点线面的位置关系
点线面的位置关系
一、选择题
1．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段AC 1上有两个动点E ，F ，且。出下列四个结论
①CE ⊥BD ；
②三棱锥E —BCF 的体积为定值；
③△BEF 在底面ABCD 内的正投影是面积为定值的三角形； ④在平面ABCD 内存在无数条与平面DEA 1平行的直线 其中，正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2．正方体1111ABCD A BC D -中，异面直线AC 和A 1D 所成角的余弦为 （ ）
A ．
12 B ．2 C ．0 3．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β? B ．若//,//l ααβ，则l β? C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥
4．如图，在底面边长为a 的正方形的四棱锥P ABCD -中，已知PA AC ⊥平面，且
PA a =，则直线PB 与平面PCD 所成的角的余弦值为（ ）
A ．
12 B ．13 C ．2
D ．2 5．下列命题中a 、b 、l 表示不同的直线，α表示平面，其中正确的命题有（ ） ①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ； ②若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；
③若a ?α，b ?α，且a 、b 不相交，则a ∥b
④若a ?α，b ?α，a ∩b ＝A ，l ?α，且l 与a 、b 均不相交，则l ∥α A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
6．在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、能相交于点P ，那么（ ） A ．点必P 在直线BD 上 B ．点P 必在直线AC 上 C ．点P 必在平面BCD 内 D ．点P 必在平面ABC 外
7．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于（ ）
A B C ．45 D ．23
8．（本题满分10分）三棱柱111ABC A B C -，1A A ⊥底面ABC ，且ABC ?为正三角形，且，D 为AC 中点．
（1）求证：平面1BC D ⊥平面11AA CC （2）若AA 1=AB=2，求点A 到面BC 1D 的距离．
9．（本题满分8分）如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E ，F 分别为棱AD ，AB 的中点．
（1）求证：EF ∥平面11D CB ；
（2）求CB 1与平面11C CAA 所成角的正弦值．
10．（文）如图，已知四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE=EB=BC=2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．
（1）求证：AE//平面BDF ； （2）求三棱锥D －ACE 的体积． 11．（12分
）如图，在直棱柱
1111//ABCD A BC D AD BC -中，，
190,,1, 3.BAD AC BD BC AD AA ∠=⊥=== A
B
C
A 1
B 1
C 1
D
A
B
C
D
E
F
（1）证明：1AC B D ⊥；
（2）求直线111B C ACD 与平面所成角的正弦值．
12．（本小题满分12分）斜三棱柱ABC C B A -111中，侧面C C AA 11⊥底面ABC ，侧面C C AA 11是菱形，160A AC ∠= ，3=AC ，2==BC AB ，E 、F 分别是11AC ，AB 的中点．
C 1
B 1
A 1
F
E
C
B
A
（1）求证：EF ∥平面11BB C C ； （2）求证：CE ⊥面ABC ．
（3）求四棱锥11B BCC E -的体积．
13．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点
A
求证：（1）直线EF ∥平面PCD ； （2）平面BEF ⊥平面PAD
14．如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（ ）
A ．AC ⊥SB
B ．AB ∥平面SCD
C ．SA 与平面SB
D 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角
15．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是?=∠60DAB 且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ，G 为AD 的中点．
（1）求证：BG ⊥PD ；
（2）求 点G 到平面PAB 的距离。
16．（本题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=?，
11
2
AC BC AA ==
，D 是棱1AA 上的动点．
（Ⅰ）证明：BC DC ⊥1；
（Ⅱ）若平面BDC 1分该棱柱为体积相等的两个部分，试确定点D 的位置，并求二面角
11C BD A --的大小．
17．（本题满分14分）本题共有2小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分． 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动．
（1）证明：11D E A D ⊥；
（2）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为
4
π． 18．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，O 是AC 的中点，A 1O ⊥平面ABC ， ?=∠90BCA ，BC AC AA ==1．
（1）求证： AC 1⊥平面A 1BC ；
（2）若AA 1=2，求点C 到平面11ABB A 的距离。
三、新添加的题型
19． （本小题12分）第（1）小题5分，第（2）题7分
如图，在四棱锥中ABCD P -中，底面ABCD
为
，060BAD ∠=，2===AD PD PA ，点M 在线段PC 上，且MC PM 2=，AD 的中点．
（1）求证：BC ⊥平面PNB ；
（2）若平面⊥PAD 平面ABCD ，求三棱锥P NBM -的体积； 20．（本小题13分）第（1）小题6分，第（2）题7分
如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，3=AC ，5AB =，4=BC ，点D 是AB 的中点。
x
（1）求证：11//CDB AC 平面； （2）求证：1BC AC ⊥；
21．若,αβ为两个不同的平面，,m n 为不同直线，下列推理: ①若,,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥⊥则直线；
②若直线//m n m n αα⊥⊥平面，直线直线，则直线平面； ③若直线//m n ，,m n αβαβ⊥?⊥，则平面平面；
④若平面//,m n m αββα⊥?⊥平面，直线平面，则直线直线n ； 其中正确说法的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 22．（本小题满分13分，（1）小问6分，（2）小问7分）
如图，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，BC AD //，
90=∠BAD ，⊥
PA 底面ABCD ，且AB PA =，M 、N 分别为PC 、PB 的中点．
（1）求证：//MN 平面PAD ； （2）求证：DM PB ⊥．
23．如图，在三棱锥ABC D -中，若BC AB =，CD AD =，E 是AC 的中点，则下列命题中正确的是（ ）
N
M
D
A C
B
P
A ．平面⊥ABC 平面ABD
B ．平面⊥BCD 平面ABD
C ．平面⊥ABC 平面BDE ，且平面⊥AC
D 平面BD
E D ．平面⊥ABC 平面ACD ，且平面⊥ACD 平面BDE 24．（13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，
90ABC BCD ∠=∠=，面
PAD ⊥
面
ABCD
，
1,2,PA PD CD BC AB AD ======
（1）证明：AP ⊥面PBD ；
（2）若点E 是线段PB 上一点，且2PE EB =
，求三棱锥
P ADE -的体积。
25．（13分）如图，在四面体P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，3,4,5AB AC BC ===，且、、、G 分别为BC 、PC 、AB 、PA 的中点．
（1）证明：FG ∥平面ADE ；
（2）若直线PD 与平面ABC PA 的长。 26．已知正方体1111D C B A ABCD -，点P ，Q ，R 分别是线段B B 1，AB 和1AC 上的动点，观察直线CP 与1D Q ，CP 与1D R ．给出下列结论：
E
D
C
B
①对于任意给定的点P ，存在点Q ，使得1D Q ⊥CP ； ②对于任意给定的点Q ，存在点P ，使得CP ⊥1D Q ； ③对于任意给定的点P ，存在点R ，使得1D R ⊥CP ； ④对于任意给定的点R ，存在点P ，使得CP ⊥1D R ． 其中正确的结论是 （ ）
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
27．如图，直三棱柱111C B A ABC -中，0
90=∠BCA ，点11,F D 分别是1111,C A B A 的中点，若
12CC CA BC ==，则1BD 与1AF 所成的角是 （ ）
A ．0
30 B ．0
45 C ．0
60 D ．0
90
28．对于平面α和两条不同的直线m 、n ,下列命题是真命题的是 （ ） A ．若n m ,与α所成的角相等,则n m //
B ．若,//,//ααn m
则n m // C ．若n m m ⊥⊥,α,则α//n D ．若αα⊥⊥n m ,,则n m //
29．（本小题满分14分）如图，已知六棱柱111111ABCDEF A BC D E F -的侧棱垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，M ，N 分别是棱AB ，1AA 上的点，且1AM AN ==．
Q
D A
B C
A 1
B 1
C 1
D 1 P R
（1）证明：M ，N ，1E ，D 四点共面； （2）求直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值．
30．（本小题满分13分）如图甲，在平面四边形A B C D 中，已知
45A ∠= ,90C ∠= ,105ADC ∠= ,AB BD =,现将四边形ABCD 沿BD 折起，使
平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E ，F 分别为棱AC ，AD 的中点．
（1）证明DC ⊥平面ABC ；
（2）求BF 与平面ABC 所成角的正弦值； （3）求二面角B EF A --的余弦值． 31．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为菱形，⊥PD 平面ABCD ，2==AD PD ，?=∠60BAD ，E 、F 分别为BC 、PA 的中点．
（1）求证：⊥ED 平面PAD ； （2）求三棱锥DEF P -的体积． 32．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分．
如图,四棱锥A B C D P -的
底面A B C D 为菱形,⊥PD 平面C 1
A
B
A 1
B 1
D 1
C
D
M N
E
F E 1
F 1
E P
A
C
D
F
ABCD ,2==AD PD ,?=∠60BAD ,E 为BC 的中点．
（1）求证：⊥ED 平面PAD ；
（2）求平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角大小的余弦值．
33．如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，1AB =，12AA =,
M 是1AB 上的动点，且1AB AM λ=,N 是1CC 的中点.
（1）若2
1
=
λ，求证：平面1ANB ⊥平面11ABB A ； （2）若直线MN 与平面ABN 所成角的大小为14
3
arcsin
，试求λ的值. 34．（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中,PAC ⊥平面平面ABCD ,ABC ?是边长为4的正三角形,AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点,又120ADC ∠=
,点N 在线段PB
上,且
1
3PN NB =. E P
A
C
D
B
A
C
B A 1
C 1
B 1
M
N
（1）求证：PA BD ⊥； （2）求证：//MN 平面PDC .
35．（本小题满分10分）直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，2AB =，4AC =，13AA =. D 是BC 的中点.
（1）求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值； （2）求二面角111B A D C --的大小的余弦值.
36．（本小题满分14分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ACC 是边长为2的菱形，160A AC ∠= ．在面ABC
中，AB =4BC =，M 为BC 的中点，过11,,A B M 三点的平面交AC 于点N ．
1
A 1
B 1
C D
A
C
B
C
B
P
（1）求证：N 为AC 中点；
（2）求证：平面11A B MN ⊥平面11A ACC ．
37．（本小题满分14分）如图，ABC ?是边长为4的等边三角形，ABD ?是等腰直角三角形，AD BD ⊥，平面ABC ⊥平面ABD ，且EC ⊥平面ABC ，2EC =.
（1）证明：//DE 平面ABC ； （2）证明：AD ⊥BE .
38．已知直线l ，平面,,αβγ，则下列能推出//αβ的条件是 A.l α⊥，//l β B.//l α，//l β C.α⊥γ，γβ⊥ D.//αγ，//γβ
39．．（本小题满分14分）如图，已知三棱锥O ABC -的三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，△ABC 为等边三角形， M 为△ABC 内部一点，点P 在OM 的延长线上，且PB PA =．
B
C
A 1
B 1
C 1
M
N A
（1）证明：OB OA =；
（2）证明：平面⊥PAB 平面POC ；
（3
）若PA
，OP =，求二面角B OA P --的余弦值．
40．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，
//AD BC ，90ADC ∠=?，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC
上的点，2PA PD AD ===，1BC =
，CD ．
（1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；
（2）若二面角M BQ C --为
30，设PM t MC =?，试确定 t 的值．
41．（本题满分12分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问6分）如图一，ABC ?是正三角形，ABD ?是等腰直角三角形，2==BD AB ．将ABD ?沿AB 折起，使得
ABC ABD 面面⊥， 如图二, E 为AC 的中点
O
B
C
P
M
?
（Ⅰ）求证：AC BD ⊥； （Ⅱ）求ADC ?的面积；
（Ⅲ）求三棱锥BDE A -的体积．
42．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
A ．若//,,l n αβαβ??，则//l n
B ．若,l n m n ⊥⊥，则//l m
C ．若,l αβα⊥?，则l β⊥
D ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥
43．如图，直三棱柱（侧棱垂直于底面）111C B A -ABC 中，1CC 2
1
CB CA ==，点D 是棱1AA 的中点，且BD D C 1⊥.
（1）求证：CB CA ⊥；
（2）求直线CD 与平面BD C 1所成角的正弦值.
44．已知c b ,,a 是三条不同的直线，命题：“a ∥b 且c b c a ⊥?⊥”是真命题，如果把
c b ,,a 中的两条直线换成两个平面，在所得3个命题中，真命题的个数为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
45．如图，三棱柱111ABC A B C -侧棱垂直于底面,4AB =,3AC BC ==,D 为AB 的中点.
D A B
C
?
A
B
C
1A 1
B 1
C
（Ⅰ）求证：1//AC 平面1B CD
（Ⅱ）若1
1AB AC ⊥,求二面角11A CD B --的余弦值.
46．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，
2,CA CB CD BD AB AD ======
B
（Ⅰ）求证：AO
⊥平面BCD ； （Ⅱ）求点E 到平面ACD 的距离.
47．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面A B C D ，
1AB BC PA ===，
E 为PD 的中点，点N 在面PAC 内，且NE ⊥平面PAC ，则点N 到AB 的距离为
48．三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，
AB AC ⊥，
N 是BC 的中点，点P 在11A
B 上，且满足111A P A B λ
=
，直线
PN 与平面ABC 所成角θ的正切值取最大值时λ的值为（ ） A.
12 B.2
49．在四面体ABCD 中，AB AD ⊥
，1AB AD BC CD ==
==，且平面ABD ⊥平面BCD ，
M
为AB 中点，则CM 与平面ABD 所成角的正弦值为（ ）
50．如图所示，在三棱锥D ABC -中，1,AB BC CD AC ====ACD ⊥平面
ABC ，90BCD ∠=o ．
（1）求证：CD ⊥平面ABC ；
（2）求直线BC 与平面ABD 所成角的正弦值．
51．（本小题满分15分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，⊥PA 平面ABCD ，点,M N 分别为,BC PA 的中点，且2==PA AD ，1=AB
，AC
（Ⅰ）证明：//MN 平面PCD ；
（Ⅱ）求直线MN 与平面PAD 所成角的正切值．
52．若,,l m n 是互不相同的空间直线，,αβ是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A.//,,//l n l n αβαβ??? B.,l l αβαβ⊥??⊥ C.,//l n m n l m ⊥⊥? D.,//l l αβαβ⊥?⊥
53．若,,l m n 是不相同的空间直线，,αβ是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A.//,,//l n l n αβαβ??? B. ,//l n m n l m ⊥⊥? C. ,//l l αβαβ⊥?⊥ D. ,l l αβαβ⊥??⊥
54．（本题满分15分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，22AC PC ==，AC BC ⊥，D 、E 、F 分别为AC 、AB 、AP 的中点，M 、N 分别为线段PC 、PB 上的动点，且有//MN BC ．
D
B
（1）求证：MN ⊥面PAC ；
（2）探究：是否存在这样的动点M ，使得二面角E MN F --为直二面角？若存在，求CM 的长度；若不存在，说明理由．
55．（本小题满分12分）如图，在几何体ABCDE 中，2AB AD BC DC ====，
22=AE ,AD AB ⊥，且ABD AE 平面⊥，ABD CBD 平面平面⊥．
（1）求证:CDE AB 平面//；
（2）求二面角D EC A --的余弦值． 56．（本小题满分12分）如图，CD AB 是正方形，D E ⊥平面CD AB .
（1）求证：C A ⊥平面D B E ；
（2）若F//D A E ，D 3F E =A ，点M 在线段D B 上，且1
D 3
BM =
B ，求证：//AM 平面F BE . 57．（本题满分12分）如图1是边长为4的等边三角形，将其剪拼成一个正三棱柱模型（如图2），使它的全面积与原三角形的面积相等。D 为A
C 上一点，且B
D ⊥DC 1．
A
D P
B
C F
E
M N
M
F
D
C
B
A
E
G
（1）求证：直线AB1∥平面BDC1
（2）求点A到平面BDC1的距离．
58．（本小题满分10分）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，60
ABC
∠=?，E，F分别是BC， PC的中点.
（1）证明：AE⊥PD；
（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正
求二面角E—AF—D
的余弦值.
59．（本小题满分14分）在三棱锥P－SBC中，A,D分别为边SB,SC的中
点
,2,4,
AB BC CD
===平面PSB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD
（1）求证：PA⊥BC；
（2）若平面PAD?平面PBC=l，求证：//.
l BC
60．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD
-中，底面ABCD为矩形，PD BC
⊥，G为PA上一点．
（1）求证：平面PCD ⊥平面ABCD ；
（2）若PC ∥平面BDG ，求证：G 为PA 的中点． 61．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，
60DAB ∠= ，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，点E ，F 分别为AB 和PD 中点．
（1）求证：直线//AF 平面PEC ；
（2）求PC 与平面PAB 所成角的正弦值．
62．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥，已知同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a ，球的半径为R ， 设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α，β，则tan()αβ+的值是 ． 63．（本小题满分12分）如图，已知三棱柱ABC-A'B'C'侧棱垂直于底面，AB=AC, ∠
BAC=900
，点M,N 分别为A'B 和B'C'的中点．
（Ⅰ）证明：MN//平面AA'C'C ；
（Ⅱ）设AB=λAA'，当A 为何值时，CN ⊥平面A'MN ，试证明你的结论．
64．如图，矩形ABCD 中,AB=2AD,E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE.若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下面四个命题中正确的是 .
P
B
C D
G
点线面之间的位置关系基础练习练习题复习.doc
精品 文 档 点、线、面之间的位置关系及线面平行应用练习 1、 平面L =?βα，点βαα∈∈∈C B A ,,，且L C ∈，又R L AB =?，过 A 、 B 、 C 三点确定的平面记作γ，则γβ?是（ ） A ．直线AC B ．直线B C C ．直线CR D ．以上都不对 2、空间不共线的四点，可以确定平面的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．1或4 D ．无法确定 3、在三角形、四边形、梯形和圆中，一定是平面图形的有 个 4、正方体1111D C B A ABCD -中，P 、Q 分别为11,CC AA 的中点，则四边形PBQ D 1是（ ） A ．正方形 B ．菱形 C ．矩形 D ．空间四边形 5、在空间四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若AC=BD ， 且BD AC ⊥，则四边形EFGH 为 6、下列命题正确的是（ ） A ． 若βα??b a ,，则直线b a ,为异面直线 B ． 若βα??b a ,，则直线b a ,为异面直线 C ． 若?=?b a ，则直线b a ,为异面直线 D ． 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线 7、在空间中：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有 公共点，则这两条直线是异面直线，以上两个命题中为真命题的是 8、过直线L 外两点作与直线L 平行的平面，可以作（ ） A ．1个 B ．1个或无数个 C ．0个或无数个 D ．0个、1个或无数个 9、b a //，且a 与平面α相交，那么直线b 与平面α的位置关系是（ ） A ．必相交 B ．有可能平行 C ．相交或平行 D ．相交或在平面内 10、直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（ ） A ．一条直线不相交 B ．两条直线不相交 C ．任意一条直线不相交 D ．无数条直线不相交 11、如果两直线b a //，且//a 平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ） A ．相交 B ．α//b C ．α?b D ．α//b 或α?b 12、已知直线a 与直线b 垂直，a 平行于平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ） A ．α//b B ．α?b C ．b 与平面α相交 D ．以上都有可能 13、若直线a 与直线b 是异面直线，且//a 平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ） A ．α//b B ．b 与平面α相交 C ．α?b D ．不能确定 14、已知//a 平面α，直线α?b ，则直线a 与直线b 的关系是（ ） A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．平行或异面
(精编)点线面之间的位置关系测试题)
点、直线、平面之间的位置关系 一、选择题 1. 若是平面外一点，则下列命题正确的是（ ） （ A ）过只能作一条直线与平面相交 （ B ）过可作无数条直线与平面 垂直 （C ）过只能作一条直线与平面平行 （D ）过可作无数条直线与平面平行 2.设l 、m 为直线，α为平面，且l ⊥α，给出下列命题 ① 若m ⊥α，则m ∥l ；②若m ⊥l ，则m ∥α；③若m ∥α，则m ⊥l ；④若m ∥l ，则m ⊥α， 其中真命题．．． 的序号是 ( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 3．设正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成的角是 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 4.如图所示，在正方形ABCD 中， E 、 F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P .那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( ) 5．下列说法正确的是（ ） A ．若直线平行于平面内的无数条直线，则 B ．若直线在平面外，则 C ．若直线，，则 D ．若直线，，则直线就平行于平面内的无数条直线 6．在下列条件中，可判断平面与平面平行的是（ ） A ．、都垂直于平面 B ．内存在不共线的三点到平面的距离相等 C ．、是内两条直线，且， D ．、是两条异面直线，且，，， 7．已知直线a ∥平面α，直线b ?α，则a 与b 的关系为（ ） A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．平行或异面1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题： ①M b M a b a ⊥????⊥// ②b a M b M a //????⊥⊥ ③????⊥⊥b a M a b ∥M ④????⊥b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是 ( ) A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 8．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当点D 到平面ABC 的距离最大时， 直线BD 和平面ABC 所成角的大小为 （ ） A ． 90 B ． 60 C ． 45 D ． 30 第4题图
点线面位置关系(知识点加典型例题)
2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1、教学重点和难点 重点：空间直线、平面的位置关系。 难点：三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换 2、三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α ，A ∈α ，B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 推论：① 一条直线和其外一点可确定一个平面 ②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该 点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 （4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么L A · α C · B · A · α P · α L β
2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面 3、异面直线所成角θ的范围是 00<θ≤900 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0，)； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 共面直线 =>a ∥c 2
高中数学空间点线面之间的位置关系的知识点总结(1)
高中空间点线面之间位置关系知识点总结 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 D C B A α L A · α C · B · A · α
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为 简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2
空间点线面的位置关系教案教学文案
精品文档 精品文档 空间点线面的位置关系 （一）教学目标： 1. 知识与技能 （1） 理解空间直线、平面位置关系的定义； （2） 了解作为推理依据的公理和定理。 （3） 会根据定理和公理进行简单的线面关系的推理和证明，并能够进 行简单的体积或面积运算 2. 过程与方法 （1） 通过对空间事物的观察，经历由具体到抽象的思维过程 （2） 通过对空间图形的描述和理解，体验由图形归纳性质的过程 3. 情感、态度与价值观 （1） 由图形归纳性质的过程中，培养学生从具体到抽象的思维能力 （2） 又实际空间物体联想空间线面关系，使学生感受到数学在实际生 活中的应用。 （二）教学重点和难点： 1、教学重点：空间中线面平行和垂直关系的性质和判定； 2、教学难点：线面平行和垂直关系判定和性质定理的应用。 （三）教学过程： 【复习引入】 提问：空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系有几种? 如何来证明线线，线面，面面的平行和垂直？ 【新课讲授】 根据空间具体事物，能够抽象地画出它的直观图形，并通过定理和公理进行推理证明是立体几何的基本问题之一．如何正确理解空间直线、平面的位置关系，能够通过定理和公理判断和推理证明平行和垂直关系是解决这个基本问题的途径。 1、高考数学（文科）考试说明的了解 2、针对性训练及讲解： 题组一：（空间点线面位置关系的判断） （1）、已知两条不同直线l 1和l 2及平面a,则直线l 1//l 2的一个充分条件是 A 、l 1//a 且l 2//a B. l 1⊥a 且l 2⊥a C.l 1//a 且l 2?a D. l 1//a 且l 2 ?a （2）、已知βα,是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题： ①若βαβα⊥?⊥，则m m ,； ②若βαββαα//,////,,则，n m n m ??；
点线面之间的位置关系的知识点总结
高中空间点线面之间位置关系知识点总结 第二章直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1平面含义：平面是无限延展的 2平面的画法及表示 (1)平面的画法：水平放置的平面 通常画成一个平行四边形，锐角画成45°，且横边画成邻边的 2倍长(如图) (2)平面通常用希腊字母a、B、Y等表示，如平面a、平面B等，也可以 用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC平面ABCD等。 3 三个公理： (1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为 公理1作用：判断直线是否在平面内 (2)公理2 :过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A B、C三点不共线=> 有且只有一个平面a, 使A€a、B€a、C€a。 公理2作用：确定一个平面的依据。 (3)公理3 :如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直 线。符号表示为：P€aQB => aPp =L，且P€ L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 1空间的两条直线有如下三种关系： f相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点; 共面直线 Y l平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c是三条直线 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4注意点： ①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与0的选择无关，为简便，点0 —般取在两直线中的一条上; ②两条异面直线所成的角(0，); ③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a丄b; a// b 2公理4：平行 =>a // c
点线面之间的位置关系的知识点汇总
点线面之间的位置关系的知识点汇总
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高中空间点线面之间位置关系知识点总结 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥b 。 2 公理4：平行于 c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面=>a ∥2
高中数学必修点线面的位置关系知识点习题答案
D C B A α 第二章直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1平面含义：平面是无限延展的 2平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面 的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线=>有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 推论1：一条直线与它外一点确定一个平面。 推论2：两条平行直线确定一个平面。 推论3：两条相交直线确定一个平面。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公 共直线。 符号表示为：P ∈α∩β=>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 1空间的两条直线有如下三种关系： A · α C · B · A · α P · α L β
c a b c b a //////?? ??ααα////b b a b a ??? ? ????相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4异面直线： ①a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便， 点O 一般取在两直线中的一条上； ②两条异面直线所成的角θ∈(0，]； ③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内——有无数个公共点 （2）直线与平面相交——有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行——没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表a αa ∩α=Aa ∥α】2.2.1直线与平面平行的判定 1、线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： 线线平行 线面平行 共面直 2π
高中数学空间点线面之间的位置关系讲义
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 一、平面 1 平面含义： 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 二、三个公理： 三、空间直线、平面之间的位置关系 D C B A α
四、等角定理： 五、异面直线所成的角 1.定义： 2.范围： 3.图形表示 4.垂直： 六、典型例题
1．下面推理过程，错误的是（ ） （A ） αα??∈A l A l ,// （B ） ααα??∈∈∈l B A l A ,, （C ） AB B B A A =??∈∈∈∈βαβαβα,,, （D ） βαβα=?∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,, 2．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（ ） （A ）1个或3个 （B ）1个或4个 （C ）3个或4个 （D ）1个、3个或4个 3．以下命题正确的有（ ） （1）若a ∥b ，b ∥c ，则直线a ，b ，c 共面； （2）若a ∥α，则a 平行于平面α内的所有直线； （3）若平面α内的无数条直线都与β平行，则α∥β； （4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。 （A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个 4．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 6 （D ） 12 5．以下命题中为真命题的个数是（ ） （1）若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α； （2）若直线a 在平面α外，则a ∥α； （3）若直线a ∥b ，α?b ，则a ∥α； （4）若直线a ∥b ，α?b ，则a 平行于平面α内的无数条直线。 （A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个 6．若三个平面两两相交，则它们的交线条数是（ ） （A ） 1条 （B ） 2条 （C ） 3条 （D ）1条或3条 7．若直线l 与平面α相交于点O ，l B A ∈,，α∈D C ,，且BD AC //，则O,C,D 三点的位置关系是 。 8．在空间中， ① 若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线。② 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线。 以上两个命题中为真命题的是 （把符合要求的命题序号填上） 9．已知长方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是1BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，1521=BB ，求异面直线D B 1与MN 所成角的余弦值。 10.正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为11D C 和11B C 的中点，P 、Q 分别为AC 与BD 、11A C 与EF 的交点. （1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若1A C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线.
空间中点线面位置关系(经典)
第一讲：空间中的点线面 一，生活中的问题？ 生活中课桌面、黑板面、教室墙壁、门的表面都给我们以“平面”形象．如果想把一个木棍钉在墙上，至少需要几个钉子？教室的门为什么可以随意开关？插上插销后为什么不能开启？房顶和墙壁有多少公共点？通过本节课学习，我们将从数学的角度解释以上现象． 二，概念明确 1，点构成线，线构成面，所以点线面是立体几何研究的主要对象。 所以：点与线的关系是_____________________，用符号______________。 线与面的关系是_____________________，用符号______________。 点与面的关系是_____________________，用符号______________。 2，高中立体几何主要研究内容：点，线，面的位置关系和几何量（距离，角） 3，直线是笔直，长度无限的；平面是光滑平整，向四周无限延伸，没有尽头的。点，线，面都是抽象的几何概念。不必计较于一个点的大小，直线的长度与粗细。 4，平面的画法与表示 描述几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限的 画法通常把水平的平面画成一个，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的倍，如图a所示，如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用 画出来，如图b所示
记法 (1)用一个α，β，γ等来表示，如图a中的平面记为平面α (2) 用两个大字的(表示平面的平行四边形的对角线的顶 点)来表示，如图a中的平面记为平面AC或平面BD (3) 用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如图a 中的平面记为平面ABC或平面等 (4) 用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的)来表示，如图a中的平面可记作平面ABCD 检验检验： 下列命题：(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一 个平面的长是50m，度是20m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为() A．1B．2C．3D．4 三，点，线，面的位置关系和表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面. 文字语言符号语言图形语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 文字语言符号语言图形语言 l在α内 l与α平行
空间点线面之间位置关系知识点总结
高中空间点线面之间位置关系知识点总结 第一章 空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线 称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这 些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。 3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. （二）空间几何体的三视图与直观图 1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 4.斜二测法：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。 重点记忆：直观图面积=原图形面积 (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 ①棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 ②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2S rl r ππ=+ ④圆台的表面积22S rl r Rl R ππππ=+++ ⑤球的表面积24S R π= ⑥扇形的面积公式213602 n R S lr π==扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径） 2、空间几何体的体积 ①柱体的体积 V S h =?底 ②锥体的体积 1 3 V S h =?底 ③台体的体积 1 )3 V S S h =+ ?下上（ ④球体的体积 343 V R π= 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理 2作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2π2π2π2r rl S +=
点 线 面之间的位置关系知识易错点及例题合集
点、线、面之间的位置关系知识易错点及例题合集 最近许多高二的同学问必修二点线面之间的知识点，普遍感觉这块非常难学，小数老师今天整理了易错点和例题给大家，作为参考！ [整合·网络构建]
[警示·易错提醒] 1、不要随意推广平面几何中的结论 平面几何中有些概念和性质，推广到空间中不一定成立．例如“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”、“垂直于同一条直线的两条直线平行”等性质在空间中就不成立． 2、弄清楚空间点、线、面的位置关系 解决这类问题的基本思路有两个：一是逐个寻找反例作出否定的判断或逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如课桌、教室）作出判断，要注意定理应用准确、考虑问题全面细致。 3、不要忽略异面直线所成的角的范围 求异面直线所成的角的时候，要注意它的取值范围是（0°，90°]。 两异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时，容易忽略这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角． 4、透彻理解直线与平面的关系 直线与平面位置关系的分类要清晰，一种分法是直线在平面内与直线在平面外（包括直线与平面平行和相交）；另一种分法是直线与平面平行（无公共点）和直线与平面不平行（直线在平面内和直线与平面相交）。 5、使用判定定理时不要忽略条件 应用直线与平面垂直的判定定理时，要熟记定理的应用条件，不能忽略“两条相交直线”这一关键点。 专题1共点、共线、共面问题 （1）、证明共面问题
证明共面问题，一般有两种证法：一是先由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是先分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合。 （2）、证明三点共线问题 证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上。 （3）、证明三线共点问题 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题。 [例1]如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F 分别为AB，AD 的中点，G，H分别在BC，CD上，且 BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，求证： （1）、E，F，G，H四点共面； （2）、EG与HF的交点在直线AC上。 证明：（1）、因为BG∶GC＝DH∶HC，所以GH∥BD。 又因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以EF∥GH，所以E，F，G，H四点共面。 （2）、因为G，H不是BC，CD的中点，所以EF∥GH，且EF≠GH，所以EG 与FH必相交。 设交点为M，而EG?平面ABC，HF?平面ACD，所以M∈平面ABC，且M ∈平面ACD。 因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M∈AC，即EG与HF的交点在直线AC 上。 归纳升华：证明共点、共线、共面问题的关键是合理地利用三个公理，做
高一数学点线面之间的位置关系知识点
高一数学点线面之间的位置关系知 识点 点线面之间的位置关系是做空间几何体的基础，这个知识点也相对简单，下面就是给大家带来的点线面之间的位置关系，希望大家喜欢！ 1.直线在平面内的判定 (1)利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内. (2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则ABα. (3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则aα. (4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若Pα，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，则aβ. (5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a∥α,A∈α， A∈b,b∥a,则bα.
2.存在性和唯一性定理 (1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条; (2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条; (3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个; (4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条; (5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个; (6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个; (7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个; (8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个. 3.射影及有关性质 (1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点. (2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影. 和射影面垂直的直线的射影是一个点;不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.
点线面之间的位置关系的知识点总结
点线面之间的位置关系的知识 点总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高中空间点线面之间位置关系知识点总结 第二章 直线与平面的位置关系 空间点、直线、平面之间的位置关系 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥b 。 2 公理4：平行于 c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2
高中数学空间点线面之间的位置关系讲义之欧阳数创编
2.1空间点、直线、平面之间的位 置关系 一、平面 1 平面含义： 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 二、三个公理： 三、空间直线、平面之间的位置关系 D C B A α
四、等角定理： 五、异面直线所成的角 1.定义： 2.范围： 3.图形表示 4.垂直： 六、典型例题 1．下面推理过程，错误的是（ ） （A ） αα??∈A l A l ,// （B ） ααα??∈∈∈l B A l A ,, （C ） AB B B A A =??∈∈∈∈βαβαβα,,,（D ） βαβα=?∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,, 2．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（ ） （A ）1个或3个（B ）1个或4个（C ）3个或4个 （D ）
1个、3个或4个 3．以下命题正确的有（） （1）若a∥b，b∥c，则直线a，b，c共面；（2）若a∥α，则a平行于平面α内的所有直线； （3）若平面α内的无数条直线都与β平行，则α∥β；（4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。 （A）1个（B）2个（C）3个（D）4个 4．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（） （A）2 （B）3 （C）6 （D）12 5．以下命题中为真命题的个数是（） （1）若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；（2）若直线a在平面α外，则a∥α； （3）若直线a∥b，α?b，则a∥α；（4）若直线a∥b，α?b，则a平行于平面α内的无数条直线。 （A）1个（B）2个（C）3个（D）4个 6．若三个平面两两相交，则它们的交线条数是（）（A）1条（B）2条（C）3条（D）1条或3条
点线面之间的位置关系
空间点、线、面之间的位置关系 一、空间点、直线、平面之间的位置关系 1、平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内； 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面； 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理4（又称平行公理）：平行于同一条直线的两条直线平行； 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么着两个角相等或互补. 2、空间中直线与直线之间的位置关系 （1）位置关系的分类 ???? ??? ?相交直线共面直线平行直线 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 （2）异面直线所成的角 ①定义：设a,b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ’∥a,b ’∥b,把a ’与b ’ 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角） ②范围：02 π?? ?? ? ， 3、空间中直线与平面之间的位置关系 位置 关系 直线a 在平面α内 直线a 与平面α相交 直线a 与平面α平行 公共 点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号 表示 a α? a A α= //a α 图形表示 4、空间中平面与平面之间的位置关系 位置关系 图示 表示法 公共点个数 两平面平行 //αβ
两平面相 交斜交 a αβ= 有无数个公共 点在一条直线 上 垂直 αβ ⊥ a αβ= 有无数个公共 点在一条直线 上 二、直线、平面平行的判定及其性质 1、直线与平面平行的判定与性质 （1）判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行； （2）性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行； 2、平面与平面平行的判定与性质 （1）判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； （2）性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 注：能否由线线平行得到面面平行？（可以。只要一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，这两个平面就平行） 三、直线、平面垂直的判定及其性质 1、直线与平面垂直 （1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直；（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直； 2、平面与平面垂直 （1）定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直； （2）判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直； （2）性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 注：垂直于同一平面的两平面是否平行？（可能平行，也可能相交） 【热点难点精析】 一、空间点、直线、平面之间的位置关系 （一）平面的基本性质及平行公理的应用 1、平面的基本性质的应用 （1）公理1：可用来证明点在平面内或直线在平面内； （2）公理2：可用来确定一个平面，为平面化作准备或用来证明点线共面； （3）公理3：可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线，三线共点。 2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。 3、公理2的推论： （1）经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； （2）经过两条相交直线，有且只有一个平面； （3）经过两条平行直线，有且只有一个平面。 4、点共线、线共点、点线共面
空间点线面之间的位置关系
空间点线面之间的位置关系 一、平面 1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象． 平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量． 2.平面的表示方法： (1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角 画成45o ，横边画成邻边的2倍长，如右图． (2)两个相交平面： 画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图） 3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言 空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直 线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示点、线、面的基本位置关系如下表所示： α B A β α A B α β α βB A A β αB
l αβ=I 平面α、β相交于直线l 二、平面的基本性质 1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 推理模式： A A B B ααα∈? ???∈? ． 如图示： 或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α? 公理1的作用：①判定直线是否在平面内； ②判定点是否在平面内； ③检验面是否是平面． 2. 公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ? ? ∈???∈? 不共线与β重合 或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． (1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据． (2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 2. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,有且只有一条过该点的公共直线 推理模式： A A l A ααββ∈? ?∈=?∈? I 如图示： 或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈I 公理3的作用： (1)判断两个平面是否相交及交线位置； (2)判断点是否在线上 1、证明空间三点共线问题 通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面内，又在第二个平面内。 2、证明空间三线共点 可把其中一条作为分别过其余两条的两个平面的交线，然后再证明另两条直线的交点在此直线上。 3、证明空间几点共面问题 B A α