数论类编程题
1.素数
1. [100，999]范围内同时满足以下两个条件的十进制数. ⑴其个位数字与十位数字之和除以10所得的余数是百位数字；⑵该数是素数; 求有多少个这样的数？15 #include
int prime(int x)
{int i,k;
if(x<2)
return(0);
k=sqrt(x);
for(i=2;i<=k;i++)
if (x%i==0)
break;
if (i>k) return(1);
else return(0);
}
main()
{ int i,n=0,a,b,c;
for(i=100;i<=999;i++)
{ a=i/100;
b=i%100/10;
c=i%10;
if ((b+c)%10==a&&prime(i))
n++;
}
printf("Total is:%d",n);
}
3. 除1和它本身外，不能被其它整数整除的正整数称为素数（注：1不是素数，2是素数）。若两素数之差为2 ，则称两素数为双胞胎数，问[31,601]之间有多少对双胞胎数。22 #include
int prime(int x)
{int i,k;
if(x<2)
return(0);
k=sqrt(x);
for(i=2;i<=k;i++)
if (x%i==0)
break;
if (i>k) return(1);
else return(0);
}
main()
{ int i,n=0;
for(i=31;i<=599;i++)
if (prime(i)&&prime(i+2)) n++;
printf("Total is:%d\n",n);
}
4. 数学家哥德巴赫曾猜测：任何大于6的偶数都可以分解成两个素数（素数对）的和。但有些偶数可以分解成多种素数对的和，如：10=3+7，10=5+5，即10可以分解成两种不同的素数对。试求6744可以分解成多少种不同的素数对（注：A+B与B+A认为是相同素数对）144 #include
int prime(int x)
{int i,k;
if(x<2)
return(0);
k=sqrt(x);
for(i=2;i<=k;i++)
if (x%i==0)
break;
if (i>k) return(1);
else return(0);
}
main()
{ int i,n;
n=0;
for(i=31;i<=599;i++)
if (prime(i)&&prime(i+2)) n++;
printf("Total is:%d\n",n);
}
8.求[100，900]之间相差为12的素数对（注：要求素数对的两个素数均在该范围内）的个数。50
#include
int prime(int x)
{int i,k;
if(x<2)
return(0);
k=sqrt(x);
for(i=2;i<=k;i++)
if (x%i==0)
break;
if (i>k) return(1);
else return(0);
}
main()
{ int i,n=0;
for(i=100;i<=900-12;i++)
if (prime(i)&&prime(i+12)) n++;
printf("Total is:%d\n",n);
}
9. 一个素数（设为p）依次从最高位去掉一位，二位，三位，……，若得到的各数仍都是素数(注：1不是素数)，且数p的各位数字均不为零，则称该数p为逆向超级素数。例如，617，17，7都是素数，因此617是逆向超级素数，但尽管503，03，3都是素数，但它不是逆向超级素数，因为它包含有零。试求[100,999]之内的所有逆向超级素数的和。
21645
#include
int prime(int x)
{ int i,k;
k=sqrt(x);
for(i=2;i<=k;i++)
if (x%i==0) break;
if (i>k) return(1);
else return(0); }
main()
{ int i,s=0;
int prime(int x);
for(i=100;i<=999;i++)
if (prime(i)&&prime(i%100)&&prime(i%10))
if ((i%100/10!=0)&&(i%10!=0)&&(i%10!=1)) s=s+i;
printf("Total is:%d\n",s);
}
14
13. 一个素数，依次从个位开始去掉一位，二位.....，所得的各数仍然是素数，称为超级素数。求[100,999]之内超级素数的个数。14 #include
int prime(int x)
{int i,k;
if(x<2)
return(0);
k=sqrt(x);
for(i=2;i<=k;i++)
if (x%i==0)
break;
if (i>k) return(1);
else return(0);
}
main()
{ int i,s=0;
for(i=200;i<=999;i++)
if (prime(i)&&prime(i/100)&&prime(i/10))
s++;
printf("Total is: %d\n",si);
}
14. 若两个连续的自然数的乘积减1后是素数，则称此两个连续自然数为友数对，该素数称为友素数。例如，由于8*9-1=71，因此，8与9是友数对，71是友素数。求[100，200]之间的第10个友素数对所对应的友素数的值（按由小到大排列）。
17291
#include
int prime(int x)
{int i,k;
if(x<2)
return(0);
k=sqrt(x);
for(i=2;i<=k;i++)
if (x%i==0)
break;
if (i>k) return(1);
else return(0);
}
main()
{ int i,s=0;
for(i=100;i<=200;i++)
if (prime(i*(i+1)-1))
{ s++;
if (s==10) break;}
printf("Total is:%d\n",i*(i+1)-1);
}
18. 梅森尼数是指能使2^n-1为素数的数n，求[1，21]范围内有多少个梅森尼数？
7
#include
int prime(long x)
{ long k;
long i;
if(i<2)
return(0);
k=sqrt(x);
for(i=2;i<=k;i++)
if (x%i==0) break;
if (i>k) return(1);
else return(0);
}
main()
{ int i,s=0;
for(i=1;i<=21;i++)
if (prime((long)(pow(2,i))-1)&&((long)(pow(2,i)-1)!=1)&&((long)(pow(2,i)-1)!=0)) {s++;
printf("\nTotal is:%d,%ld\n",s,(long)(pow(2,i))-1);}
}
2. 取数字
21.设某四位数的千位数字平方与十位数字的平方之和等于百位数字的立方与个位数字的立方之和，例如，对于四位数：3201，3^2+0^2=2^3+1^3，试问所有这样的四位数之和是多少？ 97993
main()
{long i,k=0;
int a,b,c,d;
for(i=1000;i<=9999;i++)
{ a=i/1000;
b=i%1000/100;
c=i%100/10;
d=i%10;
if (a*a+c*c==b*b*b+d*d*d) k=k+i;
}
printf("okThe num is:%ld\n",k);
}
24. 求[1，999]之间能被3整除，且至少有一位数字是5的所有正整数的个数。91 main()
{int i,k=0;
int a,b,c;
for(i=1;i<=999;i++)
{ a=i/100;
b=i%100/10;
c=i%10;
if ((i%3==0)&&(a==5||b==5||c==5))
k=k+1;
}
printf("The num is:%d",k);
}
25. 有一个三位数满足下列条件: (1)此三位数的三位数字各不相同; (2)此三位数等于它的各位数字的立方和。试求所有这样的三位数中最大的一个是多少？407 main()
{int i,max=0;
int a,b,c;
for(i=100;i<=999;i++)
{ a=i/100;
b=i%100/10;
c=i%10;
if ((a*a*a+b*b*b+c*c*c==i)&&(a!=b&&b!=c&&a!=c))
if (max } printf("The num is:%d\n",max); } 28. 所谓“水仙花数”是指一个三位数，其各位数字的三次方之和等于该数本身，例如：153=1^3+3^3+5^3，故153是水仙花数，求[100，999]之间所有水仙花数之和。1301 main() {int i,k=0; int a,b,c; for(i=100;i<=999;i++) { a=i/100; b=i%100/10; c=i%10; if ((a*a*a+b*b*b+c*c*c==i)) k=k+i; } printf("The num is:%d\n",k); } 30. 回文数是指正读和反读都一样的正整数。例如3773是回文数。求出[1000，9999]以内的所有回文数的个数。90 main() {long i,k=0; int a,b,c,d; for(i=1000;i<=9999;i++) { a=i/1000; b=i%1000/100; c=i%100/10; d=i%10; if (d*1000+c*100+b*10+a==i) k=k+1; } printf("okThe num is:%ld\n",k); } 3. 分硬币 31. 把一张一元钞票,换成一分、二分和五分硬币,每种至少8枚,问有多少种方案? 80 #include main() {int i,j,k,s=0; for(i=8;i<=50;i++) for(j=8;j<=50;j++) for(k=8;k<=20;k++) if (i+2*j+5*k==100) s=s+1; printf("The num is:%d\n",s); } 34. 马克思曾经做过这样一道趣味数学题：有30个人在一家小饭店里用餐，其中有男人、女人和小孩，每个男人花了3先令，每个女人花了2先令，每个小孩花了1先令，共花去50先令。如果要求男人、女人和小孩都有人参与，试求有多少种方案分配男人、女人和小孩的人数。9 main() {int i,k=0; int a,b,c; for(a=1;a<=30;a++) for(b=1;b<=30;b++) if ((a*3+b*2+(30-a-b)==50)&&(a+b<30)) k++; printf("The num is:%d\n",k); } 4. 勾股、弦数 35. A,B,C是三个小于或等于100正整数，当满足1/A^2+1/B^2=1/C^2关系时，称为倒勾股数。求130 {int i,a,b,c,n=0; for(c=1;c<=50;c++) for(b=c+1;b<=100;b++) for(a=b+1;a<=100;a++) { i=a+b+c; if (i>100&&i<150&&(1.0/(a*a)+1.0/(b*b)==1.0/(c*c))) { n++; printf("%d,%d,%d:",a,b,c); } } printf("n is:%d\n",n); } 39. 勾股弦数是满足公式：A^2+B^2=C^2 (假定A {int max=0,a,b,c; for(a=1;a<=100;a++) for(b=a+1;b<=100;b++) for(c=b+1;c<=100;c++) { if (a*a+b*b==c*c) { if (max printf("%d,%d,%d:",a,b,c); } } printf("okn is:%d\n",max); } 40 若某整数平方等于某两个正整数平方之和的正整数称为弦数。例如：由于 3^2+4^2=5^2，则5为弦数，求[100，200]之间弦数的个数。77 #include main() {int i,j,k,n=0; for(k=100;k<=200;k++) for(i=1;i for(j=i+1;j if (i*i+j*j==k*k) {n++;printf("%d:%d,%d,%d\n",n,i,j,k);} printf("n is:%d\n",n); } 41 若某正整数平方等于某两个正整数平方之和,称该正整数为弦数。例如：由于 3^2+4^2=5^2，则5为弦数，求[131，200]之间最小的弦数。135 #include main() {int i,j,k,min=200; for(k=131;k<=200;k++) for(j=1;j for(i=j+1;i if (i*i+j*j==k*k) {if (min>k) min=k;break;} printf("min is:%d\n",min); } 5.完数因子 42 求在[10，1000]之间的所有完数之和。各真因子之和（不包括自身）等于其本身的正整数称为完数。例如：6=1+2+3，6是完数。524 #include main() {int m,s,i; long sum=0; for(m=10;m<=1000;m++) {s=0; for(i=1;i if(m%i==0)s=s+i; if(s==m)sum=sum+m; } printf("%ld",sum); } }43 一个数如果恰好等于它的所有真因子之和，这个数就称为“完数”。例如, 6的真因子为1，2，3，而6=1+2+3，因此，6是“完数”。求[1，1000]之间的最大完数。496 #include int wan(int x) {int i,s=1; for(i=2;i<=x-1;i++) if (x%i==0) s=s+i; if (s==x) return(1); else return(0); } main() { int i; for(i=1000;i>=1;i--) if (wan(i)) break; printf("Total is:%d",i); } 47 求[200,300]之间第二大有奇数个不同因子的整数(在计算因子个数时,包括该数本身)。256 #include main() { int x,k=0,i,s; for(x=300;x>=200;x--) { s=0; for(i=1;i<=x;i++) if (x%i==0) s=s+1; if (s%2==1) k++; if (k==2) break; } printf("Total is:%d",x); } 48 已知24有8个正整数因子（即：1，2，3，4，6，8，12，24），而24正好能被其因子数8整除，求正整数[10，100]之间有多少个正整数能被其因子的个数整除。12 #include main() { int x,k=0,i,s; for(x=10;x<=100;x++) { s=0; for(i=1;i<=x;i++) if (x%i==0) s=s+1; if (x%s==0) k++; } printf("Total is:%d",k); } 50 当m的值为50时，计算下列公式之值: t=1+1/2^2+1/3^2+…+1/m^2 (按四舍五入的方式精确到小数点后第四位)。 1.6251 main() {int m; float t=0; for(m=1;m<=50;m++) t=t+1.0/(m*m); printf("t is:%f",t); } 53 利用格里高利公式：α/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+…-1/99，求α的值。要求：按四舍五入的方式精确到小数点后第二位。 3.12 main() {int i,b=-1; float a=0; for(i=1;i<=99;i=i+2) { b=-b; a=a+b*1.0/i; } printf("The num is:%10.2f",4*a); } 61 求数列：2/1，3/2，5/3，8/5，13/8，21/13，…… 前50项之和(注：此数列从第二项开始，其分子是前一项的分子与分母之和，其分母是前一项的分子)。（按四舍五入的方式精确到小数点后第二位） 83.24 main() {int i,fz=2,fm=1,temp; float s=0; for(i=1;i<=50;i++) { s=s+(float)fz/fm; temp=fz; fz=fz+fm; fm=temp; } printf("The num is:%10.2f",s); } 7.平方数 64 若一个四位正整数是另一个正整数的平方，且各位数字的和是一个平方数，则称该四位正整数是“四位双平方数”。例如：由于7396=86^2，且7+3+9+6=25=5^2，则称7396是“四位双平方数”。求所有“四位双平方数”之和。 81977 #include main() {long i,k,s=0; int a,b,c,d; for(i=1000;i<=9999;i++) { a=i/1000; b=i%1000/100; c=i%100/10; d=i%10; k=a+b+c+d; if ((int)sqrt(i)==sqrt(i)&&(int)sqrt(k)==sqrt(k)) s=s+i; } printf("okThe num is:%ld\n",s); } 65 自然数对是指两个自然数的和与差都是平方数，如8和17的和8+17=25与其差 17-8=9都是平方数，则称8和17是自然数对（8，17）。假定（A，B）与（B，A）是同一 个自然数对且假定A>=B，求所有小于或等于100（即：A<=100,B<=100，A<>B,A和B均 不为0）的自然数对中B之和。1160 #include main() {int a,b,s=0; for(b=1;b<=100;b++) for(a=b+1;a+b<=100;a++) { if ((int)sqrt(a+b)==sqrt(a+b)&&(int)sqrt(a-b)==sqrt(a-b)) { s=s+b; printf("okThe num is:%d+%d=%d\n",a,b,s);} } } 67 所谓“同构数”是指这样一个数，它出现在它的平方数的右侧，例如5的平方是25， 25的平方是625，故5和25都是同构数，求[2，1000]之间所有同构数之和。1113 #include main() {int i,j,s=0; for(i=2;i<=1000;i++) for(j=1;j<=6;j++) if (i*i%((long)pow(10,j))==i) { s=s+i; printf("The num is:\n%d,%d,%d\n",i,j,s);} } 76 已知Fibonacci数列：1,1,2,3,5,8,……,它可由下面公式表述： F(1)=1 if n=1 F(2)=1 if n=2 F(n)=F(n-1)+F(n-2) if n>2 试求F(1)+F(3)+F(5)+……+F(49)值。 提示：最好使用递推法求解，因为使用递归调用很可能超出某些语言的递归深度。125862690 main() { float f[50],*p,s; s=0; f[1]=1; f[2]=1; for(p=f+3;p<=f+49;p++) {*p=*(p-1)+*(p-2); } for(p=f+1;p<=f+49;p+=2) { s=s+*p; } printf("%12.0f\n" ,s); } main() { double f[50],s; int i; s=1; f[1]=1; f[2]=1; for(i=3;i<=49;i++) {f[i]=f[i-1]+f[i-2];} for(i=1;i<=49;i+=2) { s=s+f[i]; } printf("%12.0lf\n" ,s); } 80 已知S1=2, S2=2+4, S3=2+4+6, S4=2+4+6+8,S5=2+4+6+8+10，…,求 S=S1+S2+S3+S4+S5+…+S20的值。3080 main() {int i,j,s=0,num=0; for(i=1;i<=20;i++) {s=s+2*i; num=num+s; } printf("num is:%d",num); } 9.a,b,c,d,e类 83 设有十进制数字a,b,c,d和e，它们满足下列式子：abcd*e=bcde (a不等于0，e不等于0或1)，求满足上述条件的四位数abcd的个数。 2 main() {int i,a,b,c,d,e,k=0; for(i=1000;i<=9999;i++) { a=i/1000; b=i%1000/100; c=i%100/10; d=i%10; for(e=2;e<=9;e++) if (i*e==b*1000+c*100+d*10+e) k=k+1; } printf("okThe num is:%d\n",k); } 10.方程 87 求方程8x-5y=3,在|x|<=150, |y|<=200内的整数解。试问这样的整数解中|x|*|y|的最大值是多少？ 24676 #include"math.h" main() {int x,y,t, max=0; for(x=-150;x<=150;x++) for(y=-200;y<=200;y++) {if(8*x-5*y==3) { printf("x=%d,y=%d\n",x,y); t=abs(x)*abs(y);} if(max max=t; } printf("max=%d\n",max); } 43 90 （x,y,z）满足方程：x^2+y^2+z^2=55^2(注：要求x > y > z),则（x,y,z）称为方程的一个解。试求方程的整数解（包括负整数解）的个数。62 main() {int x,y,z,n=0; clrscr(); for(x=-55;x<=55;x++) for(y=-55;y for(z=-55;z {if(x*x+y*y+z*z==55*55) { n=n+1;} } printf("n=%d\n",n); } 91 求方程9X-19Y=1,在|X|≤100,|Y|≤50内共有多少组整数解?11 main() {int x,y,n=0; for(x=-100;x<=100;x++) for(y=-50;y<=50;y++) {if(9*x-19*y==1) { n=n+1; } } printf("n=%d\n",n); } 11.其它 94 已知：非等腰三角形最长边是60，其它两边的长度都是正整数，且三边之和能被3整除，试编程求取这类三角形的个数（注意：两边的长度交换构成的三角形算作同一个三角形，如：其它两边的长度为30和40的三角形与长度为40和30的三角形视为同一个三角形）。271 main() {int x,y,n=0; clrscr(); for(x=1;x<60;x++) for(y=x+1;y<60;y++) if ((x+y+60)%3==0&&x+y>60) n=n+1; printf("n=%d\n",n); } 95 爱因斯坦走台阶:有一台阶,如果每次走两阶,最后剩一阶;如果每次走三阶,最后剩两阶;如果每次走四阶,最后剩三阶;如果每次走五阶,最后剩四阶;如果每次走六阶,最后剩五阶;如果每次走七阶,刚好走完.求满足上述条件的最小台阶数是多少？119 main() {int x,y,n=0; clrscr(); for(x=7;x<=1000;x++) {n=0; for(y=2;y<=6;y++) if (x%y==y-1) n++; if (n==5&&x%7==0) break; } printf("x=%d\n",x); } 96 编写程序，求共有几组i,j,k符合算式Ijk+kji=1534,其中i,j,k是[0,9]之间的一个整数且 i #include main() {int i,j,k,s=0; for(i=0;i<=9;i++) for(j=0;j<=9;j++) for(k=i+1;k<=9;k++) if (i*100+j*10+k+k*100+j*10+i==1534) s=s+1; printf("The num is:%d\n",s); } 99 求在[2，1000]之间的所有同构数之和（某正整数的平方，其低位与该数本身相同， 则称该数为同构数。例如25^2=625，625的低位25与原数相同，则称25为同构数）。1113 main() {long k,i,sum=0; for(i=2;i<=1000;i++) {k=i*i; if(i<10&&k%10==i) sum=sum+i; else if(i<100&&k%100==i) sum=sum+i; else if(k%1000==i) sum=sum+i; } printf(“The sum=%ld”,sum); } 100 已知A #include "stdio.h" void main() { long min=0, c=716699; long a,k,b; k=sqrt(c); for (a=1;a<=k;a++) {b=c/a; if (a*b==c) min=a+b; } printf(“%ld”.min); 小升初重点中学真题之数论篇 数论篇一 1 （人大附中考题） 有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。 2 （101中学考题） 如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。 3（人大附中考题） 甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。 4 (人大附中考题) 下列数不是八进制数的是( ) A、125 B、126 C、127 D、128 预测 1．在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？ 预测 2．有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？ 预测 3、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______． 数论篇二 1 （清华附中考题） 有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____. 2 （三帆中学考题） 140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。2002除以这个自然数的余数是 . 3 （人大附中考题） 初等数论练习题一 一、填空题 1、τ(2420)=27；?(2420)=_880_ 2、设a ，n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_?(m )_。 7 8、??? ??10365 =-1。 9、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为二、计算题 1、解同余方程：3x 2+11x -20≡0 (mod 105)。 解：因105 = 3?5?7， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 3)的解为x ≡1 (mod 3)， 同余方程3x 2+11x -38 ≡0 (mod 5)的解为x ≡0，3 (mod 5)， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 7)的解为x ≡2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。 作同余方程组：x ≡b 1 (mod 3)，x ≡b 2 (mod 5)，x ≡b 3 (mod 7)， 其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6， 由孙子定理得原同余方程的解为x ≡13，55，58，100 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？ 11074217 271071107713231071107311072107 710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（ ）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。 3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。 数论50题 1．由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【分析】各位数字和为1+3+4+5+7+8=28 所以偶数位和奇数位上数字和均为14 为了使得该数最大，首位必须是8，第2位是7，14-8=6 那么第3位一定是5，第5位为1 该数最大为875413。 2．请用1，2，5，7，8，9这六个数字（每个数字至多用一次）来组成一个五位数，使得它能被75整除，并求出这样的五位数有几个？ 【分析】 75=3×25 若被3整除，则各位数字和是3的倍数，1+2+5+7+8+9=32 所以应该去掉一个被3除余2的，因此要么去掉2要么去掉8 先任给一个去掉8的，17925即满足要求 1）若去掉8 则末2位要么是25要么是75，前3位则任意排，有3！=6种排法 因此若去掉8则有2*6=12个满足要求的数 2）若去掉2 则末2位只能是75，前3位任意排，有6种排法 所以有6个满足要求 综上所述，满足要求的五位数有18个。 3．已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？ 【分析】根据被13整除的判别方法，用末三位减去前面的部分得到一个两位数，十位是7，个位是（9-□），它应该是13的倍数，因为13|78,所以9-□=8 □中的数字是1 4．某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是？（2005全国小学数学奥赛）【分析】可以表示成连续9个自然数的和说明该数能被9整除，可以表示成连续10个自然数的和说明该数能被5整除，可表示成连续11个自然数的和说明该数能被11整除 因此该数是[9,5,11]=495，因此符合条件的最小自然数是495。 111考了优秀，一次考试中，某班同学有考了良好，考了及格，剩下的人不及格，已知该5．723班同学的人数不超过50，求有多少人不及格？ 【分析】乍一看这应该是一个分数应用题，但实际上用到的却是数论的知识，由于人数必须是整数，所以该班同学的人数必须同时是2，3，7的倍数，也就是42的倍数，又因为人数不超过50，111--）×42=1人 1-所以只能是42人，因此不及格的人数为（7326．（1）从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除？ （2）从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？ （第14届迎春杯考题） 【分析】（1）3998/4=999….6所以1-3998中有996个能被4整除的 浙江师范大学《初等数论》考试卷（A1卷） （2004——2005学年第一学期） 考试类别使用学生数学专业**本科 考试时间120分钟表出卷时间*年*月*日 说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理。 一、填空（30分） 1、d（1000）= 。φ（1000）= 。()=______ 。 2、ax+bY=c有解的充要条件是。 3、被3除后余数为。 4、[X]=3，[Y]=4，[Z]=2，则[X—2Y+3Z]可能的值为。 5、φ（1）＋φ（P）＋…φ（）=。 6、高斯互反律是。 7、两个素数的和为31，则这两个素数是。 8、带余除法定理是。 答案 1、16．2340，1 2、（a，b）|c 3、1 4、3，4，5，6，7，8，9，10，11 5、 6、，p，q为奇素数 7、2，29 8、a，b是两个整数，b>0,则存在两个惟一的整数q，r使得 二、解同余方程组（12分） 答案 解：因为（12，10）|6-（-2），（10，15）|6-1，（12，15）|1-（-2） 所以同余式组有解 原方程等价于方程 即 由孙子定理得 三、A、叙述威尔逊定理。 B．证明若，则m为素数（10分） 答案 A．(威尔逊定理)整数是素数，则 证：若m不是素数，则m=ab，，则，则有 不可能，所以m是素数。 四．解方程≡0（mod２７）（10分） 答案 解：由≡0（mod3）得得x=1+3t代入 ≡0 （mod9）有有代入x=1+3t得 代入≡0 （mod27）有代入有 ， 即 设2Ｐ+1为素数,试证（10分） 答案 证：因n=2Ｐ+1为素数，由威尔逊定理即有 即证 六、设P=4n+3是素数，证明当q=2p+1也是素数时，梅森数不是素数。（10分） 答案 证：因q=8n+7，由性质2是q=8n+7的平方剩余，即 所以梅森数不是素数。 七、证无正整数解。（8分） 答案 证：假设有解，设（x，y，z）是一组正整数解，则有x是3的倍数，设x=3x1,又得到y为3的倍数，设,又有，则有解且z>z1 这样可以一直进行下去，z>z1>z2> z3>z4>… 但是自然数无穷递降是不可能的，于是产生了矛盾 八、设n是大于2的整数，证明为偶数（10分） 答案 证：因为（-1，n）=1，由欧拉定理有 ，因为n大于2，只有为偶数。 初等数论练习题 信阳职业技术学院 2010年12月 初等数论练习题一 一、填空题 1、d(2420)=___________； ?(2420)=___________。 2、设a,n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=___________。 3、模9的绝对最小完全剩余系是___________。 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是__________。 5、不定方程18x-23y=100的通解是___________。 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_______。 7、18100被172除的余数是___________。 8、?? ? ??10365 =___________。 9、若p 是素数，则同余方程x p 1 1(mod p )的解数为 。 二、计算题 1、解同余方程：3x 2 11x 200 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解 3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。 三、证明题 1、已知p 是质数，（a,p ）=1，证明： （1）当a 为奇数时，a p-1+(p-1)a ≡0 (mod p)； （2）当a 为偶数时，a p-1-(p-1)a ≡0 (mod p)。 2、设a 为正奇数，n 为正整数，试证n 2a ≡1(mod 2n+2)。 3、设p 是一个素数，且1≤k ≤p-1。证明：k p 1C - （-1 ）k (mod p )。 4、设p 是不等于3和7的奇质数，证明：p 6≡1(mod 84)。 初等数论练习题二 一、填空题 1、d(1000)=__________；σ(1000)=__________。 2、2010!的标准分解式中，质数11的次数是__________。 3、费尔马(Fermat)数是指Fn=n 22+1,这种数中最小的合数Fn 中的n=_________。 4、同余方程13x ≡5(mod 31)的解是__________。 5、分母不大于m 的既约真分数的个数为_________。 6、设7∣(80n -1),则最小的正整数n=__________。 7、使41x+15y=C 无非负整数解的最大正整数C=__________。 8、?? ? ??10146=__________。 9、若p 是质数，n p 1，则同余方程x n 1 (mod p ) 的解数为 。 二、计算题 1、试求2004 2003 2002被19除所得的余数。 2、解同余方程3x 144x 10 6x 180 (mod 5)。 3、已知a=5,m=21,求使a x 1 (mod m)成立的最小自然数x 。 三、证明题 1、试证13|(54m +46n +2000)。(提示：可取模13进行计算性证明)。 2、证明Wilson 定理的逆定理：若n > 1，并且(n 1)! 1 (mod n )，则n 是素数。 3、证明：设p s 表示全部由1组成的s 位十进制数，若p s 是素数，则s 也是一个素数。 4、证明：若2p 1是奇素数，则 (p !)2 ( 1)p 0 (mod 2p 1)。 5、设p 是大于5的质数，证明：p 4≡1(mod 240)。 数论考试题 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 一、求同余式的解：111x 75(mod321)≡ 二、求高次同余式的解：)105(m od 0201132 ≡-+x x 。 三、求高次同余式的解: 27100x x ++≡(mod 13). 四、计算下列勒让德符号的值:105223-?? ???, 91563?? ??? 五、计算下列勒让德符号的值：)593438( ，)1847 365 ( 六、韩信点兵：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人； 成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人。求兵数。 七、设 b a ,是两个正整数，证明: b a ,的最大公因子00(,)a b ax by =+,其中00ax by + 是形如ax by +(,x y 是任意整数)的整数里的最小正数. 八、证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为 p a +2（a > 0是整数，p 为素数） 的形式。 九、证明: 若方程 1 1...0n n n x a x a -+++= (0,i n a > 是整数,1,...,i n =)有有理数解,则此 解必为整数. 十、证明: 若(,)1a b =， 则(,)12a b a b +-=或 十一、证明：设N ∈c b a ,,，c 无平方因子，c b a 22，证明：b a 。 十二、设p 是奇素数,1),(=p n , 证明: ??? ? ??≡-p n n p 2 1 (mod p ). 十三、设m > 1，模m 有原根，d 是)(m ?的任一个正因数，证明：在模m 的缩系中，恰有 )(d ? 个指数为d 的整数，并由此推出模m 的缩系中恰有))((m ??个原根。 十四、设g 是模m 的一个原根，证明：若γ通过模()m ?的最小非负完全剩余系, 则g γ 通过模m 的一个缩系。 poj 1061 青蛙的约会 这题用的是解线性同余方程的方法，之前没接触到过，搜索资料后看到一个人的博客里面讲的很好就拷贝过来了。内容如下： 对于方程：ax≡b(mod m)，a，b，m都是整数，求解x 的值，这个就是线性同余方程。符号说明： mod表示：取模运算 ax≡b(mod m)表示：(ax - b) mod m = 0，即同余 gcd(a,b)表示：a和b的最大公约数 求解ax≡b(mod n)的原理：对于方程ax≡b(mod n)，存在ax + by = gcd(a,b)，x，y是整数。而ax≡b(mod n)的解可以由x，y来堆砌。具体做法如下： 第一个问题：求解gcd(a,b) 定理一：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 欧几里德算法 int Euclid(int a,int b) { if(b == 0) return a; else return Euclid(b,mod(a,b)); } 附：取模运算 int mod(int a,int b) { if(a >= 0) return a % b; else return a % b + b; } 第二个问题：求解ax + by = gcd(a,b) 定理二：ax + by = gcd(a,b)= gcd(b,a mod b) = b * x' + (a mod b) * y' = b * x' + (a - a / b * b) * y' = a * y' + b * (x' - a / b * y') = a * x + b * y 则：x = y' y = x' - a / b * y' 以上内容转自https://www.wendangku.net/doc/cd13111042.html,/redcastle/blog/item/934b232dbc40d336349bf7e4.html 第三讲数论专题 重点知识点： 一、整除性质 ①如果自然数a为M的倍数，则ka为M的倍数。(k为正整数) ②如果自然数a、b均为M的倍数，则a＋b，a－b均为M的倍数。 ③如果a为M的倍数，p为M的约数，则a为p的倍数。 ④如果a为M的倍数，且a为N的倍数，则a为[M，N]的倍数。 二、整除特征 1．末位系列 (2，5)末位 (4，25)末两位 (8，125)末三位 2．数段和系列 3、9 各位数字之和——任意分段原则(无敌乱切法) 33，99 两位截断法——偶数位任意分段原则 3．数段差系列 11 整除判断：奇和与偶和之差 余数判断：奇和－偶和(不够减补十一，直到够减为止) 7、11、13—三位截断法：从右往左，三位一隔： 整除判断：奇段和与偶段和之差 余数判断：奇段和－偶段和(不够减则补，直到够减)三、整除技巧： 1．除数分拆：(互质分拆，要有特征) 2．除数合并：(结合试除，或有特征) 3．试除技巧：(末尾未知，除数较大) 4．同余划删：(从前往后，剩的纯粹) 5．断位技巧：(两不得罪，最小公倍) 四、约数三定律 约数个数定律：(指数＋1)再连乘 约数和定律：(每个质因子不同次幂相加)再连乘约数积定律：自身n(n＝约数个数÷2) 例题： 【例1】2025的百位数字为0，去掉0后是225，225×9＝2025。这样的四位数称为“零巧数”，那么所有的零巧数是_____。 【巩固】某校人数是一个三位数，平均每个班级36人，若将全校人数的百位数与十位数对调，则全校人数比实际少180人，那么该校人数最多可以达到____人。 【例2】若两个自然数的平方和是637，最大公约数与最小公倍数的和为49，则这两个数是多少？ 【巩固】两个两位数，它们的最大公约数是9，最小公倍数是360，这两个两位数分别是_______。【例3】一个两位数，数字和是质数。而且，这个两位数分别乘以3，5，7之后，得到的数的数字和都仍为质数。满足条件的两位数为_____。 100个著名初等数学问题 https://www.wendangku.net/doc/cd13111042.html,/xyp 2003-10-26 数学园地 第01题阿基米德分牛问题Archimedes' Problema Bovinum 太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成. 在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛数，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7. 在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7. 问这牛群是怎样组成的？ 第02题德·梅齐里亚克的法码问题The Weight Problem of Bachet de Meziriac 一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块.后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物. 问这4块砝码碎片各重多少？ 第03题牛顿的草地与母牛问题Newton's Problem of the Fields and Cows a头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了； a'头母牛将b'块地上的牧草在c'天内吃完了； a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了； 求出从a到c"9个数量之间的关系？ 第04题贝韦克的七个7的问题Berwick's Problem of the Seven Sevens 在下面除法例题中，被除数被除数除尽： * * 7 * * * * * * * ÷ * * * * 7 * = * * 7 * * * * * * * * * * * * * 7 * * * * * * * * * 7 * * * * * 7 * * * * * * * * * * * * * * * 7 * * * * * * * * * * * * * * 用星号（*）标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢？ 第05题柯克曼的女学生问题Kirkman's Schoolgirl Problem 完全平方数 知识框架 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p整除完全平方数2a，则p能被a整除。 2.性质 性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数． 性质3：自然数N为完全平方数?自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质 -，因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且21|n p N 则2|n p N． 性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数． 性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个． 性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 二、一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一 定不是完全平方数。 2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49， 69，89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。 小升初奥数数论之整数拆分练习题 整理的相关资料，希望对您有所帮助。 【篇一】 1.将15分拆成不大于9的三个不同的自然数之和有多少种不同分拆方式，请一一列出. 2.把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法?(此题是美国小学数学奥林匹克试题). 3.把10、12、14这三个数填在图9―17的方格中，使每行、每列和每条对角线上的三个数之和都相等. 4.上图中，三个圆圈两两相交形成七块小区域，分别填上1～7七个自然数，在一些小区域中，自然数1、4、6三个数已填好，请你把其余的数填到空着的小区域中，要求每个圆圈中四个数的和都是1 5. 5.七只箱子分别放有1个、2个、4个、8个、16个、32个、64个苹果.现在要从这七只箱子里取出87个苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取，你看怎么取法? *(选做题)将21分拆成四个不同的自然数相加之和，但四个自然数只能从1～9中选取，问共有多少种不同的分拆方式，请你一一列出. 【篇二】 1、把50分拆成10个素数之和，要求其中的素数尽可能大，那么这个的素数是几? 2、把17分拆成若干个互不相等的质数之和，这些质数的连乘积是多少? 3、一个自然数，可以分拆成9个连续自然数之和，也可以分拆成10个连续自然数之和，还可以分拆成11个连续自然数之和。这个自然数最小是几? 4、100这个数最多能写成多少个不同的自然数之和? 5、有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张，问这些纸币的总面值是否能够恰好为100元? 6、有30个2分硬币和8个5分硬币，用这些硬币能构成的1分到1元之间的币值有多少种? 7、是否有若干个连续自然数，它们的和恰好等于64? 8、若干只外观相同的盒子摆成一排，小明把54个同样的小球放进这些盒子中后外出，小亮从每只盒子里取出一个小球，然后把这些取出的小球放进小球数最少的一个盒子中，再把盒子重新摆了一下。小明回来后仔细查看了每个盒子，却没有发现有人动过小球和盒子。那么一共有盒子多少只? 9、2000以内凡能拆成两个或两个以上连续自然数之和的所有自然数之和是多少? 10、有一把长度为13厘米却没有刻度的尺子，能否在上面画4条刻度线，使得这把尺子可以直接测量出1---13厘米的所有整厘米长度? 【篇三】 把50分成4个自然数,使得第一个数乘以2等于第二个数除以2;第三个数加上2等于第四个数减去2,最多有______种分法. (1990年《小学生报》小学数学竞赛试题) 讲析:设50分成的4个自然数分别是a,b,c,d. 因为a×2=b÷2,则b=4a.所以a,b之和必是5的倍数. 那么,a与b的和是5,10,15,20,25,30,35,40,45. 又因为c+2=d-2,即d=c+4.所以c,d之和加上4之后,必是2的倍数. 则c,d可取的数组有: (40,10),(30,20),(20,30),(10,40). 由于40÷5=8,40-8=32;(10-4)÷2=3,10-3=7, 得出符合条件的a,b,c,d一组为(8,32,3,7). 同理得出另外三组为:(6,24,8,12),(4,16,13,17),(2,8,18,22). 所以,最多有4种分法. 小升初奥数数论之整数拆分练习题 《初等数论》期末练习二 一、单项选择题 1、=),0(b （ ）. A b B b - C b D 0 2、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）. A a B b C 1 D b a + 3、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C (mod )ac bc m ≡/ D b a ≠ 5、不定方程210231525=+y x （ ）. A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 7、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≥ D b a ±= 8、公因数是最大公因数的（ ）. A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 9、大于20且小于40的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 2个 D 3个 10、模7的最小非负完全剩余系是( ). A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,2,3,4，5，6 11、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解. A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除7 C 7不整除（12，15） D 7不整除[12，15] 12、同余式)593(mod 4382≡x （ ）. A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解 二、填空题 1、有理数 b a ，0,(,)1a b a b <<=，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ). 4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ?表示所有( )n ，而且与n （ ）的正整数的个数. 5、设b a ,整数，则),(b a （ ）=ab . 6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除. 7、+=][x x （ ）. 8、同余式)321(mod 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数. 第二十一讲数论综合 数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。 基本公式 1.已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若(a,b)=1,则有ab|c。 2.已知c|ab，(b,c)=1,则c|a。 3.唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 n= p11a× p22a×...×p k k a（#) 其中p1 ②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。约数个数为3的是质数的平方。 ③质因数分答案：把数字分答案，使他满足积是平方数。 ④立方和：A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2)。 8.十进制自然数表示法，十进制和二进制，八进制，五进制等的相互转化。 9.周期性数字：abab=ab×101 1.全面掌握数论的几大知识点，能否在考试中取得高分，解出数论的压轴大题是关键。 2.牢记基本公式，并在解题中灵活运用公式。 例1:将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4×3×2×1=24）。将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。请求出这24个四位数中最大的一个。 例2：一个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？ 例3：由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？ 例4：从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？ 例5：一根木棍长100米，现从左往右每6米画一根标记线，从右往左每5米作一根标记线，请问所有的标记线中有多少根距离相差4米？ 例6：某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，…,12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？ 福师12秋《初等数论》练习题 注： 本课程练习题所提供的答案仅供学员在学习过程中参考之用，有问题请到课程论坛提问。 一、填空 1、 20132013的个位数为 解析：本题考核的知识点为同余 2、求所有正约数的和等于15的最小正数为 解析：本题考核的知识点为约数 3、模13的绝对值最小的完全剩余系为 解析：本题考核的知识点为完全剩余系 4、若1211,,,b b b 是模11的一个完全剩余系，则 1211315,315,,315b b b +++ 也是模11的 剩余系。 解析：本题考核的知识点为完全剩余系 5、 k 个整数12,,,k a a a 形成模m 的简化剩余系的充要条件是： 解析：本题考核的知识点为简化剩余系 6、求不定方程组: 1531003100x y z x y z ?++=???++=? 的正整数解为 解析：本题考核的知识点为不定方程组 7.不定方程222x y z +=的满足0,0,0,(,)1,2|x y z x y x >>>=的一切整数解可表为 解析：本题考核的知识点为不定方程的整数解 8.2160的正约数的个数为 解析：本题考核的知识点为约数 9. 设m 是一个大于1的整数，(,)1a m = ,若 12(),,,m b b b ?是m 的一个简化剩余系，则 12(),,,m ab ab ab ? 也是模m 的 剩余系。 解析：本题考核的知识点为简化剩余系 10.模7的非负最小完全剩余系为 解析：本题考核的知识点为完全剩余系 11.自279到577的整数中是17倍数的整数个数为 解析：本题考核的知识点为倍数 12. 叙述欧拉定理： 解析：本题考核的知识点为欧拉定理 13.157! 的标准分解式中中素数7的指数为 解析：本题考核的知识点为标准分解式 14、不定方程的1510619x y z ++=的全部整数解为 解析：本题考核的知识点为不定方程的整数解 15．模13的互素剩余系为 解析：本题考核的知识点为互素剩余系 二、22 9|,3|,3|a b ab a b ++设证明： 解析：本题考核的知识点为整除. 提示：且 优秀篇 奇偶性 1.（1984 年第1 届迎春杯试题）有6 个学生都面向南站成一行，每回只能有5 个学生向后转，则最 少要转回就能使这6 个学生都面向北． 2.是否可在下列各数之间添加加号或者减号，使得等式成立？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 45 若可以，请写出符合条件的等式；若不可以，请说明理由。 位值原理 3.(2009 年第7 届希望杯5 年级2 试第4 题，5 分)一个十位数字是0 的三位数，等于它的各位数字 之和的67 倍，交换这个三位数的个位数字和百位数字，得到的新三位数是它的各位数字之和的倍。 4. a ，b ，c 分别是三位数中的不同的数码，用a ，b ，c 共可组成六个三位数，如果其中五个三位 数之和是2234 ，那么另一个三位数是几？ 数的整除 5.（2008 年西城实验数学水平测试）一个自然数的末两位数字为17，它的数字和为17，且能被17 整除．请你写出满足条件的最小五位自然数： 6. 300301302303304…998999 能否被11 整除？如果不能，那么余数是多少？ 7. 已知一个五位回文数等于45 与一个四位回文数的乘积（即abcba = 45?deed ），那么这个五位回文 数最大的可能值是. 8. （2008 年第6 届走美杯4 年级决赛第6 题，10 分）207 ，2007 ，20007 ，等首位是2 ，个位 是7 ，中间数字全部是0 的数字中，能被27 整除而不被81整除的最小数是。 9. 六位数20□□08 能被99 整除，□□是. 10.在小于5000 的自然数中，能被11 整除，并且数字和为13 的数，共有个． 一、整除理论 1． 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。 2． 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。 证明：设不然，n 1 = n 2n 3，n 2 ≥ p ，n 3 ≥ p ，于是n = pn 2n 3 ≥ p 3 ， 即p ≤3n ，矛盾。 3． 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。 写a = 3q 1 + r 1，b = 3q 2 + r 2，r 1, r 2 = 0, 1或2， 由3∣a 2 + b 2 = 3Q + r 12 + r 22知r 1 = r 2 = 0，即 3∣a 且3∣b 4． 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。 设给定的n 个整数为a 1, a 2, , a n ，作 s 1 = a 1，s 2 = a 1 + a 2， ，s n = a 1 + a 2 + + a n ， 如果s i 中有一个被n 整除，则结论已真，否则存在s i ，s j ，i < j ， 使得s i 与s j 被n 除的余数相等，于是n ∣s j - s i = a i + 1 + + a j 5． 设a ，b ，c 是正整数，证明：) ,)(,)(,(),,(],][,][,[],,[2 2a c c b b a c b a a c c b b a c b a = 因为 ，故只须证明(a , b , c )(ab , bc , ca ) = (a , b )(b , c ) (c , a )，此式用 类似于例3的方法即可得证。 6． 设k 是正奇数，证明：1 + 2 + …… + 9∣1k + 2k + …… + 9k 。 设s = 1k + 2k + + 9k ，则由2s = (1k + 9k ) + (2k + 8k ) + + (9k + 1k ) = 10q 1及2s = (0k + 9k ) + (1k + 8k ) + + (9k + 0k ) = 9q 2得10∣2s 和9∣2s ，于是有90∣2s ，从而1 + 2 + + 9 = 45∣s 7． 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。 只须证 ，即只须证(b , a + b ) = (a , b )，此式显然。 8． 用扩展欧几里德算法法求整数x ，y ，使得1387x - 162y = (1387, 162)。 作辗转相除：1387 = (-162)?(-8) + 91，-162 = 91?(-2) + 20，91 = 20?4 + 11，20 = 11?1 + 9，11 = 9?1 + 2，9 = 2?4 + 1，2 = 1?2 + 0，由此得n = 6，q 1 = -8，q 2 = -2，q 3 = 4，q 4 = 1，q 5 = 1，q 6 = 4，x = (-1)n -1Q n = 73，y = (-1)n P n = 625，又(1387, 162) = r n = 1，故1387?73 - 162?625 = 1 = (1387, 162) 9. 若四个整数2836，4582，5164，6522被同一个大于1的整数除所得的余数相同，且不等于零，求除数和余数各是多少。 设除数为d ，余数为r ，则由 d ∣4582 - 2836 = 1746，d ∣5164 - 4582 = 582，d ∣6522 - 5164 = 1358 知d ∣(1746, 582, 1358) = 194，由此得d = 97，r = 23或d = 194，r = 120 一． 质数与合数 1．基本概念 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数. 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数. 考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点. ⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注 意. 2.部分特殊数字的分解 111337=?；100171113=??；1111141271=?；1000173137=?；199535719 =???； 1998233337=????；200733223=??；2008222251=???；10101371337=???. 3. 判断一个数是否为质数的方法 根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q(均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数. 例如：149很接近1441212=?，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数. 二、约数与倍数 1．1求最大公约数的方法 ①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如：2313711=??，22252 237=??，所以(231,252)3721=?=； ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：21812 396，所以(12,18)236=?=； 知识框架 数论模块综合复习 https://www.wendangku.net/doc/cd13111042.html, 《初等数论》习题集 第1章 第 1 节 1. 证明定理1。 2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。 3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。 4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。 5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为 a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数） 的形式。 第 2 节 1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。 2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。 3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。 4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。 5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？ 6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。 第 3 节 1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。 2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。 3. 证明定理4的推论1和推论3。 4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。 5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。 6. 设n 是正整数，求1 223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。 第 4 节 1. 证明定理1。 2. 证明定理3的推论。 3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。 4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。 5. 设a ，b ，c 是正整数，证明： ) ,)(,)(,(),,(],][,][,[],,[2 2a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。 6. 设k 是正奇数，证明：1 + 2 + + 9∣1k + 2k + + 9k 。 第一章 §1 1 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。 存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ,,,222111 又n q q q ,,,21 是任意n 个整数 m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211 即n n a q a q a q 2211是m 的整数 2 证： )12)(1()12)(1( n n n n n n n )1()1()2)(1( n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6 n n n n n n )1()1()2)(1(/6 n n n n n n 从而可知 )12)(1(/6 n n n 3 证： b a , 不全为0 在整数集合 Z y x by ax S ,|中存在正整数，因而 有形如by ax 的最小整数00by ax Z y x ,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax 则 S b q y y a q x x r )()(00，由00by ax 是S 中的最小整数知0 r by ax by ax /00 下证8P 第二题 by ax by ax /00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000 ).,/(00b a by ax 又有b b a a b a /),(,/),( 00/),(by ax b a 故),(00b a by ax 4 证：作序列 ,2 3, ,2 , 0,2 ,,2 3,b b b b b b 则a 必在此序列的某两项之间小升初数学专项解析+习题-数论篇-通用版(附答案)
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