?≈- =+=?=?=+=+ =?=+=+== -=--=≤≤====μλλλ λλλ解得式得代入常数斜率解 15.假设照明迈克耳逊干涉仪的光源发出波长为1λ和2λ的两个单色光波, λ λλ?+=12, 1λ λ< 可见度作周期性变化.(1)试求条纹可见度随光程差的变化规律;(2)相继两次条纹消失时,平面镜M1移动的距离h ?;(3)对于钠灯,设nm nm 6.5892 ,0.5891==λλ均为单 色光,求h ?值. ? ?=∴????????++=? ?? ??????+=?? ?? ?????-??++=?? ??????????? ??-?????? ??++=?+?+=+==+=++=?++=++=?++=πλ λ δπλλπλ λλππλλλπλλλλπλπλπλπλ π λπλ π λλ π λ2cos cos 2cos 12 2cos 2cos B 2A 221cos 2212cos B 2A 221221cos 221221cos 22 ) 22cos 12(cos 2'2I '1I I 2 I 1I 2B 21A 22 2cos 212212cos 21221'2 2 212cos 212211cos 21221'1 1:A B k A B A B A B A I I h I I I I k I I I I I h I I I I k I I I I I 设的干涉光强的干涉光强解 ) (289.0589) (589.62589 589.6 (3)2 2 1 )2(2 12 2 2mm h h h m m k m m =-??= ??=??=?=?=?∴?=?∴=??λ λλδδδλλ δλλππλλ 得且令最大满足关系条纹 16.用泰曼干涉仪测量气体折射率.D1和D2是两个长度为10cm 的真空气室,端面分别与光束I 和II 垂直.在观察到单色光照明λ=589.3nm 产生的干涉条纹后,缓慢向气室D2充氧气,最后发现条纹 移动了92个,(1)计算氧气的折射率(2)若测量条纹精度为1/10条纹,示折射率的测量精度. 7 109465.2210102109 -10589.31 23.58910110cm h )2(000271 .12 1010292 9103.5891n 2589.39210cm 1)-( 2N n)h -(n (1):-?=-?????=??=??=-???-?+=∴?=??==?n nm nm n 氧氧氧解λ δ 17.红宝石激光棒两端面平等差为" 10,将其置于泰曼干涉仪的一支光路中,光波的波长为632.8nm,棒放入前,仪器调整为无干涉条纹,问应该看到间距多大的条纹?设红宝石棒的折射率n=1.76 () nm n h rad 32.416176.128 .632)1(2 10848.418060601010:5"=-?=-=??=??= =-λπ α解 n h 2 λ = ? 18.将一个波长稍小于600nm 的光波与一个波长为600nm 的光波在F-P 干涉仪上比较,当F-P 干涉仪两镜面间距改变1.5cm 时,两光波的条纹就重合一次,试求未知光波的波长. nm nm h m h m h h h m m m m h m h m h m h 599.880.12-600 0.12101.52(600)2 1.5mm 1 2 222 224 224 1cos ) ( cos 2 22cos 22:6 2 21212 1211222 2111====??=?=?=?=????=???=???? ??+-???? ??+=-=?=+=+?==?=+??λλλλλδλλλ δλ λλπ?λπ?λπ ?λπ λπ?λ π θλ θπ?θλ π λ代入上式得 时当有同理对即接近中心处时时引起的相位差为胸在金属内表面反射对应的条纹组为 解 关键是理解:每隔 1.5mm 重叠一次,是由于跃级重叠造成的.超过了自由光谱区范 围后,就会发生跃级重叠现象. 常见错误:未导出变化量与级次变化的关系,直接将h 代1.5mm 就是错误的. 19.F-P 标准具的间隔为2.5mm,问对于500nm 的光,条纹系中心的干涉级是是多少?如果照明光波包含波长500nm 和稍小于500的两种光波,它们的环条纹距离为1/100条纹间距,问未知光波的波长是多少? nm nm h e e m m nh 499.9995 10510 5.225001050010012 1000010510510500102.52 2:24 3 9 27 --3 9--3=?=?????=??=?=??=???==---λλλλ解 20.F-P 标准具的间隔为0.25mm,它产生的1λ谱线的干涉环系中的第2环和第5环的半径分别是2mm 和3.8mm, 2λ谱系的干涉环系中第2环和第5环的半径分别是2.1mm 和3.85mm.两谱线的平均波长为500nm,求两谱线的波长差. 透明薄片 nm nm nm nm f h q mm f q h n mm f q h n f h n q q mm f q h n f mm f q h n f q N h n n m nh I F I i t 1.42 28976.499500.71024 5002 1.002845 2.12 1.12721.072 :(6)(3)(6) 1.2'n 1.1272 (4)0.2706q' 58.3.12'4'q 1 :)5()4()5(85.3''4''(4) 1.2''1'(3) 2'072 .1 )1(1494.0 8.324q 1 :)2()1()2(8.3'4''(1) 2'1'' 1'1 cos 2 ,2)1,0,(m 2m sin 11 ,:2 1212 1212 21521221 11511211N 22 2=????===+===?==++?????? ?=?+==?+==?==++?????? ?=?+=?=?+=?+-≈ =+?=?±±==+= λλλλλλλλλλλθλθλλλθλθλλ θλθπδλδ 联立得又知整理得式可写成有对于式可写成有对于时对应亮条纹即对应亮条纹时当考虑透射光对于多光束干涉解 21.F-P 标准具两镜面的间隔为1cm,在其两侧各放一个焦距为15cm 的准直透镜L1和会聚透镜L2.直径为1cm 的光源(中心在光轴上)置于L1的焦平面上,光源为波长589.3nm 的单色光;空气折射率为1.(1)计算L2焦点处的干涉级次,在L2的焦面上能看到多少个亮条纹?其中半径最大条纹的干涉级和半径是多少?(2)若将一片折射率为1.5,厚为0.5mm 的透明薄片插入其间至一半位置,干涉环条纹应该怎么变化? 19N 33920)1( 33938 33920 5.03 .589cos 101025.0cos 2 2cos 2 90986.13015' 18 N 3.4 5 :11611＝＝＝中心为亮斑 解边缘?=--==+??=+?==+??=====?N m m nh m m nh rad f mm o N N θ λθλθθθα 2 mm 301 1 mm 3025。有一干涉滤光片间隔层的厚度为mm 4 102-?，折射率n=1.5。求（1）正入射 时滤光片在可见区内的中心波长;（2）9.0=ρ时透射带的波长半宽度;（3）倾斜入射时，入射角分别为o 10和o 30时的透射光波长。 nm m m m nm m m m m nh n n nm nh nm m nm m m m nh c o c o c o c o o o o o c c 68969.5651 68969.56547.19cos 60030 96325.5951 96325.59565.6cos 10225.1210 cos 2 47.1930 65.610 sin sin sin sin 3 209 .0101025.1260012 )2( 6001 600 101025.122 142221 221642 264=======????=∴=== ?==?????=-??===????==---λλλλλθθθθθθθπρρπλλλλ时角入射时时角入射时得 由公式＝时折射角为入射角为时折射角为入射角为）（＝时）正入射时解（ 注意:光程差公式中的2θ是折射角,已知入射角应变为折射角. 第十三章习题解答 波长nm 500=λ的单色光垂直入射到边长为3cm 的方孔，在光轴（它通过孔中心 并垂直方孔平面）附近离孔z 处观察衍射，试求出夫琅和费衍射区的大致 范围。 解： 夫琅和费衍射应满足条件 π <<+1 max 21212)(Z y x k ) (900)(50021092)(2)(7 2max 2121max 21211m cm a y x y x k Z =??==+=+>λλπ 波长为500nm 的平行光垂直照射在宽度为0.025mm 的单逢上，以焦距为50cm 的会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求（1）衍射图样中央亮纹的半宽度；（2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（一亮纹和第二亮纹相对于中央亮纹的强度。 解： 2 0sin ? ?? ??=ααI I θλπαs i n 22a f y ka kal ?=?== （1） )(02.010025.0500 6 rad a =?= = ?λ θ )(10rad d = （2）亮纹方程为αα=tg 。 满足此方程的第一次极大 第 二 πα459 .22= x a k l a θλπαs i n 2??== a x πλαθ=sin 一级次极大)(0286.010025.043.1500sin 6 rad x x =???=≈ππ θθ ()mm x 3.141= 二级次极大 )(04918.010025.0459.2500sin 6 rad x x =???= ≈ππ θθ ()mm x 59.241= （3）0472 .043.143.1sin sin 2 2 01=??? ??=??? ??=ππααI I 01648 .0459.2459.2s i n s i n 2 202=??? ??=??? ??=ππααI I 10．若望远镜能分辨角距离为 rad 7103-?的两颗星，它的物镜的最小直径是多少？同时为了充分利用望远镜的分辨率，望远镜应有多大的放大率？ 解：D λ θ22.10= )(24.21031055022.17 9m D =???=-- ? -=?????= ' '= Γ969 310180606060067π? 11． 若要使照相机感光胶片能分辨m μ2线距，（1）感光胶片的分辨率至少是 没毫米多少线；（2）照相机镜头的相对孔径 f D 至少是多大？（设光波波长 550nm ） 解：)(5001021 3 mm N 线=?=- 3355.01490=≈ 'N f D 12． 一台显微镜的数值孔径为0。85，问（1）它用于波长nm 400=λ时的最小分辨距离是多少？（2）若利用油浸物镜使数值孔径增大到1.45,分辨率提高了多少倍？（3）显微镜的放大率应该设计成多大？（设人眼的最小分辨率是1'） 解：（1） )(287.085.0400 61.061.0m NA μλε=?== （2） )(168.045.1400 61.061.0m NA μλε=?== ' 706.185.045.1=='εε （3）设人眼在250mm 明视距离初观察 )(72.72250180601 m y μπ=??=' 430168.072.72≈='= y y β 430==Γβ 13． 在双逢夫琅和费实验中，所用的光波波长nm 8.632=λ，透镜焦距cm f 50=,观察到两相临亮条纹间的距离mm e 5.1=，并且第4级亮纹缺级。试求：（1）双逢的逢距和逢宽；（2）第1，2，3级亮纹的相对强度。 解：(1) λθm d =?sin )2,1,0(???±±=m 又f x =θsin f d m x λ=∴ f d e λ= ) (21.05005.1108.6326 mm e f d =??==∴-λ )(1a d n ?=μ 将???==14 1n μ代入得 41 )(053.04=?== d a mm d a （2）当m=1时 d λ θ= 1s i n 当m=2时 d λ θ2s i n 2= 当m=3时 d λθ3s i n 3= 代入单缝衍射公式 2 02)s i n ( β β I N I = θλπ βs i n a ?= ∴ 当m=1时 81.0)4(21)() (sin sin 2222 201===??? ?????? ???=πππλλπλλπd a d a d a d a I I 当m=2时 405.0)42(122s i n 22 202==??? ??? ?? ??=πππd a d a I I 当m=3时 09.04343sin 2203=??? ????? ??=ππI I 15． 一块光栅的宽度为10cm ,每毫米内有500条逢，光栅后面放置的透镜焦距为500nm 。问：（1）它产生的波长nm 8.632=λ的单色光的1级和2级谱线的半宽度是多少？（2）若入射光线是波长为632.8nm 和波长与之相差0.5nm 的两种 单色光，它们的1级和2级谱线之间的距离是多少？ 解： )(1025001 3mm d -?== 4 105500100?=?=N 由光栅方程 λθm d =sin 知 3164.0101028 .632sin 6 31=??= = -d λ θ ，9486.0cos 1=θ 6328.02s i n 2== d λ θ ，774.0cos 2=θ 这里的1θ，2θ确定了谱线的位置 （1） θλ θcos Nd = ?（此公式即为半角公式） )(1067.69486 .010******* .632cos 66 341 1rad Nd --?=?????= = ?θλ θ )(1017.8774 .01021058.632cos 6 3 42 2rad Nd -?=????= = ?θλ θ )(1034.33 11mm f dl -?=?=θ )(1008.43 22mm f dl -?=?=θ （2）由公式 θλcos d m f d dl ? =（此公式为线色散公式） 可得 )(131.09486.01021 500105.0cos 13 611mm d f d dl =?????=? ?=--θλ )(32.0774.01022 500105.0cos 23 622mm d f d dl =?????=? ?=--θλ 16． 设计一块光栅，要求：（1）使波长nm 600=λ的第二级谱线的衍射角 30≤θ， （2）色散尽可能大，（3）第三级谱线缺级，（4）在波长nm 600=λ的第二级谱线处能分辨0.02nm 的波长差。在选定光栅的参数后，问在透镜的焦面上只可能看到波长600nm 的几条谱线？ 解：设光栅参数 逢宽a ，间隔为d 由光栅方程 λθm d =s i n nm nm m d 2400216002sin =?≥= θ λ 由于θλθcos d m d d = 若使 λθ d d 尽可能大，则d 应该尽可能小 nm d 2400=∴ ??? ??=n m a d nm d a 80031==∴ 115000 02.02600 =?= ??= ?= ?λλ λ λm N mN 4 6002400 sin ===λθ d m ∴ 能看到5条谱线 19． 有多逢衍射屏如图所示，逢数为2N ，逢宽为a ，逢间不透明部分的宽度依次为a 和3a 。试求正入射情况下，度分布公式。 解：将多逢图案看成两组各为N 条，相距d=6a λθm d =?=?sin 2 222 0sin sin sin )(?????????? ??=δδααN I p I θλπαs i n a = 其中 α θλ π θλ π θλ π δ12sin 12sin 62sin 2=?= ??= = a a d 代入得 2 2 06sin 6sin sin )(? ?? ????? ??=ααααN I p I 两组光强分布相差的光程差θsin 2a =?' θ λ π δsin 4a = ' ?'?++=k I I I I I cos 22121 ()22c o s )(4c o s 1)(2δ' ?=?'+=p I k p I ? ?? ???=θλπs i n 2c o s )(42a p I 将θλπθαsin 2sin a ka ?== 及 2 206sin 6sin sin )(??? ????? ??=ααααN I p I 代入上式 ααααα2cos 6sin 6sin sin 422 2 0??????? ? ? ??=N I I [解法I] 按照最初的多逢衍射关系推导 设最边上一个单逢的夫琅和费衍射图样是： ??? ??= ααsin )(~ A p E 其中 θλπ αsin 2?== a kma 1d 对应的光程差为： θsin 11d =? α λ π θδ42s i n 21=? ?=a 2d 对应的光程差为： θsin 22d =? α λ π θδ82s i n 42=? ?=a [∑+-???+++??? ? ?=ααααα12)1(ex p )24(ex p )12(ex p 1sin )(~ N i i i A p E ()]αααα12)1(ex p )24(ex p )12(ex p 1)4(ex p -+???+++N i i i i [])12(ex p 1)]12(ex p[1)4(ex p 1sin αααααi iN i A --? +??? ??= []? ?? ?? --?? ? ??--?+?? ? ??=2)12(ex p 2)12(ex p 6ex p 2)12(ex p 2)12(ex p 2)12(ex p )4(ex p 1sin αααααααααi i i iN iN iN i A []ααααααααα6s i n 6s i n )6(e xp )6(e xp )2(e xp )2(e xp )2(e xp s i n N i N i i i i A ?--??? ??= αααααα)46(e xp 6s i n 6s i n 2c o s s i n 2-??? ??=N i N A 2 206sin 2cos sin ??? ??? ? ? ???=αααααN I I [解法II] N 组双逢衍射光强的叠加 设 θλ π αsin ?= a a d 2= θθs i n 2s i n ?=?=?a d α θλπ δ4s i n 22=?=?=a k ()δααi A p E e xp 1s i n )(~+??? ??= ??? ??+-??? ??=2e xp 2e xp 2e xp s i n δδδααi i i A 2e xp 2c o s s i n 2δδααi A ? ?? ??= αααα2e x p 2c o s s i n 2i A ??? ??= N 组)(~p E 相叠加 d=6a θsin 62a =? αδ122= []∑-???+++=ααα12)1(exp )24(exp )12(exp 1)(~)(~N i i i p E p E αααααα6s i n 6s i n 2)12(exp 2) 12(exp )(~)12(exp 1)12(exp 1)(~N i iN p E i iN p E ? =--= αααααα)46(e xp 6s i n 6s i n 2c o s s i n 2-??? ??=N i N A 2 206sin 2cos sin ? ?? ????? ???=αααααN I I 20． 一块闪耀光栅宽260mm ，每毫米有300个刻槽，闪耀角为2177' 。（1）求 光束垂直于槽面入射时，对于波长nm 500=λ的光的分辨本领；（2）光栅的自由光谱范围多大？（3）试同空气间隔为1cm ，精细度为25的法布里?珀罗标准具的分辨本领和光谱范围做一比较。 解：光栅常数? ?? ?? ?==?=?=-)(10333.33001108.73002603 4mm d N 由λγm d =sin 2解得 13105003002177sin 2sin 26=??'== - λ γ d m 6410014.1108.713?=??=?=N m A （2） )(46.3813500nm nm m == = ?λ λ （3）λm nh =2 4 6 10450010102?=??=m 5 4107.92510497.097.0?=???==ms A d ) (0125.01012500 5002)(72 .nm h R S =???= = ?λλ 结论：此闪耀光栅的分辨率略高于F-P 标准量，但其自由光谱区范围远大于F-P 标准量。 21． 一透射式阶梯光栅由20块折射率相等、厚度相等的玻璃平板平行呈阶梯状叠成，板厚t=1cm ，玻璃折射率n=1.5，阶梯高度d=0.1cm 。以波长nm 500=λ的单色光垂直照射，试计算（1）入射光方向上干涉主极大的级数；（2）光栅的角色散和分辨本领（假定玻璃折射率不随波长变化）。 解：（１）λθm d t n =+-=?sin )1( （＊） 将5.1=n cm t 1= cm d 1.0= 0=θ 代入上式 得： 4 10=m （２）对（＊）式两边进行微分： λθθd m d d ?=??c o s () mm rad d m d m d d 27410101.010cos -=?=≈=θλθ 5102?==?= mN A λλ 23． 在宽度为b 的狭逢上放一折射率为n 、折射棱角为α的小光楔，由平面单色波垂直照射，求夫琅和费衍射图样的光强分布及中央零级极大和极小的方向。 解：将该光楔分成N 个部分，近似看成是一个由N 条逢构成的阶梯光栅。则逢宽为N b ，间隔为 N b 。 由多逢衍射公式： 2 202sin 2sin sin ? ?? ?????????? ??=δδααN I I 其中 I 为一个 N b 宽的逢产生的最大光强值 θλπαs i n 2??== N b k l a ［a 为逢宽，θ ??? ???+-= ?= θαλπλ πδs i n )1(22N b N b n []θαλπs i n )1(2+-?= n N b 代入上式得： [][]??????+-??? ???+-??? ??? ?? ??=θαλπθαλπθλπθ λπsin )1(sin sin )1(sin sin sin sin 2 0n N b n b N b N b I I 当∞→N 时 0 s i n →?θλπN b 1s i n s i n s i n 2 →????? ? ??????∴θλπθλπN b N b [][]θαλπθαλπs i n )1(s i n )1(s i n +-≈+-n N b n N b [][]2 02 s i n )1(s i n )1(s i n ??????? ???+-+-=θαλπ θαλ π n b n b I N I 单逢衍射发生了平移。 第十五章习题答案 1．一束自然光以o 30角入射到玻璃和空气界面 玻璃的折射率n=1.54，试计算： （1）反射光的偏振度 （2）玻璃空气界面的布儒斯特角 （3）以布儒斯特角入射时透射光的振幅。 解：（1）∵1n sin 1θ=22sin θn 2s i n θ=1.54x 21 =0.77 35.5077.0arcsin ==θ s r s A A r 1'1= =-)sin()sin(2121θθθθ+-＝9858.03478 .0＝0.352792 设入射光强为 op os I I I +=0 ∴os s s s I A A I 2 1'1' )(==0.12446os I =0.06223os I =0.06223o I p p p A A r 1'1= =)()(2121θθθθ+-tg tg =-8811.53709 .0=-0.063066 'p I =2 1'1?? ?? ??p p A A op I =3.9773x 310-op I =1.98866x 310-o I p=≈ 0642187.00602413 .094% (2）tg 54.11 = p θ 。 9977.32=∴p θ≈o 33＝1θ o 33sin 54.1sin 2?=θ o 572=∴θ (3) 4067 .1) sin(sin cos 2212 1=+= θθθθs t )c o s ()s i n (c o s s i n 221211 2θθθθθθ-+=p t =o o o o 24cos 90sin 57sin 33cos 2=1.54 p=%941.154.141.154.12 22 2min max min max ≈+-=+-I I I I 2.自然光以B θ入射到10片玻璃片叠成的玻璃堆上，求透射的偏振度。 解:) sin(sin cos 2212 1θθθθ+= s t ① )c o s ()s i n (c o s s i n 221211 2θθθθθθ-+= p t ② 2sin sin θθn B = n tg B =θ o B 3.56=θ o 7.332=θ 在光线入射到上表面上时 o B 3.561==θθ o 7.332=θ 代入①②式得 ==o o s t 90sin 7.33sin 3.56cos 20.6157, o o p t 90sin 7.33sin 2==0.6669 光线射到下表面时 o 7.331=θ o 3.562=θ 384.16.22cos 3.56sin 7.33cos 2==o o o s t 4994.16.22cos 7.33cos 3.56sin 2==o o o p t 透过一块玻璃的系数： 8521 .0'=s t 999949.0'=p t 透过10块玻璃后的系数： 20179 .0''=s t 9994987.0''=p t % 920407 .09989977.00407 .09989977.02 ''2''2''2''=+-= +-= s p s p t t t t p 3.已知38.21=n ，38.12=n nm 8.632=λ 求 3 n 和膜层厚度。 解：（1） p o n n θsin 45sin 13= ① 1 2n n tg p = θ ② 由②式得 o p arctg 1.30)38.238.1(==θ 45sin .23=o n （2）膜层厚度应满足干涉加强条件 即： λ λ θm nh =+ =?2 cos 22 （m 为整数） 对于38.12=n 的膜层 有：221sin sin θθn n p = 代入数得o 87.592=θ 22 cos 221 θλn h = ＝o 87.59cos 38.128.6325.0??＝228.4(nm) 对于38.21=n 的膜层 )(83.761 .30cos 38.22218.632cos 2211nm n h o p =???==θλ 4.线偏振光垂直入射到一块光轴平行于界面的方解石晶体上，若光蕨量的方向与 晶体主截面成（1）o o o 60)3(45)2(30的夹角 求o 光和e 光从晶体透射出来后的强 度比？ 设光矢量方向与晶体主截面成θ角，入射光振幅为A ， 为Acos θ,o 光振幅为Asin θ.在晶体内部 o 光并不分开. 由 公式 1 2+= h t s , 第十一章 光的干涉和干涉系统 1． 双缝间距为1mm,离观察屏1m,用钠光灯做光源，它发出两种波长的单色光 nm 0.5891=λ和nm 6.5892=λ，问两种单色光的第十级亮条纹之间的间距是多 少？ 解：由题知两种波长光的条纹间距分别为 9 6 113 158910 5891010 D e m d λ---??= = =? 9 6 223 1589.610 589.61010 D e m d λ---??= = =? ∴第十级亮纹间距()()6 5 211010589.6589100.610e e m -?=-=?-?=? 2． 在杨氏实验中，两小孔距离为1mm,观察屏离小孔的距离为50cm,当用一片折射率为 1.58的透明薄片贴住其中一个小孔时（见图11-17），发现屏上的条纹系统移动了 0.5场面，试决定试件厚度。 解：设厚度为h ，则前后光程差为()1n h ?=- ()1x d n h D ??∴-= 2 3 0.510 10 0.580.5 h --??= 2 1.7210h mm -=? 3． 一个长30mm 的充以空气的气室置于杨氏装置中的一个小孔前，在观察屏上观察到 稳定的干涉条纹系。继后抽去气室中的空气，注入某种气体，发现条纹系移动了25个条纹，已知照明光波波长nm 28.656=λ，空气折射率000276.10=n 。试求注入气室内气体的折射率。 解：设气体折射率为n ，则光程差改变()0n n h ?=- 图11-47 习题2 图 ()02525x d d n n h e D D λ??∴-= =? = 9 025656.2810 1.000276 1.0008230.03 m n n h λ-??= += += 4． ** 垂直入射的平面波通过折射率为n 的玻璃板，投射光经投射会聚到焦点上。玻 璃板的厚度沿着C 点且垂直于图面（见图11-18）的直线发生光波波长量级的突变 d ，问d 为多少时，焦点光强是玻璃板无突变时光强的一半。 解：无突变时焦点光强为04I ，有突变时为02I ，设',.d D 2 00'4cos 2xd I I I D πλ== ()' 104xd m m D λ? ?∴?= =+≥ ?? ? 又()1n d ?=- 114d m n λ ? ?∴= + ?-?? 5． 若光波的波长为λ，波长宽度为λ?，相应的频率和频率宽度记为ν和ν?，证明 λ λ νν ?=?，对于nm 8.632=λ的氦氖激光，波长宽度nm 8 102-?=?λ，求频 率宽度和相干长度。 解：c λν= λ ν λ ν ??∴ = 对于632.8c nm λνλ =?= 8 9 8 4 18 21010 310 1.4981063 2.8632.810 c Hz λ λ ννλ λ λ ---??????∴?= ?= ? = =??? C 图11-18 第一章 3、一物体经针孔相机在屏上成一60mm大小得像,若将屏拉远50mm,则像得大小变为70mm,求屏到针孔得初始距离。 解:在同种均匀介质空间中光线直线传播,如果选定经过节点得光线则方向不变,令屏到针孔得初始距离为x,则可以根据三角形相似得出: 所以x=300mm 即屏到针孔得初始距离为300mm。 4、一厚度为200mm得平行平板玻璃(设n=1、5),下面放一直 径为1mm得金属片。若在玻璃板上盖一圆形得纸片,要求在玻璃板上方任何方向上都瞧不到该金属片,问纸片得最小直径应为多少？ 解:位于光纤入射端面,满足由空气入射到光纤芯中,应用折射定律则有: n0sinI1=n2sinI2 (1) 而当光束由光纤芯入射到包层得时候满足全反射,使得光束可以在光纤内传播,则有: (2) 由(1)式与(2)式联立得到n0、 16、一束平行细光束入射到一半径r=30mm、折射率n=1、5得玻璃球上,求其会聚点得位置。 如果在凸面镀反射膜,其会聚点应在何处？如果在凹面镀反射膜,则反射光束在玻璃中得会聚点又在何处？反射光束经前表面折射后,会聚点又在何处？说明各会聚点得虚实。 解:该题可以应用单个折射面得高斯公式来解决, 设凸面为第一面,凹面为第二面。 (1)首先考虑光束射入玻璃球第一面时得状态,使用高斯公 式: 会聚点位于第二面后15mm处。 (2) 将第一面镀膜,就相当于凸面镜 像位于第一面得右侧,只就 是延长线得交点,因此就是虚像。 还可以用β正负判断: (3)光线经过第一面折射:, 虚像 第二面镀膜,则: 得到: (4) 在经过第一面折射 物像相反为虚像。 18、一直径为400mm,折射率为1、5得玻璃球中有两个小气泡,一个位于球心,另一个位于1 ／2半径处。沿两气泡连线方向在球两边观察,问瞧到得气泡在何处？如果在水中观察,瞧到得气泡又在何处？ 解: 设一个气泡在中心处,另一个在第二面与中心之间。 (1)从第一面向第二面瞧 (2)从第二面向第一面瞧 (3)在水中 第十一章 光的干涉 1． 双缝间距为1mm,离观察屏1m,用钠光灯做光源，它发出两种波长的单色光 nm 0.5891=λ和nm 6.5892=λ，问两种单色光的第十级亮条纹之间的间距是多 少？ 解：由题知两种波长光的条纹间距分别为 ∴第十级亮纹间距()()65211010589.6589100.610e e m -?=-=?-?=? 2． 在杨氏实验中，两小孔距离为1mm,观察屏离小孔的距离为50cm,当用一片折射率为 1.58的透明薄片贴住其中一个小孔时（见图11-17），发现屏上的条纹系统移动了0.5场面，试决定试件厚度。 解：设厚度为h 3． 一个长30mm 定的干涉条纹系。继后抽去气室中的空气，注入某种气体，发现条纹系移动了25 解：设气体折射率为n ，则光程差改变0n n h ?=- 4． ** 垂直入射的平面波通过折射率为n 的玻璃板，投射光经投射会聚到焦点上。玻 璃板的厚度沿着C 点且垂直于图面（见图11-18）的直线发生光波波长量级的突变d ，问d 为多少时，焦点光强是玻璃板无突变时光强的一半。 解：无突变时焦点光强为04I ，有突变时为02I ，设',.d D 又 ()1n d ?=- 5． 若光波的波长为λ，波长宽度为λ?，相应的频率和频率宽度记为ν和ν?，证明 λλ ν ν ?= ?，对于nm 8.632=λ的氦氖激光，波长宽度nm 8 102-?=?λ，求频率宽度和相干长度。 解： c λν= λ ν λ ν ??∴ = 对于632.8c nm λνλ =?= 6． 直径为0.1mm 的一段钨丝用作杨氏实验的光源，为使横向相干宽度大于1mm ，双孔 必须与灯相距离多少？ 解：设钨灯波长为λ，则干涉孔径角bc λ β= 又∵横向相干宽度为1d mm = 图11-47 习题2 图 C 图11-18 第一章习题 1、已知真空中的光速c＝3 m/s，求光在水（n=1.333）、冕牌玻璃（n=1.51）、火石玻璃（n=1.65）、加拿大树胶（n=1.526）、金刚石（n=2.417）等介质中的光速。 解： 则当光在水中，n=1.333时，v=2.25 m/s, 当光在冕牌玻璃中，n=1.51时，v=1.99 m/s, 当光在火石玻璃中，n＝1.65时，v=1.82 m/s， 当光在加拿大树胶中，n=1.526时，v=1.97 m/s， 当光在金刚石中，n=2.417时，v=1.24 m/s。 2、一物体经针孔相机在屏上成一60mm大小的像，若将屏拉远50mm，则像的大小变为70mm,求屏到针孔的初始距离。 解：在同种均匀介质空间中光线直线传播，如果选定经过节点的光线则方向不变，令屏到针孔的初始距离为x，则 可以根据三角形相似得出： 所以x=300mm 即屏到针孔的初始距离为300mm。 3、一厚度为200mm的平行平板玻璃（设n=1.5），下面放一直径为1mm的金属片。若在玻璃板上盖一圆形纸片，要求在玻璃板上方任何方向上都看不到该金属片，问纸片最小直径应为多少？ 解：令纸片最小半径为x, 则根据全反射原理，光束由玻璃射向空气中时满足入射角度大于或等于全反射临界角时均会发生全反射，而这里正是由于这个原因导致在玻璃板上方看不到金属片。而全反射临界角求取方法为： (1) 其中n2=1, n1=1.5, 同时根据几何关系，利用平板厚度和纸片以及金属片的半径得到全反射临界角的计算方法为： (2) 联立（1）式和（2）式可以求出纸片最小直径x=179.385mm，所以纸片最小直径为358.77mm。 4、光纤芯的折射率为n1、包层的折射率为n2,光纤所在介质的折射率为n0，求光纤的数值孔径（即n0sinI1,其中I1为光在光纤内能以全反射方式传播时在入射端面的最大入射角）。 解：位于光纤入射端面，满足由空气入射到光纤芯中，应用折射定律则有： n0sinI1=n2sinI2 (1) 而当光束由光纤芯入射到包层的时候满足全反射，使得光束可以在光纤内传播，则有： 第一章 2、已知真空中的光速c ＝3*108m/s ，求光在水（n=1.333）、冕牌玻璃（n=1.51）、火石玻璃（n=1.65）、加拿大树胶（n=1.526）、金刚石（n=2.417）等介质中的 光速。 解： 则当光在水中，n=1.333 时，v=2.25*108m/s, 当光在冕牌玻璃中，n=1.51 时，v=1.99*108m/s, 当光在火石玻璃中，n ＝1.65 时，v=1.82*108m/s ， 当光在加拿大树胶中，n=1.526 时，v=1.97*108m/s ， 当光在金刚石中，n=2.417 时，v=1.24*108m/s 。 3、一物体经针孔相机在屏上成一60mm 大小的像，若将屏拉远50mm ，则像的大小变为70mm,求屏到针孔的初始距离。 解：在同种均匀介质空间中光线直线传播，如果选定经过节点的光线则方向 不变，令屏到针孔的初始距离为x ，则可以根据三角形相似得出： 所以x=300mm 即屏到针孔的初始距离为300mm 。 4、一厚度为200mm 的平行平板玻璃（设n=1.5），下面放一直径为1mm 的金属片。若在玻璃板上盖一圆形纸片，要求在玻璃板上方任何方向上都看不到该金属片，问纸片最小直径应为多少？ 解：令纸片最小半径为x, 则根据全反射原理，光束由玻璃射向空气中时满足入射角度大于或等于全反射临界角时均会发生全反射，而这里正是由于这个原因导致在玻璃板上方看不到金属片。而全反射临界角求取方法为： (1) 其中n2=1, n1=1.5, 同时根据几何关系，利用平板厚度和纸片以及金属片的半径得到全反射临界角的计算方法为： (2) 联立（1）式和（2）式可以求出纸片最小直径x=179.385mm ， 所以纸片最小直径为358.77mm 。 8、.光纤芯的折射率为1n ，包层的折射率为2n ，光纤所在介质的折射率为0n ，求光纤的数值孔径（即10sin I n ，其中1I 为光在光纤内能以全反射方式传播时在入射端面的最大入射角）。 解：位于光纤入射端面，满足由空气入射到光纤芯中，应用折射定律则有： n 0sinI 1=n 2sinI 2 (1) 而当光束由光纤芯入射到包层的时候满足全反射，使得光束可以在光纤内传播，则有： 工程光学习题解答(第1章) (1) (2) m/s (3) 光在冕牌玻璃中的速度：v=3×108/1.51=1.99×108 m/s (4) 光在火石玻璃中的速度：v=3×108/1.65=1.82×108 m/s (5) 光在加拿大树胶中的速度：v=3×108/1.526=1.97×108 m/s (6) 光在金刚石中的速度：v=3×108/2.417=1.24×108 m/s ＊背景资料：最初用于制造镜头的玻璃，就是普通窗户玻璃或酒瓶上的疙瘩，形状类似“冠”，皇冠玻璃或冕牌玻璃的名称由此而来。那时候的玻璃极不均匀，多泡沫。除了冕牌玻璃外还有另一种含铅量较多的燧石玻璃（也称火石玻璃）。 3．一物体经针孔相机在屏上成像的大小为60mm ，若将屏拉远50mm ，则像的大小变为70mm ，求屏到针孔的初始距离。 解： 706050=+l l ? l =300mm 6 57l 4．一厚度为200mm 的平行平板玻璃(设n=1.5)，下面放一直径为1mm 的金属片。若在玻璃板上盖一圆形纸片，要求在玻璃板上方任何方向上都看不到该金属片，问纸片最小直径应为多少? 解：本题是关于全反射条件的问题。若要在玻璃板上方看不到金属片，则纸片最小尺寸应能够挡住金属片边缘光线达到全反射的位置。 (1) 求α角：nsin α=n ’sin90 ? 1.5sin α=1 α=41.81? (2) 求厚度为h 、α=41.81?所对应的宽度l ： l =htg α=200×tg41.81?=179mm (3) 纸片最小直径：d min =d 金属片＋2l=1+179×2=359mm 5．试分析当光从光疏介质进入光密介质时，发生全反射的可能性。 6．证明光线通过平行玻璃平板时，出射光线与入射光线平行。 7．如图1-15所示，光线入射到一楔形光学元件上。已知楔角为α，折射率为n ，求光线经过该楔形光学元件后的偏角δ。 α 90h 第十章 光的电磁理论基础 解：（1）平面电磁波cos[2()]E A t c πν?=-+ 对应有14 62,10,,3102 A Hz m π ν?λ-=== =?。 （2）波传播方向沿z 轴，电矢量振动方向为y 轴。 （3）B E → → 与垂直，传播方向相同，∴0 By Bz == 814610[210()] z Bx CEy t π π===??-+ 解：（1）215 cos[2()]10cos[10()]0.65E A t t c c πν?π=-+=- ∴15 14 210510v Hz πνπν=?=? 72/2/0.65 3.910n k c m λππ-===? （2）8 714310 1.543.910510 n c c n v λν-?====??? 3.在与一平行光束垂直的方向上插入一片透明薄片，薄片的厚度0.01h mm =,折射率n=1.5, 若光波的波长为500nm λ=,试计算透明薄片插入前后所引起的光程和相位的变化。 解：光程变化为 (1)0.005n h mm ?= -= 相位变化为)(202500 10005.026 rad πππλδ=??= ? = 4. 地球表面每平方米接收到来自太阳光的功率为 1.33kw,试计算投射到地球表面的太阳光 的电场强度的大小。假设太阳光发出波长为600nm λ=的单色光。 解：∵2201 2 I cA ε= = ∴1 320 2()10/I A v m c ε= 5. 写出平面波8 100exp{[(234)1610]}E i x y z t =++-?的传播方向上的单位矢量0k 。 解：∵ exp[()]E A i k r t ω=- x y z k r k x k y k z ?=?+?+? 0000000000 2,3,4234x y z x y z k k k k k x k y k z x y z k x y z ===∴=?+?+?=++=+ 6. 一束线偏振光以45度角从空气入射到玻璃的界面，线偏振光的电矢量垂直于入射面，试 求反射系数和透射系数。设玻璃折射率为1.5。 解：由折射定律 1 2211221122111122sin sin cos 1.5cos cos 0.3034cos cos 22cos 0.6966cos cos s s n n n r n n n t n n θθθθθθθθθθ= =∴=--∴==-+===+ 7. 太阳光（自然光）以60度角入射到窗玻璃（n=1.5）上，试求太阳光的透射比。 解： 22 2221 2 1112222221 22 111212sin sin 212111.54cos 4sin cos 30.8231cos sin () 2 cos 4sin cos 0.998cos sin ()cos ()() 0.91 2 s p s p n n ocs n n n n θθθθθθτθθθθθθτθθθθθτττ==∴=??= ?==+=?=+-+∴= = 8. 光波以入射角1θ从折射率为1n 介质入射到折射率为2n 的介质，在两介质的表面上发生反 第^一章光的干涉 1. 双缝 间距为1mm 离观察屏 1m,用钠 光灯做光 源，它 发出两种 波长的单色 光 「=589.Onm 和 ^589.6nm ，问两种单色光的第十级亮条纹之间的间距是多 少？ 解：由题知两种波长光的条纹间距分别为 ???第十级亮纹间距.：-10 e 2 V-10 589.6-589 106 =0.6 10‘m 2. 在杨氏实验中，两小孔距离为 1mm 观察屏离小孔的距 离为 50cm,当用一片折射率为 1.58的透明薄片贴住其中一个小孔时（见图 11-17 ）,发现屏上的条纹系统移动了 0.5场面，试决定试件厚度。 入气室内气体的折射率。 解：设气体折射率为 n ,则光程差改变 厶=n-n 0 h 4. ** 垂直入射的平面波通过折射率为题2n 的玻璃板，投射光经投射会聚到焦点上。玻 璃板的厚 度沿着C 点且垂直于图面（见图11-18 ）的直线发生光波波长量级的突变 d , 问d 为多少时，焦点光强是玻璃板无突变时光强的一半。 解：无突变时焦点光强为"4l 0,j 突变时为 论10，设d',D. 解：设厚度为h ，则刖后光程差为 一个长30mm 的充以空气的气室置于杨氏装 定的干涉条纹系。继后抽去气室中的 气，注入某种气体，发现条纹系移动了 x 在观察屏上观察到稳 25 纭 =656.28nm ，空气折射率 ——D ---------------------------------- P 0 n 0 =1.000276。试求注 又:厶二 n —1)d 若光波的波长为九，波长宽度为 ■，相应的频率和频率宽度记为 > 和,证明 …，对于 -632.8nm 的氦氖激光，波长宽度"-2 10^nm ，求频 'I 图 11-18 率宽度和相干长度。 对于’=632.8 nm — -— 6. 直径为0.1mm 的一段钨丝用作杨氏实验的光源，为使横向相干宽度大于 必须与灯相距离多少？ 解：设钨灯波长为■，则干涉孔径角一： bc 1mm 双孔 又???横向相干宽度为 d =1mm 的一个小孔刖, 个条纹，已知照明光波-n R 1 第一章 几何光学基本定律 1. 已知真空中的光速c ＝38 10?m/s ，求光在水（n=1.333）、冕牌玻璃（n=1.51）、火石玻璃（n=1.65）、加拿大树胶（n=1.526）、金刚石（n=2.417）等介质中的光速。 解： 则当光在水中，n=1.333时，v=2.25 m/s, 当光在冕牌玻璃中，n=1.51时，v=1.99 m/s, 当光在火石玻璃中，n ＝1.65时，v=1.82 m/s ， 当光在加拿大树胶中，n=1.526时，v=1.97 m/s ， 当光在金刚石中，n=2.417时，v=1.24 m/s 。 2. 一物体经针孔相机在 屏上成一60mm 大小的像，若将屏拉远50mm ，则像的大小变为70mm,求屏到针孔的初始距离。 解：在同种均匀介质空间中光线直线传播，如果选定经过节点的光线则方向不变，令屏到针孔的初始距离为x ，则可以根据三角形相似得出： ,所以x=300mm 即屏到针孔的初始距离为300mm 。 3. 一厚度为200mm 的平行平板玻璃（设n =1.5），下面放一直径为1mm 的金属片。若在玻璃板上盖一圆形的纸片，要求在玻璃板上方任何方向上都看不到该金属片，问纸片的最小直径应为多少？ 2211sin sin I n I n = 66666.01 sin 2 2== n I 745356.066666.01cos 22=-=I 1mm I 1=90? n 1 n 2 200mm L I 2 x 88.178745356 .066666 .0* 200*2002===tgI x mm x L 77.35812=+= 4.光纤芯的折射率为1n ，包层的折射率为2n ，光纤所在介质的折射率为0n ，求光纤的数值孔径（即10sin I n ，其中1I 为光在光纤内能以全反射方式传播时在入射端面的最大入射角）。 解：位于光纤入射端面，满足由空气入射到光纤芯中，应用折射定律则有： n 0sinI 1=n 2sinI 2 (1) 而当光束由光纤芯入射到包层的时候满足全反射，使得光束可以在光纤内传播，则有： (2) 由（1）式和（2）式联立得到n 0 . 5. 一束平行细光束入射到一半径r=30mm 、折射率n=1.5的玻璃球上，求其会聚点的位置。如果在凸面镀反射膜，其会聚点应在何处？如果在凹面镀反射膜，则反射光束在玻璃中的会聚点又在何处？反射光束经前表面折射后，会聚点又在何处？说明各会聚点的虚实。 解：该题可以应用单个折射面的高斯公式来解决， 设凸面为第一面，凹面为第二面。 （1）首先考虑光束射入玻璃球第一面时的状态，使用高斯公式： 会聚点位于第二面后15mm 处。 （2） 将第一面镀膜，就相当于凸面镜 English Homework for Chapter 1 1.In ancient times the rectilinear propagation of light was used to measure the height of objects by comparing the length of their shadows with the length of the shadow of an object of known length. A staff 2m long when held erect casts a shadow 3.4m long, while a building’s shadow is 170m long. How tall is the building? Solution. According to the law of rectilinear propagation, we get, x=100 (m) So the building is 100m tall. 2.Light from a water medium with n=1.33 is incident upon a water -glass interface at an angle of 45o. The glass index is 1.50. What angle does the light make with the normal in the glass? Solution. According to the law of refraction, We get, So the light make 38.8o with the normal in the glass. 3. A goldfish swims 10cm from the side of a spherical bowl of water of radius 20cm. Where does the fish appear to be? Does it appear larger or smaller? Solution. According to the equation. and n ’=1 , n=1.33, r=-20 we can get So the fish appears larger. 4.32170= x ' 'sin sin I n I n =626968 .05.145 sin 33.1sin =?= 'ο I ο 8.38='I r n n l n l n -'=-''11416.110 133 .15836.8)(5836.81165.02033.01033.11>-=??-=''= -='∴-=--+-=-'+='l n l n cm l r n n l n l βΘn′=1.50 n=1.33 water 45o I′ A 第十二章 光的衍射 1． 波长为500nm 的平行光垂直照射在宽度为0.025mm 的单缝上，以焦距为50cm 的会 聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求（1）衍射图样中央亮纹的半宽度；（2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹的强度。 解：（1）零强度点有sin (1,2, 3....................)a n n θλ==±±± ∴中央亮纹的角半宽度为0a λ θ?= ∴亮纹半宽度29 0035010500100.010.02510 r f f m a λ θ---???=??===? （2）第一亮纹，有1sin 4.493a π αθλ = ?= 9 13 4.493 4.493500100.02863.140.02510rad a λθπ--??∴= ==?? 2 1150100.02860.014314.3r f m mm θ-∴=?=??== 同理224.6r mm = （3）衍射光强2 0sin I I αα?? = ??? ，其中sin a παθλ= 当sin a n θλ=时为暗纹，tg αα=为亮纹 ∴对应 级数 α 0 I I 0 0 1 1 4.493 0.04718 2 7.725 0.01694 . . . . . . . . . 2． 平行光斜入射到单缝上，证明：（1）单缝夫琅和费衍射强度公式为 2 0sin[(sin sin )](sin sin )a i I I a i πθλπθλ?? -??=????-?? 式中，0I 是中央亮纹中心强度；a 是缝宽；θ是衍射角，i 是入射角（见图12-50） （2）中央亮纹的角半宽度为cos a i λ θ?= 工程光学第一章习题 1、已知真空中的光速c＝3 m/s，求光在水（n=1.333）、冕牌玻璃（n=1.51）、火石玻璃（n=1.65）、加拿大树胶（n=1.526）、金刚石（n=2.417）等介质中的光速。 解： 则当光在水中，n=1.333时，v=2.25 m/s, 当光在冕牌玻璃中，n=1.51时，v=1.99 m/s, 当光在火石玻璃中，n＝1.65时，v=1.82 m/s， 当光在加拿大树胶中，n=1.526时，v=1.97 m/s， 当光在金刚石中，n=2.417时，v=1.24 m/s。 2、一物体经针孔相机在屏上成一60mm大小的像，若将屏拉远50mm，则像的大小变为70mm,求屏到针孔的初始距离。 解：在同种均匀介质空间中光线直线传播，如果选定经过节点的光线则方向不变，令屏到 针孔的初始距离为x，则可以根据三角形相似得出： 所以x=300mm 即屏到针孔的初始距离为300mm。 3、一厚度为200mm的平行平板玻璃（设n=1.5），下面放一直径为1mm的金属片。若在玻璃板上盖一圆形纸片，要求在玻璃板上方任何方向上都看不到该金属片，问纸片最小直径应为多少？ 解：令纸片最小半径为x, 则根据全反射原理，光束由玻璃射向空气中时满足入射角度大于或等于全反射临界角时均会发生全反射，而这里正是由于这个原因导致在玻璃板上方看不到金属片。而全反射临界角求取方法为： (1) 其中n2=1, n1=1.5, 同时根据几何关系，利用平板厚度和纸片以及金属片的半径得到全反射临界角的计算方法为： (2) 联立（1）式和（2）式可以求出纸片最小直径x=179.385mm，所以纸片最小直径为358.77mm。 4、光纤芯的折射率为n1、包层的折射率为n2,光纤所在介质的折射率为n0，求光纤的数值孔径（即n0sinI1,其中I1为光在光纤内能以全反射方式传播时在入射端面的最大入射角）。 解：位于光纤入射端面，满足由空气入射到光纤芯中，应用折射定律则有： n0sinI1=n2sinI2 (1) 1λ第十二章 习题及答案 １。双缝间距为１mm ，离观察屏１m ，用钠灯做光源，它发出两种波长的单色光 =589.0nm 和2λ=589.6nm ，问两种单色光的第10级这条纹之间的间距是多少？ 解：由杨氏双缝干涉公式，亮条纹时：d D m λα= （m=0, ±1, ±2···） m=10时，nm x 89.511000105891061=???= -，nm x 896.51 1000 106.5891062=???=- m x x x μ612=-=? ２。在杨氏实验中，两小孔距离为1mm ，观察屏离小孔的距离为50cm ，当用一片折射率 1.58的透明薄片帖住其中一个小孔时发现屏上的条纹系统移动了0.5cm ，试决定试件厚度。 2 1r r l n =+??2 2212? ?? ???-+=x d D r 2 2 2 2 2? ? ? ???++=x d D r x d x d x d r r r r ??=?? ? ???--??? ???+= +-222))((2 2 1212mm r r d x r r 2211210500 5 12-=?≈+??= -∴ ,mm l mm l 2210724.110)158.1(--?=?∴=?- 3.一个长30mm 的充以空气的气室置于杨氏装置中的一个小孔前，在观察屏上观察到稳定的 干涉条纹系。继后抽去气室中的空气，注入某种气体，发现条纹系移动了２５个条纹，已知照明光波波长λ=656.28nm,空气折射率为000276.10=n 。试求注入气室内气体的折射率。 0008229 .10005469.0000276.130 1028.6562525)(6 00=+=??= -=-?-n n n n n l λ 第十一章 光的干涉和干涉系统 1． 双缝间距为1mm,离观察屏1m,用钠光灯做光源，它发出两种波长的单色光 nm 0.5891=λ和nm 6.5892=λ，问两种单色光的第十级亮条纹之间的间距是多少 解：由题知两种波长光的条纹间距分别为 96113 1589105891010D e m d λ---??===? 9 6223 1589.610589.61010 D e m d λ---??===? ∴第十级亮纹间距()()6 5 211010589.6589100.610e e m -?=-=?-?=? 2． 在杨氏实验中，两小孔距离为1mm,观察屏离小孔的距离为50cm,当用一片折射率为的透明薄片贴住其中一个小孔时（见图11-17），发现屏上的条纹系统移动了场面，试决定试件厚度。 解：设厚度为h ，则前后光程差为()1n h ?=- ()1x d n h D ??∴-= 23 0.510100.580.5 h --??= 2 1.7210h mm -=? 3． 一个长30mm 的充以空气的气室置于杨氏装置中的一个小孔前，在观察屏上观察到 稳定的干涉条纹系。继后抽去气室中的空气，注入某种气体，发现条纹系移动了25 个条纹，已知照明光波波长nm 28.656=λ，空气折射率000276.10=n 。试求注入气室内气体的折射率。 解：设气体折射率为n ，则光程差改变()0n n h ?=- 图11-47 习题2 图 ()02525x d d n n h e D D λ??∴-= =?= 9 025656.2810 1.000276 1.0008230.03 m n n h λ-??=+=+= 4． ** 垂直入射的平面波通过折射率为n 的玻璃板，投射光经投射会聚到焦点上。玻 璃板的厚度沿着C 点且垂直于图面（见图11-18）的直线发生光波波长量级的突变d ，问d 为多少时，焦点光强是玻璃板无突变时光强的一半。 解：无突变时焦点光强为04I ，有突变时为02I ，设',.d D 2 00' 4cos 2xd I I I D πλ== ()'104xd m m D λ?? ∴?= =+≥ ??? 又()1n d ?=-Q 114d m n λ? ? ∴= + ?-?? 5． 若光波的波长为λ，波长宽度为λ?，相应的频率和频率宽度记为ν和ν?，证明 λ λ ν ν ?= ?，对于nm 8.632=λ的氦氖激光，波长宽度nm 8 102-?=?λ，求频 率宽度和相干长度。 解：c λν=Q λ ν λ ν ??∴ = 对于632.8c nm λνλ =?= 898 41821010310 1.49810632.8632.810 c Hz λ λννλλλ---??????∴?=?=?==??? C 图11-18 工程光学习题解答(第 1章) 第一章 1．举例说明符合光传播基本定律的生活现象及各定律的应用。 答：（1）光的直线传播定律 影子的形成；日蚀；月蚀；均可证明此定律。 应用：许多精密的测量，如大地测量（地形地貌测量），光学测量，天文测量。 （2）光的独立传播定律 定律：不同光源发出的光在空间某点相遇时，彼此互不影响，各光束独立传播。 说明：各光束在一点交会，光的强度是各光束强度的简单叠加，离开交会点后，各光束仍按各自原来的方向传播。 2．已知真空中的光速c 3×108m/s，求光在水(n=1.333)、冕牌玻璃(n=1.51)、火石玻璃(n=1.65)、加拿大树胶(n=1.526)、金刚石(n=2.417)等介质中的光速。解：v=c/n (1)光在水中的速度：v=3×108/1.333=2.25×108 m/s (2)光在冕牌玻璃中的速度：v=3×108/1.51=1.99×108 m/s (3)光在火石玻璃中的速度：v=3×108/1.65=1.82×108 m/s (4)光在加拿大树胶中的速度：v=3×108/1.526=1.97×108 m/s (5)光在金刚石中的速度：v=3×108/2.417=1.24×108 m/s ＊背景资料：最初用于制造镜头的玻璃，就是普通窗户玻璃或酒瓶上的疙瘩，形状类似“冠”，皇冠玻璃或冕牌玻璃的名称由此而来。那时候的玻璃极不均 匀，多泡沫。除了冕牌玻璃外还有另一种含铅量较多的燧石玻璃（也称火石玻璃）。 3．一物体经针孔相机在屏上成像的大小为60mm ，若将屏拉远50mm ，则像的大小变为70mm ，求屏到针孔的初始距离。 解： 70 6050=+l l ? l =300mm 4．一厚度为200mm 的平行平板玻璃(设n=1.5)，下面放一直径为1mm 的金属片。若在玻璃板上盖一圆形纸片，要求在玻璃板上方任何方向上都看不到该金属片，问纸片最小直径应为多少? 解：本题是关于全反射条件的问题。若要在玻璃板上方看不到金属片，则纸片最小尺寸应能够挡住金属片边缘光线达到全反射的位置。 (1) 求α角：nsin α=n ’sin90 ? 1.5sin α=1 α=41.81? (2) 求厚度为h 、α=41.81?所对应的宽度l ： l =htg α=200×tg41.81?=179mm (3) 纸片最小直径：d min =d 金属片＋2l=1+179×2=359mm 5．试分析当光从光疏介质进入光密介质时，发生全反射的可能性。 6．证明光线通过平行玻璃平板时，出射光线与入射光线平行。 7．如图1-15所示，光线入射到一楔形光学元件上。已知楔角为α，折射率为n ，求光线经过该楔形光学元件后的偏角δ。 第一章 3、一物体经针孔相机在 屏上成一60mm 大小的像，若将屏拉远50mm ，则像的大小变为70mm,求屏到针孔的初始距离。 解：在同种均匀介质空间中光线直线传播，如果选定经过节点的光线则方向不变， 令屏到针孔的初始距离为x ，则可以根据三角形相似得出： 所以x=300mm 即屏到针孔的初始距离为300mm 。 4、一厚度为200mm 的平行平板玻璃（设n =），下面放一直径为1mm 的金属片。若在玻璃板上盖一圆形的纸片，要求在玻璃板上方任何方向上都看不到该金属片，问纸片的最小直径应为多少 2211sin sin I n I n = 66666.01 sin 2 2== n I 745356.066666.01cos 22=-=I 88.178745356 .066666 .0* 200*2002===tgI x mm x L 77.35812=+= 1mm I 1=90? n 1 n 2 200mm L I 2 x 8、.光纤芯的折射率为1n ，包层的折射率为2n ，光纤所在介质的折射率为0n ，求光纤的数 值孔径（即10sin I n ，其中1I 为光在光纤内能以全反射方式传播时在入射端面的最大入射角）。 解：位于光纤入射端面，满足由空气入射到光纤芯中，应用折射定律则有： n 0sinI 1=n 2sinI 2 (1) 而当光束由光纤芯入射到包层的时候满足全反射，使得光束可以在光纤内传播，则有： (2) 由（1）式和（2）式联立得到n 0 . 16、一束平行细光束入射到一半径r=30mm 、折射率n=的玻璃球上，求其会聚点的位置。如 果在凸面镀反射膜，其会聚点应在何处如果在凹面镀反射膜，则反射光束在玻璃中的会聚点又在何处反射光束经前表面折射后，会聚点又在何处说明各会聚点的虚实。 解：该题可以应用单个折射面的高斯公式来解决， 设凸面为第一面，凹面为第二面。 （1）首先考虑光束射入玻璃球第一面时的状态，使用高斯公式： 第十章 光的电磁理论基础 1. 一个平面电磁波可以表示为14 0,2cos[210()],02 x y z z E E t E c π π==?-+ =,求(1)该 电磁波的频率、波长、振幅和原点的初相位？（２）拨的传播方向和电矢量的振动方向？（３）相应的磁场Ｂ的表达式？ 解：（1）平面电磁波cos[2()]z E A t c πν?=-+ 对应有14 62,10,,3102 A Hz m π ν?λ-=== =?。 （2）波传播方向沿z 轴，电矢量振动方向为y 轴。 （3）B E → → 与垂直，传播方向相同，∴0 By Bz == 814610[210()]2 z Bx CEy t c π π===??-+ ２. 在玻璃中传播的一个线偏振光可以表示2 15 0,0,10cos 10()0.65y z x z E E E t c π===-，试求（1）光的频率和波长；（2）玻璃的折射率。 解：（1）215 cos[2()]10cos[10()]0.65z z E A t t c c πν?π=-+=- ∴15 14 210510v Hz πνπν=?=? 72/2/0.65 3.910n k c m λππ-===? （2）8 714310 1.543.910510 n c c n v λν-?====??? 3.在与一平行光束垂直的方向上插入一片透明薄片，薄片的厚度0.01h mm =,折射率n=1.5, 若光波的波长为500nm λ=,试计算透明薄片插入前后所引起的光程和相位的变化。 解：光程变化为 (1)0.005n h mm ?=-= 相位变化为)(202500 10005.026 rad πππλδ=??= ? = 4. 地球表面每平方米接收到来自太阳光的功率为 1.33kw,试计算投射到地球表面的太阳光 的电场强度的大小。假设太阳光发出波长为600nm λ=的单色光。 解：∵2201 2 I cA ε= = ∴1 32 2()10/I A v m c ε= 5. 写出平面波8 100exp{[(234)1610]}E i x y z t =++-?的传播方向上的单位矢量0k 。 第一章 习题答案 4. 一厚度为200mm 的平行平板玻璃（设n=1.5），下面放一直径为1mm 的金属薄片。若在玻璃板上盖一圆形的纸片，使得在玻璃板上方任何方向上都看不到该金属薄片，问纸片的最小直径应为多少？ 解：如图所示，设纸片的最小直径为L ，考虑边缘光线满足全反射条件时 6667.090sin sin 02 12==n n I 74536.06667.01cos 22=-=I L=(2x+1)mm=358.77mm 16. 一束平行细光束入射到一半径mm r 30=、折射率n=1.5的玻璃球上，求经玻璃球折射后会聚点的位置。如果在凸面（第一面）镀反射膜，其会聚点应爱何处？如果在凹面（第二面）镀反射膜，则反射光束在玻璃中的会聚点又在何处？反射光束经前表面折射后，会聚点又在何处？说明各个会聚点的虚实。 解：（1）此时的成像过程如图（4）所示，平行细光束入射到玻璃球上，经左侧球面折射后形成中间像'1A ，它又是右侧球面的物2A ，经右侧球面再次成像于'2A 。 将-∞=1l ，11=n ，5.1' 1=n ，mm r 301=代入单个折射球面 成像公式 r n n l n l n -=-'' '得 mm mm n n r n l 905.0305.11 '1' 1'1=?=-= 由于1l 和'1l 异号，01 '1' 111<=l n l n β，故无限远物与像'1A 虚实相同，即'1A 为实像。但由于右侧球面的存在，实际光线不可能到达此处，故对于右侧球面2A 为虚物。 将 mm r n n mm mm r l l 30,1,5.1,30)6090(22' 22'12-====-=-= 再次代入单个折射球面成像公式得 第一章 16. 一束平行细光束入射到一半径r=30mm、折射率n=1.5的玻璃球上，求其会聚点的位置。如果在凸面镀反射膜，其会聚点应在何处？如果在凹面镀反射膜，则反射光束在玻璃中的会聚点又在何处？反射光束经前表面折射后，会聚点又在何处？说明各会聚点的虚实。 解：该题可以应用单个折射面的高斯公式来解决， 设凸面为第一面，凹面为第二面。 （1）首先考虑光束射入玻璃球第一面时的 状态，使用高斯公 式： 会聚点位于第二面后15mm 处。 （2）将第一面镀膜，就相当于凸 面镜 像位于第一面的右侧，只是延长线的交点，因此是虚像。 还可以用β正负判断： （3）光线经过第一面折射：, 虚像 第二面镀膜，则： 得到： （4）在经过第一面折射 物像相反为虚像。 18.一直径为400mm，折射率为1.5的玻璃球中有两个小气泡，一个位于球心，另一个位于 1／2半径处。沿两气泡连线方向在球两边观察，问看到的气泡在何处？如果在水中观察，看到的气泡又在何处？ 解： 设一个气泡在中心处，另一个在第二面和中心之间。 （1）从第一面向第二面看 （2）从第二面向第一面看 （3）在水中 19.有一平凸透镜r 1=100mm,r =∝2,d=300mm,n=1.5,当物体在时，求高斯像的位置' l 。在第二面上刻一十字丝，问其通过球面的共轭像在何处？当入射高度h=10mm ，实际光线的像方截距为多少？与高斯像面的距离为多少？ 解： 19.有平凸透镜r 1=100mm ，r 2=∞，d=300mm ，n=1.5,当物体在-∞时，求高斯像的 位置l’。在第二面上刻一十字丝，问其通过球面的共轭像处？当入 射高度h=10mm 时，实际光线的像方截距为多少？与高斯像面的距离为多少？ d=300mm r 1=100mm I I ' B ' r 2=∞ －I 2 I 2’ B’ B” A’ n=1.5工程光学习题参考答案第十一章 光的干涉和干涉系统
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