江苏省无锡一中2020届高三数学12月考数学试题
江苏省无锡一中2020届高三数学十二月月考
数学试题
2019．12
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}
23
x x -<<，B ＝{﹣2，0，2}，则A
B ＝ ．
2．设复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ），若zi ＝1﹣2i ，则a ＋b ＝ ． 3．函数()42
x
f x =
-的定义域为 ．
4．某商场在五一黄金周的促销活动中，对5月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为 万元．
5．执行如图的伪代码后，输出的结果是 ．
6．已知实数x ，y 满足30202x y x y x -+≥??
+≥??≤?
，则3x y +的最小值为 ．
7．函数2sin()sin 3
y x x π
=-
?图像的对称轴方程为 ．
8．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为4，则此正六棱锥的体积为 ． 9．下图是函数2()A cos()13f x x π?=+-（A ＞0，?＜π）的图象的一部分，则3()4
f ＝ ．
第4题 第5题 第9题 10．如图，△ABC 是边长为2的正三角形，以A 为直角项点向外作
一等腰直角△ACD ，记DA DB m ?=，DC DB n ?=，则m ，n 中较大数的数值为 ． 11．设x ，y 均为正实数，且
33122x y
+=++，以点(x ，y )为圆心，R
＝xy 为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为 ． 12．设x ，y ∈R ，则2
2
2()()x y x y
++-
的最小值为 ． 13．已知椭圆22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)的上顶点为B ，若椭圆上离点B 最远的点为椭圆的下顶
点，则椭圆离心率的取值范围为 ．
14．若函数2
()5f x ax bx =++(a ＜0)对任意实数t ，在闭区间[t ﹣2，t ＋2]上总存在两个实
数1x ，2x ，使得12()()8f x f x -≥成立，则负数a 的最大值为 ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cosC
cos A =． （1）求角A 的值；
（2）若角B ＝6
π
，BC 边上的中线AM ，求△ABC 的面积．
16．（本小题满分14分）
在四棱锥P —ABCD 中，BC ∥AD ，PA ⊥PD ，AD ＝2BC ，AB ＝PB ，E 为PA 的中点． （1）求证：BE ∥平面PCD ；
（2）求证：平面PAB ⊥平面PCD ．
17．（本小题满分14分）
如图，河的两岸分别有生活小区ABC 和DEF ，其中AB ⊥BC ，EF ⊥DF ，DF ⊥AB ，C ，E ，F 三点共线，FD 与BA 的延长线交于点O ，测得AB ＝3km ，BC ＝4km ，DF ＝
9
4
km ，FE
＝3km ， EC ＝
3
2
km ．若以OA ，OD 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系xOy ，则河岸DE 可看成是曲线x b
y x a
+=
+（其中a ，b 为常数）的一部分，河岸AC 可看成是直线y ＝kx ＋m （其中k ，m 为常数）的一部分．
（1）求a ，b ，k ，m 的值；
（2）现准备建一 座桥MN ，其中M ，N 分别在DE ，AC 上，且MN ⊥AC ，设点M 的横坐标为t ．①请写出桥MN 的长l 关于t 的函数关系式()l f t =，并注明定义域；②当t 为何值时，l 取得最小值? 最小值是多少？
18．（本小题满分16分）
己知椭圆C ：22
221y x a b
+=(a ＞b ＞0)经过点(2，1)，F(0，1)是C 的一个焦点，过F 点
的动直线l 交椭圆于A ，B 两点．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求△OAB 面积的最大值； （3）是否存在定点M （异于点F ），对任意的动直线l （斜率存在）都有k MA ＋k MB ＝0，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分16分）
已知函数2
1()ln 2
f x x ax x =-
+，函数()23g x x =-+． （1）当a ＝2时，求()f x 的极值；
（2）讨论函数1
()()()2
F x f x ag x =+
的单调性； （3）若对任意的a ∈[﹣2，﹣1]和1x ，2x ∈[1，2]，不等式121()()()f x f x t g x -≤-
2()g x 恒成立，求实数t 的最小值．
20．（本小题满分16分）
若一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于 2，则称这个数列为“阿当数列”．
（1）若数列{}n a 为“阿当数列”，且113a m =-，21
a m
=，34a =， 求实数m 的取值范围；
（2）是否存在首项为1的等差数列{}n a 为“阿当数列”，且其前n 项和n S 满足
2n S n n <+？请证明你的结论；
（3）已知等比数列{}n a 的每一项均为正整数，且{}n a 为“阿当数列”，2
3
n n b a =
，5
(1)2
n
n n a c n -=
+?， 当数列{}n b 不是“阿当数列”时， 试判断数列{}n c 是否为“阿当数列”，并说明理由．
附加题（共4题，满分40分）
21．（本小题满分10分）
设矩阵M ＝ 02 1a ??
??
??
的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的方程为x 2＋y 2＝1．求曲线C 的方程． 22．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程是
2
2
x y t ?
=??
?
?=+??
（t 为参数），以
O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为2cos()4
π
ρθ=+
．
（1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；
（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．
23．（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 是直角三角形，AB ＝AC ＝1，AA 1＝2，点P 是棱BB 1上一点．
（1）若BP ＝
1
3
BB 1，求直线PC 与平面A 1BC 所成角的正弦值； （2）若二面角P —A 1C —B 的正弦值为
2
3
，求BP 的长．
24．（本小题满分10分）
已知n 位数满足下列条件：①各个数字只能从集合{1，2，3，4}中选取；②若其中有数字4，则在4的前面不含2，将这样的n 位数的个数记为n a ．
（1）求2a ，3a ，并求数列{}n a 的通项公式；
（2）对于集合A ＝{1a ，2a ，…，n a } (n ≥3)，定义集合S ＝{}
, 1i j x x a a i j n =+≤<≤，
求集合S 中所有元素之和．
参考答案
1．{0，2} 2．﹣3 3．(0，2) 4．12 5．28 6．﹣5
7．6
2
k x π
π
=
+
，k ∈Z 8．12 91 10．6+
11．2
2
(4)(4)256x y -+-= 12．4 13．(0，
2
] 14．﹣2 15．（1）∵，∴
，
由正弦定理得，
即，
∵
，∴
，∴
，
又∵，∴，∴
；
（2）由（1）知，∴，
，
设，则
，又∵
在中，由余弦定理：
得
即
，
故. 16．证明：（1）取PD 的中点F,连接EF,CF.因为E 为PA 的中点， 所以，， 因为
,
,
所以,.
所以四边形BCFE为平行四边形.
所以
因为平面PCD,平面PCD,
所以平面
(2)因为,E为PA的中点,
所以.
因为,
所以
因为,平面PCD,平面PCD,,所以平面
因为平面PAB,
所以平面平面
17．（1）将，两点坐标代入到中，得：
，解得：；
再将，两点坐标代入到中，
得：，
解得：；
（2）①由（1）知直线的方程为，即。设点的坐标分别为，则利用点到直线的距离公式，
得：，
又由点，向直线作垂线时，垂足都在线段上，
所以，所以（）；
②因为，所以，
则
，
当且仅当，即时取等号，
即，
即当时，取得最小值，最小值为。
18．
（2）△OAB；
（3）
19．
20．
21．由题意，矩阵的特征多项式，因为矩阵有一个特征值为，所以，解得。
所以，即，代入方程，得，即曲线的方程为
22．解:(I),,
圆C的直角坐标方程为,
即,圆心直角坐标为.
直线l的普通方程为,
圆心C到直线l距离是,
直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是
23．