九年级数学上册 25.2 平行线分线段成比例 典型例题 平行线分线段成比例素材 (新版)冀教版

典型例题：平行线分线段成比例

平行线分线段成比例是相似三角形学习的基础，但学习的策略是相同的，我认为需要掌握一定数量的基本图形，需要有学习者个单独的独特的解答策略。而很多同学往往都只是用原有的方法解决后来学习的内容，这对几何学习，尤其是相似三角形的学习是相当不利的。下面介绍一些平行线分线段成比例的基本习题。

例1（1）已知2922=-+b a b a ，则 =

（2）如果0432≠==z y x ，那么z y x z y x -+++的值是（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10

分析 本考题主要考查比与代数式比的互换.

第（1）小题可将代数式比的形式转化成积的形式：

，整理后再

转化成比的形式，便有 对于第（2）小题，可连续运用两次等比定理，得出4

32432-+-+=++++z y x z y x ，即1

9=-+++z y x z y x ，其比的比值为9，故选C ，但这里需要注意的是：第一，等比定理本身隐含着一个约束条件——分母为零；第二，“比”与“比值”是两个不同的概念，比是一种运算，而比的比值是运算的结果.

例2 已知：1、 2、2三个数，请你再添上个数，写出一个比例式 . 分析 这是一道开放型试题，旨在考查学生的发散思维能力，由于题中没有明确告知求1、 2、2的第四比例项，因此，所添的数可能是前三数的第四比例项，也可能不是前三数的第四比例项，这样本考题便有多种确定方法，如从

可求出 ，便有比例式

或 ，从 ，又能求出 ，也

得到比例式 等等. 例3 如下图，BD=5∶3，E 为AD 的中点，求BE ∶EF 的值.

分析 应设法在已知比例式BD ∶DC 与未知比例式BE ∶EF 之间架设桥梁，即添平行线辅助线.

解 过D 作DG ∥CA 交BF 于G ，

则 中点，DG ∥AF ，

例 4 如下图，AC ∥BD ，AD 、BC 相交 于E ，EF ∥BD ，求证：EF BD AC 111=+

分析 待证式可变形为1=+BD

EF AC EF .依AC ∥EF ∥BD ，可将线段的比例式AC EF 与 BD

EF 化归为同一直线AB 上的线段比而证得. 证明 AC ∥EF ∥BD ，

.

说明 证明线段倒数和的关系的常见方法是先变形为证线段比的和为一定值，然后化归为同一直线上的线段比.

例5 已知a 、b 、c 均为非零的实数，且满足a c b a b c b a c c b a ++-=+-=-+求 abc

a c c

b b a ))()((+++的值. 解 设

a c

b a b

c b a c c b a ++-=+-=-+=k 则

23.1成比例线段

一、相似图形:具有相同形状的图形 注 （1） 与图形的大小，位置、颜色等无关， （2）相似图形可通过放大，缩小得到。 （3）全等图形是相似图形的特殊情况。 （4）相似图形的边的条数相同，对应线段的比值相等，对应角相等 如：所有的正方形、等腰直角三角形，等边三角形，圆是相似图形。 二、成比例线段 1、线段的比：在同一单位长度下，两条线段长度的比，叫这两条线段的比 （1）线段的比与线段的长度单位无关，但要采用同一单位。 （2）线段的比无单位。结果一般化为最简整数比 2、比例线段 ①概念：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条 线段的比， 如 d c b a =（或a ∶b ＝c ∶ d ），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．此时也称这四条线段成比例． 注：（1）单位统一 （2）顺序性： 称a, b ，c,d 成比例 称a,d,c,b 成比例 ②比例线段中的相关概念 已知四条线段a 、b 、c 、d ，如果d c b a =(a∶b＝c∶d)， 线段a 、b 、c 、 d 叫做组成比例的项. 线段a 、d 叫做比例外项， 线段b 、c 叫做比例项， 线段d 叫做线段a 、b 、c 的第四比例项. 特别地，当比例项相等时，即c b b a =(a∶b＝b∶c)，那么b 叫做a 、 c 的比例中项. 注:（1）线段a,b,c, d 成比例，其表示方法是有顺序的； （2）判断四条线段是否成比例的方法 ○ 1排序：按线段长度排序 ○ 2看前两条线段的比是否等于后两条线的比 如果m n n p =，比例外项是 ；比例项是 ；比例中项是 。 3.比例的性质 (::)a c a b c d b d ==或(::)a c a d c b d b ==或

典型例题解析：比例线段.

典型例题解析：比例线段 例题1. 已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否是成比例线段？ （1）cm 10,cm 5,cm 8,cm 16====d c b a ； （2）cm 10,m 6.0,cm 5.0,cm 8====d d c b a ． 例题2. 如图，） （）（）（2,3,1,2,2,0C B A --． （1）求出AB 、BC 、AC 的长． （2）把上述三个点的横坐标、纵坐标都乘以2，得到C B A '''、、的坐标，求出C A C B B A '''''',,的长． （3）这些线段成比例吗？ 例题3．已知 811=+x y x ，求y x 例题4．已知 432z y x ==，求y x z y x -+-33的值 例题5．若 3753=+b b a ，则b a 的值是__________ 例题6．设 k y x z x z y z y x =+=+=+，求k 的值

例题7．如果 0432≠==c b a ，求：b c a c b a 24235-++-的值 例题8．线段x ，y 满足1:4:)4(22=+xy y x ，求y x :的值 例题9．如图，已知，在ABC ?中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，并且 23 ===AE AC DE BC AD AB ，ABC ?的周长为12cm ，求：ADE ?的周长

参考答案 例题1 分析 观察四条线段是否成比例时，首先要把四条线段的单位都化成一致的单位，再把它们按从小到大的顺序排列，由比例线段的基本性质知bc ab =，即如果第一、四两个数的积等于第二四两个数的积，则四条线段成比例，否则不成比例． 解答 （1）cm 16,cm 10,cm 8,cm 5====a d b c ， ac bd c a d b ==?=?,80,80 ， ∴d c a b =， ∴四条线段成比例． （2）10cm 8cm,6cm,0.6dm cm,5.0=====d a c b ， ca bd ca bd ≠==,48,5， ∴这四条线段不成比例． 例题2 分析 利用勾股定理可以求出这些线段的长． 解答 （1）133222=+=AB ，543,26152222=+==+=AC BC ． （2）)4,6(),2,4(),4,0(C B A '-'-'， 132134526422=?==+=''B A ， 26226410421022=?==+=''C B ， 108622=+=''C A ． （3）21,21,2113213=''=''==''C A AC C B BC B A AB ， ∴C A AC C B BC B A AB ' '=''=''， 这些线段成比例． 例题3．解答：由比例的基本性质得x y x 11)(8=+ ∴y x 83=

6.2平行线分线段成比例定理

A C §6．4 平行线分线段成比例定理 主备：盛莉莉 审核：袁泉 学习目标 会用平行线分线段成比例定理. 学习重点与难点 掌握平行线分线段成比例定理和平行线等分线段定理. 教学过程 一、自主探索 如图，已知321////l l l ，求证： l 1l 2 l 3 1.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段对应成比例. 2.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等。 3.平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理的联系: . 例1 填空： 例2已知：如图321////l l l ，AB=3 ，DE=2 ，EF=4。求AC 的长。 l 1l 2 l 3 例3已知AD // EF // BC ，AD=15，BC=21，2AE = EB ，求EF 的长 例4 已知：AD 为△ABC 的中线，EF//BC, EF 交AD 于G.求证：EG=FG . 例5 已知：梯形ABCD ，AD//BC, EF//BC ，EF 交BD 于G 交AC 于H. 求证：EG=FH . EF DE BC AB =) 1(DF DE AC AB =) 2(DF EF AC BC =) 3 (= ==∴BC BE CD AC AD CD AB DE //)1( ==GC AG BC EF AD 则若////)2(==FB CF AE AB ABCD 则已知平行四边形)3(

c b a A B C 例6 如图，△ABC 中，D 是AB 上的点，E 是AC 上的点，延长ED 与射线CB 交于点F ． 若AE ∶EC=1∶2，AD ∶BD=3∶2．求FB ∶FC 的值． 随堂演练 1．已知：如图，DE // BC ，EO: OC =3:7， 2．已知：BE 平分∠ABC ，DE//BC. AD=3, DE=2, AC=12,AE 的长度为 . 3. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，DE ⊥BC 于点E. AD= 5, DB=10, CE= 4. DE 的长度为 AC 的长度为 . 4.如图,已 知DE // FG // BC ， AD : DF : BF= 2 : 3 : 4，则DE : FG : BC = . 5.若a // b// c ，DE=3, EO=2, OF=4, OB=1, 求AB 、OC 的长. 6．已知：EF//BC 求证： 7．如图，已知□ABCD ，E 、F 为BD 的三等分点，CF 交AD 于G ，GE 交BC 于H . (1) 求证：点G 为AD 的中点； 8．已知：□ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，点E 在BC 延长线上，OE 交CD 于F. 若AB=8，BC=10，CE=3，求CF 的长度. F C =BC ED )1(=AB AE )2(BC EF AD AG =.)2(HC BH 求A E D B C O 第1题图 第2题图 第3题图 A B C 第4题图

典型例题解析：比例线段

典型例题解析：比例线段 例题1.已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否是成比例线段？ （1）cm 10,cm 5,cm 8,cm 16====d c b a ； （2）cm 10,m 6.0,cm 5.0,cm 8====d d c b a ． 例题2.如图，） （）（）（2,3,1,2,2,0C B A --． （1）求出AB 、BC 、AC 的长． （2）把上述三个点的横坐标、纵坐标都乘以2，得到C B A '''、、的坐标，求出C A C B B A '''''',,的长． （3）这些线段成比例吗？ 例题3．已知8 11=+x y x ，求y x 例题4．已知 432z y x ==，求y x z y x -+-33的值 例题5．若 3753=+b b a ，则b a 的值是__________ 例题6．设k y x z x z y z y x =+=+=+，求k 的值 例题7．如果0432≠==c b a ，求：b c a c b a 24235-++-的值 例题8．线段x ，y 满足1:4:)4(22=+xy y x ，求y x :的值 例题9．如图，已知，在ABC ?中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，并且 2 3===AE AC DE BC AD AB ，ABC ?的周长为12cm ，求：ADE ?的周长

参考答案 例题1分析观察四条线段是否成比例时，首先要把四条线段的单位都化成一致的单位，再把它们按从小到大的顺序排列，由比例线段的基本性质知bc ab =，即如果第一、四两个数的积等于第二四两个数的积，则四条线段成比例，否则不成比例． 解答（1）cm 16,cm 10,cm 8,cm 5====a d b c ， ac bd c a d b ==?=?,80,80 ， ∴d c a b =， ∴四条线段成比例． （2）10cm 8cm,6cm,0.6dm cm,5.0=====d a c b ， ca bd ca bd ≠==,48,5， ∴这四条线段不成比例． 例题2分析利用勾股定理可以求出这些线段的长． 解答（1）133222=+=AB ，543,26152222=+==+=AC BC ． （2）)4,6(),2,4(),4,0(C B A '-'-'， 132134526422=?==+=''B A ， 26226410421022=?==+=''C B ， 108622=+=''C A ． （3）21,21,2113213=''=''==''C A AC C B BC B A AB ， ∴C A AC C B BC B A AB ' '=''=''，

教案：25.2.1平行线分线段成比例的基本事实

平行线分线段成比例的基本事实 一、教学目标 1．理解并掌握两个图形相似的概念． 2．了解成比例线段的概念，会确定线段的比 二、重点、难点 1．重点：相似图形的概念与成比例线段的概念． 2．难点：成比例线段概念． 3．难点的突破方法 （1）对于相似图形的概念，可用大量的实例引入，但要注意教材中“把形状相 同的图形说成是相似图形”，只是对相似图形概念的一个描述，不是定义；还 要强调：①相似形一定要形状相同，与它的位置、颜色、大小无关（其大小可能 一样，也有可能不一样，当形状与大小都一样时，两个图形就是全等形，所以全等形是一种特殊的相似形）；②相似形不仅仅指平面图形，也包括立体图形 的情况，如飞机和飞机模型也是相似形；③两个图形相似，其中一个图形可以 看作有另一个图形放大或缩小得到的，而把一个图形的部分拉长或加宽得到的图形和原图形不是相似图形． （2）对于成比例线段： ①我们是在学生小学学过数的比，及比例的基本性质等知识的基础上来学习成 比例线段的；②两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；③线段的比是一个没有单位的正数；④四条线段a,b,c,d成比例，记作或a:b=c:d；⑤若四条线段满足，则有ad=bc（为利于今后的学习，可适当补充：反之，若四条线段满足ad=bc，则有，或其它七种表达形式）． 三、例题的意图 本节课的三道例题都是补充的题目，例1是一道判断图形相似的选择题，通过讲解要使学生明确：（1）相似形一定要形状相同，与它的位置、颜色、大小无关；（2）两个图形相似，其中一个图形可以看作有另一个图形放大或缩小得到的， 而把一个图形的部分拉长或加宽得到的图形和原图形不是相似图形；（3）在识别相似图形时，不要以位置为准，要“形状相同”；例2通过分别采用m、cm、mm三种不同的长度单位，求得的的值相等，使学生明确：两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致；例3是求线段的比的题，要使学生对比例尺有进一步的认识：比例尺= ，而求图上距离与实际距离的比就是求两条线段的比． 四、课堂引入 1．（1）请同学们看黑板正上方的五星红旗，五星红旗上的大五角星与小五角星他们的形状、大小有什么关系？再如下图的两个画面，他们的形状、大小有什

初三数学比例线段练习题

比例线段同步练习 一、填空题 8．已知实数x ，y ，z 满足x+y+z=0，3x-y+2z=0，则x ：y ：z=________． 9．设实数x ，y ，z 使│x -2y│+ （3x-z ）2=0成立，求x ：y ：z 的值________． 10、已知3)(4)2(y x y x -=+，则=y x : ， =+x y x 11、 543z y x ==，则=++x z y x ， =+-++z y x z y x 53232 12、已知b 是a ，c 的比例中项，且a=3cm ，c=9cm ，则b= cm 。 13、比例尺为1：50000的地图上，两城市间的图上距离为20cm ，则这两城市的实际 距离是 公里。 14、如果3:1:1::=c b a ，那么=+--+c b a c b a 3532 二、选择题 15、如果bc ax =，那么将x 作为第四比例项的比例式是（ ） A x a c b = B b c x a = C x c b a = D c a b x = 16、三线段a 、b 、 c 中，a 的一半的长等于b 的四分之一长，也等于c 的六分之一长，那么 这三条线段的和与b 的比等于（ ） A 6:1 B 1:6 C 3:1 D 1:3

17、已知 d c b a =，则下列等式中不成立的是（ ） A. c d a b = B. d d c b b a -=- C. d c c b a a +=+ D. b a c b d a =++ 18、下列a 、b 、c 、d 四条线段，不成比例线段的是（ ） A. a=2cm b=5cm c=5cm d= B. a=5cm b=3cm c=5mm d=3mm C. a=30mm b=2cm c=5 9 cm d=12mm D. a=5cm b=0.02m c=0.7cm d= 19、如果 a:b=12:8，且b 是a 和c 的比例中项，那么b:c 等于（ ） A. 4：3 B. 3：2 C. 2：3 D. 3：4 20、已知 53=y x ，则在①41=+-y x y x ②5353=++y x ③1332=+y x x ④3 8 =+x y x 这四个式子中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 21、两直角边为3和4的直角三角形的斜边和斜边上高线的比是（ ） A. 5:3 B. 5:4 C. 5:12 D. 25:12 三、解答题 22、已知 7532=b a ，求b a b a 3423+ 的值。 23、已知a:b:c=2:3:4，且2a+3b-2c=10，求a,b,c 的值。

平行线分线段成比例定理(一)

[文件] sxc2jja0013.doc [科目] 数学 [年级] 初二 [章节] [关键词] 平行线分线段成比例 [标题] 平行线分线段成比例定理(一) [内容] 教学目标 1.理解平行线分线段成比例定理，并能初步应用它进行简单的计算. 2.培养学生类比联想及用运动的思维方式看待问题的能力. 教学重点和难点 平行线分线段成比例定理及应用. 教学过程设计 一、类比联想、发现定理 1.复习平地线等分线段定理的内容及数学表达式，如图5-13. ∵l 1//l 2//l 3，AB=BC ， ∴EF=FG. 2.将上述命题改写成比例的形式. ∵l 1//l 2//l 3//l 4，AB:BC=1:1， ∴EF:FG=1:1，则有 1==FG EF BC AB 3.运用类比方式将比值从1推广到正实数m 得出猜想. 教师启发学生思考： 在图5-13中，l 1//l 2//l 3//l 4，AB=BC=CD ，1,1≠≠BD AB CD AC ，那么还有类似比例式成立吗? 学生可从图中看出 2 1,12====FH EF BD AB GH EG CD AC ，猜想推广应成立.

4.举例进一步验证猜想. 教师可再举出图5-14中，AB BC 等于其它更一般的实数的两个例子，来进一步验证猜想. 5.(选)用面积法证明猜想. 对于学生程度较好的班级，教师可用三角形面积公式来严格证明猜想成立，具体做法见设计 说明. 二、用运动的观点深刻认识定理的内容 1.让学生归纳以上情况，并用语言准确叙述定理内容，以及画图写出部分数学表达式. 2.教师强调“对应”的含义，并介绍结合图形形象记忆的方法，如： 右全 左全右下 左下右上 左上右全 右下左全 左下右全 右上左全 左上右下 右上右下 左上=====,,, 3.用运动的观点识别定理的各种变式图形中的比例线段.(见图5-15，不断平移DF) 强调由平行线分线段成比例定理所得比例式中，四条线段与平行直线和被截 两直线的交点位置无关，尤其是图5-15(a)中的M 点，图5-15(c)的N 点. 三、应用举例、变式练习 例1 已知：如图5-16，l 1//l 2//l 3. (1)AB=3，DE=2，EF=4，求BC ； (2)AC=8，DE=2，EF=3，求AB.

初数学平行线分线段成比例定理

初二数学 【教学进度】 几何第二册第五章 §5.2 [教学内容] 平行线分线段成比例定理 [重点难点剖析] 一、主要知识点 1．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。 二、重点剖析 1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比 EF BC = ， 可以说成“上比下等于上比下” DF DE AC AB = ， 可以说成“上比全等于上比全” DF EF AC BC = ， 可以说成“下比全等于下比全”等 2．三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比例定理的推论） 基本图形

又∵ 43=EC AE ∴ 73=AC AE ∴7 3 =DC EG 极 EG=3X ， DC=7X （X>0），则 ∵ 32=DC BD ∴ DB=x x DC 3 14 73232=?= ∴9 14 3314==x x EG BD

例3分析 BC//FE 证明：∵则例4 分别连结E ，DB 首先观察证明：∵点评 （1（3）最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可 例5 如图9，,,,C B A '''分别在△ABC 的三边BC 、AC 、AB 或其延长线上，且C C B B A A '''//// 求证：C C B B A A ' ='+'111 分析 所证结论中出现的三条线段的倒数，解决此类问题， 一般情况下，要将其转化为线段比的形式。 证明：∵A A C C ''// ∴ BA C B A A C C '='' ∵B B C C ''// ∴B B C C ='' ∴1='+'='+'=''+''AB C A C B AB C A BA C B B B C C A A C C ∴B B A A '+'11

学姐笔记-中考数学几何经典题型比例线段

比例线段 知识考点： 本节知识在历年中考的考题中，主要涉及用比例的性质、平行线分线段成比例定理。由于比例的性质在应用时有其限制条件，一些中考题又以此为背景设计分类求解题。 精典例题： 【例1】已知 05 43≠==z y x ，那么 z y x z y x +++-＝ 。 分析：此类问题有多种解法，一是善于观察所求式子的特点，灵活运用等比性质求解；二是利用方程的观点求解，将已知条件转化为z x 53= ，z y 5 4 =， 代入所求式子即可得解；三是设“k ”值法求解，这种方法对于解有关连比的问题十分方便有效，要掌握好这一技巧。 答案： 3 1 变式1：已知 32===f e d c b a ，若032≠-+-f d b ，则3 222-+--+-f d b e c a ＝ 。 变式2：已知3:1:2::=z y x ，求 y x z y x 232++-的值。 变式3：已知a a c b b c b a c c b a k -+= +-=-+=，则k 的值为 。 答案：（1） 3 2；（2）3；（3）1或－2； 【例2】如图，在△ABC 中，点E 、F 分别在AB 、AC 上，且AE ＝AF ，EF 的延长线交BC 的延长线于点D 。求证：CD ∶BD ＝CF ∶BE 。 分析：在题设中，没有平行的条件，要证明线段成比例，可考虑添加平行线，观察图形，对照结论，需要变换比CF ∶BE ，为了变换比CF ∶BE ，可以过点C 作BE 的平行线交ED 于G ，并设法证明CG ＝CF 即可获证。 本例为了实现将比CF ∶BE 转换成比CD ∶BD 的目的，还有多种不同的添画平行线的方法，它们的共同特征都是构造平行线截得的线段成比例的基本图形，请你们参考图形，自己去构思证明。 例2图1 G F E D C B A 例2图2 G F E D C B A 例2图3 G F E D C B A

典型例题解析：比例线段

典型例题解析：比例线段

典型例题解析：比例线段 例题1.已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否是成比例线段? (1) a =16cm,b =8cm,c = 5cm,d = 10cm ； (2) a = 8cm,b = 0.5cm, c = 0.6dm,d = 10cm . 把上述三个点的横坐标、纵坐标都乘以 2,得到A 、B > C 的坐标, 求出AB ；BC ；AC ?的长. (3) 这些线段成比例吗? 例题3.已知3』，求x x 8 y 例题4.已知―三，求x 一 y 3z 的值 2 3 4 3x —y 例题5.若晋冷，则b 的值是 -------------------- 例题6.设亠二丄二亠二k ，求 k 的值 y+z z+x x+y 例题7.如果蓉卜沪，求：5^的值 例题 2. (1) 求出AB 、BC 、AC 的长. (2) 如图,

例题8.线段x , y满足（x2? 4y2）: xy = 4: 1，求x: y的值 例题9.如图，已知，在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，并且 AB = BC =AC =3，ABC的周长为12cm,求：UADE的周长 AD DE AE 2

参考答案 例题1分析观察四条线段是否成比例时，首先要把四条线段的单位都化成一致的单位，再把它们按从小到大的顺序排列，由比例线段的基本性质知ab=bc，即如果第一、四两个数的积等于第二四两个数的积，则四条线段成比例，否则不成比例. 解答 (1) c = 5cm, b =8cm,d = 10cm, a = 16cm， b d =80,a c=80,bd = ac， .b c ? ? -- ~ a d ' ?四条线段成比例. (2) b = 0.5cm, c = 0.6dm = 6cm, a = 8cm, d = 10cm， bd = 5, ca = 48,bd = ca， ???这四条线段不成比例. 例题2分析利用勾股定理可以求出这些线段的长. 解答 (1) AB—.22 32— 13，BC=.52 12二26, AC = . 32 42 = 5 . (2)A(0,4), B(4,2),C(6,4)， AB = 42 62 = 52 — 4 1 3 =2、13， B C' hp lO2 22= ：；104 二4 26 =2 26， AC = .62 82 =10 . “、…AB <13 1 BC 1 AC 1 (3)' -- = —= ---- ---- = - ---- =— AB 2J13 2‘BC2‘AC2’ ? AB BC AC …AB 一BC 一AC， 这些线段成比例. 例题3.解答：由比例的基本性质得8(x ? y) =11x

比例的基本性质 平行线分线段成比例

数学辅导11： 比例的基本性质 一、知识点： 1. 成比例线段：线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即d c b a =，那么这四条线段a ，b ，c ， d 叫做成比例线段，简称比例线段. 2. 比例的性质： （1如果d c b a =，那么bc ad =；如果bc ad =(a ，b ，c ，d 都不为0)，那么d c b a =. （2如果 d c b a =，那么c d a b =. （3如果d c b a =，那么d b c a =. （4如果d c b a =，那么d d c b b a +=+，d d c b b a -=-,d c d c b a b a +-=+-. （5如果)0(≠+++===n d b n m d c b a ΛΛ，那么 b a n d b m c a =++++++ΛΛ. 二、典型例题： （1）已知71=-a b a ，则b a 的值为___________________.已知38=+y y x ，则y x =_______________. 已知32=b a ，则=+b b a _________，b b a -=______________. （2）已知)0(53≠+==d b d c b a ，则d b c a ++的值为____________. 已知572 c b a ==，则a c b a -+=______________. 已知75== d c b a ，那么d b c a 3232--=_____________. （3）在△ABC 与△DEF 中，若4 3===FD CA EF BC DE AB ，且△ABC 的周长为36cm ，则△DEF 的周长为______. （4）已知5 43c b a ==，且6=-+c b a ，则a =__________. （5）如果d c b a =（0≠+b a ，0≠+d c ），那么c d c a b a +=+成立吗？请说明理由. （6）已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中cm a 3=，cm b 2=，cm c 6=，则线段d =___________. （7）已知2:4:3::=c b a ，且182=-+c b a ，求c b a 23+-的值.

初三成比例线段典型例题及练习题

初三成比例线段典型例 题及练习题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

【典型例题】类型一、比例线段 例题1.（1）求证：如果，那么. （2）已知线段a、b、c、d，满足a c b d =，求证： a c a b d b + = + . 类型二、相似图形 例题2.（1）如果两个四边形的对应边成比例，能不能得出这两个四边形相似？为什么？ （2）下面的四个图案是空心的矩形，正方形，等边三角形，不等边三角形，其中每个图案的边的宽度都相等，那么每个图案中边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（） 类型三、相似多边形 例题3.（1）已知四边形与四边形相似，且 .四边形的周长为26.求四边形的各边长. （2）等腰梯形与等腰梯形相似， ，求出的长及梯形各角的度数. （3） 例题4.某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由. 考点集训图形的相似和比例线段（提高） 一．选择题 1.在比例尺为1︰1000000的地图上，相距3cm的两地，它们的实际距离为( ) A．3km B．30km C．300km D．3000km 2.已知线段a、b、c、d满足= ab cd把它改写成比例式，其中错误的是（）A.:: b c d a = B.:: a b c d = C.:: c b a d = D.:: a c d b =

3.已知△ABC 的三边长分别为6cm 、7.5cm 、9cm ，△DEF 的一边长为4cm ，当 △DEF 的另两边的长是下列哪一组时，这两个三角形相似( ) A ．2cm ，3cmB ．4cm ，5cm C ．5cm ，6cm D ．6cm ，7cm P6 4.△ABC 与△A 1B 1C 1相似且相似比为 ，△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2相似且相似比为 ，则△ABC 与△A 2B 2C 2的相似比为( ) A ． B ． C ． 或 D ． 5.下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形.其中一定相似的有（） A.2组B.3组C.4组D.5组 6.一个钢筋三角架三边长分别是20cm ，50cm ，60cm ，现要做一个与其相似的三角架，只有长30cm ，50cm 的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根截下两段（允许有余料）做为其他两边，则不同的截法有（） A.一种B.两种C.三种D.四种 P7 二.填空题 7.小明有一张的地图，他想绘制一幅较小的地图，若新地图宽为30cm ，则新地图长为_________cm. 8.△ABC 的三条边长分别为 、2、 ，△A ′B ′C ′的两边长分别为1和 ，且△ABC 与△A ′B ′C ′相似，那么△A ′B ′C ′的第三边长为____________ 9．如图：梯形ADFE 相似于梯形EFCB,若AD=3，BC=4，则 ______.AE BE = 10.已知若 -3=,=____;4x y x y y 则若5-4=0,x y 则x :y =___. 11.如图：AB:BC=________,AB:CD=_________,BC:DE=________, AC:CD=__________,CD:DE=________. P8 12.用一个放大镜看一个四边形ABCD ，若四边形的边长被放大为原来的10 倍，下列结论①放大后的∠B 是原来∠B 的10倍；②两个四边形的对应边相等；③两个四边形的对应角相等， 则正确的有. 三．综合题 13.如果 a b c d k b c d a c d a b d a b c ====++++++++，一次函数y kx m =+经过点（-1,2）， 求此一次函数解析式. P9

平行线分线段成比例定理测试题

平行线分线段成比例定理测试题 一．选择题（共10小题） 1．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC的延长线上，下列不能判定DE∥BC的条件是（） A．EA：AC=DA：AB B．DE：BC=DA：AB C．EA：EC=DA：DB D．AC：EC=AB：DB 2．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上，下面比例式中，不能判断ED∥BC的是（） A．B．C．D． 3．如图，△ABC中，DE∥BC，=，AE=2cm，则AC的长是（） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 4．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB=4，AC=6，DF=9，则DE=（） A．5 B．6 C．7 D．8 5．如图，直线a、b被三条互相平行的直线l1，l2，l3所截，AB=3，BC=2，则DE：DF=（） A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．3：5 6．如图，l1∥l2∥l3，若，DF=6，则DE等于（） A．3 B．3.2 C．3.6 D．4

7．如图，已知l1∥l2∥l3，直线AB分别交l1、l2、l3于A、E、B点，直线CD分别交l1、l2、l3于C、F、D三点，且AE=2，BE=4，则的值为（）A．B．C．D．2 8．如图，三角形ABC中，D、E、F分别是AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF ∥AB，AD：DB=1：2，BC=30cm，则FC的长为（） A．10cm B．20cm C．5cm D．6cm 9．如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，已知AB=5，BC=10，DE=4，则EF的长为（） A．12 B．9 C．8 D．4 10．如图，△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE=EF=FC．则BN：NQ：QM等于（） A．6：3：2 B．2：1：1 C．5：3：2 D．1：1：1 二．填空题（共10小题） 11．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F， 已知=，则的值为． 12．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，若DB=4，AB=6，BE=3，则EC的长是． 13．已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=．

相似三角形基本知识点及典型例题

相似三角形 一、知识点梳理 ★知识点一：比例线段 1、比例：如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例，通常我们把 a, b,c,d 四 a c 个实数成比例表示成： 或者a : b=c ： d ,期中b ， c 称为比例内项，a ，d 称为比例外项。 b d a c a c 等式两边同乘以 bd ，可得ad=bc ，反过来等式 ad=bc 同除以bd ，可得 =一 b d b d 2、比例线段：在四条线段 a,b,c,d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比, a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段。 a b 3、比例中项：如果三个数a, b, c 满足比例式 ，那么b 叫做a 、c 的比例中项， 此时有b = ac 。 b c 那么这四条线段 4、黄金分割：如果点 P 把线段AB 分成两条线段 AP 和 PB,使 AP AP 帀，那么称线段AB 被点P 黄 金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点，比值叫做黄金比。 全二长二 ? 0.618 2 5、比例式变形: a c a_ b c_d b d - b 或旦亠 b b d a c ” ■ * * b _d 一 =b ，（交换内项） c -交换外项） b a d 聖?（同时交换内外项） c a 3，那么a r e a 仁如果b = 3 a + b 卄 a 3 “a + b“,+ 0 2、若，贝U 的值是 b 5 b 8 3 3 B C 、- D 5 5 2 3、若 4x=5y,则 x : y = 例 4、 x —yz yz_x 5、已知g = y ，则j 的值为 13 7 y 例6、如果x : y :z = 1 : 3 : 5,那么 x 3y z x_3y z

沪科版-数学-九年级上册-典型例题-平行线分线段成比例定理

典型例题：平行线分线段成比例定理 平行线分线段成比例是相似三角形学习的基础，但学习的策略是相同的，我认为需要掌握一定数量的基本图形，需要有学习者个单独的独特的解答策略。而很多同学往往都只是用原有的方法解决后来学习的内容，这对几何学习，尤其是相似三角形的学习是相当不利的。下面介绍一些平行线分线段成比例的基本习题。 例1（1）已知2922=-+b a b a ，则 = （2）如果04 32≠==z y x ，那么z y x z y x -+++的值是（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 分析 本考题主要考查比与代数式比的互换. 第（1）小题可将代数式比的形式转化成积的形式： ，整理后再转化 成比的形式，便有 对于第（2）小题，可连续运用两次等比定理，得出4 32432-+-+=++++z y x z y x ，即19=-+++z y x z y x ，其比的比值为9，故选C ，但这里需要注意的是：第一，等比定理本身隐含着一个约束条件——分母为零；第二，“比”与“比值”是两个不同的概念，比是一种运算，而比的比值是运算的结果. 例2、已知：1、 2、2三个数，请你再添上个数，写出一个比例式 . 分析 这是一道开放型试题，旨在考查学生的发散思维能力，由于题中没有明确告知求1、 2、2的第四比例项，因此，所添的数可能是前三数的第四比例项，也可能不是前三数的第四比例项，这样本考题便有多种确定方法，如从 可求出 ，便有比

例式 或 ，从 ，又能求出 ，也得到比 例式 等等. 例3 如下图，BD=5：3，E 为AD 的中点，求BE ：EF 的值. 分析 应设法在已知比例式BD ：DC 与未知比例式BE ：EF 之间架设桥梁，即添平行线辅助线. 解 过D 作DG ∥CA 交BF 于G ， 则 中点，DG ∥AF ， 例 4 如下图，AC ∥BD ，AD 、BC 相交 于E ，EF ∥BD ，求证：EF BD AC 111=+

平行线分线段成比例经典例题与变式练习(含标准答案)

平行线分线段成比例 知识梳理 1. 平行线分线段成比例定理 如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则 BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC DE DF = . l 3 l 2l 1F E D C B A 2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则 AD AE DE AB AC BC == A B C D E E D C B A 3. 平行的判定定理：如上图，如果有 BC DE AC AE AB AD = =，那么DE ∥BC 。 专题讲解 专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用 【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。

E D C B A 【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：1 11c a b =+. F E D C B A 【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和 BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明： 111 AB CD EF += . F E D C B A 【巩固】如图，找出ABD S ?、BED S ?、BCD S ?之间的关系，并证明你的结论. F E D C B A 【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作 EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。

O F E D C B A 【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。 Q P F E D C B A 专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2007年北师大附中期末试卷） （1）如图（1），在ABC ?中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14 AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则 BC CD =_______. （2）如图（2），已知ABC ?中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AF FC FD + 的值为（ ） A.5 2 B.1 C.32 D.2 (1) M E D C B A (2) F E D C B A 【例5】 （2001年河北省中考试卷）如图，在ABC ?中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O . （1）当 1A 2 AE C =时，求AO AD 的值； E A O

平行线分线段成比例教案

l1 l2 l3m n F E D C B A 23.1.2 平行线分线段成比例 （新授课 1课时） 一、教学内容： ① 平行线等分线段定理； ② 平行线分线段成比例定理； ③ 平行线分线段成比例推论. 二、教学目标： 1、 知识与技能：掌握平行线分线段成比例的基本定理及推论，并能用其解题； 2、 过程与方法：掌握基本定理的推导过程并能以之解题； 3、 情感态度和价值观：培养认识事物从一般到特殊的认知过程，培养欣赏数学表达式 的对称美。 三、教学重、难点： 1、 重点：平行线分线段成比例定理、推论及应用； 2、 难点：定理的推导证明。 四、教具：普通教室/多媒体计算机/三角板 五、教法：讲练结合法 六、教学过程： 活动一：复习旧课 成比例线段： a) 概念，强调顺序性：(比例式：a:b=c:d,等积式：ad=bc) b) 比例的性质： 基本性质：a c ad bc b d =?= 合比性质：a b c d b d ++= 分比性质：a b c d b d --= 合分比性质：a b c d a b c d ++=-- 等比性质： 123123123123 123(0)k k k k k a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b ++++==== =++++≠+++ + 活动二：创设情境，引入新课 问题1：一组等距离的平行线截得直线m 所得的线段相等，那么在直线n 上所截得的线段有什么关系呢？ 即：已知l 1∥l 2∥l 3 AB=BC 求DE 与EF 的关系 （DE=EF ） 推导见右图 （平移m 证全等） l1l2l3m n m'C'(B') A'F E D C B A

比例线段题型详细分类(带答案)

基础知识点 1)两条线段的比 两条线段的长度的比叫做两条线段的比，两条线段的比值总是正数。 2)比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 3)比例中项 如果a b b c =(即2b ac =)，那么b 叫做a,c 的比例中项。 4)比例线段的性质 ● 基本性质 如果a c b d =，那么bc ad =，反之也成立。 ● 合比性质 如果 a c b d =，那么a b c d b d ++=，如果a c b d =，那么a b c d b d --=。 ● 等比性质 如果a c b d =，那么a c a c k b d b d +===+。则a c m a c m b d n b d n +++====+++，运用这个性质时，一定要注意0b d n +++≠的条件。 5)黄金比值： 把线段AB 分成两条线段AP 、PB(AP ＞PB)，如果AP 是线段PB 和AB 的比例中项，则线段AP 把线段AB 黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点。 利用一元二次方程的知识，可以求出黄金比的数值，即 AB AP 2 15-=618.0≈。 例题解析 题型一、(1)如果37=y x ，那么y y x -= ,y y x += , y x y x ++＝ (2)已知 21235=-+y x y x ，则y x = , y x y x -+= 答案：(1)34；310；1. (2)74-；11 3-.

变式：(1)如果32=y x ，那么x y = ,y y x += , y x x -＝ y x x y +-＝ 。 (2)已知53=y x ，则在①41=+-y x y x ②5353=++y x ③1332=+y x x ④3 8=+x y x 这四个式子中正确的个数是( ). A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 (3)已知3)(4)2(y x y x -=+，则=y x : ， =+x y x . (4)若02322=+-y xy x ,求 x y . 答案：(1)23；35；－2 ；51. (2) C . (3)10; 10 11. (4)1或2. 题型二、(1)已知35a c e b d f ===，求：3232a c e b d f -+-+的值。 (2)已知)0d c b a (k c b a d d b a c d c a b d c b a ≠+++=++=++=++=++，则k 等于( ). A.1 B. 21 C.31 D.41 答案：(1)∵35a c e b d f ===，∴323325a c e b d f -===-，由等比性质可得323325 a c e b d f -+=-+。(2)C 变式：(1)已知 35a c e b d f ===，50=++f d b ，那么e c a ++＝ . (2) 如果2===c z b y a x ，那么=+-+-c b a z y x 3232 . (3)已知k =++=++=++=++c b a d d b a c d c a b d c b a ，则k 等于 .