量子力学课件第九章
第九章
含时微扰论
到目前为止，我们处理的所有实际问题可归结为量子定态（quantum statics ）,即势能函数不显含时
间：)(),(r V t r V
=，这样含时的薛定鄂方程
H i t
?ψ
ψ=?
， 可通过分离变量求解：
/,()iEt t e ψ-ψ=r r （） 这里ψ
r （）其中()ψr 满足定态薛定鄂方程：
.H E ψψ=.
因为定态解含有指数因子
/iEt e
-，当我们构造相关物理量2
ψ时，指数因子
/iEt e -就抵消，所有的几
率和期待值是不随时间变化的常数。通过这些定态的线性迭加我们可以得到一般的含时波函数，但即
使是这样的波函数，能量的可能值及其出现的几率也是常数。
如果我们允许在两个不同能级之间的跃迁（通常也称为量子跃迁），我们必须引入含时势（量子动力学）。量子动力学仅有少数问题可严格求解。然而，如果哈密顿量的含时部分与不含时部分相比很小时，那么我们就可把含时部分当作微扰。这一章的目的是介绍含时微扰理论，并且研究它的最重要应用：原子的发射或吸收辐射。
9.1 两能级体系
作为开始，我们假设体系（非微扰）只有两个态，a ψ和b ψ。它们是非微扰哈密顿量0
H 的两个本征态：
H
a ψ＝a E a ψ 0H
b ψ＝b E b ψ [9.1]
它们是正交归一的
ab b a δψψ= [9.2]
任何态都可以表示为这两个态的线性迭加：特别地 b b a a c c ψψ+ψ）＝（0 [9.3] 态a ψ和b ψ可以是空间波函数，也可以是旋量，也可以是其它更稀奇的东西?这无关紧要；这里我们关心的是体系随时间的变化，所以当我写()t ψ时，我指的是体系在时刻t 时的状态。没有微扰作用时，每一个分量按其特征指数因子演化： //()a b iE t iE t a a b b t c e c e ψψ--ψ=+
[9.4]
我们说2
a c 是粒子处于a ψ态的几率——其真正含义是，测量能量得到a E 的几率。当然，ψ的归一
性要求
12
2
=+b
a c c [9.5]
9.1.1微扰体系
假设我们现在加上一个含时微扰，)('
t H 。因为a ψ和b ψ构成了完全集，波函数()t ψ仍然可以表示为它们的线性迭加。所不同的是a c 和b c 现在是t 的函数: //()()()a b iE t iE t a a b b t c t e
c t e ψψ--ψ=+
[9.6]
(我可以把指数因子吸收到)(t c a )和)(t c b ，并且一些人也喜欢这样做，但我认为把没有微扰时的含时部分明显写出会更好。）整个问题是确定作为时间的函数的a c 和b c 。例如，如果粒子初始时处在态
((0)1,(0)0)a a b c c ψ==，一段时间1t 之后我们发现1)(,0)(11==t c t c b a ，我们说系统经历了从a
ψ
到b ψ的转变。
我们可以从()t ψ满足含时薛定鄂方程来解)(t c a 和)(t c b t
i H ?ψ
?=ψ 这里)('0t H H H += [9.7] 由9.6和9.7式，我们得到
////00''
////[][][][].a b a b a b a b iE t iE t iE t iE t a a b b a a b b iE t iE t iE t iE t a b a a b b a a b b c H e c H e c H e c H e
iE iE i c
e c c e c e c e ψψψψψψψ--------+++??????=++-+- ? ?????????
由9.1式知，左边前两项和右边后两项相消，因此我们有：
////''
[][]a b a b iE t iE t iE t iE t a a b b a a b b c H e c H e i c e c e ψψψψ----??+=+?? [9.8]
为了分离出.
a c
，我们使用标准技巧：与a ψ作内积，并利用a ψ和b ψ的正交归一性（9.2式）可得： /'/'t iE b a b t iE a a a b a e H c H c --+ψψψψ＝ /t iE a a e c
i - 为了简化，我们定义 j
i ij
H H
ψ
ψ''≡ [9.9]
注意'
H 是厄米算符，满足*=)(''ji ij H H 。两边同时乘
/)/(t iE a e
i --，我们得到
()/''
b a i E E t a a aa b ab i c
c H c H e --??=-+??
[9.10] 类似有，与b ψ作内积挑选出.
b c
/'/'t iE b b b t iE a b a b a e H c e H c --+ψψψψ＝ /t iE b b e c
i - 因此
()/''b a i E E t b b bb a ba i
c c H c H e -??=-+??
[9.11] 方程9.10和9.11决定了)(t c a 和)(t c b ；对于两能级体系，它们和含时薛定鄂方程完全等价。如
果‘
H 的对角矩阵元为零（对于一般性情况参考习题9.4） 0''==bb aa
H H [9.12]
方程可以简化为
[9.13]
式中
a
b E E -＝
0ω [9.14] （我将假定a b E E ≥，因此00≥ω。）
*习题9.1 一个氢原子放置在含时电场?()E t k
=E 中,计算微扰eEz H ='在基态（n=1）与（四重简并的）第一激发态（n=2）之间的四个矩阵元ij H '
.并且证明对于所有的五个态ii H '＝0.注：如果考虑到对z 的奇数性，仅需做一个积分；受这种形式的微扰，从基态只能跃迁到（n=2）态中的一个态，
因此体系的波函数为两态构成?假定向更高的激发态跃迁可以忽略。
*习题 9.2 在不含时微扰情况下解方程9.13，假定1)0(=a c ，0)0(=b c .验证 12
2=+b
a c c .
评注：很明显，体系在“a ψ纯态”和“一些b ψ态”间振荡，这与不含时微扰体系不发生跃迁的一般观点矛盾吗？不会的，但理由相当微妙：在这种情况下，a ψ和b ψ不是，也从不是哈密顿的本征态?对能量的测量永远不会得到a E 和b E 。在含时微扰论为了检验体系，我们通常加微扰一段时间后再去
除微扰。在开始前和结束后，a ψ和b ψ是严格哈密顿量的本征态，仅在这种背景下，说体系经历了从一个态到另一个态才是有意义的。对于当前的问题，可假设微扰从t=0开始，在时刻t 中止?这样并不影响计算，但它能更合理的理解结果。
**习题9.3 假设微扰具有δ函数（含时）形式
)(t U H δ＝‘
假设0==bb aa U U ，让α==*ba ab U U . 如果1)(=-∞a c 和0)(=-∞b c ，求)(t c a 和)(t c b ，验证
12
2
=+b
a
c c ，跃迁（a b P t →→∞当时）发生的几率是多少？提示：可以把δ函数当作一序列矩
形的极限来处理。答案：)/(sin 2 α=→b a P .
9.1.2
含时微扰论
到目前为止，每一步都是严格的：我们没有假设微扰'
H 的大小. 但是如果'
H 很小，我们可以用下述叠代近似法求解方程9.13。假设粒子初始时处在能量低态
1)0(=a c 0)0(=b c [9.15] 如果没有微扰，那么它们将永远处在这种状态：有微扰时
零级：
1)(0=t c a ）
（ 0)()0(=t c b [9.16]
（我用圆括号里的上标近似的阶）
为了计算一级近似，我们在方程9.13的右边代入零阶近似值：
一级:
1)(0)
1()1(=?=t c dt
dc a a '0
'')
1(')1('00)()(dt e t H i t c e H i dt dc t i t ba b t i ba b ωω?-=?-= [9.17] 现在我们在方程9.13右边代入这些一级近似式，可得到二阶近似：
二级：
'00'
'''00(2)''''
(2)'''''''200()()1()1()()t i t i t a ab ba t t i t i t a ab ba dc i i H e H t e dt dt c t H t e H t e dt dt ωωωω--=--???'=-????
??? [9.18] 不过b c 不改变（）（t c t c b b )1()2()(=）.(注意)()
2(t c a 包括零阶项；积分部分是二阶修正)
原则上讲，我们可以无限地重复上述做法，把n 级近似值代入到方程9.13的右边，获得(n+1)级近似值。零阶修正不含‘H 因子，一阶修正含一个‘H 因子，二阶修正含两个‘
H 因子，依次类推1
.
一阶近似存在的误差是明显的，因为12)1(2
)1(≠+b
a
c
c （严格解的系数必须满足方程9.5. 但是，在
近似到'
H 的一级，2
)
1(2
)1(b
a
c c +等于1，这是在一级近似中我们所能期望的.更高级近似时也同样. **习题 9.4 假定我们没有假设0''==bb aa H H
（a ） 在一级微扰理论中，对1)0(=a c ，0)0(=b c 情况，求)(t c a 和)(t c b . 近似到‘
H 的一级，验
证 12)1(2)1(＝b
a
c
c
+.
1
a c 仅含偶级近似项，
b
c 仅含奇数级项; 但是如果微扰含有对角项，或者体系的初始态为两个态的迭加，将不会出
（b ） 有一个更好的方法处理这个问题。令 a dt
t H i a c e d t
aa ?≡0'
'')(
b dt
t H i b c e
d t
bb ?≡0'
'')(
[9.19]
证明
b t
i ab i a
d e H e i d 0'ωφ--= a
t i ba i b d e H e i d 0'ωφ--=
[9.20] 其中
'
''0
'')]()([dt t H t H i t bb t aa -≡? ）
（φ [9.21] 关于a d 和b d 的方程与方程9.13在结构上是一样的（除了'H 吸收了一个附加因子φ
i e ）. （c ）在一级微扰理论中用（b ）中的方法求)(t c a 和)(t c b ，然后和（a ）方法做比较，评论一下差异。
*习题 9.5 对一般情况a c a =)0(，b c b =)0(，求解方程9.13到二级近似。
**习题 9.6 对不含时微扰（习题9.2）计算)(t c a 和)(t c b 到二级近似。并与严格结果作比较。
9.13正弦微扰
假定微扰对时间的依赖关系具有正弦形式：
(,)()cos()H t V t ω'=r r [9.22] 则有
)cos(t V H ab ω=' [9.23] 其中
b a ab V V ψψ≡ [9.24]
(同前一样，我将假设矩阵的对角元为零，因为在实际中大多是这种情况。)到一级近似（从现在开始，我们专注于一级近似，所以略去右上角的标记）我们有（9.17式）
000()()00()cos()2t t i t i t i t ab b ab iV i c t V t e dt e e dt ωωωωωω'
''+-''??'?-=-+????
00()()0011.2i t i t ab V e e ωωωωωωωω+-??
--=-+??+-??
[9.25]
这就是答案，但是有点繁琐。如果我们仅考虑驱动频率()ω和跃迁频率0()ω非常接近的情况，问题将会极大简化，此时方括号中第二项起主要作用：具体上，我们假设： ωωωω->>
00＋ [9.26]
这并不是一个很大的限制，因为其它频率的微扰导致的跃迁几率非常之小可以忽略2
。舍弃第一项，
我们得到：
000()/2()/2()/2
0()2()i t i t i t ba b V e c t e e ωωωωωωωω----???--?
?- 2
/)(000]2/)sin[(t i ba e
t V i ωωω
ωωω----= [9.27] 跃迁几率 ? 一个粒子初始时处在a ψ态，经时间t 后，发现它处在态b ψ几率是
2
在下节我们将把这个理论应用到光，其频率15110s ω
- ，因此，除了（第二项）在0ω附近，两项中的分母都非常
图9.1 在正弦微扰下作为时间函数的跃迁几率(9.28式)。
2
0022
2
2
)(]
2/)[(sin )()(ωωωω--?
=→t V t c t P ab b b a [9.28]
这个结果最显著的特点是，作为时间的函数，跃迁几率以正弦形式振荡（图9.1）。达到最大值
2022
)(/ωω- ab V 后?其值必须小于1，否则微扰是小量的假设就会失效?它又回到到零！在时间
ωωπ-=0/2n t n ，其中n=1,2,3,…，粒子必将回到能量较低的态a ψ。如果你想使激发跃迁的机会
最大化，那么就不应该让微扰保持较长的时间；经过时间ωωπ-0/后你最好中止微扰，以期能使体系能够跃迁到能量较高的态b ψ。习题9.7表明这种“跃进”不是微扰理论人为的结果?在严格解中也存在，经管跃进频率有些改变。
如前所述，当驱动频率非常接近固有频率0ω时跃迁几率将变的非常大。如图9.2所示，它绘出了
b a P →其作为频率ω的函数。峰值为2)2/( t V ab ，宽度为t /4π；显然，随着时间的增加，峰值逐渐
变大，宽度逐渐变窄。（表面上看峰值的增加没有极限。然而，当几率接近1时微扰的假设失效，因此只有当时间t 相对较小时结果才是可信的。在习题9.7中你将会看到严格解的结果永远不会大于1。）
图9.2 作为驱动频率函数的跃迁几率(9.28式)。
**习题 9.7 方程9.25的第一项来自)cos(t ω中的2/t i e ω部分，第二项来自2/t i e ω-。舍弃第一项
形式上等价于把H '写成t
i e V H ω-=')2/(，也就是：
t i ba ba
e V H ω-='2 t i ab ab e V H ω2
=' [9.29] (后者来自于哈密顿矩阵是厄米矩阵?或者，如果你愿意的话，可以把公式中的有关()a c t 的与方程
9.25类似的支配项挑选出来) Rabi 注意到，如果在开始计算时就采用所谓的旋转波近似(rotating
wave approximation)，那么方程9.13不需要微扰理论就能够严格求解，且不需要假设场的强度。 (a) 用旋转波近似（方程9.29）解方程9.13。初始条件为：1)0(=a c 0)0(=b c ，用Rabi 共振频率 220)/()(2
1
ab r V +-≡ωωω [9.30] 表示)(t c a 和)(t c b
(b) 确定跃迁几率)(t P b a →，证明它不会大于1。验证1)(2
2
=+t c t c b a ）（。
(c) 当微扰很小时，验证)(t P b a →回到微扰理论的结果（方程9.28），并从对V 加上的限制，解释微
扰很小的含义。
(d) 在多长的时间体系首次回到它的初始状态？
9.2辐射的发射和吸收
9.2.1 电磁波
电磁波（我喜欢叫做“光”，虽然它可以是红外的，紫外的，微波，X －ray ，等等，其差别仅在频率不同）由横向振荡的电场和磁场（彼此相互垂直）组成（图9.3）。一个原子，当处在光波中时，主要与光波中的电场相互作用。如果波长很长时（与原子大小相比），我们可以忽略场的空间变化3）
（3；
即原子是处于一个做正弦振荡的电场之中
0?cos()E t k
ω=E [9.31] (此时，我假设光是单色的，极化方向沿 z 方向)。微扰哈密顿为4
)cos(0t z qE H ω＝－' [9.32] 其中q 是电子电荷5
。明显有6
0cos()ba
H E t ω'=-R 其中b a q z ψψ≡R [9.33] 通常，ψ是z 的偶函数或奇函数；这两种情况下2
ψ
z 都为奇函数，其对空间积分为零（例如，参见
习题9.1）。这符合我们H '的对角矩阵元为零的通常假设。这样光与物质的相互作用就由我们在9.1.3
节所研究的振荡微扰类型所描述，其中：
0ba V E =-R [9.34]
9.2.2 吸收，受激发射和自发发射
如果原子初始态为低能态a ψ，受单色光照射，跃迁到高能态b ψ的几率由方程9.28给出，考虑到9.34式，这个几率可以写为
3 :对于可见光λ～5000A ， 而原子直径大约在1A
，因此这种近似是合理的；但是对于X 光却不太合理，习题9.21研究了场的空间变化效应。
4
一个电荷q 在静电场E 中的能量是q d ??
E r －。也许你不赞成对显含时间的场用静电公式。我明显假设了振荡周
期比电荷（在原子中）运动的时间要长的多. 5
像通常一样，我们假设原子核很重并且固定不动；我们所关心的是电子的波函数.
6
字母R 应该让你想起电偶极矩（在电动力学中习惯用字母P ，在这里我们用R 避免与动量混淆）。实际上R 是偶极矩算符q r 的 z 分量的非对角矩阵元，由于它与电子偶极矩有关，由方程9.33决定的辐射称为偶极矩辐射；它是占支
图9.3 电磁波
2
2002
0sin [()/2]
().()a b E t P t ωωωω→??- ?-??
＝R [9.35] 在这个过程中，原子从电磁场中吸收能量0b a E E ω-= 。我们称它吸收一个光子（图9.4（a ））.（如
前所述，光子这个词其实属于量子电动力学[电磁场的量子理论]，经管现在我们把场自身处理为经典的，但是这个称呼是方便的。）
当然，若初始态为高能态（1)0(,0)0(==b a c c ），我们也能同样推导出跃迁几率。如果你愿意，可以自行推导，结果完全一样；除了此时我们计算的是2
)(t c P a a b =→，向低能态的跃迁几率：
2
2002
0sin [()/2]
().()b a E t P t ωωωω→??- ?-??
＝R [9.36]
(这样的计算表明?我们只需交换b a ?，用0ω-替代0ω。当得到方程9.25后，只保留第一项，其分母是ωω＋－0，其余所需做的同前一样。) 但此时如果你们停下来思考一下，这绝对是一个令人吃惊的结果：如果这个粒子是处在高能态，你用光照射它，它可以向低能态跃迁，并且跃迁几率同由低能态向高能态的跃迁几率完全相同。这个过程由爱因斯坦首先预言，称为受激发射。
在受激发射情况下，电磁场从原子获得了能量0ω ；我们说一个光子的进入而导致两个光子出来—导致跃迁发生的原来的一个加上跃迁自身产生的一个（图9.4（b ））。这就有了光放大的可能性，因为如果我有一瓶原子，所有的原子都处在高能态，这时用一个光子激发它，就会发生连锁反应，初始的一个产生2个，2个产生4个，依次类推。我们将会得到巨大数目的光子，它们的频率相同并且实际上它们是同时产生的。当然，这就是激光（受激发射所产生的光放大）产生的原理。注意到，（对激光产生），使大多数原子处于高能态是必须的（所谓的粒子数反转），因为吸收（这将减少一个光子）和受激发射（这将产生一个光子子）相伴的；如果你从两态的一个均匀混合状态开始，那么你将不会得到任何光放大。
除了吸收和受激发射外，还有第三种与物质相互作用的机制；它叫作自发发射。处于高能态的原子会向低能态自动跃迁，并放射一个光子，这种过程无需应用电磁场去激发跃迁（图9.4（c ））。这种机制能够解释处在高能态原子的衰变。 乍看起来，为什么会发生自发发射不是很清楚。如果一个原子处在定态（即使是激发态），在没有外部微扰时，它将永远处在此态。如果所有的外部微扰确实不存在，那么它也应该的确如此。然而，在量子电动力学中，即使处在基态,场也是非零的?就像谐振子处在基态时仍有非零的能量（2/ω ）一样。你可以关闭所有的灯源，并把屋子冷却到绝对零度，但是仍然有电磁辐射存在，正是这个 “零点”辐射催生了自发发射。所以，并没有真正意义上的自发发射；所有的都是受激发射。唯一能区别的仅是，这个激发场是你放在那儿的，还是上帝放在那儿的。在这个意义上，这种理解和经典辐射过程完全相悖，经典辐射过程中，没有这样的受激发射，而都是自发发射。
图9.4 光与原子作用的三种方式: (a)吸收,(b)受激发射,(c) 自发发射。
量子电动力学超出了本书的范围7，但是爱因斯坦提出一个优美的理论8
，把三个过程（吸收，受激发射，自发发射）联系起来。爱因斯坦并没有阐明自发发射的机制（基态电磁场产生的微扰），
但他的结果仍然使我们能够计算自发发射速率并由其计算激发态的寿命9
。然而，在考虑这些问题之前，我们需要考虑一个原子与从各个方向入射的非单色，非极化，非相干电磁波的作用?这样的情况常会遇到，例如，处在热辐射场中的原子。
9.2.3非相干微扰
电磁波的能量密度是10
20
0,2
u E ε=
[9.37]
其中0E 是电场的振幅（如前）。因此跃迁几率（9.36式）与场的能量密度成正比（这很自然）：
22
02
2
00sin [()/2]
2().()
b a t u P t ωωεωω→--
＝R [9.38] 但这只对单一频率ω的单色光成立；在许多应用上，体系是处在一个具有完整频谱的电磁波场中；在这种情况下ωωρd u )(→，这里ωωρd )(是频率在ωd 范围时的能量密度，最终的跃迁几率具有积
分形式11
：
22022000sin [()/2]2()()b a t P t d ωωρωωεωω∞
→??-??-??
? ＝（）R [9.39] 上式大括号中关于0ω的项，其图像是一个尖峰（图9.2），而()ρω通常分布较宽，所以我们可以用0()ρω替代()ρω，并把它提到积分号外：
22
0022000sin [()/2]2
()()b a t P t d ωωρωωεωω∞
→??
-??-??
?
＝（）R
[9.40]
7
一个容易理解的处理可参见Rodney Loudon 所著,光的量子理论，第二板（Clarendon Press,oxford.1983）。
8
爱因斯坦的论文发表于1917年， 远在薛定鄂方程之前。量子电动力学凭借1900年出现的普朗克黑体辐射公式（5.113式）进入人们讨论。 9
另外一个用量子电动力学中“seat-of-pants”的有趣推导参见习题9.9。 10
D.Griffiths ，电动力学导论，第三版（Prentice Hall , Upper Saddle river , NJ ,1999）,9.2.3节。一般来讲，单位体积内的电磁场能量是
2200(/2)(1/2).u
E B εμ=+
对于电磁波，电场和磁场的贡献相等，因此
22
2000cos ().u E E t εεω== 一个周期上的平均值是2
2/E ）（ε，因为2cos 或者2sin 的平均值是1/2。 11
方程9.39假设了不同频率的微扰是彼此独立的， 因此总跃迁几率应是各个跃迁几率之和。如果不同的分量是相干
的（相位相关），这时我们应该对振幅(())b c t 求和，而不是几率))((2t c b ，这时将有交叉项出现。应用中我们将总是考虑非相干微扰。
作变量变换：2/)(0t x ωω-≡，并把积分上下限扩展为±∞≡x （这并不影响积分值，因为在扩展区的积分基本为零），由定积分公式
22
sin x
x π∞
∞=?－ [9.41] 我们得到
2
02
0()().b a P t t πρωε→?
R
[9.42] 这时跃迁几率和时间t 成正比。当把非相干系列频率作用到体系上时，单色光微扰时的奇异“跃进”
现象特征消失了。尤其是跃迁速率（/R dP dt ≡）现在是常量： 2
02
0()().b a R t πρωε→=
R
[9.43]
到现在为止，我们假设微扰波只从y 方向入射，且电场方向沿z 方向。但是我们对入射光来自所有方向，这样电场方向也沿所有方向的情况更感兴趣；设不同方向的入射光对场的能量（）（ωρ）
的贡献相同。我们需要做的是用2?n
?R 的平均值来替代2
R ，这里：
b a q
ψψ≡r R [9.44]
（是方程9.33的推广），平均值是对所有的极化和入射方向求平均。
上述平均值可由下法求出：选择球坐标系使z 轴沿波的传播方向（因此极化在xy 平面），矢量
（固定的）R 位于yz 平面内（图9.5）：12
j i n ?sin ?cos ?φφ+= ??
sin cos j k θθ=+R R R [9.45] 则有
?sin sin ,n
θφ?=R R 以及
2
2
22avr 1
?sin sin sin 4n
d d θφθθφπ?=?
R R
2
2232
00
1sin sin .43
d d π
πθθφφπ
=
=??R
R [9.46] 结论：在从所有方向入射的非相干，非极化光的作用下，从b 态到a 态受激发射的跃迁速率是：
2
02
0()3b a R t π
ρωε→=
（）,R [9.47]
这里R 是电偶极矩在两个态之间的矩阵元（9.44式），0()ρω是 /0）＝（a b E E -ω处单位频率间隔
内场的能态密度13
。
12
一般来说R 将是复数，但这里我它作为实数处理。因为
2222
?????Re()Im()Re()Im()n n i n n n ??+?=?+?＝R R R R R
我们可以分别计算实部和虚部，然后把两者相加。9.47式中的绝对值符号有双重含义，表示矢量大小和复数的模：
2
222.x y z ++＝R R R R
13
这是费米黄金规则在含时微扰理论时的特殊情况，这个规则指出跃迁速率与微扰势的矩阵元平方成正比，与跃迁频率下的微扰强度成正比。
图9.5 对2
?n
?R 做平均时的轴。
9.3 自发发射
9.3.1 爱因斯坦发射与吸收系数
设有一个装有原子的容器，处在低能态a ψ的粒子数为a N ；处在高能态b ψ的粒子数为b N .设A 是自发发射速率14
，所以由于自发发射，单位时间内离开高能态的粒子数是b N A 15
。我们已经知道（9.47
式），受激发射的跃迁速率与电磁场能量密度成正：)(0ωρba B ；由于受激发射，单位时间内离开高能态的粒子数是0()b ba N B ρω。吸收速率同样地与）（0ωρ正比，称它为)(0ωρab B ；所以单位时间内由低能态跃迁到高能态的粒子数为0()a ab N B ρω。这样我们有关系：
00()().b
b b ba a ab dN N A N B N B dt
ρωρω=--+ [9.48] 假设这些原子与周围的场处于热平衡，所以每一能级上的粒子数都是常数。在这种情况下/0b dN dt =，由此得出：
0().(/)a b ab ba
A
N N B B ρω=
- [9.49]
另一方面，由统计力学16
我们知道当处于温度为T 的热平衡时，能量为E 粒子的数目与波尔兹曼因子，)/exp(T k E B -，成正比，所以
0///,a B B b B E k t k t a E k t b N e e N e
ω--== [9.50] 这样有
00/().B k t ab ba
A
e B B ωρω=
- [9.51]
但是普朗克黑体辐射公式（5.113式）告诉我们热辐射的能量密度为：
3
/23().1
B
k t
c e ωωρωπ=- [9.52]
14 ）
（14通常我喜欢用R 表示跃迁速率，在这本书中没有遵照每个人都遵循的Einstein 标注：der Alte.
15假设a N 和b N 都非常大，因此我们可以忽略统计上的波动而把它们当作时间的连续函数.
比较两个表达式，我们得到
ba ab B B = [9.53] 和
3023.ba A B c
ωπ=
[9.54]
9.53式证实了我们已经知道的关系：受激发射的跃迁速率和吸收是相等的。但是在1917年这却是个令人震惊的结果，爱因斯坦为了得到普朗克公式被迫 “发明”受激发射。然而，当前我们要注意的是方程9.54，因为它告诉我们根据已经知道的受激发射速率（)(0ωρba B ）可以得到自发发射速率（A ）—这是我们所期望的。有9.47式我们得出 2
2
0,3ba B π
ε= R [9.55]
从而自发发射速率为：
2
3
03
0.3A c
ωπε= R [9.56]
习题9.8 作为向下的跃迁机制，自发发射和热激发发射（对于黑体辐射来讲受激发射就是辐射源）
存在竞争。证明在室温时（300K T =）当频率在12
105?Hz 以下时，热激发占主导地位，而当频率
在12
105?Hz 以上时，自发发射占主导地位。对于可见光，哪一种发射机制占主导地位？
习题9.9 如果知道了电磁场的基态能量密度）（ωρ0，你无需借助爱因斯坦A 和B 系数就可以得出自发发射速率（9.56式），因为此时就是简单的受激发射（9.47式）。真正要推导需用到量子电动力学；但是如果你能相信基态是由每个模上有一个光子组成的，那么推导将非常简单：
（a ） 在5.111式中令k d N ＝ω，推导出）
（ωρ0（也许这个公式在高频失效，否则总的“真空能”将是无限大的…但是这是另一天的故事。）
（b ） 用你的结果和9.47式求自发发射速率，并和9.56式比较。
9.3.2 激发态寿命
方程9.56是我们的基本结果；它给出了自发发射时的跃迁速率。假设现在你对激发态注入大量粒子。由于自发发射，激发态上的粒子数量将随时间增加而减少；具体来讲，在时间间隔dt 内，减少的粒子数为：
,b b dN AN dt =- [9.57] (假定没有途径补充粒子)17
。求解)(t N b ，我们得到
()(0);At b b N t N e -= [9.58] 明显，处在激发态的粒子数目将指数减少，时间常数为
1.A
τ= [9.59]
我们称它为态的寿命?技术上讲，它是)(t N b 减少到初始值的368.0/1≈e 时所需要的时间。
我一直假设体系只有两个态，但这只是为了标记简单?方程9.56给出了从b ψ到a ψ的跃迁，而没有考虑其它的可以跃迁的态（参见习题9.15）。通常，一个激发原子可有许多衰变模（即：b ψ可以衰变到许多不同的低能态，1a ψ，2a ψ，3a ψ……）。在这种情况下，跃迁速率相加，最终的寿命是
17
这种情况不会和我们在前面章节已经考虑的热平衡情况混淆。这里假设原子已经偏离了平衡，处在一个连续的回到
1231
.A A A τ=+++
[9.60]
例题9.1 假设弹簧的一端固定一个电荷q ，电荷沿x 轴方向振荡。设初始态为n （2.61式），通过自发发射衰变到n '态。由方程9.44我们有
q n x n i '
＝R 在习题3.33中，我们计算过x 的矩阵元： )(21,1,-'-'+'=
'n n n n n n m n x n δδω
其中ω是振子的固有频率。（我不再需要用这个字母来表示受激辐射的频率了）因为我们这里讨论的是发射，因此n '应该比n 低；对我们的目的，有
,1.n n i '-= R = [9.61] 很明显，只有'
1n n =-时才能发生跃迁，发射光子的频率为 0(1/2)(1/2)().n n E E n n n n ωω
ωωω''-+-+'==-=
＝
[9.62] 一点也不奇怪，体系以经典振子的频率辐射。跃迁速率（9.56式）是
22
3
0.6nq A mc ωπε= [6.63]
第n 阶定态的寿命是
3
022
6.n mc nq πετω
= [9.64] 同时，每一个辐射的光子携带能量ω ，因此辐射源功率是ω A ：
22
3
0,6q P n mc ωωπε=
或者，因为处在第n 阶态的振子能量是ω )2/1(+=n E ，所以有
223
01
().62
q P E mc ωωπε=- [9.65] 这就是一个具有（初始）能量E 的量子振子的平均辐射功率。
作为比较，让我们把具有相同能量的经典振子的平均辐射功率写出。根据经典电动力学，带电
量为q 的粒子在加速运动时辐射功率由拉莫尔（Larmor ）公式18
给出：
22
3
0.6q a P c
πε= [9.66] 对于振幅为0x 的谐振子，)cos()(0t x t x ω=，加速度为20cos()a x t ωω=-。一个周期上的平均值为
22403
0.12q x P c ω
πε=
但是振子的能量为2022/1x m E ω）＝（，因此22
0/2ωm E x =，所以有
243
0.6q P E mc
ωπε= [9.67] 这就是能量为E 的经典振子的平均辐射功率。在经典极限下（0→ ）经典公式和量子公式一致19
；
18例如：参见Griffiths(脚标10)，11.2.1节
不过，量子公式（9.65式）防止了基态辐射：如果ω ）＝（2/1E ，振子不辐射。
习题 9.10 激发态的半寿命（1/2t ）是在很大样本中半数原子跃迁到低能态所需要的时间。求1/2t 与寿命τ之间的关系。
***习题9.11 计算氢原子2n =时，四个态的寿命（以秒为单位）
。提示：你需要计算以下形式的矩
阵元，200100ψψx ，211100ψψy ，等。记住：φθcos sin r x =,φθsin sin r y =,θcos r z =。这些积分大多数为零，因此在计算之前推敲一下。答案：9
1060.1－?秒除了200ψ态，200ψ态的寿命
是无限的。
9.3.3 选择定则
计算自发发射速率归结为计算矩阵元
b a ψψr
如果你已经做了习题9.11（没做的话，赶快作一下），你会发现：这些量常常为零，知道什么情况下它们为零是很有帮助的，那样我们不必浪费太多的时间来计算那些不必要的积分。假设我们对像氢这样的体系感兴趣，其哈密顿量是球对称的。在这种情况下我们可以用量子数,,n l m 来标记态，矩阵元是
.n l m nlm '''r
巧妙运用角动量对易关系和角动量算符的厄米性会对这些量产生一些很强的限制。
有关m 和m '的选择定则：首先考虑我们已经在第四章得出的z L 和x , y , z 的对易关系（4.122式）：
[,],z L x i y = [,],z L y i x =- [,]0.z L z = [9.68] 由第三个对易关系可以得到
nlm z L m l n z ],[0'''＝＝nlm zL z L m l n z z -'''
＝nlm m z z m m l n )]()[( -''''＝nlm z m l n m m '''-' )( 结论：
要么,m m '= 要么0.n l m z nlm '''= [9.69] 因此除非m m ='，否则z 的矩阵元总是等零。
同样的，从z L 与x 的对易关系中我们得到
nlm x L m l n z ],['''=nlm xL x L m l n z z -'''
=nlm x m l n m m '''-' )(=.i n l m y nlm '''
结论：
nlm x m l n m m '''-')(＝.i n l m y nlm ''' [9.70] 因此你无需计算y 的矩阵元，它们可以从相对应的x 矩阵元得到。
最后，z L 和y 的对易关系是
nlm y L m l n z ],['''＝nlm yL y L m l n z z -'''
＝nlm y m l n m m '''-' )(＝.i n l m x nlm '''-
结论：
nlm y m l n m m '''-')(＝.i n l m x nlm '''- [9.71] 特别地，联立9.70和9.71 nlm x m l n m m '''-'2
)(＝nlm y m l n m m i '''-'）（＝,n l m x nlm '''
因此有：
要么1)(2=-'m m 要么nlm x m l n '''＝0='''nlm y m l n [9.72]
从方程9.69和方程9.72中我们得到关于m 的跃迁选择定则：
[9.73]
这个结果很容易理解，如果你记得光子的自旋为1，因此它的m 值是1,
0, 1-20
，角动量（z 分量）守恒要求原子失去的等于光子获得的角动量。
有关l 和l '的选择定则：在习题9.12中你需要推导如下对易关系
22222
,[,]2().L L L L ??=+??
r r r [9.74] 同前一样，我们把上式放在m l n '''和nlm 之间来推导选择定则： 2
2
[,[,]]n l m L L nlm '''r ＝2
222n l m L L nlm '''+r r
＝)]1()1([24+''++l l l l n l m nlm '''r ＝2222
[[,][,]]n l m L L L L nlm '''-r r
＝)]1()1([2++''l l l l － 2
[,]n l m L nlm '''r ＝)]1()1([2++''l l l l － 22
]n l m L L nlm '''-r r ＝2
4)]1()1([++''l l l l － .n l m nlm '''r [9.75]
结论：
要么)]1()1([2+''++l l l l ＝2
)]1()1([++''l l l l － 要么 0＝nlm r m l n
''' [9.76]
但是
[(1)(1)](1)()l l l l l l l l ''''++=++-－
1)()1()]1()1([22
2－l l l l l l l l -'+++'=+''++ 方程9.76中第一个条件可写为如下形式：
22
[11][()1]0.l l l l ''++---=（） [9.77] 第一个因子不可能为零（除非0=='l l —这个漏洞在习题9.13将补上），所以方程成立的条件为1±='l l ，因此我们得到l 的选择定则：
[9.78]
这个结果也很容易理解：光子自旋为1，因此角动量的叠加规律只允许1, , 1l l l l l l '''=+==-（虽然l l ='满足角动量守恒，但对于电偶极辐射，l l ='情况不会发生）。
很显然，并不是所有向低能态跃迁的自发发射都能发生；有一些是被选择定则所禁戒的。图9.6
20
当极轴沿传播方向时，中间值不会发生，如果你只对线性独立光子态的数量感兴趣，那么答案是2，而不是3。然而，
给出了氢原子前四个玻尔能级间的允许跃迁。注意2S 态（200ψ）是稳固态，它不可能衰变，因为没有更低的1=l 态。它称为亚稳态，它的寿命比, 例如2P 态（（121210211－，，ψψψ））要长的多。当然，亚稳态最终也会由于碰撞，禁戒跃迁（习题9。21），或多光子发射而衰变。
图9.6 氢原子前四个波尔能级允许的衰变。
*习题9.12 证明方程9.74的对易关系.提示：首先证明 2
[,]2().y X L z i xL yL i z =-- 利用这个式子和()0?=??=r L r r p 证明
2
2
2
2
2
[,[,]]2().L L z zL L z =+ 从z 到r 的推广很简单。
习题 9.13 弥补方程9.78的“漏洞”，证明如果0=='l l ，则0n l m nlm '''=r 。
习题 9.14 氢原子处在3n =, 0=l ,0m =态的电子通过一系列跃迁（电偶极矩）向基态衰变。 （a ）衰变的路径有那些？按照下列方法具体写出每条路径： 300100.nlm n l m '''→→→→
（b ）如果你有许多处在300态的原子，通过每条路径衰变的百分比是多少？
（c ）300态的寿命是多少？提示：一旦开始第一次跃迁，它将不在处在300态，因此在计算寿命时仅需考虑每个跃迁路径的第一步。当有多个衰变路径时，把跃迁速率相加。
第九章补充习题
**习题 9.15 从推广方程9.1和9.2开始，给出多能级体系的含时微扰理论：
0,n n n H E ψψ= .n m nm ψψδ= [9.79] 在时间0=t 时我们开始加上微扰)(t H '，因此总的哈密顿是
0().H H H t '=+ [9.80]
(a) 推广方程9.6为
/()(),n iE t n
n
t c t e
ψ-ψ=∑
[9.81]
并证明
()/,m n i E E t m n mn n
i
c
c H e -'=-∑ [9.82] 其中
.mn m n H H ψψ''≡ [9.83]
(b) 如果体系开始时处在N ψ态，证明（在一级微扰理论中）
0()1().t
N NN i c t H t dt '''?-?
[9.84] 及
()/0(),m N t i E E t m mN i c t H e dt '-''?-
?
N m ≠ [9.85] (c) 例如，假设H '是一个常量（在0=t 时加上，经过一段时间t 后在去掉），作为时间t 的函数，求出从N 态到M 态的跃迁几率（N M ≠）。答案：
2
22
sin [()/2]4.()
N M MN N M E E t H E E -'- [9.86] (d) 现在假设H '是t 的正弦函数：)cos(t V H ω='。做通常的假设，证明只能向ω ±=N M E E 的
能级跃迁，跃迁几率是
22
2
sin [()/2]
.()N M N M MN
N M E E t P V E E ωω→-±=-± [9.87]
(e) 假设一个多能级体系处在非相干电磁辐射中。参考9.2.3节，证明受激发射跃迁几率由与两能级
体系的受激发射几率一样的公式给出（9.47式）。
习题 9.16 对习题9.15中的（c ）和（d ）例子，计算一级近似下的)(t c m 。验证归一化条件：
2
()1,m m
c t =∑ [9.88]
并且讨论一下偏差。假设你想计算仍然处在初始态N ψ的几率, 用2
)(t c N 或者2
1()m m N
c t ≠-
∑
那个更
好一些？
习题 9.17 一个粒子开始时处在无限深方势阱的第N 阶态。现在势阱的底部暂时上升（可能是水漏在里面，然后再排干），因此里面是含时的均匀势：)(0t V ，0)()0(00==T V V (a) 用方程9.82严格求解)(t c m ，并证明波函数的位相发生了改变， 但是没有跃迁发生。用)(0t V ，表示出位相的变化)(T φ。
(b) 用一阶微扰理论重做，并比较结果。
注：这与无限方势阱没关系，当势能增加一个常量（对x 而言，不是对t ），我们会得到同样的结果。与习题1.8比较一下。
*习题9.18 质量为m 的一个粒子在（一维）无限深方势阱中，开始时处在基态。在时间0=t 时把一块“砖”丢到阱中，因此势变成
0, 0/2()0, /2, V x a V x a x a ≤≤??
=≤≤??∞?
如果，如果，其它地方，
其中10E V <<。经过时间T 后，砖被移走，测量粒子的能量。求得到2E 的几率（在一级微扰理论中）。
习题 9.19 我们已经遇到了受激发射，（受激）吸收和自发发射。为什么没有自发吸收？
***习题 9.20 磁共振。一个静止在稳恒磁场k
B ?0中的自旋1/2粒子，其回转磁比率为 γ，以拉莫频率00B γω=进动（例题 4.3）。现在我们施加一个很小的横向的射频（rf ）场，
rf ??[cos()sin()]B t i t j ωω-，因此总场是
0??[cos()sin()].rf B t i
t j B k ωω=-+B [9.89] (a) 构造这个体系的（22?）哈密顿矩阵（4.158式）
(b) 如果????
??=)()()(t b t a t χ是t 时刻的自旋态，证明 0();2i t i a e b a ωω=Ω+ 0(),2
i t i b e a b ωω-=Ω- [9.90] 式中rf B γΩ≡和rf 场的强度有关
(c) 根据它们的初始值0a 和0b ，求)(t a 和)(t b 的一般解。答案：
2/0000)2/sin(])([)2/cos()(t i e t b a i t a t a ωωωωωω???
???'Ω+-'+'= 2/0000)2/sin(])([)2/cos()(t i e t a b i t b t b ωωωωωω-?
??
???'Ω+-'+'=
式中
ω'≡
[9.91]
(d) 如果粒子开始时自旋向上，（即0,100==b a ），作为时间的函数, 求向自旋向下态的跃迁几率，。答案：{}
)2/(sin ])/[()(22202t t P ωωω'Ω+-Ω=。 (e) 作为驱动频率ω的函数，画出共振曲线（Ω,0ω固定）
2
22
0().()P ωωωΩ=-+Ω [9.92]
注意在0ωω=时函数有最大值，求“半峰全宽” ω?。
(f) 因为00B γω=，我们可以用在实验上观察到的共振来得到粒子的磁偶极矩。在核磁共振（nmr ）
实验可以测量质子的g 因子，用10.000高斯的静场和振幅为0.01高斯的rf 场。共振频率是多少？（质子的磁矩可参考6.5节）。求出共振曲线的宽度。（答案用Hz 表示）
***习题 9.21 在方程9.31中假设了原子很小（和光波波长相比）以至于场的空间变化可以忽略。
真正的电场是
0(,)cos().t t ω=?-E r E k r [9.93] 如果原子位于原点，则在相关体积中1?< []0(,)cos()()sin().t t t ωω=+?E r E k r [9.94] 第一项给出了我们在前文中考虑的允许（电偶极矩）跃迁；而第二项导致了所谓的禁戒（磁偶极和电 四极矩）跃迁（高阶?k r 甚至会产生更多的禁戒跃迁，这种跃迁与高阶多极矩相联系）21 (a) 求禁戒跃迁的自发发射速率（不要被极化和传播方向的平均所烦扰，尽管这对完成计算是必须的）。答案： 25 25 0?()().b a q P a n b c ωπε→=??r k r [9.95] (b)证明对于一维谐振子从n 到2-n 是禁戒跃迁，跃迁速率（适当地对n ?和k ?求平均）是 21 对于一个系统的处理方法（包括磁场）参见David Park, 量子力学导论，3th ed . (McGraw-Hill, New York,1992), 第 2325 0(1) .15q n n R m c ωπε-= [9.96] (注意：这里ω是光子的频率而不是谐振子的频率)，求出“禁戒”跃迁速率与“允许”跃迁速率的比值，并评论术语“禁戒”和“允许”。 (c) 证明氢原子中21S S →的跃迁，即使是禁戒跃迁也是不可能的。（由此得出，所有的高阶多极矩 跃迁也是不可能的；事实上占支配地位的衰变是两光子发射，寿命大约是10/1秒。22 ） ***习题9.22证明氢从l n ,到l n '',跃迁的自发发射速率（9.56式）是 232301 , 121 3, 121l l l e I l l c l l l ωπε+?'=+??+???'=-?-? 如果， 如果， [9.97] 式中 30 ()().nl n l I r R r R r dr ∞ ''≡ ? [9.98] （开始时原子具有确定的值m ，可以到任意的态m '，只要满足选择定则：1,,1-+='m m m m 。注意答案不依赖于m ）。提示：首先对1+='l l 情况计算在nlm 和m l n '''之间的所有非零矩阵元，由这些可计算 2 2 2 ,1,1,1,,1,1.n l m nlm n l m nlm n l m nlm '''++++++-r r r 然后对1-='l l 做同样的计算。 第十一章：量子跃迁 [1] 具有电荷q 的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射光能量密为)(ωρ，波长较长，求： （1）跃迁选择定则。 （2）设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。 （解）本题是一维运动，可以假设电磁场力的方向与振动方向一致。 （1）跃迁选择定则： 为确定谐振子在光照射下的跃迁选择定则，先计算跃迁速率，因为是随时间作交变的微扰，可以用专门的公式（12）（§11.4，P396） )(34/ /'2 22 2 k k k k k k r q W ωρπ→ = （1） 式中2 ' → k k r 应理解为谐振子的矢径的矩阵元的平方和，但在一维谐振子情形，→ k k r / 仅有一项 2 /k k x )(34/ /'2 22 2 k k k k k k x q W ωρπ = （2） 根据谐振子的无微扰能量本征函数来计算这矩阵元 dx x k k k ? ∞ ∞ -= ) 0(' /ψ （3） 式中)(2 )(!)0(ax H k a x k k k πψ = ， μω= a ~446~ 要展开（3）式，可以利用谐振子定态波函数的递推公式： }2 12 { 1 )0(1 )0(1 )0(+-++ = k k k k k x ψ ψ α ψ （4） 代入（3），利用波函数的正交归一化关系： mn n x n dx δψ ψ =?)0(* )0( dx k k x k k k k k ? ∞ ∞ -+-++ ? = }2 12 { 1 )0(1 )0(1 *)0(' 'ψ ψ α ψ 1 ,1 ,' ' 2 112 1+-++ = k k k k k k δα δα （5） 由此知道，对指定的初态k 来说，要使矢径矩阵元（即偶极矩阵元）不为零，末态'k 和初态k 的关系必需是： ,1' -=k k 这时2 1,1' k k x x k k k α= =- （6） ,1' +=k k 这时2 11 ,1'+= =+k k x x k k k α 因得结论：一维谐振子跃迁的选择定则是：初态末态的量子数差数是1。 （2）每秒钟从基态0=k 跃迁到第一激发态的几率可以从（2）式和（7）式得到： )()2 11( 34102 2 2 210ωρα π q W = )(321010 2 2 2 ωρμωπ q = ~447~ [2]设有一带电q 的粒子，质量为μ，在宽度为a 的一维无限深势阱中运动，它在入射光照射下发生跃迁，波长a >>λ。 （1）求跃迁的选择定则。 （2）设粒子原来处于基态，求跃迁速率公式。 （解）本题亦是一维运动，并且亦是周期性微扰，故可用前题类似方法。 （1）跃迁选择定则： 按第三章§3.1一维无限深势阱定态波函数是：（原点取在势阱左端） a x k a x k πψsin 2)(= （1） 根据此式计算矩阵元： dx a x k x a x k a x a x k k ππsin sin 2 ' '??= ?= dx a x k k a x k k x a a x ?=+--= ' ' ])(cos )([cos 1 ππ 利用不定积分公式： 2 cos sin cos p px x p px pxdx x x + ?= ? (2) 第十章 绝热近似 10.1 绝热定理 10.1.1 绝热过程 设想一个没有摩擦和空气阻力的理想单摆在竖直平面上来回振荡。如果你握住它的支撑体并且急剧移动它，摆将混乱的摇动。但是如果你轻轻稳稳地移动支撑体（图10.1），摆将在同一个平面（或者平行平面）平滑的连续移动，并且振幅不变。这种外部条件缓慢变化的过程定义为绝热过程。注意到，这里涉及到两个特征时间：i T ，“内部“时间，代表系统自身地运动（在此时情况下i T 是摆的振荡周期）；和e T ， “外部”时间，表示系统参数明显变化所需的时间（例如：如果把摆安放在振动的平台上，那么e T 将是平台的振动周期）。绝热过程要求e i T T >>。1 分析一个绝热过程的基本方法是先把外部参数视为常量求解问题，仅在计算的最后时才允许它们随时间缓慢地变化。例如：固定长度为L 的摆的经典周期是g L /2π；如果现在长度逐渐变化，周期大体可写成g t L /2）（π。一个更微妙复杂的例子是我们讨论过的氢分子离子（7.3节）。我们先假设核固定不动，相距为R ，然后求电子的运动。一旦我们得到作为R 的函数的体系基态能量，我们就可以确定平衡位置并根据图的曲率得到原子核的振动频率（习题7.10）。在分子物理里学里这种方法（首先固定原子核的位置，计算电子波函数，然后用这些去获得原子核的位置和运动（相对缓慢的）信息）称为玻恩－奥本海默近似。 在量子力学中，绝热近似最基本的内容可以表述为如下定理。假设哈密顿量由初值i H 逐渐变化到终值f H 。绝热定理指出：如果粒子开始时处在i H 的第n 阶本征态，它将演化f H 的第n 阶本征态（演化按薛定鄂方程）。（我将假设从i H 到f H 的演化过程中谱是分立的并且不简并，这样态的次序不会混淆；有合适的方法“跟踪”本征函数时，这些条件可以放宽，但这里我不打算讨论这个。） 图10.1 绝热运动:如果箱子移动得非常缓慢,里面的摆将在与原来平面平行的平面振动,并且振幅保持不变 1 一个有关经典绝热过程的有趣讨论可参见Frank S.Crawford,Am.J.Phys.58,337(1990)。 德布罗意（1892～1987）de Broglie，Louis Victor： 法国物理学家，提出物质具有波粒二象性，因发现 电子波动性而获1929年诺贝尔物理学奖。 由于Planck和Einstein关于光的微粒性理论取得成功，又由于在建立描述微观粒子运动规律的理论中遭到困难，De Broglie 在光具有波粒二象性的启发下，于1924年提出了微观实物粒子 也具有波粒二象性的假设。 De Broglie 把粒子和波通过下面的关系联系：自由粒子的 能量E 和动量P v 与平面波的频率ν和波长λ之间的关系正像光 子和光波的关系一样，即： ω =ν=h h E k n h p v h r v =λ = —De s Broglie 'formula or relation 二、德布罗意波 1.De Broglie 波的提出 1924年11月27日，英国《哲学杂志》9月号刊载了一位不知名的物理学家路易·维克托·德布罗意的文章。名为《关于量子理论的研究》（博士论文）。此文阐述了有关物质波可能存在的主要观点。 物质波不是通常的波，物质波产生于任何运动的物体，正如电磁波一样，物质波也能在绝对的真空中传播，因此它不是机械波；另一方面，它们却产生于所有的物体—包括不带电的物体的运动，因此它也不是电磁波。它是一种“客观实在”。2.德布罗意波公式（平面波） 自由粒子的能量和动量都是常量，所以由德布罗意关系式知与自由粒子联系的频率为ν和波长λ都是不变的（即平面波）。 我们知道频率为ν，波长为λ，沿x 方向传播的平面波可 以用下面的公式表示，即： ])t x (2cos[a δ?ν?λπ=Ψ其中δ为平面波的初相。 如果波沿单位矢量n v 的方向传播，则又可写为： ])t n r (2cos[a δ?ν?λ?π=Ψv v ] t r k cos[a δ?ω??=v v 其中利用了n 2k v v λπ=，πν=ω2。将此式写成复数形式（当只取实部时就是上式），有： )Et r p (i )t r k (i Ae ae ??δ?ω??==Ψv v h v v 第十一章 散射 11.1 引言 11.1.1 经典散射理论 设想单个粒子入射到某一散射中心（比如说，一个质子撞击一个重原子核）。其入射能量为E ，碰撞参数为b ，以散射角θ出射?如图11.1所示（为了简单起见，假定靶在方位角方向是对称的，那么轨道将在一个平面上，并且靶很重，反冲可以忽略）。经典散射理论的基本问题是给定碰撞参数，计算散射角。一般来说，碰撞参数越小，散射角越大。 图11.1：经典散射问题，碰撞参数为b ，散射角为θ。 图11.2：弹性刚球散射。 例题11.1 刚球散射。假定靶是一个半径为R 的刚球，入射粒子被它弹性散射（如图11.2所示）。用α表示，碰撞参数为sin b R α=，散射角为2θπα=-，所以， sin cos 222b R R πθθ???? =-= ? ????? [11.1] 显然， ()12cos ,if , 0, if .b R b R b R θ-?≤=?≥? [11.2] 一般地，入射到横截面面积为d σ的无穷小面元内的粒子将被散射到相应的无穷小立体角d Ω内（如图11.3所示）。若d σ越大，d Ω将越大；比例系数，()/D d d θσ≡Ω，称为微分（散射）截面： 1 图11.3：入射到面积d σ内的粒子被散射到立体角d Ω内。 [11.3] 利用碰撞参数和方位角φ，d bdbd σφ=，sin d d d θθφΩ=，所以， ()θ θθd db b D sin = [11.4] (由于θ通常是关于b 的减函数，导数实际上是负的—所以要加上绝对值符号。) 例题11.2 刚球散射（续上例）。对刚球散射（例11.1）， ?? ? ??-=2sin 21θθR d db [11.5] 从而， 1 这是很不恰当的用语：D 不是微分，它也不是截面。就我所知，用d σ代表名词“微分截面”更为恰当。 但是恐怕我们还得使用这个术语。我也想提醒你们注意记号D (θ)是不标准的：大多数人把它称为/d d σΩ —这使得等式11.3看起来像是同义反复。我认为如果我们单独用一个符号来代表微分截面的话，它将会带来较少的混淆。 济南大学学年第学期试卷( 卷) 课程量子力学授课教师 考试时间考试班级 姓名学号 一、（10分） 设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动 () () ()? ? ? < < > < ∞ = a x a x x x V ,0 试用de Broglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。 二、（10分） 设一个质量为m的粒子束沿正x方向以能量E向x = 0处的势垒运动 () () ()?? ? ? ? > ≤ = 4 3 x E x x V 试用量子力学的观点回答：在x = 0处被反射的反射系数是多少？三、（20分） 1、在坐标表象中写出一维量子体系的坐标算符q?和动量算符p?，并推导其间的对易关系。 2、在动量表象中做1所要求做的问题。 四、（20分） 设一个微观粒子在球对称的中心势场()r V中运动，且处于一个能量和轨道角动量的共同本征态。 1、在球坐标系中写出能量本征态波函数的基本形式，写出势能()r V在此态中平均值〈V〉的表达式，并最后表示成径向积分的形式。 2、设V(r)为r的单调上升函数（即对任意r,0 > dr dV ）。试证明：对任意给定的r0，均有 () []()0 2 2< - ?dr r r R V r V ro o ， 其中R(r)是径向波函 五、（20分） 设一个质量为m的微观粒子的哈密顿量不显含时间，试证明：在能量表象中有 () m h X E E nm n m n2 2 2= - ∑ 其中E为能量，x为坐标。 六、（20分） 设一微观体系的哈密顿H=H 0+H ‘ ，其中H ’ 为微扰。在一个由正交归一函数作为基的表象中。 ????? ??-=2000200010H ???? ? ??=c c c H 000000' 其中c 为常数 1、求H 的精确本征值 2、求H 的准确到微扰的二级修正的本征值 3、比较1和2的结果，指出其间关系。 第十章：散射问题 [1]用玻恩近似法，求在下列势场中的散射微分截面： （1） a r a r V r V >a (3) r e r V ar -=β )( )0(>a (4) ar e V r V -=0)( )0(>a (5) 2 )(r a r V = (解) （1）先列出玻恩近似法的基本公式。根据理论，如果散射粒子所在的势场是)(r V 。粒子质量是μ，粒子的波数是k （因是弹性散射，在散射前后都用此文字表示，它与能量E 的关系是2 2 2 E k μ= ）散射角度是θ，而)(θq 表示以下参数： 2 sin 2)(θ θk q = （1） 则与散射方向θ对应的散射振幅用下述一维定积分计算 ? ∞ ??-= 2 sin )(2)(dr r qr r V q f μθ （2） 是为玻恩的散射振幅公式一般适用于高能量散射，若)()(0a r V r V <-= 代入（2）： ? ??= a dr r qr q V f 0 2 0sin 2)( μθ 利用积分公式 qx q x qx q qxdx x cos sin 1sin 2 - = ? 于前一式，注意上下限为a 和0。 )c o s s i n (2)(2 20q qa a q qa q V f --= μθ （3） 微分截面： 2 2 2 4 2 022 )c o s s i n ( 4) ()(q qa a q qa q V f - = = μθθσ ~400~ 第十一章：量子跃迁 [1] 具有电荷q 的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射光能量密为)(ωρ，波长较长，求： （1）跃迁选择定则。 （2）设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。 （解）本题是一维运动，可以假设电磁场力的方向与振动方向一致。 （1）跃迁选择定则： 为确定谐振子在光照射下的跃迁选择定则，先计算跃迁速率，因为是随时间作交变的微扰，可以用专门的公式（12）（§11.4，P396） )(34/ /'2 22 2 k k k k k k r q W ωρπ→ = （1） 式中2 ' → k k r 应理解为谐振子的矢径的矩阵元的平方和，但在一维谐振子情形，→ k k r / 仅有一项 2 /k k x )(34/ /'2 22 2 k k k k k k x q W ωρπ = （2） 根据谐振子的无微扰能量本征函数来计算这矩阵元 dx x k k k ? ∞ ∞ -= ) 0(' /ψ （3） 式中)(2 )(!) 0(ax H k a x k k k πψ= ， μω= a ~446~ 要展开（3）式，可以利用谐振子定态波函数的递推公式： }2 12 { 1 )0(1 )0(1 )0(+-++ = k k k k k x ψ ψ α ψ （4） 代入（3），利用波函数的正交归一化关系： mn n x n dx δψ ψ =?)0(* )0( 第十章 微扰论与变分法 10-1 假定类氢原子的核不是点电荷，而是半径为)10~(1200cm r r -均匀带电小球，试计算类氢原子基态的能量一级修正。 10-2 一维势阱的宽度为a ，其势能函数为?????????<<≤≤≤≤><∞=)434 ()43,40(0),0()(a x a k a x a a x a x x x U ，其中k 为常数，把此势阱中的粒子看成是受到微扰的关在盒子中的粒子，求其能量和波函数的一级近似。 10-3 一个电荷为e 的线性谐振子，处于均匀的弱电场ε 中，设ε 沿x 的正方向：（1）求体系的能量的二级近似值； （2）求波函数的一级近似。 10-4 设体系未受微扰作用时仅有两个能级：)0(2)0(1E E 及，现在受到微扰'?H 的作用，微扰矩阵元为,,'22'11'21'12b H H a H H ====a 、b 都是实数，用微扰公式求能量至二级修正值。 10-5 一维非线性谐振子的势能为4322 1)(dx cx kx x U ++= ，若把非谐振项看作微扰，试求基态和第一激发态能量的一级修正。 10-6 一刚性平面转子，转动惯量为I ，电偶极矩为D ，处在均匀弱电场ε 中，电场在转子转动平面上，试求能量到 二级修正。 10-7 把正常塞曼效应中磁场引起的附加项看作微扰，试计算碱金属原子能级E n l 的一级修正。 10-8 耦合谐振子的哈密顿算符为∑=-+=2121222)212?(?i i i x x x m m p H λξ，其中λ为常数。试用微扰法求其第一激发态能量的一级修正。 10-9 在类氢原子中，电子与原子核的库仑作用能为r ze r U s 2)(-=，当原子核的电荷增加e 时，库仑能增加r e H s 2' ?-=，试用微扰法计算它引起的能量一级修正，并与严格解比较。 10-10 设电子受到晶格的一维周期势U （x ）作用，a x U x U x H π2cos )()(?0'==，其中a 为晶格常数，可将U （x ）看作微扰，无微扰时，电子是自由的，波函数为)/(21)( t E kx i k e L x --=ψ，m k E k 2/22 =，Na L =是间距为a 的N 个离子的晶格长度。试求能量的一级修正。 第十一章 量子跃迁 11-1电荷为e 的谐振子，在时间t=0时处于基态，t>0时，处于τεε/0t e -=的电场中（τ为常数），求谐振子处于第一激发态的几率。 11-2 一粒子具有电荷为e ，在宽度为a 的无限深势阱中运动，原来处于基态，在光波照耀下激发跃迁。求其跃迁几率，和跃迁选择定则。 11-3 设在时刻t=0时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为t ωεsin 0，0ε与ω均为常数，电离后电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻t 跃迁到电离态的几率。 11-4 求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。 11-5 基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即?? ?>≥≤=-) 0(0,0,0/τεετ时当时当t e t t ，求经过长时间后氢原子处在2p 态的几率。 11-6 具有电荷q 的离子，在其平衡位置附近作一维简谐运动，在光的照射下发生跃迁。设入射光能量密度（单位频率）为)(ερ，波长较长。若离子原来处于基态，求每秒钟跃迁到第一激发态的几率。 11-7 计算氢原子由第一激发态到基态的自发跃迁几率。 11-8 计算氢原子光谱中赖曼系的第一条谱线（2P →1S ）的强度。 11-9 有一自旋1/2 ，磁矩μ，电荷为零的粒子，置于磁场B 中，),0,0(00B B = ，开始时（t=0）,粒子处于自旋“向 下”态，即1-=z σ，t>0时，加上沿x 方向的弱磁场)0,0,(11B B = ，从而),0,(0110B B B B B =+=，求粒子在t>0 时的自旋态以及测得自旋“向上”（1=z σ）的几率。 11-10 氢原子处于基态，受到脉冲电场)()(0t t δεε =的作用，0ε 为常矢量，试用微扰论求电子跃迁至各激发态的几率以及仍停留在基态的几率。 11-11 根据实验测定，氢原子的2/12S 能级高于2/12p 能级1058MHz （兰姆移动），试求电子在这两个能级间的自发跃迁平均寿命。 11-12 计算氢原子赖曼线系的头两条谱线)12(s p L y →α与)13(s p L y →β的强度比。 第十一章：量子跃迁 [1] 具有电荷的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射光能量密为，波长较长，求：（1）跃迁选择定则。 （2）设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。 （解）本题是一维运动，可以假设电磁场力的方向与振动方向一致。 （1）跃迁选择定则： 为确定谐振子在光照射下的跃迁选择定则，先计算跃迁速率，因为是随时间作交变的微扰，可以用专门的公式（12）（§11.4，P396） （1） 式中应理解为谐振子的矢径的矩阵元的平方和，但在一维谐振子情形，仅有一项 （2） 根据谐振子的无微扰能量本征函数来计算这矩阵元 （3） 式中， ~446~ 要展开（3）式，可以利用谐振子定态波函数的递推公式： （4） 代入（3），利用波函数的正交归一化关系： （5） 由此知道，对指定的初态来说，要使矢径矩阵元（即偶极矩阵元）不为零，末态和初态的关系必需是： 这时（6） 这时 因得结论：一维谐振子跃迁的选择定则是：初态末态的量子数差数是1。 （2）每秒钟从基态跃迁到第一激发态的几率可以从（2）式和（7）式得到： ~447~ [2]设有一带电的粒子，质量为，在宽度为的一维无限深势 阱中运动，它在入射光照射下发生跃迁，波长。 （1）求跃迁的选择定则。 （2）设粒子原来处于基态，求跃迁速率公式。 （解）本题亦是一维运动，并且亦是周期性微扰，故可用前题类似方法。 （1）跃迁选择定则： 按第三章§3.1一维无限深势阱定态波函数是：（原点取在势阱左端） （1） 根据此式计算矩阵元： 利用不定积分公式： (2) ~448~ (3) 从最后一式知道，要使矩阵元，必需要是奇数。但这个规律也可以用别种方式叙述，当是奇数时 必然也是奇数，因此一维无限深势阱受光照的选择定则是：表示初态和末态的量子数之和（或差）应是个奇数 因此二者之中，一个是奇另一个是偶。 （2）跃迁速率：依前题公式（1） （4） 偶数时，奇数时 （5） 粒子从基态，跃迁到任何一个偶数态的速率： ~449~ [3]设把处于基态的氢原子放在平行板电容器中，取平行板法线方向为z轴方向、电场沿z轴方向可视作均匀，设电容器突然充电然后放电，电场随时间变化规律是： 1．4185：已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? ［ ］ 2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄的金属片，其红限波长为λ0。今用单色光照射，发现有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) (B) (C) (D) ［ ］ 3．4383：用频率为ν 的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用频率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K ［ ］ 4．4737： 在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ［ ］ 5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV ［ ］ 6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光 (B) 两种波长的光 (C) 三种波长的光 (D) 连续光谱 ［ ］ 7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV ，当氢原子从能量为－0.85 eV 的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV ［ ］ 8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV ，10.2 eV 和 1.9 eV (D) 12.1 eV ，10.2 eV 和 3.4 eV ［ ］ 9．4241： 若α粒子(电荷为2e )在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是 (A) (B) (C) (D) ［ ］ 10．4770：如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 (A) 动量相同 (B) 能量相同 (C) 速度相同 (D) 动能相同 ［ ］ 11．4428：已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： ( - a ≤x ≤a )，那么粒子在x = 5a /6处出现的概率密度为 (A) 1/(2a ) (B) 1/a (C) (D) ［ ］ 12．4778：设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定 粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？ 0λhc 0λ hc m eRB 2)(2+0λhc m eRB + 0λhc eRB 2+)2/(eRB h )/(eRB h )2/(1eRBh )/(1eRBh a x a x 23cos 1)(π?= ψa 2/1a /1 第十章 全同粒子 10.1 两个自旋为 2 3的全同粒子组成一个体系，问体系对称的 自旋波函数有几个？反对称的自旋波函数有几个？ 解 2 31= S ，2 32= S ，体系的可能S 值为 21S S S +=，121-+S S ，221-+S S ，…，21S S - 于是 ? ??? ???=-=-+=-+=-+=+=+0 3122132 3232121212121 S S S S S S S S S S 当S 给定时，z S 可取12+S 个值，故 3=S 时，z S 取7个值???????±±±0 12 3 2=S 时，z S 取5个值??? ??±±0 12 1=S 时，z S 取3个值???±0 1 0=S 时，z S 取1个值 0 于是，总共应有16个状态。 对每个粒子而言，因2 32,1= S ，其在z 方向投影可取 412 3212=+? =+l 个值，即z S 1，2 1,232± ±=z S ，故每个粒 子可能有4个态，即对第一个粒子有 )1(2 1χ，)1(2 1 - χ ，)1(2 3χ，)1(2 3- χ 对第二个粒子亦有 )2(2 1χ，)2(2 1- χ ，)2(2 3χ，)2(2 3- χ 由它们可组成16个彼此独立的可能组合： )1(S χ=)1(2 1χ)2(2 1χ， )2(S χ =)1(2 1- χ)2(2 1- χ )3(S χ =)1(2 3χ)2(2 3χ， )4(S χ =)1(2 3- χ )2(2 3- χ ?????? ???????+=+=+=+=+=+=- - - - - - - - - - - - ) 2()1()2()1() 2()1()2()1() 2()1()2()1() 2()1()2()1() 2()1()2()1() 2()1()2()1(2 32 12 12 32 32 32 32 32 12 32 32 12 12 12 12 12 12 32 32 12 12 32 32 1)10()9()8()7()6()5(χ χχχ χχχ χ χχχ χχχ χχχ χ χχχ χ χ χ χχχχχχS S S S S S ?????? ???????-=-=-=-=-=-=- - - - ------ - -) 2()1()2()1() 2()1()2()1() 2()1()2()1() 2()1()2()1() 2()1()2()1() 2()1()2()1(2 32 12 12 32 32 32 32 32 1 2 32 32 1 2 12 1 2 1 2 12 1 2 32 32 1 2 12 32 32 1)6()5()4()3()2()1(χ χχχ χχχ χ χχχ χχχ χχχ χ χχχ χ χ χ χχχχχχA A A A A A 第一、二组是对称态共10个，第三组是反对称态共6个，在这些态 中，z S ?的本征值列表如下：量子力学曾谨言习题解答第十一章
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