2005年高考试题分类解析(数列,数学归纳法)
2005年全国高考数学试题分类汇编——数列·数学归纳法
1. (2005全国卷II 文科第7题)
如果数列{}n a 是等差数列，则( )
(A)1845a a a a +<+
(B) 1845a a a a +=+ (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a =
2. (2005全国卷II 文科第13题)
在83和27
2
之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_______．
3. (全国卷II 理科第11题)
如果128,,,a a a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) (A)1845a a a a > (B) 1845a a a a < (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a =
4．（2005湖南卷文科第5题）
已知数列}{n a 满足)(1
33,0*11N n a a a a n n n ∈+-=
=+，则20a =
（ ）
A ．0
B ．3-
C ．3
D ．
2
3
5．（2005湖南卷理科第3题）
已知数列{log 2(a n －1)}（n ∈N *）为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5，则
lim 2132
111
1
(
)n n n
a a a a a a →∞
++++
---=
（ ）
A ．2
B ．
2
3
C ．1
D ．
2
1
6. （2005湖北卷理科第15题）
设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为 . 7．（2005江苏卷第3题）
在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5=( ) ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189 8．（2005山东卷文科第1题）
{}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =2005，则序号n 等于( )
（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670
9
．（2005福建卷理科第2题）
已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是 （ ） A ．15
B ．30
C ．31
D ．64
10．（2005天津卷文科第14题）
在数列{a n }中, a 1=1, a 2=2,且)( )1(12*+∈-+=-N n a a n n n ，则10S =_ ___.
11．（2005天津卷理科第13题）
在数列{a n }中, a 1=1, a 2=2,且)( )1(12*+∈-+=-N n a a n n n ，则100S =__ .
12．（2005辽宁卷第12题）
一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)
(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*
1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是 （ ）
（A ） （B ） （C ） （D ）
13．（2005广东卷第10题）
已知数列{}n x 满足122x x =，()121
2
n n n x x x --=+，3,4,n =…．若lim 2n n x →∞=，则( )
（Ａ）
3
2
（Ｂ）３ （Ｃ）４ （Ｄ）５
14. （2005广东卷第14题）
设平面内有ｎ条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三角形不过同一点．若用()f n 表示这ｎ条直线交点的个数，则(4)f _______；当ｎ＞４时，()f n ＝_______．
15. （2005北京卷第14题）
已知n 次多项式1
011()n n n n n P x a x a x a x a --=++
++,
如果在一种算法中，计算0k
x （k ＝2，3，4，…，n ）的值需要k －1次乘法，计算30()P x 的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），
（文科）那么计算100()P x 的值共需要 次运算． （理科）那么计算0()n P x 的值共需要 次运算． 下面给出一种减少运算次数的算法：0011(),()()k k k P x a P x xP x a ++==+ （k ＝0， 1，2，…，n －1）．利用该算法，计算30()P x 的值共需要6次运算， （文科）计算100()P x 的值共需要 次运算． （理科）计算0()n P x 的值共需要 次运算．
16. [ 2005上海理科第12题，文科第16题（选择题）]
用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行
的数阵。对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记in n
i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，!,,3,2,1n i =。
例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，
2412312212621-=?-?+-=+++b b b ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12021b b b +++ =__________。
1 2 3
1 3
2 2 1
3 2 3 1 3 1 2 3 2 1
17. (2005全国卷Ⅰ文科第21题) 设正项等比数列{}n a 的首项2
11=a ，前n 项和为n S ，且0)12(2102010
3010=++-S S S 。 （Ⅰ）求{}n a 的通项； （Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T 。
18. (2005全国卷Ⅰ理科第19题，满分12分)
设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和),2,1( 0 =>n S n 。 （Ⅰ）求q 的取值范围； （Ⅱ）设122
3
++-
=n n n a a b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小。
19. (2005全国卷II 文科第19题)
已知{}n a 是各项为不同的正数的等差数列，1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列．又21
n
n b a =
，1,2,3,n =．
(Ⅰ) 证明{}n b 为等比数列；
(Ⅱ) 如果数列{}n b 前3项的和等于7
24
，求数列{}n a 的首项1a 和公差d ．
20.(2001全国卷II 理科第18题)
已知{}n a 是各项为不同的正数的等差数列，1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列．又21n
n b a =
，1,2,3,n =．
(Ⅰ) 证明{}n b 为等比数列；
(Ⅱ) 如果无穷等比数列{}n b 各项的和1
3
S =
，求数列{}n a 的首项1a 和公差d ． (注：无穷数列各项的和即当n →∞时数列前n 项和的极限)
21. (2005全国卷III 理科第20题，文科第20题)
在等差数列}{n a 中，公差412,0a a a d 与是≠的等差中项.
已知数列 ,,,,,,2131n k k k a a a a a 成等比数列，求数列}{n k 的通项.n k
22. （2005辽宁卷第19题）
已知函数).1(1
3
)(-≠++=
x x x x f 设数列n a {}满足)(,111n n a f a a ==+，数列n b {}满足).(|,3|*
21N n b b b S a b n n n n ∈+++=-=
（Ⅰ）用数学归纳法证明1
2)13(--≤n n
n b ；
（Ⅱ）证明.3
3
2 23. （2005江苏卷第23题） 设数列｛a n ｝的前项和为n S ,已知a 1=1, a 2=6, a 3=11,且1(58)(52)n n n S n S An B +--+=+, ,,3,2,1 =n 其中A,B 为常数. (Ⅰ)求A 与B 的值; (Ⅱ)证明数列｛a n ｝为等差数列; (Ⅲ) 1m n >对任何正整数、都成立. 24.（2005北京卷理科第19题） 设数列{a n }的首项a 1=a ≠41，且11 为偶数 21 为奇数 4 n n n a n a a n +???=? ?+??, 记211 4 n n b a -=- ，n ＝＝l ，2，3，…·． （I ）求a 2，a 3； （II ）判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论； （III ）求123lim()n n b b b b →∞ +++ +． 25.（2005北京卷文科第17题） 数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，11 3 n n a S += ，n =1，2，3，……，求 （I ）a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式； （II ）2462n a a a a ++++的值. 26．(2005上海理科第20题，文科第20题)本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分. 假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底, (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%? 27、（2005上海理科第22题，本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分。 在直角坐标平面中，已知点()()()() n n n P P P P 2,,,2,3,2,2,2,133221 ，其中n 是正整数， 对平面上任一点0A ，记1A 为0A 关于点1P 的对称点，2A 为1A 关于点2P 的对称点，．．．，n A 为1-n A 关于点n P 的对称点。 （1）求向量20A A 的坐标； （2）当点0A 在曲线C 上移动时，点2A 的轨迹是函数)(x f y =的图象，其中)(x f 是以3为周期的周期函数，且当(]3,0∈x 时，x x f lg )(=。求以曲线C 为图象的函数在(]4,1上的解析式； （3）对任意偶数n ，用n 表示向量n A A 0的坐标。 28. （2005天津卷理科第18题） 已知)0,0,( 1221>>∈+++++=* ---b a N n b ab b a b a a u n n n n n n . （Ⅰ）当b a =时，求数列{}n u 的前n 项和n S ； （Ⅱ）求1 lim -∞→n n n u u . 29. （2005天津卷文科第18题） 若公比为c 的等比数列｛n a ｝的首项1a ＝1且满足：12 2 n n n a a a --+=（n ＝3，4，…）。 （I ）求c 的值。 （II ）求数列｛n na ｝的前n 项和n S 。 30．（2005福建卷文科第19题） 已知{n a }是公比为q 的等比数列，且231,,a a a 成等差数列. （Ⅰ）求q 的值； （Ⅱ）设{n b }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比 较S n 与b n 的大小，并说明理由. 已知数列{a n }满足a 1=a , a n+1=1+ n a 1 我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当a =1时，得到无穷数列：.0,1,2 1 :,21;,35,23, 2,1---=得到有穷数列时当a （Ⅰ）求当a 为何值时a 4=0； （Ⅱ）设数列{b n }满足b 1=－1, b n+1= )(1 1 +∈-N n b n ，求证a 取数列{b n }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n }； （Ⅲ）若 )4(22 3 ≥< 32. （2005湖北卷文第19题） 设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-= （Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设n n n b a c = ，求数列}{n c 的前n 项和T n . 33. （2005湖北卷理第22题） 已知不等式 n n n 其中],[log 2 1 131212>+++ 为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数. 设数列}{n a 的各项为正，且满足 ,4,3,2,),0(1 1 1=+≤ >=--n a n na a b b a n n n （Ⅰ）证明 ,5,4,3,] [log 222=+< n n b b a n （Ⅱ）猜测数列}{n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （Ⅲ）试确定一个正整数N ，使得当N n >时，对任意b >0，都有.5 1 已知数列))}1({log * 2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331==a a （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）证明 .11 1112312<-++-+-+n n a a a a a a 35. （2005湖南卷理第20题） 自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用x n 表示某鱼群在第n 年年初的总量，n ∈N *，且x 1＞0.不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x n 成正比，死亡量与x n 2成正比，这些比例系数依次为正常数a ，b ，c. （Ⅰ）求x n+1与x n 的关系式； （Ⅱ）猜测：当且仅当x 1，a ，b ，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不 要求证明） （Ⅲ）设a ＝2，c ＝1，为保证对任意x 1∈（0,2），都有x n ＞0，n ∈N *，则捕捞强度b 的 最大允许值是多少？证明你的结论. 36. （山东卷理第21题，文第21题） 已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且* 15()n n S S n n N +=++∈ （I ）证明数列{}1n a +是等比数列； （II ）令2 12()n n f x a x a x a x =++ +，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f ' （理科）并比较2(1)f '与22313n n -的大小. 37. （2005浙江卷文科第16题） 已知实数a ，b ，c 成等差数列，a ＋1，了＋1，c ＋4成等比数列，求a ，b ，c ． 38（2005浙江卷理科第20题，压轴题） 设点n A (n x ，0)，1 (,2)n n n P x -和抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n (n ∈N *)， 其中a n ＝－2－4n － 1 12 n -，n x 由以下方法得到： x 1＝1，点P 2(x 2，2)在抛物线C 1：y ＝x 2＋a 1x ＋b 1上，点A 1(x 1，0)到P 2的距离是A 1到C 1 上点的最短距离，…，点11(,2)n n n P x ++在抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n 上，点n A (n x ，0)到1 n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离． (Ⅰ)求x 2及C 1的方程． (Ⅱ)证明{n x }是等差数列． 39. (2005重庆卷文科第22题) 数列{a n }满足a 1=1且8a n +1-16a n +1+2a n +5=0 (n ≥1)。记2 11- =n n a b (n ≥1)。 (1) 求b 1、b 2、b 3、b 4的值； (2) 求数列{b n }的通项公式及数列{a n b n }的前n 项和S n 。 40. (2005重庆卷理科第22题) 数列{a n }满足)1(2 1 )11(1211≥+++ ==+n a n n a a n n n 且. （Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ； （Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2 ≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数 e=2.71828…. 41. （2005江西卷文第22题） 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n －S n －2=3,2 3,1),3()21(211-==≥--S S n n 且 求数列{a n }的通项公式. 42. （2005江西卷理第21题） 已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a 011 1,(4),.2 n n n a a a a n N +==-∈ （1）证明12,;n n a a n N +<<∈ （2）求数列}{n a 的通项公式a n . 参考答案 1．B 2. 216 3. B 4．B 5．C 6. -2 7．C 8．C 9．A 10．35 11．2600 12．A 13．B 14. 5； )1)(2(2 1 +-n n 15. （文科）65，（理科）2 1 n (n ＋3) ；（文科）20，（理科）2n ． 16. –1080 17. (2005全国卷Ⅰ文科第21题) 解：（Ⅰ）由 0)12(21020103010=++-S S S 得 ,)(21020203010 S S S S -=- 即,)(220121********* a a a a a a +++=+++ 可得.)(220121********* 10a a a a a a q +++=+++? 因为0>n a ，所以 ,1210 10=q 解得21= q ，因而 .,2,1,2 1 11 ===-n q a a n n n （Ⅱ）因为}{n a 是首项211=a 、公比2 1 =q 的等比数列，故 .2,2112 11) 211(21n n n n n n n nS S -=-=--= 则数列}{n nS 的前n 项和 ),2 2221()21(2n n n n T +++-+++= ).2 212221()21(212132++-+++-+++=n n n n n n T 前两式相减，得 122)212121()21(212+++++-+++=n n n n n T 122 11) 211(214)1(++---+=n n n n n 即 .22212)1(1-+++=-n n n n n n T 18. (2005全国卷Ⅰ理科第19题，满分12分) 解：（Ⅰ）因为}{n a 是等比数列，.0,0,011≠>=>q S a S n 可得 当;0,11>==na S q n 时 1(1)11,0,0,(1,2,)11n n n a q q q S n q q --≠=>>=--当时即 上式等价于不等式组：),2,1(,0 1, 01 =???<-<-n q q n ① 或),2,1(,01,01 =? ??>->-n q q n ② 解①式得q>1；解②，由于n 可为奇数、可为偶数，得－1 （Ⅱ）由2132n a n b a a ++=- 得.)23 (),23(22n n n n S q q T q q a b -=-= 于是)123(2--=-q q S S T n n n ).2)(2 1 (-+=q q S n 又∵n S >0且－1 当1 12 q -<<-或2q >时0n n T S ->即n n T S > 当1 22 q -<<且q ≠0时，0n n T S -<即n n T S < 当1 2 q =-或q =2时，0n n T S -=即n n T S = 19. (2005全国卷II 文科第19题) (I)证明：∵1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列 ∴22lg a =1lg a +4lg a ，即2 214a a a = 又设等差数列{}n a 的公差为d ，则(1a －d )2 =1a (1a －3d ) 这样2 1d a d =，从而d (d －1a )=0 ∵d ≠0 ∴d =1a ≠0 ∴122111(21)22 n n n n n n a a d db a d =+-===? ∴{}n b 是首项为1b = 12d ，公比为1 2的等比数列。 (II)解。∵1231117 (1)22424 b b b d ++=++= ∴d =3 ∴1a =d =3 20.(2001全国卷II 理科第18题) 解：（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，依题意，由 2142lg lg lg a a a =+ 得2 214a a a = 即)3()(112 1d a a d a +=+，得 10a d d ==或 因 1 221 +=+n n a a b b n n ∴ 当d =0时，{a n }为正的常数列 就有 11 221 ==++n n a a b b n n 当d =1a 时，11 12112)12 (,)12(1a a a a a a n n n n -+=-+=++,就有1221+= +n n a a b b n n 2 1 = 于是数列{n b }是公比为1或 2 1 的等比数列 （Ⅱ）如果无穷等比数列{}n b 的公比q =1，则当n →∞时其前n 项和的极限不存在。 因而d =1a ≠0，这时公比q = 21，112b d = 这样{}n b 的前n 项和为11[1()] 22112 n n d S -=- 则S=11[1()] 122lim lim 112 n n n n d S d →+∞→+∞-==- 由1 3 S =，得公差d =3，首项1a =d =3 21. (2005全国卷III 理科第20题，文科第20题) 解：由题意得：412 2a a a =……………1分 即)3()(112 1d a a d a +=+…………3分 又0,d ≠d a =∴1…………4分 又 ,,,,,,2131n k k k a a a a a 成等比数列, ∴该数列的公比为3313=== d d a a q ，………6分 所以1 13 +?=n k a a n ………8分 又11)1(a k d k a a n n k n =-+=……………………………………10分 13+=∴n n k 所以数列}{n k 的通项为13+=n n k ……………………………12分 22. （2005辽宁卷第19题） 解：（Ⅰ）证明：当.11 2 1)(,0≥++ =≥x x f x 时 因为a 1=1， 所以*).(1N n a n ∈≥ ………………2分 下面用数学归纳法证明不等式.2 )13(1 --≤n n n b （1）当n=1时，b 1=13-，不等式成立， （2）假设当n=k 时，不等式成立，即.2)13(1 --≤ k k k b 那么 k k k k a a a b +--= -=+-1| 3|)13(|3|11 ………………6分 .2)13(2131 k k k b +-≤-≤ 所以，当n=k+1时，不等也成立。 根据（1）和（2），可知不等式对任意n ∈N*都成立。 …………8分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知， .2 )13(1 --≤n n n b 所以 1 2212)13(2)13()13(--++-+-≤+++=n n n n b b b S 2131) 213( 1)13(----?-=n …………10分 .3322 1311)13(=-- ?-< 故对任意.33 2 ,< ∈*n S N n ………………（12分） 23. （2005江苏卷第23题） 解：(Ⅰ)由11a =，26a =，311a =，得11S =，22S =，318S =． 把1,2n =分别代入1(58)(52)n n n S n S +--+An B =+，得28, 248A B A B +=-??+=-? 解得，20A =-，8B =-． (Ⅱ)由(Ⅰ)知，115()82208n n n n n S S S S n ++---=--，即 11582208n n n na S S n ++--=--， ① 又2215(1)8220(1)8n n n n a S S n ++++--=-+-． ② ②-①得，21215(1)58220n n n n n a na a a +++++---=-， 即21(53)(52)20n n n a n a ++--+=-． ③ 又32(52)(57)20n n n a n a +++-+=-． ④ ④-③得，321(52)(2)0n n n n a a a ++++-+=， ∴32120n n n a a a +++-+=， ∴3221325n n n n a a a a a a ++++-=-= =-=，又215a a -=， 因此，数列{}n a 是首项为1，公差为5的等差数列． (Ⅲ)由(Ⅱ)知，54,()n a n n *=-∈N ．考虑 55(54)2520mn a mn mn =-=-． 21)1 1m n m n m n a a a a a a =++++2515()9mn m n =-++． ∴2 51)15()29 1522910mn a m n -+-?-=>． 即251)mn a > 1>． 1->． 24.（2005北京卷理科第19题） 解：（I ）a 2＝a 1+ 41=a +41，a 3=21a 2=21a +8 1 ； （II ）∵ a 4=a 3+41=21a +83, 所以a 5=21 a 4=41a +316, 所以b 1=a 1－41=a －41, b 2=a 3－41=21(a －41), b 3=a 5－41=41(a －4 1 ), 猜想：{b n }是公比为2 1 的等比数列· 证明如下： 因为b n +1＝a 2n +1－41=21a 2n －41=21(a 2n －1－41)=2 1 b n , (n ∈N *) 所以{b n }是首项为a －41, 公比为2 1 的等比数列· （III ）11121(1) 12lim()lim 2()1141122 n n n n b b b b b a →∞→∞-+++===--- . 25.（2005北京卷文科第17题） 解：（I ）由a 1=1，11 3 n n a S += ，n=1，2，3，……，得 211111333a S a ===，3212114()339a S a a ==+=，431231116 ()3327 a S a a a ==++= ， 由1111()33n n n n n a a S S a +--=-=（n ≥2），得14 3 n n a a +=（n ≥2）， 又a 2=31 ，所以a n =214()33 n -(n ≥2), ∴ 数列{a n }的通项公式为2 1 114()2 33 n n n a n -=?? =???≥； （II ）由（I ）可知242,,,n a a a 是首项为 31 ，公比为24()3 项数为n 的等比数列，∴ 2462n a a a a +++ +=2224 1()1343[()1]4373 1()3 n n -? =-- 26．(2005上海理科第20题，文科第20题) [解](1)设中低价房面积形成数列{a n },由题意可知{a n }是等差数列, 其中a 1=250,d=50,则S n =250n+ 502 ) 1(?-n n =25n 2+225n, 令25n 2+225n ≥4750,即n 2+9n-190≥0,而n 是正整数, ∴n ≥10. 到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{b n },由题意可知{b n }是等比数列, 其中b 1=400,q=1.08,则b n =400·(1.08)n-1·0.85. 由题意可知a n >0.85 b n ,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85. 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6. 到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 27、（2005上海理科第22题，本题满分18分） [解]（1）设点),(0y x A ，A 0关于点P 1的对称点A 1的坐标为),4,2(1y x A -- A 1关于点P 2的对称点A 2的坐标为)4,2(2y x A ++，所以，}.4,2{20=A A （2）[解法一])(},4,2{20x f A A ∴= 的图象由曲线C 向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到. 因此，基线C 是函数)(x g y =的图象，其中)(x g 是以3为周期的周期函数，且当 .4)1lg()(,]4,1(,,4)2lg()(,]1,2(--=∈-+=-∈x x g x x x g x 时当于是时 [解法二]设?? ?=-=-42 ),,(),,(2 22220y y x x y x A y x A 于是 若).3lg()3()(,330,6322222-=-=≤-<≤ 当),1lg(4.63,412-=+≤<≤ （3）n n n A A A A A A A A 242200-+++= 由于)(2,2143210212222n n n k k k k P P P P P P A A P P A A ---+++== 得， }.3 ) 12(4,{}3)12(2,2{2})2 ,1{}2,1{}2,1({21 3-=-=+++=-n n n n n 28. （2005天津卷理科第18题） 解：（Ⅰ）当b a =时，n n a n u )1(+=．这时数列}{n u 的前n 项和 n n n a n na a a a S )1(432132++++++=- ． ① ①式两边同乘以a ，得 1 432)1(432+++++++=n n n a n na a a a aS ② ①式减去②式，得 1 32)1(2)1(++-++++=-n n n a n a a a a S a 若1≠a ， a a n a a a S a n n n ++---=-+1)1(1) 1()1(， 2 21212)1(2)2()1(1)1()1()1(a a a a n a n a a n a a a a S n n n n n -+-+-+= -+-+--=+++ 若1=a ，2 ) 3()1(32+= +++++=n n n n S n （Ⅱ）由（Ⅰ），当b a =时，n n a n u )1(+=，则a n n a na a n u u n n n n n n n =+=+=∞→-∞→-∞→)1(lim )1(lim lim 11 ． 当b a ≠时，112 [1()()n n n n n n n b b b u a a b ab b a a a a --=++ ++=+ +++ 1 111()1()1n n n n b a a a b b a b a +++-==--- 此时，n n n n n n b a b a u u --=++-1 11． 若0>>b a ，a a b a b b a b a b a u u n n n n n n n n n n n =--=--=∞→++∞→-∞→)(1)(lim lim lim 1 11 ． 若0>>a b ，b b a b b a a u u n n n n n n =--==∞→-∞→1)()(lim lim 1 ． 29. （2005天津卷文科第18题） 答案：（I ）1c =，或1 2 c =- ． （II ）当1c =时，(1)2n n n S +=；当12c =-时，* 1 132[4(1)]()92 n n n n S n N -+=--∈． 30．（2005福建卷文科第19题） 解：（Ⅰ）由题设,2,2112 1213q a a q a a a a +=+=即 .012,02 1=--∴≠q q a .2 11-=∴或q （Ⅱ）若.2 312)1(2,12n n n n n S q n +=?-+ ==则 当.02 ) 2)(1(,21>+-= =-≥-n n S b S n n n n 时 故.n n b S > 若.4 9)21(2)1(2,212n n n n n S q n +-=--+ =-=则 当,4 ) 10)(1(,21--- ==-≥-n n S b S n n n n 时 故对于.,11;,10;,92,n n n n n n b S n b S n b S n N n <≥==>≤≤∈+时当时当时当 31. （2005福建卷理科第22题） （I ）解法一：,11,11n n a a a a + ==+ . 0.11 111.111 1.111 1,.}{.11,1 ,1:)(. 032.32,11.21,1 1.1,01 1,0:.032.1 22 31111211,1111 1112 1 212311 21114222 333 4434231 2=∴-==+ =+=∴=+=+=∴=+=+=∴==+=∴-= -==-=-=∴+==∴+ =-=∴=+∴==-=++= + =++=+=+= +=+=∴+----++n n n n n n n n n n n n n n a b b a a b b a a b b a a b a b a b a b b b b b b II a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 中的任一个数不妨设取数列解法一时故当解法二时故当 故a 取数列{b n }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n } （Ⅲ）0a >． 32. （2005湖北卷文第19题） 解：（1）：当;2,111===S a n 时 ,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当 故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 设{b n }的通项公式为.4 1 ,4,,11=∴==q d b qd b q 则 故.42}{,4 121 1 11---=? -=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即 （II ）,4)12(422411 ---=-==n n n n n n n b a c ] 4)12(4 )32(454341[4],4)12(45431[1 3 2 12121n n n n n n n n T n c c c T -+-++?+?+?=-++?+?+=+++=∴-- 两式相减得 ]. 54)56[(9 1 ] 54)56[(31 4)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T 33. （2005湖北卷理第22题） 解：（Ⅰ）证法1：∵当,1 11,0,211111n a na a n a a n na a n n n n n n n n +=+≥∴+≤ <≥-----时 即 ,1 111n a a n n ≥-- 于是有 .111,,3111,211112312n a a a a a a n n ≥-≥-≥-- 所有不等式两边相加可得 .1 3121111n a a n +++≥- 由已知不等式知，当n ≥3时有， ].[log 2 1 1121n a a n >- ∵.] [log 22.2][log 2][log 21 11,2221n b b a b n b n b a b a n n +< +=+>∴ = 证法2：设n n f 1 3121)(+++= ，首先利用数学归纳法证不等式 .,5,4,3,)(1 =+≤ n b n f b a n （i ）当n=3时， 由 .)3(112233133331 12223b f b a a a a a a +=++?≤+=+≤ 知不等式成立. （ii ）假设当n=k （k ≥3）时，不等式成立，即,)(1b k f b a k +≤ 则1)(1)1(1 1) 1(1)1()1(1++?++≤ +++=+++≤ +b b k f k k a k k a k a k a k k k k ,)1(1)1 1)((1)()1()1()1(b k f b b k k f b b b k f k k b k ++= ++ += +++++= 即当n=k+1时，不等式也成立. 由（i ）、（ii ）知，.,5,4,3,)(1 =+≤ n b n f b a n 又由已知不等式得 .,5,4,3,] [log 22][log 2 1 122 =+= +< n n b b b n b a n （Ⅱ）有极限，且.0lim =∞ →n n a （Ⅲ）∵ ,5 1 ][log 2,][log 2][log 22222<<+n n n b b 令 则有,10242 ,10][log log 10 22=>?>≥n n n 故取N=1024，可使当n>N 时，都有.5 1 34. （2005湖南卷文第16题） （I ）解：设等差数列)}1({log 2-n a 的公差为d . 由,8log 2log )2(log 29,322231+=+==d a a 得即d =1. 所以,)1(1)1(log 2n n a n =?-+=-即.12+=n n a （II ）证明因为 n n n n n a a a 21 21111=-=-++， 所以 n n n a a a a a a 2 1 21212111132112312++++=-++-+-+ .12112 1121212 1<-=-? -=n n 35. （2005湖南卷理第20题） 解（I ）从第n 年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax n ，被捕捞量为b x n ，死亡量为 第4讲用数学归纳法证明数列问题 选题明细表 知识点·方法巩固提高A 巩固提高B 数学归纳法的理解1,2,5 1 数学归纳法的第一步3,7 2,7 3,4,5,6,8, 数学归纳法的第二步4,6,10,12 9,12 类比归纳8,9,11 10,11 数学归纳法的应用13,14,15 13,14,15 巩固提高A 一、选择题 1.如果命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+2也成立,若P(n)对n=2也成立,则下列结论正确的是( B ) (A)P(n)对所有正整数n都成立 (B)P(n)对所有正偶数n都成立 (C)P(n)对所有正奇数n都成立 (D)P(n)对所有正整数n都成立 解析:由题意n=k时成立,则n=k+2时也成立,又n=2时成立,则P(n)对所有正偶数都成立.故选B. 2.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≤k2成立时,总可推出f(k+1)≤(k+1)2成立.”那么,下列命题总成立的是( D ) (A)若f(2)≤4成立,则当k≥1时,均有f(k)≤k2成立 (B)若f(4)≤16成立,则当k≤4时,均有f(k)≤k2成立 (C)若f(6)>36成立,则当k≥7时,均有f(k)>k2成立 (D)若f(7)=50成立,则当k≤7时,均有f(k)>k2成立 解析:若f(2)≤4成立,依题意则应有当k≥2时,均有f(k)≤k2成立,故A不成立; 若f(4)≤16成立,依题意则应有当k≥4时,均有f(k)≤k2成立,故B不成立; 因命题“当f(k)≤k2成立时,总可推出f(k+1)≤(k+1)2成立”?“当f(k+1)>(k+1)2成立时,总可推出f(k)>k2成立”;因而若f(6)>36成立,则当k≤6时,均有f(k)>k2成立 ,故C也不成立; 对于D,事实上f(7)=50>49,依题意知当k≤7时,均有f(k)>k2成立,故D成立. 3.若f(n)=1+++…+(n∈N*),则f(1)为( C ) (A)1 (B) (C)1++++(D)非以上答案 解析:注意f(n)的项的构成规律,各项分子都是1,分母是从1到6n-1的正整数, 故f(1)=1++++.故选C. 4.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)(n∈N*),从k到k+1时,左端需增乘的代数式为( B ) (A)2k+1 (B)2(2k+1) (C)(D) 解析:n=k时左边为(k+1)(k+2)…(k+k),n=k+1时左边为(k+2)(k+3)…(k+k+2), 2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲................................................................................................................................. 1 mn 4(m n) mn 2(m n) 【综合能力训练】 一、选择题 1?数列｛a n ｝是等比数列，下列结论中正确的是（ ） A. a n ? a n+1 >0 B. a n ? a n+1 ? a n+2>0 C. a n ? a n+2 >0 D. a n ? a n+2 ? a n+4>0 2.在等比数列｛a n ｝中，a 1=sec 0 （ B 为锐角），且前n 项和S n 满足lim S n = ，那么B 的 n a 1 取值范围是（ ） A. （0, ） B. （0, ） C. （0, ） D. （0, 2 3 6 4 3.已知数列｛a n ｝中，a n =p^ （n € N ），则数列｛a n ｝的最大项是（ ） n 156 A.第12项 B.第13项 C.第 项或13 . D.不存在 4.三个数成等差数列，如果将最小数乘 2，最大数加上 7,所得三数之积为 1000,且成 等比数列，则原等差数列的公差一定是（ ) A.8 B.8 或—15 C. ± 8 D. ± 15 112 1 2 3 1 2 9 1 5.已知数列｛a n ｝： , + , + +-, + + …+ ” , ... 那么数列｛ 2 3 3 4 4 4 10 10 10 a n ?a n 1 的所有项的和为（ ) A.2 B.4 C.3 D.5 n 1 | n n 1 . n 6.已知a 、b € —?a -> lim n ，贝V a 的取值范围是（ ） n a n a A. a>1 B. — 1 一、高中图文转换专题训练 1．下面是“北斗卫星导航系统”标识，请仔细观察标识，理解标识要素的内涵，填写下面介绍词中的空缺部分，每空不多于6个字。 北斗卫星导航系统标识由正圆形、写意的司南、①________、北斗星等主要元素组成，充满了浓厚的②________气息。北斗星自古是人们用来辨识方位的依据，司南是我国古代发明的③________的仪器，两者结合彰显了中国古代的④________成就。该标识象征着卫星导航系统星地一体，为人们提供⑤________服务，同时还蕴含着我国卫星导航系统的名字——“北斗”。网格化地球和中英文文字彰显了北斗卫星导航系统⑥________的宗旨。【答案】太极阴阳鱼；中国传统文化；辨别方向；科学技术；定位导航；服务全球 【解析】【分析】本题是“北斗卫星导航系统”标识图，请仔细观察标识，理解标识要素的内涵，根据语境填写介绍词中的空缺部分即可。 故答案为：太极阴阳鱼；中国传统文化；辨别方向；科学技术；定位导航；服务全球 【点评】本题考查学生图文转换和补写句子的能力。图文转换，要求考生将图表中的信息转换成语言文字信息，但一般不需要也不允许我们进行想象甚至虚构。这类题答题思路是：先看标题，再看图示，不放过图示中的文字，然后概括答题。补写句子需要学生阅读全文，在了解文章大意的基础上，根据上下文的内容和句式填写合适的句子，使之形成一个整体。 2．下面是对三个阶段出生的中学生体质与健康的调研数据，根据要求答题。 类别身高（平均）体重（平均）身体机能综合素质（基数为100） 80后158.5厘米41.3公斤99.04 90后160.6厘米43.1公斤96.37 00后162.8厘米46.5公斤93.86 （2）根据你对生活的认识，简要说说出现表中现象的原因（不超过20字）。 【答案】（1）90后、00后中学生，平均身高、体重都较80后增加了，但身体机能综合 §数学归纳法 1．数学归纳法的概念及基本步骤 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)验证：n＝n0 时，命题成立； (2)在假设当n＝k(k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立． 2．归纳推理与数学归纳法的关系 数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明．在学习和使用数学归纳法时， 需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 1．用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，注意n不一定是1. 2．当证明从k到k＋1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命题对n＝k＋1成立时，必须运用命题对n＝k成立的归纳假设．步骤二中，在 由k到k＋1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论．关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时命题 形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当n＝k＋1时命题也成立，这也是证题的常用方法． 3．用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可．尽管部分与正整数 有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须 依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确． 4．要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式，和由特殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力． 5．数学归纳法与归纳推理不同．(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．结果不一定正确，需要进行严格的证明．(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确． 6．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题，要求这个命题对所有的正整数n 都成立； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题． 证明：12＋122＋123＋…＋12 n －1＋12n ＝1－1 2n (其中n ∈N ＋)． [证明] (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝1 2，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即 12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ， 那么当n ＝k ＋1时， 左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋1 2k ＋1 ＝1－12k ＋12k ＋1＝1－2－12k ＋1＝1－1 2k ＋1＝右边． 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立． 用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－ 1 2n 2013年全国高考理科数学试题分类汇编1：集合 一、选择题 1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集 {}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，,{}=23B ，,则 ()=U A B ( ) A.{}134， ， B.{}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则 A.()01， B.(]02， C.()1,2 D.(]12， 【答案】D 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( ) A.* ,A N B N == B.{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C.{|01},A x x B R =<<= D.,A Z B Q == 【答案】D 5 ．（2013 年高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合 {|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合 A ={0,1,2},则集合 B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9 【答案】C 数列 数学归纳法测试题 班级 姓名 得分 . 一、选择题： 1、等差数列{n a }中，a 3＋a 7－a 10=8，a 11－a 4=4，则S 13=…………………………………………( ) (A )168 (B ) 156 (C )78 (D ) 152 2、数列{n a }、{n b }都是等差数列，a 1=25，b 1=75，a 100＋b 100=100，则{n a ＋n b }的前100项和为( ) (A )0 (B )100 (C )10000 (D )102400 3、等差数列5，244,3,77 ，第n 项到第n ＋6项的和为T ，则|T|最小时，n=…………………( ) (A )6 (B )5 (C ）4 （D ）3 4、等差数列{n a }满足123101a a a a ++++ =0，则有……………………………………………( ) (A )11010a a +> （B ）21000a a +< （C ）3990a a += （D ）5151a = 5、一个首项为正数的等差数列中，S 3=S 11，则当S n 最大知，n=……………………………………（ ） (A )5 (B ) 6 (C )7 (D ) 8 6、{n a }为等比数列，{n b }是等差数列，b 1=0，n c =n a ＋n b ，如果数列{n c }是1，1，2，…，则{n c }的前10项和为……………………………………………………………………………………（ ） (A ) 978 (B ) 557 (C ) 467 (D )以上都不对 7、若相异三数(),(),()a b c b c a c a b ---组成公比为q 的等比数列，则…………………………（ ） (A )210q q ++= (B ) 210q q -+= (C ) 210q q +-= (D ) 210q q --= 8、{n a }的前n 项和为S n =232n n -，当n ≥2时，有…………………………………………………（ ） (A )n S >n na >1na (B ) n S 历年等值线高考试题分类汇总 [等高线] 一、（2009天津）读我国北方某区域等高线地形图（图2），回答3-4题。 3. 甲成为图中区域规模最大的村落和集市，最主要的条件是 A. 地处河流上游，水质良好 B. 周围地貌多样，风景优美 C. 地形平坦开阔，交通方便 D. 背靠丘陵缓坡。滑坡很少考点：聚落的区位分析 解析：从等高线图中可以看出，甲地地形平坦开阔。 参考答案：C 4. 地质队员发现乙处有金矿出露，考虑流水的侵蚀、搬运作用，能找到沙金（沉积物中的细小金粒）的地方是 A. a B. b C. c D.d 考点：等高线图的判读 解析：河流一般形成在山谷（等高线特征为由低处向高处弯曲），abcd 四地均可能有河流发育，但能与乙地相通的只有d处的河流，且d处 位于该河流下游地区，由于流速减慢，沙金可大量沉积。 参考答案：D 二、（2009四川）图1是亚热带欧亚大陆东部某地等高线分布图，读图回答1-3题。 1.图示区域内拥有且最突出的旅游资源是 A.瀑布飞流 B.湖光山色 C.云海日出 D.奇峰峡谷 【解析】图中的河流②、④在200米等高线处注入湖泊，湖泊周围是山脉。 【答案】B 2.下列四地的农业生产活动，合理的是 A.甲——育用材林 B.乙——培育橡胶 C.丙——种植棉花 D.丁——发展茶园 【解析】橡胶树对生长环境的要求极为严格，它是典型的热带雨林树种，喜高温、高湿、静风、沃土。目前，主要的橡胶产地是海南岛和云南的西双版纳。丙处等高线密集，坡度大，不能种植棉花，应当种植林木。甲处地势相对平坦，可以发展种植业。 【答案】D 3.对图示区域地理事象的叙述，正确的是 应用题 1.（四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和 7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z= A ．4650元 B ．4700元 C ．4900元 D ．5000元 【答案】C 【解析】由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件 08071210672219 x y x y x y x y ≤≤??≤≤?? +≤??+≥?+≤??画 出可行域在12219x y x y +≤??+≤?的点7 5x y =??=?代入目标函数4900z = 2.（湖北理10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少， 这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克） 与时间t （单位：年）满足函数关系：30 0()2 t M t M - =，其中M 0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M （60）= A ．5太贝克 B ．75In2太贝克 C ．150In2太贝克 D ．150太贝克 【答案】D 3.（北京理）。根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ??? ??? ? ≥<=A x A c A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是 A ．75，25 B ．75，16 C ．60，25 D ．60，16 【答案】D 4．（陕西理）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。 【答案】2000 5．（湖北理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等 差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。 【答案】67 66 6.（湖北理）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大 桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20 辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． 数列、极限、数学归纳法·归纳、猜想、证明·教案 张毅 教学目标 1．对数学归纳法的认识不断深化． 2．帮助学生掌握用不完全归纳法发现规律，再用数学归纳法证明规律的科学思维方法． 3．培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而引导学生去探求事物的内在的本质的联系．教学重点和难点 用不完全归纳法猜想出问题的结论，并用数学归纳法加以证明． 教学过程设计 （一）复习引入 师：我们已学习了数学归纳法，知道它是一种证明方法．请问：它适用于哪些问题的证明？ 生：与连续自然数n有关的命题． 师：用数学归纳法证明的一般步骤是什么？ 生：共有两个步骤： （1）证明当n取第一个值n0时结论正确； （2）假设当n=k（k∈N，且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确． 师：这两个步骤的作用是什么？ 生：第（1）步是一次验证，第（2）步是用一次逻辑推理代替了无数次验证过程． 师：这实质上是在说明这个证明具有递推性．第（1）步是递推的始点；第（2）步是递推的依据．递推是数学归纳法的核心．用数学归纳法证题时应注意什么？ 生：两个步骤缺一不可．证第（2）步时，必须用归纳假设．即在n=k成立的前提下推出n=k+1成立．师：只有这样，才能保证递推关系的存在，才真正是用数学归纳法证题． 今天，我们一起继续研究解决一些与连续自然数有关的命题．请看例1． （二）归纳、猜想、证明 1．问题的提出 a3，a4，由此推测计算an的公式，然后用数学归纳法证明这个公式． 师：这个题目看起来庞大，其实它包括了计算、推测、证明三部分，我们可以先一部分、一部分地处理．（学生很快活跃起来，计算工作迅速完成，请一位同学口述他的计算过程，教师板演到黑板上） 师：正确．怎么推测an的计算公式呢？可以相互讨论一下． 1 专题6.数列与数学归纳法 数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显，小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等变难程度.往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．关于数学归纳法的考查，主要与数列、不等式相结合. 预测2021年将保持稳定，主观题将与不等式、函数、数学归纳法等相结合 . 1．（2020·浙江省高考真题）已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0， 11a d ≤．记b 1=S 2，b n+1=S 2n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能．．． 成立的是（ ） A ．2a 4=a 2+a 6 B ．2b 4=b 2+b 6 C ．2428a a a = D ．2428b b b = 2．（2020·浙江省高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)2n n +??????就是二阶等差数列，数列(1)2n n +?????? (N )n *∈ 的前3项和是________． 3．（2020·浙江省高考真题）已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，111112 1,,()n n n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-= ?∈*N ． （Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比0q >，且1236b b b +=，求q 与{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差0d >，证明：1211n c c c d +++<+．*()n N ∈ 4．（2020·天津高考真题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列， ()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ； 2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 历年高考真题遗传类基本题型总结 一、表格形式的试题 1．（2005年）已知果蝇中，灰身与黑身为一对相对性状（显性基因用B表示，隐性基因用b表示）；直毛与分叉毛为一对相对性状（显性基因用F表示，隐性基因用f表示）。两只亲代果蝇杂交得到以下子代类型 请回答： （1）控制灰身与黑身的基因位于；控制直毛与分叉毛的基因位于。 （2）亲代果蝇的表现型为、。 （3）亲代果蝇的基因为、。 （4）子代表现型为灰身直毛的雌蝇中，纯合体与杂合体的比例为。 （5）子代雄蝇中，灰身分叉毛的基因型为、；黑身直毛的基因型为。 2．石刁柏（俗称芦笋，2n=20）号称“蔬菜之王”，属于XY型性别决定植物，雄株产量明显高于雌株。石刁柏种群中抗病和不抗病受基因A 、a控制，窄叶和阔叶受B、b控制。两株石刁柏杂交，子代中各种性状比例如下图所示，请据图分析回答： （1）运用的方法对上述遗传现象进行分析，可判断基因A 、a位于染色体上，基因B、b位于染色体上。 （2）亲代基因型为♀，♂。子代表现型为不抗病阔叶的雌株中，纯合子与杂合子的比例为。 3．（10福建卷）已知桃树中，树体乔化与矮化为一对相对性状(由等位基因D、d控制)，蟠桃果形与圆桃果形为一对相对性状（由等位基因H、h控制），蟠挑对圆桃为显性，下表是桃树两个杂交组合的试验统计数据： （1）根据组别的结果，可判断桃树树体的显性性状为。 （2）甲组的两个亲本基因型分别为。 （3）根据甲组的杂交结果可判断，上述两对相对性状的遗传不遵循自由组台定律。理由是：如果这两对性状的遗传遵循自由组台定律，则甲纽的杂交后代应出现种表现型。比例应为。 4.（11年福建卷）二倍体结球甘蓝的紫色叶对绿色叶为 显性，控制该相对性状的两对等位基因（A、a和B、b）分别位于3号和8号染色体上。下表是纯合甘蓝杂交试验的统计数据： 请回答： （1）结球甘蓝叶性状的有遗传遵循____定律。 （2）表中组合①的两个亲本基因型为____，理论上组合①的F2紫色叶植株中，纯合子所占的比例为_____。 （3）表中组合②的亲本中，紫色叶植株的基因型为____。若组合②的F1与绿色叶甘蓝杂交，理论上后代的表现型及比例为____。 43 / 1843 / 18 第三章 数列及数学归纳法 知识结构 高考能力要求 1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项． 2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式及前n 项和的公式，并能解决简单的实际问题． 3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及前n 项和公式，并能解决简单的实际问题． 4、理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 高考热点分析 纵观近几年高考试题，对数列的考查已从最低谷走出，估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式的应用是必考内容，数列及函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点． 从解题思想方法的规律着眼，主要有：① 方程思想的应用，利用公式列方程(组)，例如等差、等比数列中的 “知三求二”问题；② 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题；③ 待定系数法、分类讨论等方法的应用． 高考复习建议 数列部分的复习分三个方面：① 重视函数及数列的联系，重视方程思想在数列中的应用．② 掌握等差数列、等比数列的基础知识以及可化为等差、等比数列的简单问题，同时要重视等差、等比数列性质的灵活运用．③ 要设计一些新颖题目，尤其是通过探索性题目，挖掘学生的潜能，培养学生的创新意识和创新精神，数列综合能力题涉及的问题背景新颖，解法灵活，解这类题时，要引导学生科学合理地思维，全面灵活地运用数学思想方法． 数列部分重点是等差、等比数列，而二者在内容上是完全平行的，因此，复习时应将它们对比起来复习；由于数列方面的题目的解法的灵活性和多样性，建议在复习这部分内容时，要启发学生从多角度思考问题，提倡一题多解，培养学生思维的广阔性，养成良好的思维品质． 3．1 数列的概念 知识要点 1．数列的概念 数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N *或其子集{1，2，3，……n }的函数f (n )．数列的一般形式为a 1，a 2，…，a n …，简记为{a n }，其中a n 是数列{a n }的第 项． 2．数列的通项公式 一个数列{a n }的 及 之间的函数关系，如果可用一个公式a n ＝f (n )来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式． 3．在数列{a n }中，前n 项和S n 及通项a n 的关系为： = n a ?? ? ??≥==21n n a n 4．求数列的通项公式的其它方法 ⑴ 公式法：等差数列及等比数列采用首项及公差(公比)确定的方法． ⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明． ⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式． 2008年高考数学试题分类汇编：集合 【考点阐述】 集合.子集.补集.交集.并集． 【考试要求】 （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念．了解空集和全集的意义．了解属于、包含、相等关系的意义．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 【考题分类】 （一）选择题（共20题） 1、（安徽卷理2）集合{}|lg ,1A y R y x x =∈=>，}{2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R C A B =-- 解： }{0A y R y = ∈>，R (){|0}A y y =≤e，又{2,1,1,2}B =-- ∴ }{()2,1R A B =--e，选D 。 2、（安徽卷文1）若A 为全体正实数的集合，{}2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R C A B =-- 解：R A e是全体非正数的集合即负数和0，所以}{() 2,1R A B =--e 3、（北京卷理1）已知全集U =R ，集合{} |23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合A ∩（C U B ）等于（ ） A ．{}|24x x -<≤ B ．{}|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤ D ．{}|13x x -≤≤ 【标准答案】: D 【试题分析】: C U B=[-1, 4]，()U A B e＝{}|13x x -≤≤ 一、高中图文转换专题训练 1．阅读下面这则材料，请根据材料内容，将思维框架图中的五处空缺补充完整，每处不超过10个字。 “智能+”的提出比“互联网+”更进一步，体现了人工智能技术对社会生产的全新赋能。在工业经济由数量和规模扩张向质量和效益提升转变的关键期，提出“智能+”的发展理念具有战略意义。“智能+”强调的是技术基础，通过智能化手段把传统工业生产的全链条要素打通，可以更好地推动制造业的数字化、网络化和智能化转型。此外，它还可以用来培育新的高技术产业、改善社会管理和人民生活。但是，要想推进它的产学研用结合，在数字技术领域还有一些核心技术需要进一步突破。 【答案】①提出的背景；②战略意义；③推动制造业转型；④培育新的高技术产业； ⑤突破核心技术 【解析】【分析】本题注意叙述的顺序，概念间发生关系的方式。首先明确说明的对象是智能+，接着结合材料可知接下来从提出背景、战略意义，需解决的问题三个方面来阐述。所以①处填“提出的背景”，②填战略意义；③④处是战略意义的具体化，从“可以更好地推动制造业的数字化、网络化和智能化转型。此外，它还可以用来培育新的高技术产业、改善社会管理和人民生活。”可知③处应为“推动制造业的数字化、网络化和智能化转型”，又由于字数限制，所以概括为“推动制造业转型”即可；④处填“培育新的高技术产业”即可。⑤处是需解决的问题的具体化，结合最后依据可知是“突破核心技术”。 故答案为：①提出的背景；②战略意义；③推动制造业转型；④培育新的高技术产业； ⑤突破核心技术 【点评】本题考查学生压缩语段的能力。解答需要先找出关键句，然后提炼关键词。找关键词首先要求考生在准确理解文段的基础上找到有效信息，并从中筛选出核心信息；然后用最简洁的语言加以概括；最后填入即可。依据语段意思，依次填入的是：提出的背景；推动制造业转型；突破核心技术。 2．下图是某小区维修志愿服务队的徽标，请根据徽标内容为他们拟一份面向小区业主的推 数列与数学归纳法专项训练 1.如图，曲线2 (0)y x y =≥上的点i P 与x 轴的正半轴上的点i Q 及原点O 构成一系列正三角形△OP 1Q 1，△Q 1P 2Q 2，…△Q n-1P n Q n …设正三角形1n n n Q P Q -的边长为n a ,n ∈N ﹡(记0Q 为O ),(),0n n Q S .（1）求1a 的值; （2）求数列{n a }的通项公式n a 。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2. 设{}{},n n a b 都是各项为正数的数列，对任意的正整数n ，都有2 1,,n n n a b a +成等差数列， 2211,,n n n b a b ++成等比数列． （1）试问{}n b 是否成等差数列？为什么？ （2）如果111,2a b ==，求数列1n a ?? ???? 的前n 项和n S ． 3. 已知等差数列｛n a ｝中，2a ＝8，6S ＝66. （Ⅰ）求数列｛n a ｝的通项公式； （Ⅱ）设n n a n b )1(2+=，n n b b b T +++= 21，求证：n T ≥1 6 . 4. 已知数列{n a }中5 3 1=a ，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），数列}{n b ，满足11-= n n a b （+∈N n ） （1）求证数列{n b }是等差数列； （2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由； （3）记++=21b b S n …n b +，求 )1(lim -∞→n b n n ． 5. (Ⅰ (Ⅱ (Ⅲn 项的 6. （1（2 7. 已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且对任意* ∈N n ，都有 n n pa p S p -=?-)1(（p 为大于1的常数），并记 n n n n n n n S a C a C a C n f ??++?+?+=21)(2211 .0
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