(完整版)高等数学-微积分下-分节习题册答案-华南理工大学(50)

1、设()f x 是以2π为周期的函数，它在[],ππ-上的表达式为

()22

22

22

x f x x

x x ππ

ππ

π

ππ

π

?--≤<-???=-

≤<

???≤

将()f x 展开成傅里叶级数。 解：注意在一个周期内()f x 是奇函数

()220221

1022a f x dx dx xdx dx ππ

π

ππππ

ππ

ππ

π--

--??==-++= ???

????

()1

cos 0n a f x nxdx π

ππ

-

=

=? 1,2,n =L

()22

221

1sin sin sin sin 22n b f x nxdx nxdx x nxdx nxdx ππ

π

ππππ

ππππ

π--

--??=

=-++ ???

????

22022cos sin cos 2x nx nx nx n n n π

ππππ?

????? ?

=-++-???? ?????

?

? ()122

sin

12sin 2cos 221,2,2n n n n n n n n n πππππππ+?

?

-+ ?=-+== ? ?

?

?

L

()()1

2

112sin

2sin n n n n f x nx

n

πππ+∞

=-+=∑

(),3,,21,x x k πππ-∞<<+∞

≠±±±+L L

2、将函数()()cos

2

x

f x x ππ=-≤≤展成傅里叶级数。 解：注意在一个周期内()f x 是偶函数

()01

1

14

cos 2sin 22x x a f x dx dx π

π

π

π

πππ

πππ

-

--??=

===??????

()0

1

2

cos cos cos 2

n x

a f x nxdx nxdx π

π

π

π

π

-

=

=

??

2

12121cos cos 222n n x x dx π

π

-+??=

+ ???

?

02121121sin sin 212212n n x x n n π

π??-+??=+ ??? ?-+????

()()()()

1

214221221sin sin 1,2,21221241n n n n n n n πππππ+--+=+==-+-L

()1

1

sin cos sin 2

n x

b f x nxdx nxdx π

π

π

ππ

π-

-=

=

?? 0

1,2,n ==L ()()

()

1

2

114

2cos 41n n f x nx n π

π+∞

=-=

+-∑

x ππ-≤≤

3、将函数()()2

0f x x

x π=≤≤分别展成正弦级数和余弦级数。

解：1）展成余弦级数 ()2

2

00

1

2

23

π

a f x dx x dx π

ππππ

-

=

==??

()()20

22320

1

2

cos cos 412sin 2cos 2sin k π

k

a f x kxdx x kxdx

x kx x kx kx k k k k π

π

π

π

π

π-

=

=

-??

=+-=??????

()22

2

141cos 3n

n πx nx n

∞=-=+∑ ()0x π≤≤

2）展成正弦级数

()()()20

2222330

1

2

sin sin 212122cos 2sin cos k π

k

k

b f x kxdx x kxdx

k x kx x kx kx πk k k πk π

π

π

π

π

π-

=

=

--+--??

=-++=??????

()()222

3

1

21212sin n n

n n x nx πn π∞

=--+--=∑ ()0x π≤<

4、

高等数学B上—华工平时作业2018秋

华南理工大学网络教育学院 2018–2019学年度第一学期 《高等数学》（上）作业 1、 求函数() f x = 解：因x ≥0，1-x>0,所以0≤x<1 2、 设函数1arctan =y x ，求dy 。 解 dy=d(arctan1/x)=1/(1+(1/x)^2)d(1/x)=x^2/(1+x^2)(-1/x^2)dx=-1/(1+x^2)d x 3、 设ln ln 0xy x y ++=确定()y y x =，求 dy dx 。 解：等式两边对x 求导，得： y+x(dy/dx)+1/y(dy+dx)+1/x=0 解得dy/dx=-(y+1/x)/(x+1/y)=-[(xy+1)/x]/[(xy+1)/y]=-y/x 4、 求极限01lim tan 2x x e x →-。 解：由于当x →0时，e^x-1~x,tan2x~2x,lim(x →0)e^x-1/tan2x=lim(x →0)x/2x=1/2 5、 求函数x y xe =的单调区间和极值。 解：定义域为R,y'=e^x(1+x),因e^x 恒大于0,故由y'=0,可得x=-1,故增函数区间(-1,+∞)，减函数区间（-∞，-1），x=-1时,极小值为xe^x=-1e^-1=-1/e 6、 求112dx x =-?(-1/2)ln|1-2x|+C 解：原式=(-1/2)∫d(1-2x)/(1-2x) =(-1/2)ln|1-2x|+C ，其中C 是任意常数。 7、 求曲线=x y e ，直线0=x ，1=x 及x 轴所围成的图形的面积。 解：∫[0,1] e^x dx= e^x |(x=1) - e^x | (x=0)=e^1-e^0= e - 1

最新华南理工大学版微积分下课件19

华南理工大学版微积分下课件19

第六节高斯公式和斯托克斯公式 一、高斯公式 定理1：设空间闭区域?Skip Record If...?是由分片光滑的闭曲面 ?Skip Record If...?所围成，函数 ?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上具有一阶连续偏导数，则有 ?Skip Record If...? 或 ?Skip Record If...? 这里?Skip Record If...?是?Skip Record If...?的整个边界曲面的外侧，?Skip Record If...?是?Skip Record If...?上 点?Skip Record If...?出的法向量的方向余弦。 证明：我们只需证明三个等式 ?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...? 证明等式最重要的是处理好积分区域！ 证明?Skip Record If...?（如图1） 例1：计算?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?为椭球面 ?Skip Record If...?的内侧。 解：利用高斯公式 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...? ?Skip Record If...?

?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 例2:计算曲面积分?Skip Record If...?，其中积分曲面?Skip Record If...? 为?Skip Record If...?，并取下侧。（00华） 解：做辅助曲面?Skip Record If...?并取上侧，利用高斯公式 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 点评：高斯公式可以用来简化第二类曲面积分的计算，首先 利用高斯公式时一定要注意积分曲面必须是封闭的，否则要 做辅助曲面，如例2；其次要注意积分曲面所选定的侧，如 例1中的负号就是因为积分曲面选定的内侧； 例3：设函数?Skip Record If...?，?Skip Record If...?在闭区域?Skip Record If...?具有一阶及二 阶连续的偏导数，证明： ?Skip Record If...? 其中?Skip Record If...?为闭区域?Skip Record If...?的整个边界曲面，?Skip Record If...?为函数?Skip Record If...?沿?Skip Record If...? 的外法向量的方向导数，符号?Skip Record If...?。

华南理工大学《高等数学》试卷A+答案

一．填空题（每小题4分，共24分） 1.设 432z x y x =+，则(1,2) d z =3412dx dy + 2.曲线cos :sin x a t y a t z ct =?? Γ=??=?在点 (,0,0)a 的切线方程为,y z x a a c == 3.已知2222 ()(,)0(,)0(,)0 x y xy x y f x y x y x y ?-≠? =+??=? ，则(0,)x f y =y -. 4.函数22z x y =+在点0(1,2)P 处沿从点0(1,2)P 到点1(2,2 3) P +方向的方向导数是123+ 5.设L 为取逆时针方向的圆周229x y +=，则曲线积分 2 (22)d (4)d L xy y x x x y -+-=? 18π- 6.设L 为直线y x =上点(0,0)到点(1,1)之间的一段，则曲线积分2d L xy s = ?2 4 . 二. （本题7分） 计算二重积分2 22e d x y D xy σ??，其中D 是由1,, 0y x y x ===所 围成的闭区域. =2 1 200 2y x y dy xy e dx ?? ------4’ =1 (2)2e ----------------4’ 三. （本题7分）计算三重积分???Ω d v z ，其中Ω是由22222 2 x y z z x y ?++≤??≥+??所确定. =22 21 20 r r d rdr zdz πθ-??? -------4’ =712 π ----------------------3’ _____________ ________ 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 ) ……………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………

《高等数学(下)》平时作业-2020年下半年华南理工大学网络教育

《 2020-2021-1高等数学B （下）作业题 》 第 1 页 （共 2 页） 《高等数学（下）》平时作业 2020年下半年华南理工大学网络教育 一、判断题（期末考试只有5小题） 1. （1）若12,y y 是二阶线性齐次方程()()0y p x y q x y '''++=的两个特解, 那么， 1122()y x C y C y =+ 就是该方程的通解.（错） （2）若12,y y 是二阶线性齐次方程()()0y p x y q x y '''++=的两个线性无关的特解, 那么， 1122()y x C y C y =+ 就是该方程的通解.（对） 2.（1）若两个向量 ,a b 平行，则a b ?0.=（错） （2）若两个向量 ,a b 垂直，则a b ?0.=（对） 3.（1）函数(,)f x y 在00(,)x y 点偏导数存在，则它在00(,)x y 点全微分存在，反之亦然.（错） （2）函数(,)f x y 在00(,)x y 点全微分存在，则它在00(,)x y 点偏导数存在，反之不成立.（对） 4. （1）设(,) f x y D 在有界闭区域 上连续，，则二重积分 (,)d σ??D f x y 表示以曲面(,)f x y 为顶、以区域D 为底的曲顶柱体的体积.（错） （2）设 2222(,) +(,){(,)|9}=∈=+≤，f x y x y x y D x y x y ，则二重积分(,)d σ??D f x y 表示以曲面(,)f x y 为顶、以区域D 为底的曲顶柱体的体积.（对） 5. （1）lim 0→∞=n n u 是数项级数1 n n u ∞=∑收敛的充分条件.（错） （2）lim 0→∞=n n u 是数项级数1n n u ∞ =∑收敛的必要条件.（对） 二、填空题（期末考试为选择题） 1. 22x y xye x '+= 属于__ ____方程. 2. ,,(9,0,0),(0,2,0),(0,0,3)______________.x y z 已知平面与轴分别交于,则该平面方程为 3. 函数221(,)ln(25)f x y x y =--定义域为______. 4. 224z x y z Ω=+=若是由旋转抛物面与平面所围成的闭区域,则三重积分

华南理工大学线代微积分答案课后题第一章(1)

1、（1） ()sin cos sin sin cos cos 1cos sin x x x x x x x x ?=??= （5）33223x y y x y y y y x y x y x y y x y xy y x y x y y y y x =?+=+? 2、（1）左边= ()()a b x a d y c b x ad ay b c cx c d y +=+?+=+??+ 右边= ()()a b a x ad bc ay cx c d c y +=?+? 左边=右边，所以等式成立。 （2）左边=010 0b a e f b a b a e f ad bc d c d c e f d c =? +=? 右边=ad bc ? 左边=右边，所以等式成立。 3、（2）解：因系数行列式 21 5011021 D ?=?=? 故方程组有解， 1 1 010********D x D ???===，2 2200 50103161D x D ?===，3 321 050002 3 151 D x D ??=== 4、由题意已知，34 43i i or j j == == 当34i j = = 时，()17352468τ=，当43 i j = = 时，()17452369τ= 故3,4i j ==。 5、顺序数+逆序数=2 n C 故()()() 212112112 n n n n n n n i i i i C i i i i m ττ???=?=?

6、（1）()2653841713τ=，奇排列 （2）()()()() 1,1,,2,11212 n n n n n n τ???+?++ 441,4243,n kor k n k or k =+ =++ 偶排列 奇排列 （3） ()()()()()()()2,21,2,21,23,,121231 311212 n n n n n n n n n n τ???= ?+?++?+?+?++= 443,4142,n kor k n k or k =+ =++ 偶排列 奇排列 7、含123541a a a 的项分别有() () 251122354151i j i j a a a a a τ?，其中34 43 i i or j j == == 当34i j = = 时，含123541a a a 的项分别是()() 2351412233541541a a a a a τ?，()235144τ=， 当43 i j = = 时，含123541a a a 的项分别是()() 2451312243541531a a a a a τ?，()245135τ= 故含有123541a a a 的项是1223354154a a a a a 和1224354153a a a a a ? 8、解：() () () () ()134212342221511213x x x ττ?+??= 10、(1) ()()()()214323410 000011000 00a a b baed bcea abde abce c d e ττ=?+?=? (2) 0000000000a b c g f e d =

华南理工大学高等数学作业

华南理工大学网络教育学院 2016–2017学年度第二学期 《高等数学B(上)》作业 1. 若0x 是()f x 的极小值点，则0x 不一定是 （是/不一定是）()f x 的驻点；若0 x 是()f x 的驻点，则0x 不一定是 （是/不一定是）()f x 的极值点。 2. 求函数1 3/2y x =+- 解：要求23/2040x x -≠??-≥?，3/2 -22x x ≠???≤≤?， 即函数的定义域为 [2,3/2)(3/2 -? 3. 求2231 lim 62n n n →∞++。 解：原式=1 2 4. 设5cos(34)y x =+，求y '。 解：-15sin(34)y x '=+ 5. 设2e x y x =，求dy 。 解：()()2222(2)x x x x dy x e dx xe x e dx x x e dx '==+=+

6. 求极限01lim tan 2x x e x →-。 解：原式=0-1lim 2x x e x → 01=l i m =22 x x e → 7. 设ln ln 0xy x y ++=确定隐函数()y y x =，求dy dx 。 解：方程两边同时关于x 求导，得： 110''+++=y xy y x y 即 11????'+=-+ ? ???? ?x y y y x 解得 11+=-=-+y d y y x d x x x y 8. 求函数x y xe =的极值。 解：连续区间为(,)-∞+∞。 1+=0令（）x y x e '=，得驻点1x =- 当1x >-时，0令y '>；当1x <-时，0令y '< 所以1x =-为极小值点，极小值为1(1)y e --=-。 9. 求25x e dx +?。 解：原式=251(25)2 x e d x ++? =2512 x e C ++

华南理工大学-高等数学B下随堂练习参考答案

华南理工大学网络教育平台-*高等数学B(下)-随堂练习参考答案2013-4-10 1.函数定义域为（） （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 2.函数定义域为（） （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：D 问题解析： 3.函数定义域为（） （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 4.函数定义域为（） （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：B 问题解析： 5.,则的定义域为（） （A）（B） （C）（D）

答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 6.下列函数为同一函数的是（） （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：D 问题解析： 7. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：A 问题解析： 8. （A）（B） （C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：B 问题解析： 9. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D

问题解析： 10. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 11. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：B 问题解析： 12. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：A 问题解析： 13. （A）（B）0 （C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 14. （A）（B）0 （C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交）

高等数学(B)下2020年华南理工大学平时作业(1)

前半部分作业题，后半部分为作业答案 各科随堂练习、平时作业（yaoyao9894） 《 高等数学B （下） 》练习题 2020年3月 一、判断题 1. () 3 4 20yy y y xy ''''+-=是二阶微分方程. 2. （1）若12(),()y x y x 是二阶线性齐次方程()()0y p x y q x y '''++=的两个特解, 则1122()()()y x C y x C y x =+是该方程的通解. （2）若12(),()y x y x 是二阶线性齐次方程()()0y p x y q x y '''++=的两个线性无关的特解, 即 12() () y x y x ≠常数， 则1122()()()y x C y x C y x =+是该方程的通解. 3. （1）若两个向量,a b 垂直，则a b ?0.= （2）若两个向量,a b 垂直，则a b ?0.= （3）若两个向量,a b 平行，则a b ?0.= （4）若两个向量,a b 平行，则a b ?0.= 4. （1）若函数(,)f x y 在00(,)x y 点全微分存在，则(,)f x y 在00(,)x y 点偏导数也存在. （2）若函数(,)f x y 在00(,)x y 点偏导数存在，则(,)f x y 在00(,)x y 点全微分也存在. 5. （1）设连续函数(,) 0f x y ≥，，则二重积分 (,)d σ??D f x y 表示以曲面(,)f x y 为顶、以区 域D 为底的曲顶柱体的体积. （2）二重积分 (,)d σ??D f x y 表示以曲面(,)f x y 为顶、以区域D 为底的曲顶柱体的体积. 6. （1）若(,)f x y 在00(,)x y 处取得极大值，且(,)f x y 在00(,)x y 点偏导数存在，则00(,)x y 是函数(,)f x y 的驻点. （2）若(,)f x y 在00(,)x y 处取得极大值，则00(,)x y 是函数(,)f x y 的驻点. 7. （1）若lim 0→∞ =n n u ,则数项级数 1 n n u ∞ =∑收敛.

华南理工大学高等数学统考试卷上2011补

《高等数学》试卷B （2011期末理工类统考 2012.3.8时间120分钟，总分100） 成绩报告表序号： 专业班 姓 名： 学院（系） 一、填空题（共18分） 1．[3分] 若()f u 为可导函数，且()53f x x -=，则()3f x '-= 2．[3分]x e 带有皮亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式为 3．[3分]曲线()121x y x e =-的斜渐近线方程为 4．[3分] 当0x →时，tan x x e e -与n x 是同阶无穷小，则n = 5、[3分 ] 20d dx ??= ??? ? 6、[3分] 设{1,0,2},{2,1,2}a b =-=-，则a b ?= 二、计算下列各题（4520?=） 1、[5分] 求极限111lim 12n n n n n →∞??+++ ?+++?? 2、[5分]求极限() 22ln sin lim 2x x x π π→- 3、[5分] 求极限()sin lim 0n p n n x dx p x +→∞>? 4、[5分]已知函数()()cos ,0,0x x x f x x a x ?-?≠?=??=? ,其中?具有二届连续导数，且()01?=。（1）求常数a 的值，使()f x 在0x =处连续；（2）求()f x ' 三、解答下列各题[每小题5分，共15分] 1． 已知arctan x y y +=, 求 dy dx 2． 设()f x 可导，且满足()()011lim 12x f f x x →--=-，求曲线()y f x =在()()1,1f 点处的切线方程

3． 设y f = ，已知dy dx =，求()f x ' 四、计算下列各题[每小题5分，共10分] 1 、计算3 2、计算sin x xdx ? 五、计算下列各题[每小题5分，共20分] 1. 估计定积分22 0x x e dx -?的值 2. 计算 2 2π π -? 3. 计算1 x x dx e e -+? 4. 计算21arctan x dx x +∞? 六、解答下列各题[每小题6分，共12分] 1. 求由曲线22y x =和4y x =-所围成的平面图形的面积. 2. 试证：双纽线()222cos20r a a θ=> 的全长可以表示为10L = 七、证明题[本小题5分] 写出并证明泰勒中值定理

高等数学B(下)平时作业2019春华南理工大学

《高等数学下（B）》练习题 2018-2019第二学期（2019.3）） 要求： 1、直接在本文档作答（以下三种方式之一）： （1）可输入文本和数学符号公式； （2）插入大小合适的作答图片； （3）若打印手写，拍照后将照片插入一个word文件中，不要几张照片压缩成一个压缩文件！） 2、在规定的时间内，按格式要求准确上传作业！不要上传别的科目作业, 也不要上传其他学期的作业，本次作业题与其他学期作业题有很大变化！ 3、必须提交单个的word文档！（doc或docx格式）不要用压缩文件上传！ （1）不按要求提交，会极大影响作业分数（以往学期部分同学直接在网页上答题，结果只能显示文本，无法显示公式，这样得分会受很大影响） （2）若是图片，请将图片大小缩小后插入到一个word文件中。 （3）图片缩小方式：鼠标指向图片，右键，打开方式，画图，ctrl w，调整大小和扭曲，依据（百分比），将水平和垂直的原始数值100都改为40，另存为jpg格式。这样处理后，一个大约3M的照片会缩小至几百K，也不影响在word中的清晰度。网络上传也快！ 4、认真答题，举一反三。本练习题中填空题，期末考试中将以单选题的方式考察类似问题。 祝大家学习顺利！ 一、判断题 1.?是三阶微分方程.（×） 2.?是四阶微分方程. （×） 3.设函数在点的偏导数存在，则在点可微.（×） 4. 设函数在点的可微，则在点偏导数存在.（√） 5.二重积分表示以曲面为顶，以区域为底的曲顶柱体的体积.（×） 6.若是非负连续函数，二重积分表示以曲面为顶，以区域为底的曲顶柱体的体积.（×） 《高等数学下（B）练习题》第1页（共 3 页）

华南理工大学微积分统考试卷上2013Aa

2n ne + +2n ne ++2 n ne + +

解 ( lim lim 2sin 22 x x →+∞ →+∞ = 2lim 0x →+∞ ==（无穷小与有界量之积为无穷小） 另解1 由拉格朗日中值定理)sin sin 1,x x ξ= +-在x +1与x 之间， 从而( lim lim 0x ξ→+∞ == 另解 2 由拉格朗日中值定理sin sin cos ,ξ ξ= 与 之间，从而( lim lim cos lim 0x ξξξ →+∞ →+∞ === 8、求极限0 sin lim sin x x t x dt t x x →--? 解 原式=()320000sin 1sin sin 1cos 1lim lim 2lim 2lim 1cos 363 2 x x x x x x x x x x x x x x →→→→- ----====- 另解 原式=2 320000sin cos sin 1sin cos sin 1lim lim lim lim 1cos sin 33 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→--- -====- 三、 解答下列各题（每小题5分，共20分） 9、设() 2ln x y f x e -=-，求dy 解 ( )()()2212ln ln 2ln 1ln x x x x x dy f x e x e dx e f x e dx x x ----????''=-??--=+- ? ???? ? 10、求 y xe = 解 取对数()21 ln ln ln sin 12 y x x x =++-，两边对x 求导视()y y x = 得 () ()2211111cos 122sin 1y x x y x x '?=++??-?-，从而 ( )() 222 11cot 11cot 1y x x xe x x x e x ????'=++-=++- ?????

(完整版)高等数学-微积分下-分节习题册答案-华南理工大学(50)

1、设()f x 是以2π为周期的函数，它在[],ππ-上的表达式为 ()22 22 22 x f x x x x ππ ππ π ππ π ?--≤<-???=- ≤< ???≤

华南理工大学微积分下

一、二重积分（引例：求平面薄片的质量） 基本计算思路：把二重积分化为二次积分（定积分） 基本计算的两个步骤：1）定限；2）定积分的计算 基本计算方法：1）在直角坐标下的计算方法：x 型区域、y 型区域；2）在极坐标下的计算方法：注意被积函数要乘一个r 。 其他知识点：改变积分的次序 二重积分的应用：曲面():,z f x y ∑= 的面积为D ，其中D 为∑在xoy 面上的投影区域。 例1：()()2 222,:,,00D y x d D y R x x y R y R σ-≤++≤≥>?? 解：原式()()02 2 32 00 0sin cos R x R R dx y x dy d r dr π θθθ+-=-+-???? ()330 32 00 1sin 233R R R x dx d r dr π θθ-??=++- ??? ??? 444 14428 R R R ππ??=+-= ??? 例2：交换下列二次积分的次序 ()()()2 1 1 3 320 1 ,,x x dx f x y dy dx f x y dy -+= ? ? ?? 132y - 二、三重积分（引例：求空间立体的质量） 基本计算思路：把三重积分化为三次积分（定积分） 基本计算的两个步骤：1）定限；2）定积分的计算 基本计算方法：1 ）投影法；2）切片法；3）柱面坐标下计算法；4）球面坐标下计算法 例3：计算三重积分zdv Ω???，式中Ω为由12 z z ?≥??≤≤??

解：方法一、用截面法： 2 42 3 111544z zdv z dz πππΩ ??===?? ?????? 方法二、用球面坐标： 12 02,0, 4 cos cos π θπ?ρ?? ≤≤≤≤ ≤≤ 2 23 cos 44133 cos 4sin sin sin cos 2cos 4cos zdv d d d d π π π ?? ??θ?ρ??ρπ???Ω ?? ==- ??? ?????? ? 422 2111152242cos 8cos 484π πππ??????=-=--+= ??????? 三、关于弧长的曲线积分（引例：求曲线弧状物体的质量） 基本计算思路：把曲线积分化为定积分 基本计算的两个步骤：1）化积分曲线为参数方程并确定参数取值范围，注意定积分的下限总小于上限；2）定积分的计算 注意选取适当的参数以简化定积分的计算。 例4：计算2x ds Γ ?，其中Γ为球面2222x y z a ++=与平面0x y z ++=的交 线。 解：:02x y z θθθθπθθ? =-???Γ=≤≤?? ?=-?? 原式2 20 ad π θθθ?=?? ? 33332222 20002cos sin sin 2263a a a d d d ππππθθθθθθ=+=?? 四、关于坐标的曲线积分（引例：变力对沿曲线运动的物体所做的功）

华南理工大学高数(上)期末考题参考答案

华南理工大学高数（上）期末考题参考答案 一、填空题（每小题3分，共15分） 1.设x y +=1arctan ，则= =0x dy dx 4 1 . 2.=+→x x x 10 )sin 1(lim e . 3.已知△ABC 的三个顶点的坐标为)1,1,0(),0,1,2(),1,0,1(C B A ,则∠= BAC 2 6 . 4.曲线)1(ln 2 1412e x x x y ≤≤-= 的弧长等于)1(41 2+e . 5. ? +∞ -= 2 dx xe x 2 1 . 二、选择题（每小题3分，共15分） 1. 设 ,)(),()(2x x h x g x f dx d ==则)()]([D x h f dx d =. （A ）)(2x g ； （B ）)(2x xg ； （C ）)(22x g x ； （D ）)(22x xg . 2.设,275)(-+=x x x f 则0→x 时，（ B ）. （A ）)(x f 与x 是等价无穷小量； （B ）)(x f 与x 是同阶但非等价无穷小量； （C ）)(x f 是比x 高阶的无穷小量； （D ）)(x f 是比x 低阶的无穷小量. 3.设)(x g 在),(∞+-∞上严格单调减少，)(x f 在0x x =处有极大值，则（A ）. （A ）)]([x f g 在0x x =处有极小值；（B ）)]([x f g 在0x x =处有极大值； （C ）)]([x f g 在0x x =处有最小值；（D ）)]([x f g 在0x x =处有既无极值也无最值； 4.下列函数中，在定义域上连续的函数是（ B ） （A ）?????=≠=;0,0, 0,sin )(x x x x x f （B ）????? =≠=;0, 0,0,1sin )(x x x x x f （C ）?? ???=≠-+=;0,0,0,11)(x x x x x f （D ）?????=≠-=.0,0,0,1)(x x x e x f x