初中数学竞赛专题选讲
识图
一、内容提要
1.几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。
2.几何图形就是点,线,面,体的集合。点是组成几何图形的基本元素。《平面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。
3.几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独研究点、线、面、体,要靠正确的想像
点:只表示位置,没有大小,不可再分。
线:只有长短,没有粗细。线是由无数多点组成的,即“点动成线”。面:只有长、宽,没有厚薄。面是由无数多线组成的,“线动成面”。4.因为任何复杂的图形,都是由若干基本图形组合而成的,所以识别图形的组合关系是学好几何的重要基础。
识别图形包括静止状态的数一数,量一量,比一比,算一算;运动状态中的位置、数量的变化,图形的旋转,摺叠,割补,并合,比较等。还要注意一般图形和特殊图形的差别。
二、例题
例1.数一数甲图中有几个角(小于平角)?乙图中有几个等腰三角形?丙图中有几全等三角形?丁图中有几对等边三角形?
E
解:甲图中有10个角:∠AOB, ∠AOC,∠BOC,∠BOD,∠COD, ∠COE,∠DOE,∠DOA,∠EOA,∠EOB.如果OA和OC成一直线,则少一个∠AOC,余类推。
乙图中有5个等腰三角形:△ABC,△ABD,△BDC,△BDE,△DEC 丙图中有全等三角形4对:(设AC和DB相交于O)
△AOB≌△COD,△AOD≌△BOC,△ABC≌△CDA,△BCD≌△DAB。
丁图中共有等边三角形48个:
边长1个单位:顶点在上▲的个数有 1+2+3+4+5=15
顶点在下▼的个数有 1+2+3+4=10
边长2个单位:顶点在上▲的个数有 1+2+3+4=10
顶点在下▼的个数有 1+2=3
边长3个单位:顶点在上▲的个数有 1+2+3=6
边长4个单位:顶点在上▲的个数有 1+2=3
边长5个单位:顶点在上▲的个数有 1
以上要注意数一数的规律
例2.设平面内有6个点A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6,其中任意3个点都不在同一直
线上,如果每两点都连成一条线,那么共有线段几条?如果要使图形不出现
有4个点的两两连线,那么最多可连成几条线段?试画出图形。
(1989年全国初中数学联赛题)
解:从点A 1与其他5点连线有5条,从点A 2与其他4点(A 1除外)连线有
4条,从A 3与其他3点连线有3条(A 1,A 2除外)……以此类推,6个点两
两连线共有线段1+2+3+4+5=15(条),或用每点都与其他5点连线共5
×6再除以2(因重复计算)。
要使图形不出现有4个点的两两连线,那么每点只能与其他4个点连线,
共有(6×4)÷2=12(条)如下图:其中有3对点不连线:A 1A 4,A 2A 5,A 3A 6
A 5 A 4
A 3
1 2
例3.如图水平线与铅垂线相交于O ,某甲沿水平线,某乙铅垂线同时匀速前
进,当甲在O 点时,乙离点O 为500米,2分钟后,甲、乙离点O 相等;
又过8分钟,甲、乙再次离点O 相等。求甲和乙的速度比。
解:如图设甲0,乙0为开始位置,甲1,乙1为前进2分钟后位置,甲2,乙2
乙2 为再前进8分钟的位置。再设甲,乙的速度分别为每分钟x,y
米,根据题意得 ?
??-=-=500101025002y x y x 甲 O 甲1 甲2 解得12x=8y
乙1 ∴x ∶y=2∶3
乙0 答甲和乙的速度比是2比3。
例4.在三角形内(不在边上)有3个点,连同原三角形三个顶点,共6个
点,以这6个点为顶点,作出所有不重迭的三角形共有几个?
(1989年全国初中数学联赛题)
解:如图△ABC 中一个点D ,与A ,B ,C 各点连结可得3个不重迭的三角
形;再增加1个点E ,这时可连结不重迭的三角形共5个,再增加1个点F ,
又可增加2个不重迭的三角形,共有7个。
一般规律是每增加1个点,可增加不重迭的三角形2个
A A
A
F
D E E
B C D D
B C
三、练习
1. 数一数:甲图中有直角三角形__个,乙图中有等腰直角三角__个,
丙图中有全等三角形__对。
C
甲 乙
2. 平面上有5个点A ,B ,C ,D ,E ,其中A ,B ,C 三点在同一直线上,
那么以这5个点为端点的线段共有___条,记作___________
______________________________
3. 以O 为端点画6条射线OA ,OB ,OC ,OD ,OE,OF,那么可组成的角
(小于平角)最多是__个,最少是___个,试分别画出草图。
4. 在三角形内有n 个点(n 为整数)与原三角形3个顶点共n +3个点,以
这些点为顶点可连成不重迭的三角形最多有____个。
5. 下图中三角形___个其中等腰三角形__个,直角三角形___个,
全等的等腰三角形__组,每组__个, 全等的直角三角形___组,每组__个。
6. 如图长方形ABCD 中,E ,F ,G 分别在边
BC,CD,DA上,以A为一个顶点,其他两点
在B,C,D,E,F,G中任选,总共可组成的
三角形的个数是__(1987年泉州市初二数学双基赛题)
7. 平面上有6个点A,B,C,D,E,F其中任意3个点都不在同一直线
上,如果不使图形出现有3个点两两连线,那么最多可连接线段几条?
试画出草图.
8.
OC⊥AB于O,OD⊥OE于O,写出图中
相等的角:______________
互余的角:_______________
互补的角:_______________
C 如图长方形ABCD中,AB=5,BC=4,
AE=BF=1,CG=DH=2
F 那么四边形EFGH的面积是__(平方单位)
10.如图A,B,C,D四点在同一直线上,到A,B,C,D各点距离之和为最小值的点在什么位置?有几个符合条件的点?距离之和的最小值可用哪些线段的长度来表示?(1987年全国初中数学联赛题)
A B C D
11.正方形的边长为a ,以四条边长为直径,向形内作4个半圆,求这四个半圆相交所成的菊花形面积。
12.下列四图,都是由全等正方形组成的图形,其中哪一个能围成正方体?答:()
(D)
13. 甲,乙两人沿着圆周同时匀速前进,开始他们位于一条直径的两端,相
向而行,第一次相遇时,乙走了100米,第二次相遇时,甲还差60米走完一圈。求这个圆的周长。
提示:可设圆周长为x 米,并引入参数V甲,V乙列方程组解之
O
14.正方形ABCD边长为a,在点A处有个质点P,在点B处有个质点Q,
两个质点同时依反时针方向,沿正方形的边线作匀速的运动,过4秒钟,P在C处追上Q。那么 B P A
①再过__秒钟,P在_处第二次追上Q
②出发6秒钟时,P,Q这间相距__a
D 15.有长3cm,宽2cm的长方形纸片1991张,将它们按照下图所示的方法,摆在平面上,那么这1991张纸片覆盖的面积是()
(1991年泉州市初二数学双基赛题)(A)3982 (B)3986 (C)3990 (D)3999
16.一条线段(与圆相交)可把一个圆分成两部分,问四条线段最多可把圆分成____部分。(1991年泉州市初二数学双基赛题)
17.把一个矩形分成6个正方形(如图),其中最小的一个面积是1(单位平
方)那么这个矩形的面积是___(单位平方)
练习题参考答案
1. 5,8,4
2. 10
3. 15, 12
4. 1+2n
5. 16,8,8 .4,2.2,4
6. 14
7. 9
9. 11
10. 有无数多个点,在线段BC 上(包括端点),和是AD +BC
11. ()12-π
a 2
12. (A)
13. 480
14. ① 16,C ② 0.5a
15.(B)
16. 11
17. 4
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