复变函数练习题习题
复变函数练习题习题
习题 5.求下列函数的极限，其中z?0. f1(z)?zRe(z)/|z| 解：因为zRe(z)lim|f1(z)|?lim||?lim|Re(z)|?0
z?0z?0z?0|z|所以教材节的定理1知limf1(z)?0. z?0 另解：设z?x?iy(x,y?R)，则zRe(z)(x?iy)xf1(z)???22|z|x?y因为x222x?y?ixyx?y
220?x222x?y|xy|??22x?y?|x|,
0?xyx?y22|xy|?x?y|xy|222?|x|,2x?y
所以夹边法则得 1 limx?0y?0x222x?y?0,
limx?0y?0|xy|x?y22?0,limx?0y?0xyx?y22 ?0所以limf1(z)?limz?0x?0y?0x222x?y?ilimx?0y? 0xyx?y22?0?0?0 注1：极限存在是对趋向于极限点的任意路径极限都存在，不能仅对特殊路径证明，所以不
能设y?kx?0来证明极限存在！注2：设z?r(cos??isin?)，则zrcos?limf1(z)?lim?limzcos??0?
z?0z?0z?0r此处?与z有关，不能直接得到极限，需要进一步将z?r(cos??isin?)带入再求极限. 2 f2(z)?Re(z)/|z| 解：设z?x?iy(x,y?R)，当z沿任意射线y?kx(x?0)趋向零时有z?x?ikx?0，这时有Re(z)f2(z)??|z|xx?(kx)22?11?k2?11?k2极限与k有关，即与路径有关，所以当z?0时，f2(z)?Re(z)/|z|的极限不存在. 另解：设z?r(cos??isin?)(r,??R)，当z沿任意射线???0趋向零时有z?r(cos?0?isin?0)?0即r?0，这时有Re(z)rcos?0f2(z)???cos?0?cos?0 |z|r极限与?0有关，即与路径有关，所以当z?0时，f2(z)?Re(z)/|z|的极限不存在.
3 f3(z)?Re(z)/(1?z) 解：Re(z)limf3(z)?limz?0z?01?zlimRe(z)z?0 ?lim(1?z)z?0 0??01 6.设f(z)在点z0连续且f(z0)?0，试证明存在
z0的一个邻域使在该邻域内恒有f(z)?0. 证明：因为f(z)在点z0连续，连续定义知???0,??(?)?0,当|z?z0|??时，有|f(z)?f(z0)|??. 因为f(z0)?0，可取??|f(z0)|?0,则存在?0??(|f(z0)|)?0,对于z0的邻域{z:|z?z0|??0}中任意一点z，有|f(z)?f(z0)|?|f(z0)|.于 4 ||f(z)|?|f(z0)||?|f(z)?f(z0)|，则对于上述邻域中的z，有||f(z)|?|f(z0)||?|f(z0)|??|f(z0)|?|f(z)|?|f( z0)|?|f(z0)|?0?|f(z)|?2|f(z0)|这表明存在z0的邻域，使在该邻域内|f(z)|恒正，即在该邻域内恒有f(z)?0. 注：复数不能比较大小，所以出现z?0,z?z0,f(z)?f(z0)??,f(z)?f(z0)???等等是极其错误的. 5
复变函数试题及答案
1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数
4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1
复变函数试题与答案
第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3
７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续
复变函数综合练习
综合练习一 1、 设| |1,|| 1.a z <<证明： （i ）| |1; 1z a az -<- （ii ） 22 2 2 (1||)(1||) 1||;1|1| z a a z az az ----= -- （iii ）|||| ||||| || |1 1|||| 1|||| 1z a z a z a a z a z az --+≤≤ <-+- 2、 设12 12,,,,,,n n z z z ωωω 是任意2n 个复数，证明复数形式 的Lagrange 恒等式： 2 2 2 2 1 1 1 1||(||)(||)|| n n n j j j j j k k j j j j j k n z z z z ωωωω===≤<≤=- -∑∑∑∑ , 并由此推出Cauchy 不等式： 2 2 2 1 1 1 ||(||)(||). n n n j j j j j j j z z ωω===≤∑∑∑ 不等式中等号成立的条件是什么？ 3、设12,,,n z z z 是任意n 个复数，证明必有{1,2,,}n 的子集E 使得 1 1 ||||. 6 n j j j E j z z ∈=≥ ∑∑ 4、设无穷三角阵 11212231 32 33 a a a a a a 满足 （i ）对任意固定的k ，lim nk k n a a →∞ =存在； （ii ） 1 lim n nk n k a →∞ =∑存在； （iii ） 1 ||,. n nk k a M n =≤<∞?∈∑ 证明：若复数列{}n z 收敛，则1lim n nk k n k a z →∞=∑存在。 5、证明：若E ? 即是开集又是闭集，则E =?或.E = 6、设E 是非空点集，0ε>。若对于E 中的任意两个点,a b ， 存在E 中的有限个点 01,,,,n a z z z b == 使得 1||k k z z ε--<成立(1)k n ≤≤，则称E 为ε-连通的。证明：紧集连通的充要条件是，对任意0ε>它都是ε-连通的。举例说 明将紧集改为闭集后结论不再成立。 7、设D 是 中的域，()f H D ∈，f 在D 中不取零值。证明：对任意0,p >有 22 222 22|()||()||()|.p p f z p f z f z x y -????'+= ????? 8、设D 是 中的域，1 ()f u iv C D =+∈。证明： 2 2 ||| |. u u x y f f v v z z x y ??????=-?????? 特别地，当()f H D ∈时，有 2 ||. u u x y f v v x y ????'=???? 9、设f 在(0,1){1}B 上全纯，并且 ((0,1))(0,1),(1)1,f B B f ?= 证明(1)0.f '≥ 10、设((0,1)),f H B ∈如果存在0(0,1)\{0}z B ∈，使得 0000|||| ()0,()0,|()|max |()|, z z f z f z f z f z ≤'≠≠=且那么000() 0. () z f z f z '> 11、证明(0,1)B 是 2 ()1z f z z = -的单叶性域，并求出 ((0,1))f B 。 12、求一单叶全纯映射，把 11(,)22B - 和11 (,)22B 的外部除去线 段[2,0]i -所成的域映为上半平面。 13、设0,(0,)r R f B r <<在中全纯。证明： （i ） 20 1(0)(); 2i f f re d πθ θπ=? （ii ）2 ||1 (0)(). z r f f z dxdy r π<= ? 14、设 u 是 (0,)B R 中的调和函数， 0.r R <<证明： 20 1(0)(). 2i u u r e d π θ θπ = ? 15 、 （ Schwarz 积 分 公 式 ） 设 ((0,) ) (( 0, f H B R C B R f ∈=+ 证明： 20 1Re ()(Re )(0). 2Re i i i z f z u d iv z θ πθ θ θπ += +-? 16、设 f 是域 D 上的连续函数，如果对于任意边界和内部都位 于D 中的弓形域G ，总有()0 G f z dz ?=? ，那么f 是D 上 的全纯函数。如果把弓形域换成圆盘，结论是否仍然成立？ 17、证明：幂级数 00 () n n n a z z ∞ =-∑在域D 上一致收敛，当且仅
复变函数经典习题及答案
练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13
【填空题】《复变函数与积分变换》期末练习题
2020届《复变函数与积分变换》练习题 填空题 1.若 ()f z u iv =+可导，则()f z ￠ = . 2.设()t d 是单位脉冲函数，则()t d 轾=臌 . 3.复变函数3()z f z e =的周期为 . 4.曲线积分3 4sin ()z z dz z p == -ò? . 5.已知复变函数 22()3326f z x y xyi =--+，若z x iy =+，则()f z 关于变量z 的 表达式为 . 6.复变函数()z f z e =的周期为 . 7. 若()f z u iv =+可导，则()f z ￠= . 8.计算乘幂 = . 9.曲线积分24cos ()z z dz z π== -?? . 10. 已知222211()(1)(1)f z x iy x y x y =+ +-++，若z x iy =+，则复变函数()z f 关于变 量z 的表达式为 . 11. ()=+51i ________. 12. 当=a ________，函数)72(2)(y x i y ax z f +-++=为复平面上的一个解析函数. 13. 复数6cos 6sin π πi z +-=的指数形式为=z ________________. 14. 函数t t f 7sin )(=的Fourier 变换为________________. 18. =?+∞ -tdt e t 2cos 04________________. 19. =i 1________.
20. 当=a ________，函数)9()(y x i ay x z f ++-=为复平面上的一个解析函数. 21. 复数32cos 32sin ππi z +=的指数形式为=z ________________. 22. 函数t t f 5sin )(=的Fourier 变换为________________. 23. =?+∞-tdt e t 2cos 03________________. 24.公式cos sin ix e x i x =+称为_____________________. 25.函数()f z Lnz =的奇点之集为_____________________. 26. ()+t dt δ∞∞=?— ___________. 27.复变函数3()z f z e =的周期为 . 28.若21(1)1n n n z i n n +=++-，则lim n n z =___________. 29.设34z i =+，则2z e = . 30.函数()cos 6f t t =的傅立叶变换[cos 6]F t = . 31.xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f . 32.已知复变函数 22()3326f z x y xyi =--+，若z x iy =+，则()f z 关于变量z 的 表达式为 . 33.=+i i )1(____________________. 34. 当=a _____，=b _____，函数)9()(2y x i ay bx z f ++-=为复平面上的一个解析函数. 35. =-)33(i Ln _______________.
复变函数习题及解答
第一章 复变函数习题及解答 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π2π,0,1,2,3k k +=±±L ；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 计算下列复数 （1 （2 答案 （1 （2）(/62/3) i n e ππ+ 已知x
【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P Λ的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()() z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 【解】 因为 22 2244444444(1)2(cos sin )2(cos sin ) (1)2(cos sin )2(cos sin )n n n n n n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=- 所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π =所以 4 ,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±L 将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式 （1） cos5θ； （2）sin5θ 答案 53244235 (1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθ θθθθθ-+-+ 证明：如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根，但是1≠w 即不是主根，则必有 对于复数 ,k k αβ，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式：
复变函数试题与答案
复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-
第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 321+- （D ）i 2 1 23+- 3．复数)2 (tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ） )]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小
５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i -- 4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无 界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ）
复变函数练习册(全套)
第一章 复数与复变函数 一、选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足arg(2)3z π+=，5arg(2)6z π -=，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 1 23+- 3．一个向量顺时针旋转3 π ，对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 4．使得2 2z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 5．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 6．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续 （D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 学号：____________ 姓名:______________ 班级:_____________
二、填空题 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．复数2 2 )3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 4．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连接点 和 的线 段的垂直平分线 5．=+++→)21(lim 421z z i z 三、将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2）13i -+ 四、求下列各式的值： （1）5( 3)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3）1i + 五、解方程：5 ()1z i +=
复变函数习题解答(第6章)
p269第六章习题(一) [ 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 ] 7.从 Ceiz /√zdz出发，其中C是如图所示之周线(√z沿正实轴取正值)，证明：(0, +)cosx/√xdx= (0, +)sinx/√xdx=√(/2)． 【解】| C(R)eiz /√zdz| C(R)| eiz |/R1/2 ds = [0,/2]| ei(cos+isin) |/R1/2 ·R d Ri = [0,/2]| e Rsin |R1/2 d
R R1/2 [0,/2]e Rsin d． 由sin2/([0,/2] )，故R1/2 [0,/2]e Rsin d R1/2 [0,/2]e(2R/) d C r ri = (/(2R1/2 ))(1–e R )/(2R1/2
所以，| C(R)eiz /√zdz|0 (asR+)．rR而由| C(r)eiz /√zdz|(/(2r1/2 ))(1–e r ) 知| C(r)eiz /√zdz|0 (asr0+ )． 当r0+ ，R+时， [r,R]eiz /√zdz= [r,R]eix /√xdx= [r,R](cosx+isinx)/√xdx
(0, +)cosx/√xdx+i (0, +)sinx/√xdx． [ri,Ri]eiz /√zdz= [r,R]ei(iy) /√(iy)idy= [r,R]e y ei/4 /√ydy． = (1 +i)/√2 · [r,R]e y /√ydy= 2(1 +i)/√2 · [√r,√R]e u^2 du (1 +i)√2 · (0, +)e u^2 du= (1 +i)√2 ·√/2 = (1 +i)√(/2)．由Cauchy积分定理， Ceiz
复变函数测试题及答案
第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ）
（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z
（C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z
复变函数
1. 一个项目的输入输出端口是定义在 A 。 A. 实体中 B. 结构体中 C. 任何位置 D. 进程体 2. 描述项目具有逻辑功能的是 B 。 A. 实体 B. 结构体 C. 配置 D. 进程 3. 关键字ARCHITECTURE定义的是 A 。 A. 结构体 B. 进程 C. 实体 D. 配置 4. MAXPLUSII中编译VHDL源程序时要求 C 。 A.文件名和实体可以不同 B. 文件名和实体名无关 C. 文件名和实体名要相同 D . 不确定 5. 1987标准的VHDL语言对大小写是 D 。 A. 敏感的 B. 只能用小写 C. 只能用大写 D. 不敏感 6. 关于1987标准的VHDL语言中，标识符描述正确的是 A 。 A必须以英文字母开头B可以使用汉字开头C可以使用数字开D任何字符都可以 7. 关于1987标准的VHDL语言中，标识符描述正确的是 B 。 A下划线可以连用B下划线不能连用 C不能使用下划线 D可以使用任何字符 8. 符合1987VHDL标准的标识符是 A 。 A. A_2 B. A+2 C. 2A D. 22 9. 符合1987VHDL标准的标识符是 A 。 A. a_2_3 B. a_____2 C. 2_2_a D. 2a 10. 不符合1987VHDL标准的标识符是 C 。 A. a_1_in B. a_in_2 C. 2_a D. asd_1 11. 不符合1987VHDL标准的标识符是 D 。 A. a2b2 B. a1b1 C. ad12 D. %50 12. VHDL语言中变量定义的位置是 D 。 A. 实体中中任何位置 B. 实体中特定位置 C. 结构体中任何位置 D. 结构体中特定位置 13. VHDL语言中信号定义的位置是 D 。 A. 实体中任何位置 B. 实体中特定位置 C. 结构体中任何位置 D. 结构体中特定位置 14. 变量是局部量可以写在 B 。 A. 实体中 B. 进程中 C. 线粒体 D. 种子体中 15. 变量和信号的描述正确的是 A 。 A. 变量赋值号是:= B. 信号赋值号是:= C. 变量赋值号是<= D. 二者没有区别 16. 变量和信号的描述正确的是 B A. 变量可以带出进程 B. 信号可以带出进程 C. 信号不能带出进程 D. 二者没有区别 17. 关于VHDL数据类型，正确的是 C 。 A. 数据类型不同不能进行运算 B. 数据类型相同才能进行运算 C. 数据类型相同或相符就可以运算 D. 运算与数据类型无关 18. 下面数据中属于实数的是 A 。 A. 4.2 B. 3 C. ‘1’ D. “11011” 19. 下面数据中属于位矢量的是 D 。 A. 4.2 B. 3 C. ‘1’ D. “11011” 20. 关于VHDL数据类型，正确的是 B 。 A. 用户不能定义子类型 B. 用户可以定义子类型 C. 用户可以定义任何类型的数据 D. 前面三个答案都
复变函数课后习题答案(全)
习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i（2 ）1 -+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解：（1）2 cos sin 22 i i i e π ππ =+=
（2 ）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- =
复变函数习题答案第3章习题详解
第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分? +i dz z 30 2 。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 () ()()?? +=??????+=+= +1 3 1 332 3 30 2 3313313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 33 2 3 2 33131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t i d t dz = () ()()33 1 31 2 33 2 3313313313-+=??????+=+= ?? +i it idt it dz z i ()()()33 3 3 1 02 30 2 30 2 33 13 3 133 133 13i i idt it dt t dz z i += - ++ = ++ = ∴ ?? ? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t i d t dz = ()()31 31 20 2 3131i it idt it dz z i =??? ???== ? ? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = () ()()33 1 31 2 32 3113131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+= ?? + ()()33 3 3 32 2 30 2 13 13 113 13 1i i i i dz z dz z dz z i i i i += - ++ = + = ∴ ? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分()? ++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=? ???? ???? ??++=++=+∴ ? ?+i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 210 2 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 0432 10 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i 而()i i i i i 6 5 6121213131213 11+-=-++=??? ??+ +
第一章复变函数习题及解答
第一章 复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π 2π,0,1,2,3k k +=±±；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 1.2 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 1.3计算下列复数 （1 （2 答案 （1） （2）(/62/3) i n e ππ+ 1.4 已知x 的实部和虚部．
【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 22 1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+ 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 1() ()1||||| |||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++ 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 ()( ) 00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 1.7 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值.
复变函数与积分变换(练习题) (答案)
复变函数与积分变换 第一章 练习题 1． 计算 (1)(2) i i i --； 解：（1） 10 3) 31)(31()31(312 3) 2)(1(2 i i i i i i i i i i i i i +-= +-+= -= +-= --； （2）10 310 ) 2)(1() 2)(2(1)1)(1()2)(1() 2)(1(i i i i i i i i i i i i i +-= ---= ----------= --。 2． 解方程组1212 2(1)43z z i i z iz i -=??++=-?； 解：消元法，)2()1(+?i 得：i z i 33)31(1-=+， 解得：5 63) 31)(31()31)(33(31331i i i i i i i z --= -+--= +-= ， 代入)1(得：5 1765 6322i i i z --= ---? =。 3．求1i --、13i -+的模与辐角的主值； 解：]arg arctan arctan ,arctan arg ππππ，（，，三 ，二一，四 -∈??? ? ? ???? -+=z x y x y x y z ， ?? ? ???-+-= --)43s i n ()43c o s (21ππi i ； [])3a r c t a n s i n ()3a r c t a n c o s (1031-+-= +-ππi i 。 4 ．用复数的三角表示计算3 12?? - ? ??? 、； 解：1)sin()cos()3cos()3cos(2313 3 -=-+-=??? ?? -+-=??? ? ??-ππππi i i ； 3,2,1,0,424 3s i n 4243c o s 2)43s i n 43(c o s 2283 4 1 =???? ? ? ? ? +++=?? ??? ? +k k i k i ππππππ，
复变函数及积分变换试题及答案
第一套 第一套 一、选择题（每小题3分，共21分） 1. 若（ ），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。 A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。 2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。 A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C + 3. 2|2|1(2)z dz z -==-?（ ） 。 A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。 A. 1 01 ()2()n n f d c i z ξξ πξ+= -? B. 0()!n n f z c n = C. 2 01()2n k f d c i z ξξπξ= -? D. 210! ()2()n n k n f d c i z ξξ πξ+= -? 5. z=0是函数z z sin 2 的（ ）。 A.本性奇点 B.极点 C. 连续点 D.可去奇点 6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ）。 A.1 z z w -= B. z 1z w -= C. z z 1w -= D. z 11 w -= 7. sin kt =（）L （ ），（()Re 0s >）。 A. 22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. k s 1 . 二、填空题（每小题3分，共18分） 1. 23 (1)i += [1] ； ---------------------------------------- 装 --------------------------------------订 ------------------------------------- 线 ----------------------------------------------------