《数术探秘》九、精微的算数

“数”徜徉于中国古文化的两极：于神学，它形成了庞大的数术体系；于科学，它构建了精微的数学学科。数术与数学，只是一字之差，何以有千里之谬？在中古代社会中，数学与数术是融为一体的。作为一个学科，它们相当于同一知识体系的两个等级，一般性的运算属于“初等数学”；而推算人事吉凶的者是“高等数学”。这种鱼龙混杂的现象为中国古代数学蒙上了一层神秘的面纱，极大地影响着今人对于历史文化的深入探究与思考。其实数学本身是清白的，它是人类智慧的产物。但是在纷繁复杂的古文化系统中，数学经历了一个神化与化神的过程，即先哲们一方面在数术的范畴中神化数学的概念与功能，另一方面又运用数学方法从事神秘主义的活动。
数学的神化
在这个世界上，只有进入了文明社会的人才具备数数与运算的技能。但是，“数”是从哪里来的呢？这个问题至今还困扰着人们，“究竟数的概念是从经验里边产生的，还是仅仅凭借经验之力，把早已隐藏在原始人心灵中的概念加以暴露而来的呢？这是一个吸引人的玄学问题。”然而，我们的祖先早就开始回答它们了。
大哉言数
我国古人对于数学的神化是从头十个数字入手，这一点在数术的各类活动中已经有了充分的体现。
对于“一”，在古代哲学观念中，它被看作世界的本原，或者是宇宙初萌的表征。一种观点认为，“一”的表现形式是一种混沌未开的元气，具有物质性，正所谓：“一者形变之始，清轻者上为天，重浊者下为地。”。另一种观点认为，“一”是某种精神实体，《周易》称之为太极，董仲舒称之为元，扬雄称之为玄等等。最有趣的论述见于《道德经》，老子将世界的本原归于“道”，并且巧妙地使它兼物质性和精神性为一体，“道生一，一生二，二生三，三生万物。”“天得一以清，地得一以宁，神得一以灵，谷得一以盈，万物得一以生，侯王得一以天下正。”一个多么伟大的自在之物，它正是混沌向有序演化的“临界点”！显然，在现代科学意义上，我们根本无法理解这种宗教式情感。
数字“二”是宇宙界分的标志，以阴阳观念为统领的二元论，将它神化为世界存在形式的基本依据。诸如天地、日月、人鬼、君臣、男女、夫妇、父子、上下、进退、昼夜、生死、吉凶、祸福等等，自然界与人类社会的一切现象都处于二元对应的系统之中。它们里面合二而一，时而一分为二，由此强化了数字“二”的文化功能。
数字“三”的意义最丰富，道家的“三生万物”与《易》学的天、地、人三才思想，使它成为人类思辨的第一个“终极状态”。古人

行礼要三让、三揖，服丧要三年为期，作事要三思而后行，探病要三问，吊丧要三往，哭丧要三踊，祭祀要三饭，占筮不过三次，强谏不为三番，死亡有三不吊，君子有三畏，礼乐要一倡而三叹，作人要三十而立，夫不孝有三，夫大孝亦有三，兵以三军为制，政以三令为节，年以三月为季，历以三终为元，等等。
对于数字“四”，人类学家们认为，它是原始思维中最神秘的数字。古人最初从东、南、西、北四方的观念中，建立了四象、四季、四神、四帝等自然崇拜，后来的许多神秘活动都是在这个基础上发展起来的。
对于数字“五”，我们在前面的章节中已经说得太多了。在这里有一点值得注意：虽然人类都是一手五指，但是没有哪个民族能把“五”推到像中国五行说那样的崇高的位置，这是一个有待于深入探究的文化现象。
在数学中，数字“六”是一个完全数，就是说，如果把能够除尽它的数字（不包括它自身）加起来，还等于它自身。中国古代的哲人们大概并不知道这一点，但是他们却总是把数字“六”作为一个周期完成的标志。像《周易》就是六爻成卦的，《彖传》中解释说，它象征着时间的作用就像六条龙一样，运行于周天之上，实现着一个周期的循环。
在中国传统文化中，“七”是一个最令人迷惘的数字。《周易》的卦、爻辞中三次用到“七”，都描述着一场噩运的终结。而在更多的情况下，数字“七”常常与死亡联系在一起，像女子的发育经过七七四十九年就精血衰竭了；孔子晚年作了一个不祥的噩梦，七天之后死去了；中国民间丧葬中的“七七说”认为，人死之后每隔七天为一个忌日，到七七四十九天为止，正如民歌中唱道：“五七三十五，亡人最受苦；……七七四十九，亡人撒了手。”
对于数字“八”，最大的体系是以八卦为统领的类数结构。另外，四方与四隅的观念又引出了八风、八天等界分，像其中的“八天”为：
东——苍天，西——颢天，南——炎天，西北——幽天，北——玄天，西南——朱天，东北——变天，东西——阳天。
“九”又是一个内涵丰富的数字，在古代哲学中，它是天数中的最大者，又是数字“三”的三倍，所以十二律中黄钟的律长定为九寸，并且由此引出了大量的数术机理。在民俗文化中，九与久同音，又属于阳性，所以许多古代建筑都以“九”为基数，像古塔的层数、桥洞的孔数、宫廷的间数、阶梯的级数，等等。在天文学中，月亮的运行有“九于”之说；天体的界定又有“九天”之分，即中天、羡天、顺天、更天、晬天、廓天、咸天、浊天、成天，等等。
“十”是一个终

极的数字，具有完成、完满、永久、地数之最等涵义。按照《周易》的观念，易穷则变，物极必反。在这个变异的过程中，数字“十”既有否极泰来的吉庆，又有乐极生悲的凶险；既可能预示着十全十美，又可能预示着十恶不赦！
算具之谜
我国古代的运算工具叫做算筹，它是由一些小棍组成的算具，摆在地上或案上，按照一定的规则进行摆布运算。我国另一种独特的算具是算盘，它最早的记载见于汉代徐岳的《数术记遗》。另外， 另国古代社会的量尺、量器等用具的结构也有神秘主义的解说。
算法之源
我国古代数字的算法之中，也包涵着许多神秘化的因素。魏晋时代的数学家刘徽在《九章算术》注序中即写道：“昔在包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情。作九九之术，以合六爻之变。”
汉代徐岳《数术记遗》是我国著名的“算经十书”之一，其中给出了十四种运算方法，包括积算、太一、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算、计数，等等。列举其中的几个算法定义：
两仪：“两仪算，天气下通，地禀四时。”它的基本方法是用两种算珠，一种在上，为青色，由上至下计位，相当于“天气下通”；另一种在下，为黄色，由下至上计位，共分四刻，相当于“地禀四时”。
三才：“三才算，天地和同，随物变通。”它的基本方法是在一块木板上刻三条横线，上面的象征天，中间的象征地，下面的象征人；有三种算珠，青珠象征天，黄珠象征地，白珠象征人。三珠在三道上运行，如果天珠在天道上，记为九；在地道上，记为六；在人道上，记为三。如果地珠在天道上，记为八；在地道上，记为五；在人道上，记为二。如果人珠在天道上，记为七；在地道上，记为四；在人道上，记为一。这正是象征着天、地、人三才随物变通的意义。
五行：“五行算，以生兼生，生变无穷。”它的基本方法是用五行与五色对应，建立五色算法。即：水对应玄色，生数为一；火对应赤色，生数为二；木对应青色，生数为三；金对应白色，生数为四；土对应黄色，生数为五。将这些生数相互结合，可以表示出任何一个数据。
八卦：“八卦算，针刺八方。位阙从天。”它的基本方法是将一根指针固定在一块刻有四方四隅的罗盘上，与八卦的方位相契合；再用针锋的指示确定算位，即：正南方向的离卦为一，西南的坤卦为二，正西的兑卦为三，西北的乾卦为四，正北的坎卦为五，东北的艮卦为六，正东的震卦为七，东南的巽卦为八，等等。这实际上是八卦、八方与八数的对应，又称“后天八卦图”。
九

宫：“九宫算，五行参数，犹如循环。”九宫就是数学中的一个纵横图，这种算法也是以五行说为基础的，即按照五行、五方、五色与五数的对应进行宝位；玄珠为十位，赤珠为百位，青珠为千位，白珠为万位，黄珠为十万位，以赤线系黄珠为百万位，以青线系黄珠为千万位，以白线系黄珠为万万位，等等。
算制之实
秦始皇统一中国时，按照邹衍的五德终结说制定度量衡，由于确认秦代属水德，水对应五数中的“六”，所以秦始皇极其推崇数字“六”，即“数以六为纪，符法、冠皆六寸，而舆六尺，六尺为步，乘六马。”到了汉武帝，儒生们认为汉代属于土德，土对应五数中的“五”，于是汉武帝又下令以数字“五”为制，连官方的印章都必须用五个字，像“丞相印章”要刻为“丞相之印章”，云云。
还有一个有趣的现象是，我国古代数学的进位制五花八门，有二进制、三进制、五进制、六进制、十进制、十二进制、六十进制等等。它们的文化现象十分复杂，像二进制的代表作是《周易》，三进制的代表作是扬雄的《太玄经》，五进制与五行密不可分。十进制一般认为是人类十指计数的产物，但是董仲舒却说它来源于天、地、人、日、月、木、火、土、金、水十种“天数”。十二进制与岁星的运行周期有关，古人认为，岁星每十二年运行一个周天，并且这一规律具有重要的占星学意义。六十进制产生于十干与十二支的配列，也就六十甲子。在中国古代文化中，最令人费解的是六进制，《周易》中六爻成卦，并且在卦爻辞中一会儿说：丢了东西不要着急，到了第七天就会找回来；一会儿又说：七天为一个周期循环的开始，有利于行动，等等。
神化的数学
古代的术士们之所以极力地神化数学的性质和内容，其目的在于使数学产生神化的功能。遍览中国古代科学的各个领域，数学是最富于传奇色彩的学科之一，无论是数学的功能、运算方法，还是数学家的行为，都有许多高深莫测的独到之处。
盲算大师
我国古人创造了许多难以言传的神奇算法，像盲算、指算、速算等等。宋代的卫朴就是一位运算的高师，虽然他双目失明，但是却有超常的算学技能。沈括在《梦溪笔谈》中记载了卫朴的一些事迹，其中定道：
朴能不用算推古今日月蚀。令人就耳一读即能暗诵傍通，尝令人写历书，写讫令附耳读之，有差一算者，读至其处则曰：“此误某字。”其精如此。大乘除皆不下照位，运筹如飞，人眼不能逐。人有故移其一算者，朴自上至下，手循一遍，至移算处则拨正而去。
据说卫朴曾经让人听他的大脑，里面经常有一种奇怪的声音，

就像滴水一样。
神算高僧
唐代高僧一行，本名张遂，编制了《大衍历》，时逢武则天当政，为了逃避武三思的拢络，他逃到嵩山作了僧人。一行为了学习“大衍之术”（中国的不定分析，如百鸡问题），不远千里来到天台山国清寺。 寺内古松森森，流水潺潺。一行肃立于门庭之间，倾听着寺内布列算筹的声音不绝于耳。片刻，室内有人说：“有人前来求学，已经到了门前，为什么不引进来呢？”接着那个人又继续运算起来。又过了一会儿，那人说：“门前的水就要退向西方流去了，求学的弟子该进来了。”于是，一行拜见了这位高师，向他学习计算的奇术。学成之后，门前东流的河水果然掉头向西方流去。
占算奇才
事实上，即使在正规的古代数学著作中，仍然可以见到数术的内容。像著名的《孙子算经》，其最后一题中即写道：
今有孕妇，行年二十九，难有九月未知所生。答曰：“生男。”术曰：置四十九，加难月，减行年，所余以天除一，地除二，人除三，四时除四，五行除五，六律除六，七星除七，八风除八，九州除九，其不尽者，奇则为男，耦则为女。
这道题是推算孕妇生男或生女的方法，虽然它的意义是十分荒谬的，但是这样的问题却可以堂而皇之地出现在《算经十书》之中，这正是古今观念的差异所在。
其实此类现象的出现也没什么可奇怪的，因为《算经十书》的组织者李淳风就是一位兼算术与算命于一身的人，被令人称为“整个中国历史上最伟大的数学著作注释家”，同时他又是一位精通各类占卜方法的高师。
从卫朴、一行、李淳风等古代数学家的故事中，我们不但可以认识到古代数学的神秘意义，还可以看到古代社会的另一个侧面。以往的科学史只论述数学的内史，而舍弃了它的外史部分。但是在文化人类学的意义上，历史是一个有机的整体，任何人为地割裂历史的作法都是违反科学精神的。对于历史事实的认识问题，其关键在于研究者的态度，而不在于保留些什么，抛弃些什么，掩盖些什么，或者篡改些什么。
河图与洛书
在中国古代数学中，最神奇的问题莫过于纵横图了。它大约出现于纪元前后，但是由于宋代学者将它与河图、洛书的传说结合了起来，使纵横图摇身一变，成了神来之物；并且河图与洛书也受惠于纵横图，一跃成为数学的远源。
远古寻踪
黄河与洛水之间，是华夏文明的积淀地。中华民族在很久以前就休养生息在这片沃土之上。《周易》中写道：“河出图，洛出书，圣人则之。”黄帝按照图、书上的文字经天纬地，开启鸿濛，创立了中华民族不朽的基业……
值得指出，这些典籍

都是仅仅提到了河图与洛书的名字，至于它们的具体内容，以及它们究竟是一幅图还是一本书等问题，就不得而知了。然而，大概也正是由于古史的模糊性，才为后人留下了广阔、自由的思维空间。
汉儒揭秘
秦始皇“焚书坑儒”，造成了中国文化的断裂。汉代兴起之后，君王们为了重整先秦典籍，曾经数次向天下征集遗散的图书，并请人整理注释，由此出现了一个以重现与界说为主要特征的汉代学术思潮。
关于河图与洛书产生的背景，实质上是一个神话学的问题。这方面的说法非常混乱，它们的共同点都是上天将一图一书传给了世间的一位圣人，让他按照天帝的旨意治理天下。
至于河图与洛书的内容，河图是八卦的源头，洛书就是“九类”，即《尚书·洪范》中的“九畴”。其实九畴不过是周代初年箕子向武王讲述的治理国家的九件大事：“初一曰五行，次二曰敬用五事，次三曰农用八政，次四曰协用五纪，次五曰建用皇极，次六曰七用三德，次七曰明用稽疑，次八曰念用庶微，次九曰向用五福，威用六极。”
图书显世
宋代初年，世上发生了一件不得了的事情。以一位名叫陈抟的华山道士为首的道学们声称：他们发现了真正的河图与洛书，那是两幅由圆点组成的图案。如果我们把其中的圆点对换成数字，列在方格之中，就会得到一个正方形数阵和一个十字形数阵。以这两个图以及太极图、先天八卦图、后天八卦图等为先导，形成了一个庞大的“图书学派”，从而开创了宋代象数的新体系。
九宫辨伪
宋代以降，很多都怀疑陈抟等人的河图与洛书是假借古人之名的伪作。对于一个历史事件，轻易地采取绝对肯定或绝对不定的态度都是危险的。尤其是那些几千年争论不休的问题，更不能以一孔之见妄加评判。但是对于一些个别的问题提出恰如其分的质疑，却是十分必要的。例如，图书派给出的所谓洛书，实质上是一个九宫，即纵横图。九宫的最早出处见于大约成书于公元八十年的《大戴礼记》。九宫的称谓始见于《易纬·乾凿度》，这部谶纬之书大约完成于公元一或二世纪。再如，汉代徐岳在《数术记遗》中写道：“九宫算，五行参数，犹如循环。”甄鸾注道：“九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”由于这些记载都产生于“图书显世”之前，所以可以肯定地说，陈抟等人发现的所谓洛书，不过是久已存在的九宫。但是我们在宋代以前的典籍之中，从未见到关于九宫就是洛书的论述，这就十分可疑了。
在思想史与文化学的意义上，这一事件的真伪已经显得不那么重要了，关键的问题是历代哲

人们以一个未必真实的传说作为“公理”，结果却演出了一幕真实的历史活剧！


后记
我本是数学专业出身，近些年从科学史研究入手，转而在大文化的背景下涉足于数术学的领域，我自己也是始料不及的。在本书的写作过程中，我得到了许多朋友的帮助，上海社会科学院哲学研究所周山先生、复旦大学哲学系陈学明先生、中国科学院自然科学史研究所郭书春先生、辽宁教育学院王前先生、辽宁师范大学数学系孙宏安先生，以及张锦、谭坚等诸位好友，都从不同方面给予我极大的劫持；尤其是三联书店潘振平先生，他为本书的构建提出了许多重要意见，在此一并致谢！
数术学是一个艰深晦涩的学科，当我埋头于故纸堆中，开解古代士术们设下的一个个迷障时，我还应该感念早年家父在古汉语方面对我的熏陶，以及在我写作的全过程中，我的妻子、文学硕士王逸女士的帮助，这些都是本书得以完成的基础。
今年是我的本命年，今天又是我的生日，俗语说：“儿生日，娘苦日。”我的母亲已经在八年前病故了，好的早逝使我推动了人间一种永恒的爱。在这里，请允许我表述对于慈母的思念！

1992年9月13日
完稿于北票支贫工作队