第二讲速算和巧算(四)

第二讲速算与巧算（四）

例1 比较下面两个积的大小：

A＝987654321×123456789，

B＝987654322×123456788.

分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A 和B先进行恒等变形，再作判断.

解： A＝987654321×123456789

＝987654321×（123456788＋1）

＝987654321×123456788＋987654321.

B＝987654322×123456788

＝（987654321＋1）×123456788

＝987654321×123456788＋123456788.

因为 987654321＞123456788，所以 A＞B.

例2 不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由.

241×249 242×248 243×247

244×246 245×245.

解：利用乘法分配律，将各式恒等变形之后，再判断.

241×249＝（240＋1）×（250—1）＝240×250＋1×9；

242×248＝（240＋2）×（250—2）＝240×250＋2×8；

243×247＝（240＋ 3）×（250— 3）＝ 240×250＋3×7；

244×246＝（240＋4）×（250—4）＝240×250＋4×6；

245×245＝（240＋5）×（250— 5）＝240×250＋5×5.

恒等变形以后的各式有相同的部分 240 × 250，又有不同的部分 1×9， 2×8， 3×7， 4 ×6， 5×5，由此很容易看出 245×245的积最大.

一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大.

如：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5

则5×5＝25积最大.

例3 求 1966、 1976、 1986、 1996、 2006五个数的总和.

解：五个数中，后一个数都比前一个数大10，可看出1986是这五个数的平均值，故其总和为：

1986×5＝9930.

例4 2、4、6、8、10、12…是连续偶数，如果五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个.

解：五个连续偶数的中间一个数应为 320÷5＝64，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.

总结以上两题，可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数，中间一个数为首末两数的平均值；五个连续自然数，中间的数也有类似的性质——它是五个自然数的平均值.如果用字母表示更为明显，这五个数可以记作：x－2、x—1、x、x＋1、x＋2.如此类推，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值.

如：对于2n＋1个连续自然数可以表示为：x—n，x—n＋1，x－n＋2，…， x—1， x， x＋1，…x＋n—1，x＋n，其中 x是这2n＋1个自然数的平均值.

巧用中数的计算方法，还可进一步推广，请看下面例题.

例5 将1～1001各数按下面格式排列：

一个正方形框出九个数，要使这九个数之和等于：

①1986，②2529，③1989，能否办到？如果办不到，请说明理由.

解：仔细观察，方框中的九个数里，最中间的一个是这九个数的平均值，即中数.又因横行相邻两数相差1，是3个连续自然数，竖列3个数中，上下两数相差7.框中的九个数之和应是9的倍数.

①1986不是9的倍数，故不行；

②2529÷9＝281，是9的倍数，但是281÷7＝40×7＋1，这说明281在题中数表的最左一列，显然它不能做中数，也不行；

③1989÷9＝221，是9的倍数，且221÷7＝31×7＋4，这就是说221在数表中第四列，它可做中数.这样可求出所框九数之和为1989是办得到的，且最大的数是229，最小的数是213.

这个例题是所谓的“月历卡”上的数字问题的推广.同学们，小小的月历卡上还有那么多有趣的问题呢！所以平时要注意观察，认真思考，积累巧算经验.

习题二

1.右图的30个方格中，最上面的一横行和最左面的一竖列的数已经填好，其余每个格子中的数等于同一横行最左边的数与同一竖列最上面的数之和（如方格中a＝14＋17＝31）.右图填满后，这30个数的总和是多少？

2.有两个算式：①98765×98769，

②98766 × 98768，

请先不要计算出结果，用最简单的方法很快比较出哪个得数大，大多少？

3.比较568×764和567×765哪个积大？

4.在下面四个算式中，最大的得数是多少？

① 1992×1999＋1999

② 1993×1998＋1998

③ 1994×1997＋1997

④ 1995×1996＋1996

5.五个连续奇数的和是85，求其中最大和最小的数.

6.45是从小到大五个整数之和，这些整数相邻两数之差是3，请你写出这五个数.

7.把从1到100的自然数如下表那样排列.在这个数表里，把长的方面3个数，宽的方面2个数，一共6个数用长方形框围起来，这6个数的和为81，在数表的别的地方，如上面一样地框起来的6个数的和为429，问此时长方形框子里最大的数是多少？

习题二解答

1.先按图意将方格填好，再仔细观察，找出格中数字的规律进行巧算.

解法1：

先算每一横行中的偶数之和：（12＋14＋16＋18）×6＝360.

再算每一竖列中的奇数之和：

（11＋13＋15＋17＋19）× 5＝375

最后算30个数的总和＝10＋360＋375＝745.

解法2：把每格的数算出填好.

先算出10＋11＋12＋13＋14

＋15＋16＋17＋18＋19＝145，

再算其余格中的数.经观察可以列出下式：（23＋37）＋（25＋35）× 2

＋（27＋33）×3＋（29

＋31）× 4

＝ 60 ×（1＋ 2＋ 3＋4）

＝600

最后算总和：

总和＝145＋600＝745.

2. ① 98765 × 98769

＝ 98765 ×（98768＋ 1）

＝ 98765 × 98768＋98765.

② 98766 × 98768

＝（98765＋1）× 98768

＝ 98765 × 98768＋ 98768.

所以②比①大3.

3.同上题解法相同：568×764＞567×765.

4.根据“若保持和不变，则两个数的差越小，积越大”，则 1996×1996＝3984016是最大的得数.

5.85÷5＝17为中数，则五个数是：13、15、17、19、21最大的是21，最小的数是13.

6.45÷5＝9为中数，则这五个数是：3，6，9，12，15.

7.观察已框出的六个数，10是上面一行的中间数，17是下面一行的中间数，10＋17＝27是上、下两行中间数之和.这个中间数之和可以用81÷3＝27求得.

利用框中六个数的这种特点，求方框中的最大数.

429÷3＝143

（143＋7）÷2＝75 75＋1＝76

最大数是76.