信号系统习题解答3版
第3章习题答案
3-1 已知周期矩形脉冲信号的重复频率 5 kHz
f=，脉宽20 s
τ=μ，幅度10V
E=，如图题3-1所示。用可变中心频率的选频回路能否从该周期矩形脉冲信号中选取出5，12，20，50，80及100 kHz频率分量来？要求画出图题3-1所示信号的频谱图。
图题3-1
解：5kHz
f=，20μs
τ=，10V
E=，
1
1
200
T s
f
μ
==，4
1
210
f
ππ
Ω==
频谱图为
从频谱图看出，可选出5、20、80kHz的频率分量。
3-3 求图题3-3 所示周期锯齿信号指数形式的傅里叶级数，并大致画出频谱图。
图题3-3
解：()
f t在一个周期（0，T1）内的表达式为：
1
1
()()
E
f t t T
T
=--
11
11
1
00
111
11
()()(1,2,3)
2
T T
jn t jn t
n
E jE
F f t e dt t T e dt n
T T T nπ
-Ω-Ω
==--=-=±±±??L
11
01
00
111
11
()()
2
T T E E
F f t dt t T dt
T T T
==--=
??
傅氏级数为：
1111
22
()
22244
j t j t j t j t
E jE jE jE jE
f t e e e e
ππππ
Ω-ΩΩ-Ω
=-+-+-L
n
c
1
2
(kHz)
f
520
50100150
80
(1,2,3)
2
n
E
F n
nπ
==±±±L
(0)
2
(0)
2
n
n
n
π
?
π
?
->
??
=?
?<
??
频谱图为：
3-4 求图题3-4 所示半波余弦信号的傅里叶级数，若10 V
E=, 10 kHz
f=，大致画出幅度谱。
图题3-4
解：由于()
f t是偶函数，所以展开式中只有余弦分量，故傅氏级数中0
n
b=，另由图可知()
f t有直流分量，()
f t在一个周期（
2
T
-，
2
T
）内的表达式为：
1
1
1
cos
4
()
4
T
E t t
f t
T
t
?
Ω<
??
=?
?>
??
其中：
1
1
2
T
π
Ω=
11
11
24
01
11
24
11
()cos
T T
T T
E
a f t dt E tdt
T Tπ
--
==Ω=
??
11
11
11
24
1
11
24
22
()cos
T T
jn t jn t
T T
n n
a c f t e dt E t e dt
T T
-Ω-Ω
--
===Ω?
??
n
F
2
E
π
6
E
π
10
E
π
1
Ω
1
3Ω
1
5Ω
1
-Ω
1
3
-Ω
1
5
-Ω
L
L
4
E
π
1
2Ω
1
4Ω
8
E
π
2
E
1
2
-Ω
1
4
-Ω
2
π
-
2
π
n
?
1
5
-Ω
1
3
-Ω1
-Ω
1
Ω
1
3Ω
1
5Ω
L
L
1
2Ω
1
2
-Ω
1
4
-Ω
1
4Ω
211sin sin 2
122cos 3,5,71112n n E E n n n n n πππππ+-????=+=-=??+--????
L
111211122()2
T
j t T E a c f t e dt T -Ω-===?
所以，()f t 的三角形式的傅里叶级数为：
11122()cos cos 2cos 42315E
E E E f t t t t π
ππ
=
+
Ω+Ω-Ω+L
3-6 利用信号()f t %的对称性，定性判断图题3-6中各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量。
图 题3-6
解： (a) ()f t 为偶函数及奇谐函数，傅氏级数中只包含奇次谐波的余弦分量。 (b) ()f t 为奇函数及奇谐函数，傅氏级数中只包含奇次谐波的正弦分量。
n
c 1ΩΩ
L
2
E
23E π
215E π
-
12Ω1
3Ω1
4Ω15Ω16Ω1
7Ω1
8Ω19Ω1
10ΩE
π
(c) ()f t 为偶谐函数，而且若将直流分量（1/2）去除后为奇函数，所以傅氏级数中只包含直流以及偶次谐波的正弦分量。
(d) ()f t 为奇函数，傅氏级数中只包含正弦分量。
(e) ()f t 为偶函数及偶谐函数，傅氏级数中只包含直流以及偶次谐波的余弦分量。 (f) ()f t 为奇谐函数，傅氏级数中只包含奇次谐波分量。
3-7 已知周期函数()f t %
前四分之一周期的波形如图题3-7所示。根据下列各种情况的要求画出()f t %
在一个周期(0t T <<)的波形。
（1）()f t %
是偶函数，只含有直流分量和偶次谐波分量； （2）()f t %
是偶函数，只含有奇次谐波分量； （3）()f t %
是偶函数，含有直流分量、偶次和奇次谐波分量。 解：（1）由()()f t f t -=画出()f t 在,04T ??-????内的波形，由()f t 在,04T ??
-????内的波形及
()f t 是偶谐函数，它在,42T T ??????内的波形与它在,04T ??-????内的波形相同，它在,2T T ??
????内
的波形与它在0,2T ??
????
内的波形相同。根据上述分析可画出()f t 在[]0,T 内的波形。按上
述类似的方法可画出（2）和（3）。
（2）
（3）
t
()f t 4T 0 2
T
T
t
()f t
4T 0 2T T
t
()f t T 0 T
T
3T
图 题3-7
3-8 求图题3-8 所示半波余弦脉冲的傅里叶变换，并画出频谱图。
图 题3-8
解法一：按定义求
22
()()cos
j t
j t
F j f t e
dt E t e dt τ
τπτ
∞
-Ω-Ω-∞
-Ω==??
? 由于()f t 是偶函数，所以
2202
20()cos cos 2cos cos cos()cos()Sa()Sa()22222Sa +Sa 2222F j E t tdt E t tdt
E E t t dt E E τ
τ
ττ
ππ
ττππττπτπτττπ
ττ
πτττ-Ω=Ω=ΩΩΩ??
??=+Ω+-Ω=++-??????
??????
????=
Ω+Ω- ? ??????
??
?????
??? 化简得：2cos 22()1E F j ττπτπΩ?? ???Ω=???
Ω??-??
???????
解法二：利用卷积定理求 设：12()cos
,()()()22f t t f t E u t u t π
τττ
?
?==+--???
?
则 12()()()f t f t f t =?，于是121
()()()2F j F j F j π
Ω=
Ω*Ω 而1()()()F j πππδδττ??Ω=Ω++Ω-????，2()Sa 2F j E τ
τΩ??Ω=
???
故1
()()()Sa 22F j E ππτπδδτπ
ττ?Ω?
????Ω=
Ω++Ω-*?? ?????????
Sa +Sa 2222E E τπττπτττ????
???
?=
Ω+Ω- ? ?????????????
()F j Ω的频谱是将矩形脉冲的频谱Sa 2
E τ
τΩ??
???
分别向左、右移动πτ（幅度乘以12）后
叠加的结果。
3-10 求图题3-10所示(j)
FΩ的傅里叶逆变换()
f t。
图题3-10
解：（a）000
()()
j t
F j AeΩ
Ω=-Ω<Ω<Ω
00000
()()
11
()
22()
j t j t t j t t
j t
A
f t Ae e d e e
j t t
ππ
ΩΩ+Ω-+Ω
Ω
-Ω
??=Ω=-
??
+
?
[]
00
Sa()
A
t t
π
Ω
=Ω+
（b）
2
2
(0)
()
(0)
j
j
Ae
F j
Ae
π
π
-
?
-Ω<Ω<
?
Ω=?
?<Ω<Ω
?
000
22
1
()sin Sa 222
j j
j t j t
A t t
f t Ae e d Ae e d
ππ
ππ
Ω
-ΩΩ
-Ω
??ΩΩΩ=Ω+Ω=-
??
??
??
(cos1)
A
t
tπ
=Ω-
3-13 求函数c
Sa()t
Ω的傅里叶变换。
解：利用对偶性求
因为()Sa()
2
EG t E
τ
τ
τ
Ω
?，所以Sa()2()2()
2
t
E EG EG
ττ
τ
τππ
?-Ω=Ω
)
(Ω
j
F
π
τ
π3
τ
π
-
τ
π3
-
Ω
τ
π5
τ
π5
-
π
τ/
2E
2/τE
2
Sa(
)()
2
t
G
τ
τπ
τ
?Ω
令
2
c
τ
Ω=，则
2
Sa()()
c
c
c
t G
π
Ω
Ω?Ω
Ω
即：F
[][]
Sa()()()
c c c
c
t u u
π
Ω=Ω+Ω-Ω-Ω
Ω
3-15 对图题3-15所示波形，若已知[]
11
()(j)
f t FΩ
=
F，利用傅里叶变换的性质求图中2
()
f t,
3
()
f t和4()
f t的傅里叶变换。
图题3-15
解：已知F[]
11
()()
f t F j
=Ω
21
()()
f t f t T
=+
Q，∴
21
()()j T
F j F j eΩ
Ω=Ω?
31
()()
f t f t
=-
Q，∴
31
()()
F j F j
Ω=-Ω
413
()[()]()
f t f t T f t T
=--=-
Q∴
41
()()j T
F j F j e-Ω
Ω=-Ω
3-21 已知三角脉冲信号
1
()
f t如图题3-21(a)所示。试利用有关性质求图题3-21(b)中的
2
()
f t=10
cos
2
f t t
τ
Ω
??
-
?
??
的傅里叶变换2(j)
FΩ。
图题3-21
解：设F[]2
11
()()Sa
24
E
f t F j
ττ
Ω
??
=Ω= ?
??
则F 2
1112()(
)()2j f t F j e
F j τ
τΩ-?
?-=Ω=Ω???
?
而F []2()f t =F [][]{}101201201
()cos ()()22
f t t F j F j τ??-Ω=Ω+Ω+Ω-Ω????=
[][]000
0()()2
2
101022
002
2
2
1()()2Sa Sa 4
44j j
j j j
F j e F j e
E e e
e τ
τ
τ
τ
ττττΩ+ΩΩ-Ω--ΩΩΩ--?
?=Ω+Ω+Ω-Ω???
?
??Ω+ΩΩ-Ω??
??=+?? ? ?????
?
?
3-23 利用傅里叶变换的微分与积分特性，求图题3-23所示信号的傅里叶变换。
图 题3-23
解：（3）[]33()
()4(1)(2)df t t u t u t dt
?=
=--- 3
23()4Sa 2j j e -Ω
Ω??ΦΩ= ???
33()3,
()1f f ∞=-∞=-
[]3
323334Sa ()2()()()()2()j j F j f f e j j πδπδ-ΩΩ?? ?ΦΩ??Ω=+∞+-∞Ω=+ΩΩΩ
3-25 若已知[]()(j )f t F Ω=F ，利用傅里叶变换的性质求下列信号的傅里叶变换。
（2）(2)()t f t -
（4）d ()
d f t t
t
（5）(1)f t -
解：（2）F [](2)()t f t -=F []()
()2()2()dF j tf t f t j
F j d Ω-=-ΩΩ
（4）F []()()()()d j F j df t dF j t j F j dt d d ΩΩΩ????==-Ω+Ω????ΩΩ????
（5）F [](1)f t -=F []{}(1)()j f t F j e -Ω--=-Ω
3-29
根据附录B中给出的频谱公式，粗略地估计图题3-29所示各脉冲的频带宽度
f
B(图中时间单位为sμ)。
图题3 -29
解：（a）若时间单位为s
μ，则频带为
1
4
MHz，即250KHz
（b）若时间单位为sμ，则频带为
1
4
MHz，即250KHz
（d）若时间单位为sμ，则频带为1 MHz
（f）频若时间单位为sμ，则带为
1
2
MHz，即500KHz
3-32 周期矩形脉冲信号()
f t%如图题3-32所示。
（1）求()
f t
%的指数形式的傅里叶级数，并画出频谱图
n
F；
（2）求()
f t
%的傅里叶变换(j)
FΩ，并画出频谱图(j)
FΩ。
图题3-32
解：(1) ()
()Sa2Sa
2
F j E
τ
τ
Ω
??
Ω==Ω
?
??
Q
()
1
00
1
1
2
()()11
Sa Sa
4222
n
n
n
F j F j n
F n
Tπ
π
Ω=
Ω=Ω
ΩΩ??
∴===Ω= ?
??
指数形式的傅里叶级数为：12
1
()Sa
22
n
j t
jn t
n
n n
n
f t F e e
π
π
∞∞
Ω
=-∞=-∞
??
== ?
??
∑∑
%
频谱图如下图所示，图中：12
πΩ=
（2）F []()1111
()2()2Sa ()2n n n f t F n n n π
δπ
δ∞
∞
=-∞
=-∞=Ω-Ω=ΩΩ-Ω∑
∑ Sa 22n n n πππ
δ∞
=-∞
???
?=Ω- ?
????
?
∑
3-33 求下列函数的拉氏变换，设[()]()f t F s =L 。 （1）(12)e t
t -+
（4）()
0e
cos t t αΩ-+
（6）e
()t a
t f a
-
（8）35e e t t
t
--- 解：（1）
2221231
(12) ()1(1)(1)t
s t e t s s s s
-++?+=?+++Q （4）
()
00cos cos t a a
t
e
t e e t -+--Ω=Ω
0222200
1 (cos )(1)a
s s
e
t s s -+?Ω?++Ω+ΩQ
（6） 1()(())(1) (()())t
a
t t
e
f aF a s aF as f aF as a a a
-
?+=+?Q （8） 35115()ln 353t t s e e s d t s ηηη--∞-+??
?-= ?+++??
?
3-35 求下列函数的拉氏变换，注意阶跃函数的跳变时间。
（1）()e (2)t
f t u t -=- （2）(2)
()e (2)t f t u t --=- （3）(2)
()e
()t f t u t --= 解：（1） ()f t =2(2)
(2)(2)t t e u t e e
u t -----=-
2(1)
221()11
s s
e F s e e s s -+--==++
（2） ()f t =2
(2)
(2)(2)t
t e u t e e u t -----=
-
221()11s s
e F s e s s --==
++
（3）
(2)
2
()()()t t
f t e
u t e e u t ---==
2
2
1()11e
F s e s s ==
++
3-39 求下列函数的单边拉普拉斯逆变换。
（3）3(4)(2)s
s s ++
（4）33(1)(2)s s s +++ （7）2e 4(1)s
s s -+
解：（3）
42363
(63)()(4)(2)42
t t s e e u t s s s s ---=+?-++++
（4）
332
312(1)(2)(1)(1)
s A B C D
s s s s s s +=+++++++++ 3
13
3
11
322
311
2
333
3
where (1)|2;(1)(2)
31 (1)||1;(1)(2)(2)131 (1)||1;2(1)(2)(2)3
(2)(1)(s s s s s s A s s s d s B s ds s s s d
s C s ds s s s s D s s =-=-=-=-=-+=+=++??+-=+==-??+++????+=
+==??+++??+=++2|12)s s =-=-+ 22()(1)()t t f t t t e e u t --??=-+-??
（7）
2
24(1)1s s
e A Bs C e s s s s --+??=+ ?++??
02
11
where |;44(1)
s A s s s ===+ 221222
11441
so ();414(1)4(1)Bs C s Bs C F s s s s s s s ++++=+=≡+++ 1
so , 04
B C =-=
[]1
()1cos(1)(1)4
f t t u t =---
3-40 试利用拉氏变换的时域卷积定理求下列拉氏变换()F s 的原函数()f t 。
（1）
2
1()s a +
解：21()s a +11
s a s a
=?++
所以
()()()()at
at
at
f t e
u t e
u t te
u t ---=*=
3-43 分别求下列函数的逆变换之初值和终值。
（1）10(2)(5)s s s ++ （3）32221
21s s s s s +++++
解：（1）
10(2)
(5)s s s ++
0010(2)(0)lim ()lim 10
(5)
10(2)()lim ()lim 4
(5)
s s s s s s
f sF s s s s s
f sF s s s +
→∞→∞→→+===++∞===+
（3）
32
22
2132
1
2121
s s s s
s
s s s s
++++
=-+
++++
2
2
00
32
(0)lim()lim3
21
32
()lim()lim0
21
s s
s s
s
f sF s s
s s
s
f sF s s
s s
+
→∞→∞
→→
+
===
++
+
∞===
++