高等代数复习

第一章基本概念

1.1集合

Z表示全体整数的集合

Q表示全体有理数的集合

R表示全体实数的集合

C表示全体复数的集合

。德.摩根（De Morgan）律

对于任意集合ABC来说

第一：集合C减去集合A与集合B的交集等于集合C减去集合A与集合C减去集合B的并集用数学符号表示为C-(A∩B)=(C-A) ∪（C-B）

第二：集合C减去集合A与集合B的并集等于集合C减去集合A与集合C减去集合B的交集用数学符号表示为C-(A∪B)=（C-A）∩（C-B）

元素属于集合用”∈”\符号，集合属于集合用 符号

1.2映射

映射：设AB是两个非空集合，A到B的一个映射指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合A中每一个元素x，有集合B中唯一确定的元素y与之对应。（映射可以多对一，但是不允许一对多）

满射：设f是A到B的一个映射，如果f(A)=B，那么就称f是A到B的一个满射。

单射：设f：A到B是一个映射，如果对于A中任意两个元素x1,x2只要有x1≠x2，就有f(x1)≠f(x2)，那么就称f是A到B的一个单射。

映射之间是可以合成的，具体不做解释。

双射：如果一个映射既是满射，又是单射，那么我们将这个映射称为双射。

本单元的题型大多为证明双射，所以这里要注意。

证明双射的步骤：

第一步首先证明满射，将x用y来表示，然后将用y表示的x代入原方程中。如果得到的结果等于y，那么即可证明该映射为满射。

第二步证明单射，将x1和x2代入方程中，并将含x1和x2的两个方程联立，如果解得x1等于x2，那么即可证明该映射为单射。

第三步，既是满射又是单射的映射即为双射，命题得证。

1.3 数学归纳法

数学归纳法的原理是最小数原理

最小数原理：正整数集N*的任意一个非空子集S必含有一个最小数，也就是这样一个数a ∈S，对于任意c∈S都有a≤c。

需要注意的是最小数原理并不是对于所有集合成立的。例如全体整数集Z就没有最小数。分数组成的集合也没有最小数。

然后就是本节的重点数学归纳法。

数学归纳法：

设有一个与正整数n有关的命题，如果

（1）当n=1时，命题成立；

（2）假设n=k时命题成立，则n=k+1时命题也成立；那么这个命题对于一切正整数n都成立。

还有一个所谓的第二数学归纳法原理：

设存在一个与n 有关的命题。如果

（1） 当n=1时命题成立；

（2） 假设命题对于一切小于k 的正整数来说成立，则命题对于k 也成立；那么命题对于

一切正整数来说都成立。

1.4 整数的一些整除性质

整除的概念：设ab 为两个整数，如果存在一个整数d ，使得b=ad ，那么就说a 整除b ，（较小的那个数在前面，比如说3整除6）用数学符号表示为a1b ，如果a 不整除b ，则加一斜杠即可。

整数的基本性质

A 整除B,

B 整除

C ，那么A 整除C 。

A 整除

B ，A 整除

C ，那么A 整除（B+C ）

A 整除

B ，若

C ∈Z ，那么A 整除BC

每一个整数都可以被1和-1整除

每一个整数都可以被他自己和他的相反数整除

带余除法：

设a,b 是整数且a ≠0，那么存在一对整数q 和r ，使得

b=aq+r ，0≤r ＜1a1

满足以上条件的整数q 和r 是唯一确定的。

一个素数如果整除两个整数a 与b 的乘积，那么它至少整除a 与b 中的一个。

带余除法的余数一定是正整数

1.5 数环与数域

数环：设S 是复数集C 上的一个非空子集，如果对于S 中任意两个数a,b 来说，存在a+b,a-b,ab 都在S 内，那么我们称S 是一个数环。

数域：设S 是一个数环，如果

（1） F 中有一个不等于零的数；

（2） 如果a,b ∈F ，且b ≠0，则b

a ∈F 那么就称F 是一个数域（数域是建立在数环的基础上的，所以要先证数环再证数域） 任何数域都包含有理数域Q

这一节比较简单，套概念即可

第二章 多项式

2.1 一元多项式的定义和运算

（1）数环R 上一个文字x 的多项式或者一元多项式是指：a0+a1x+a2x 2+…+anxn Anxn 叫做多项式的最高次项，而n 就是该多项式的次数。

（2）多项式的运算规则

加法交换律：

F(x)+G(x)=G(x)+F(x)

加法结合律：

(F(x)+g(x))+h(x)=f(x)+（g(x)+h(x)）

乘法交换律：

F(x)g(x)=g(x)f(x)

乘法结合律：

(F(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x))

乘法对加法的分配律同理也符合

多项式的基本性质

第一点：两不等于零的多项式之和的次数小于等于这两个多项式中次数比较高的那个次数。第二点：两不等于零的多项式之积的次数等于两多项式的次数之和。

2.2 多项式的整除性

多项式的整除性质：多项式环F(x)上的两个多项式f(x)和g(x)，如果存在F(x)上的多项式z （x），使得g(x)=f(x)z(x)，则称f(x)1g(x)

多项式整除的性质和整数整除性质类似

整除的方法是要重点复习的方法（带余除法）

首先把两个多项式中次数较低的那一个同时乘以相差的那个次数，然后用次数较高的减去次数较低的，得到一个新的多项式。

然后依然是把那个次数最低的多项式乘以与新多项式相差的次数，然后用新多项式减去这个结果。

按照上一步进行循环一直到结果的次数低于一开始那个次数较低的多项式。就可以得到余式。

最后把较高次数的多项式减去余式，然后除以较低次数的多项式即可得到商。

2.3 多项式的最大公因式

f(x)和g(x)是F(x)上的两个多项式。如果存在F(x)上的一个多项式h(x)同时整除f(x)和g(x)，那么h(x)叫做f(x)与g(x)的一个公因式。

若h(x)能被f(x)和g(x)的任何一个公因式整除，那么h(x)是g(x)和g(x)的最大公因式。

最大公因式的性质：

F(x)的任意两个多项式f(x)与g(x)一定有最大公因式，除了一个零因式外，最大公因式是唯一确定的。

(Bezout等式)若h(x)是F(x)上的多项式f(x)和g(x)的公因式，那么在F(x)中可以求得多项式u(x)和v(x)，使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=h(x)

那么下面具体总结一下求多项式最大公因式的方法。

首先先通过一系列变化将两多项式的首项变成一样的。然后用本来次数较高的那个多项式减去次数较低的。得到一个新多项式。

把这个多项式乘以一个常数，使得这个多项式的首项系数的绝对值与次数较低的那一个多项式的首项系数相同。

两式相减的到第二个新多项式。

然后用这个多项式除原本那个次数较小的多项式。以此类推，直到次数为1或0，检验最后的结果是否能整除第一个新多项式。如果能整除，那这个结果就是两多项式的最大公因式。

2.4 多项式的分解

可约与不可约：f(x)是F(x)上次数大于零的多项式在数域F只有平凡因子，称f(x)在数域F 上不可约；若除了平凡因子外还有其他的因子，称f(x)在数域F上可约。

不可约多项式的性质：

(1)如果多项式p(x)在数域F上不可约，对于任意的c≠0∈F，则cp(x)在数域F上不可

约。

(2)如果p(x)是数域F上不可约多项式，f(x)是任意多项式，则p(x)1f(x)或者（p(x)，f(x)）

=1

(3)如果p(x)是数域F上不可约多项式，p(x)1f(x)g(x)，则p(x)1f(x)或p(x)1g(x)至少有一

个成立。

(4)(唯一因式分解定理)F(x)上任意n＞0次多项式都可以分解成F(x)中的不可约因式的

乘积，如果不考虑不可约因式的次序则分解是唯一的。

(注意题目要求的数域，一个多项式可能在有理数域无法分解，但是可能在复数域就可以。)

2.5 重因式

多阶导数：实际上就是把一个多项式多次求导，求了几次导我们就将其称为几阶导数。

重因式是什么：用我自己的语言来表达的话，就是说一个多项式可以被另一个多项式整除几次，那么我们就称这个用来除的多项式为另一个多项式的几重因式。例如：(x+1)就是

(x+1)2的二重因式。

重因式的性质：

(1)若p(x)是f(x)的一个k(k≥1)重因式，则p(x)是f’(x)的k-1(k≥1)重因式。

(2)多项式f(x)没有重因式当且仅当(f(x),f’(x))=1。

证明一个多项式有重因式的方法：辗转相除法

关于辗转相除法前面已经介绍过了，这里通过辗转相除法，一直除到结果中只剩下常数为止，当这个常数为零时，那么这个多项式就有重因式。

具体方法：首先用原多项式除以多项式的一阶导数（导数的首项系数要变得与原多项式相同），再用一阶导数除以这次的结果（首项系数保持相同），得到的结果如果不是常数，那么一直重复这一步骤（用一阶导数除以得到的结果）。直到得到常数为止。

2.6多项式函数与多项式的根

多项式的根：若存在c∈R，当x=c时，f(x)=0，那么我们称c为多项式函数f(x)的根。

多项式函数的性质：

(1)f(x)∈R[x],c∈R，用x-c除f(x)所得到的余式等于当x=c时f(x)的值f(c)。

(2)数c是f(x)在数环R中的一个根当且仅当(x-c)1f(x)。

(3)若f(x)是R[x]中的一个n次(n≥0)多项式，那么f(x)在R中至多有n个根。

(4)f(x),g(x)∈R[x]，它们的次数都不大于n，若以R中n+1个或者更多的不同的数来代替x

时，每次得到的f(x)，g(x)的值都相等。那么f(x)=g(x)。

(5)R[x]的两个多项式f(x)，g(x)相等当且仅当它们所定义的R上的多项式函数相等。

在这一节中我们将了解到求函数值的一个简单方法：综合除法

下面我们来看看综合除法的具体做法。

上面是我举的一个例子，f(x)=2x5-3x4-5x3+1,如何求f(3)的值。

首先我们画出综合除法的符号，一横一竖。在左边写上x的值，在右边依次写下多项式的系数，如果中间有的项没有就写0。然后从第一项开始，把系数乘以x的值，结果写在下一个系数的正下方。然后把上下相加，结果写在横杠的下方，再用这个结果乘以x，依次类推，最后在常数项下面得到的结果就是f(x)的值。如上图，f(3)的值为109。

2.7 复数和数域上的多项式

复数和实数域上的多项式的性质

(1)(代数基本定理)任何n(n≥0)次多项式在复数域中至少有一个根。

(2)任何n(n≥0)次多项式在复数域中有n个根(重根按重数计算)。

(3)若实数多项式f(x)有一个非实数的的复根，那么这个复根的共轭数也是f(x)的一个根。

(4)每一个次数大于0的实系数多项式都可以分解为实系数的一次和二次不可约多项式的乘积。

2.8 有理数域上的多项式

本原多项式的定义：若一个整系数多项式f(x)的系数互素，那么f(x)叫做本原多项式。

有理数上多项式的性质：

(1)两个本原多项式的乘积仍然是本原多项式。

(2)若一个整系数n(n≥0)次多项式f(x)在有理数域上可约，那么f(x)总可以分解成次数都小

于n的两个整系数多项式的乘积。

(3)艾森斯坦判别法(Eisenstein判别法)：对于一个整系数多项式，若存在一个素数p，第一，

这个素数p不能整除这个多项式的最高项次数。第二，素数可以整除除了最高次项系数外该多项式的所有系数。第三，p的平方不能整除多项式的常数项。若一个整系数多项式同时满足以上三个条件，那么这个多项式在有理数域不可约。

本节基本靠第三条性质解题。三个步骤套用就可以了。

2.9 多元多项式

多元多项式的性质：

(1) 一元多项式的性质完全满足。

(2) 数环R 上两个n 元多项式乘积的首项等于其首项的乘积（废话），两个非零多项式的乘

积也不为零。

(3) 数环上R 上不等于零的n 元多项式乘积的次数等于这两个多项式次数的和。

第三章 行列式

3.1 线性方程组和行列式

行列式就是把线性方程组的系数（或者加上结果）写成行列的形式。

行列式的求法：这是本节的重点，比如一个三阶行列式的值可以表示为a11a22a33+a12a23a32+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32(总之就是从左上向右下相乘，然后是第二个依次类推，加在一起再减去从右上到左下相乘的和，说不清楚。。。)

3.2 排列

排列的定义

(1) n 元排列：n 个数字1,2,3…,n 组成的一个有序组。

(2) 反序：在一个排列里，如果某较大的数字排在某个较小的数字前面，那么我们称这两个

数字构成了一个反序。

排列的性质

(1) 同样n 个数字组成的两个排列，那么总可以经过一系列变换使得两排列相同。

(2) 每一次对换都改变了排列的奇偶性。

(3) n ≥2时，n 个数字的奇排列和偶排列个数相等，各为2

!n 个。

计算一个排列反序数的方法：按照大小的顺序，从小到大，把排列中每个数字的反序数加在一起就是该排列的反序数。

例如排列523146879,1的反序数为3,2的为1,3的为1,4的为1,5和6都为0,7为1,8和9都

为0。故排列523146879的反序数为3+1+1+1+1=7.

3.3 n阶行列式

行列式的性质：

(1)行列式与他的转置行列式相等。(转置行列式就是把行列式整个向左或者向右转90度)

(2)交换一个行列式的两行(或者两列)，行列式值的绝对值不变，但是符号改变。

(3)如果有一个行列式的两行(或者两列)完全相等，那么这个行列式为0.

(4)把一个行列式的某一行(或者某一列)全部乘以k，那么行列式的值也会乘以k。

(5)一个行列式某一行(或者某一列)所有元素的公因子可以提到行列式外面。

(6)如果有一个行列式某一行(或者某一列)全部为0，那么这个行列式的值为0。

(7)如果一个行列式有两行(或者两列)的元素互成比例，那么这个行列式为0。其实这一条

的原理和第6条是一样的，因为，把那个比较的组大出的那个系数提到行列式外，再把两式相减，那么就有一行或者一列全部为0，满足第6条。

(8)把行列式的一行(或者一列)同时乘以某个数再加到另一行或者一列上，该行列式的值不

变。

判断行列式求值公式其中一项正负的方法：

首先按照第一个数字由小到大的顺序排列。第二步把后一个数字写成一个排列。

最后我们计算这个排列的反序数，如果该排列的反序数的值为偶数，那么这个项的符号为正。如果该排列的反序数为奇数，那么这个项的符号为负。

3.4 子式和代数余子式行列式的依行依列展开

如何进行行列式的依行依列展开？以下是我总结的几个步骤：

第一步：首先看题，看题目要求从第几行，或是第几列展开。

第二步：从这一行(或者这一列)的第一个元素开始，把这个元素提到行列式外，并且，把与这个元素同行同列的所有元素删除，组成一个新的行列式。

第三步：用这个元素乘以负一的这个元素的行数与列数之和次方，再乘以新的行列式，这一行或这一列的每个元素都这么做后加在一起就是依行依列展开的计算结果。

3.5 克拉默规则

线性方程组的系数可以写成一个行列式。

下面复习一下解线性方程组的方法，克拉默规则。

第一点：克拉默规则首先要求由线性方程组写成的行列式不能为0。

第二步：求出该线性方程组的值D。

第三步：将该线性方程组的解作为一列进行代换，代换第一列后计算新的行列式的值，称为D1，依次类推，求出D2，D3…Dn。

第四步：用D1，D2，D3…Dn分别除以D得到x1,x2,x3…xn。为得到该线性方程组的解。

第四章线性方程组

4.1 消元法

线性方程组的三种初等变换：

第一种：交换任意两个方程的位置。

第二种：用一个不等于零的数乘以某个方程。

第三种：用一个数乘以某个方程后加到另一个方程。

矩阵的初等变换同样也是三种，和线性方程组实际上是一样的

第一种：用一个不等于零的数乘以矩阵的某一行或者某一列的所有元素。

第二种：交换矩阵的两行或两列。

第三种：有某个不等于零的数乘以矩阵的某一行或者某一列然后加到另一行或者另一列上。

解线性方程组的方法：Gauss消元法

第一步：将线性方程组写成一个增广矩阵。

第二步：通过初等变换和消元将矩阵内部变成梯形(从左上第一个元素开始向右下画一条斜线，斜线下方都变为零，上方尽量简化)。

第三步：将梯形矩阵重新写成方程组，解出答案即可。

4.2 矩阵的秩线性方程组可解得判别法

首先复习一下什么是矩阵的秩

矩阵的秩概念：在线性代数中，一个矩阵的秩是A的线性无关的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。

矩阵的秩求法：

一般来说，矩阵的秩都可以这么求，通过初等变化和消元，把矩阵变成行阶梯型矩阵。该矩阵非零行的行数即为矩阵的秩。

如何判定一个线性方程组是否有解？

一个线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵和增广矩阵两个秩的值相等。

所以判定一个线性方程组是否有解的方法就是计算它的系数矩阵和增广矩阵秩是否相等。

4.3 线性方程组的公式解

就是用初等变换和消元法变成梯形行列式后再用克拉默法则解就可以了。

4.4 结式和判别式

首先复习一下结式的写法

两个方程f(x)和g(x)，把f(x)的系数从高到低写成行列式，没有就写零，g(x)的最高次数是几就写几行，相反的，g(x)的系数就是f(x)的最高次数是几就写几行。

第五章矩阵

5.1 矩阵的运算

矩阵相等：F上的两个矩阵A和B，只有它们有相同的行数和列数，并且对应位置上的数相等。

矩阵的线性运算——数与矩阵的乘法还有矩阵的加法

一个数乘以一个矩阵，只能和矩阵内的某一行或一列的所有元素相乘。

矩阵之间的加减：需要注意的地方，只有同型矩阵方可进行加减，如果阶数不同，两矩阵之间是不可以进行加减运算的。矩阵的加减很简单，就是把对应位置的所有元素相加减就可以了。

零矩阵：所有元素皆为零的矩阵叫做零矩阵。

负矩阵：负矩阵是相对来说的一个概念，首先我们要有一个矩阵，然后把它的所有元素加上

负号就称其为原矩阵的负矩阵。

矩阵的乘法：矩阵的乘法并不要求矩阵阶数相同，任何矩阵之间皆可相乘。实际操作就是把前一个矩阵左上第一个元素开始乘以下一个矩阵左上第一个元素然后用同一行的下一个元素乘以下一个矩阵同一列的下一个元素，依次类推，最后加在一起就是结果得到的矩阵第一行的第一个元素，依次类推即可求得结果。下面举一个例子。

也就是像这样3x1+(-1x0)+0x3+2x2=7 3x3+(-1x1)+0x0+(-1x2)=6 依次类推就行了

5.2可逆矩阵矩阵乘积的行列式

可逆矩阵的定义：令A是数域F上一个n阶矩阵。若是存在F上n节矩阵B，使得AB=BA=I，那么A叫做一个可逆矩阵(I是单位矩阵)，而B叫做A的逆矩阵。

I(单位矩阵)就是一个从左上到右下一条线上的元素全部为1，其他所有元素全部为0，这样的矩阵叫做单位矩阵，单位矩阵的行数和列数必须相同。

如何求矩阵的逆矩阵？这是本节最大的重点，也同时是这本书最难的一个计算问题。

下面来复习一下求矩阵逆的方法。

其实说起来也很简单，我们在求矩阵逆的时候，就是把这个矩阵和一个与它阶数相同的单位矩阵并排放在一起，然后对这个矩阵进行一系列初等变换，最后将这个矩阵变为一个单位矩阵，同时把相同的变法用在旁边的单位矩阵上，最后得到的就是对应的逆矩阵。

5.3 矩阵的分块

矩阵的分块：在它的行或列之间加上一些线，把这个矩阵分成若干块，用这种方法被分成若干块的矩阵叫做一个分块矩阵。

《高等代数Ⅱ》课程教学大纲

《高等代数Ⅱ》课程教学大纲 一、课程基本信息 二、课程教学目标 本课程的教学目的是使学生获得二次型，线性空间，线性变换，欧几里得空间等方面的系统知识,为进一步学习数值计算方法等后续课程打下坚实的基础。通过本课程的教学，使学生掌握代数基本理论和基本方法，培养学生代数方面的科学的思维、抽象的思维，逻辑推理、提高运算以及解决实际应用的能力，为进一步学习专业后续课程奠定坚实的代数基础。 应达到的具体能力目标： 具有独立思维能力和解决实际问题能力； 具有较强的抽象思维和逻辑推理能力； 熟练的计算能力及其应用代数工具解决实际问题的能力 三、教学学时分配 《高等代数Ⅱ》课程理论教学学时分配表

四、教学内容和教学要求 第五章二次型（14学时） （一）教学要求 1. 了解二次型与二次型的矩阵的概念； 2. 理解二次型的标准形、正定二次型的概念； 3. 掌握用正交变换、拉格朗日配方法、合同线性变换法化二次型为标准形，掌握 正定二次型的判定方法。 （二）教学重点与难点 教学重点：二次型的矩阵表示，化二次型为标准形的方法 教学难点：正定二次型的判定与证明 （三）教学内容 第一节二次型及其矩阵表示 1．二次型的定义 2．二次型的矩阵表示 3. 矩阵的合同关系 第二节标准形 1．二次型的标准形； 2．化二次型为标准形的方法； 3. 例题讲解 第三节唯一性 1．复数域上二次型的规范型 2. 实数域上二次型的规范型 第四节正定二次型 1．正定二次型的定义 2. 正定二次型的判定 3. 半正定二次型的定义及判定 本章习题要点：

1．化二次型为标准形的方法； 2. 正定二次型的判定方法与证明。 第六章线性空间（22学时） （一）教学要求 1.了解集合与映射的概念及性质； 2. 理解线性空间的概念与性质，线性空间同构的概念、性质及意义； 3. 掌握基和维数的概念、求法及维数定理，过渡阵概念、性质及求法，子空间的 概念和判别方法，掌握子空间的交、和、直和等概念。 （二）教学重点与难点 教学重点：线性空间的基与维数，子空间的和 教学难点：子空间的直和 （三）教学内容 第一节集合.映射 1．集合与映射的概念 2. 集合与映射的性质； 第二节线性空间的定义与性质 1．线性空间的定义； 2．线性空间的简单性质。 第三节维数、基、与坐标 1. 维数、基、坐标的概念 2. 维数、基、坐标的性质 第四节基变换与坐标变换 1．基变换 2．坐标变换。 第五节线性子空间 1．线性子空间的定义及性质 2．生成子空间的定义及性质 第六节子空间的交与和 1．线性子空间的交 2．线性子空间的和 3. 维数公式 第七节子空间的直和

高等代数II期末考试试卷及答案A卷

高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分） 1、线性空间[]P x 的两个子空间的交() ()11L x L x -+= 2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是 3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是 4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2 1,,1,λλ λ+ 则其特征矩阵E A λ-的标准形是 5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是： 二、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构： （A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。 2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：

（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。 3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0; A A B A λλ≠是一个非零常数； ()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。 4、（ ）设实二次型 f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为： 222 1122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是： ()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。 5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是： ()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---?? ?? ?? ? ? ? --- ? ? ? ? ? ?---?????? ()D 以上各情形皆有可能。 三、 是非题（每小题2分，共10分） （请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（ ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}1 20V V = 则12V V V =⊕。 2、（ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。

《高等代数》考研2021考研真题北京大学考研真题二

《高等代数》考研2021考研真题北京大学考研真题 二 第一部分名校考研真题 第6章线性空间 一、选择题 1．下面哪一种变换是线性变换（）．[西北工业大学研] A．B． C． 【答案】C查看答案 【解析】不一定是线性变换，比如则也不是线性变换，比如给而不是惟一的． 2．在n维向量空间取出两个向量组，它们的秩（）．[西北工业大学研] A．必相等B．可能相等亦可能不相等C．不相等 【答案】B查看答案 【解析】比如在中选三个向量组 (I)：0 (Ⅱ) (Ⅲ)． 若选（I）（II），秩秩（II），从而否定A，若选（Ⅱ）（Ⅲ），秩（Ⅲ）＝秩（Ⅱ），从而否定C，故选B． 二、填空题 1．若

则V对于通常的加法和数乘，在复数域C上是______维的，而在实数域R上是______维的．[中国人民大学研] 【答案】2；4．查看答案 【解析】在复数域上令；则是线性无关的． 则 此即证可由线性表出． 在实数域上，令 若，其中，则 此即在R上线性关． 可由线性表出，所以在实数域R上，有 三、分析计算题 1．设V是复数域上n维线性空间，V 1和V2各为V的r1维和r2维子空间，试求 之维数的一切可能值．[南京大学研] 解：取的一组基，再取的一组基则 ＝秩 2．设U是由生成的的子空间，W是由生成的的子空间，求

（1）U＋W： （2）L∩W的维数与基底．[同济大学研] 解：（1）令 可得．所以 由于为的一个极大线性无关组，因此又可得 且，故为U＋W的一组基． （2）令 因为秩＝3．所以齐次方程组①的基础解系由一个向量组成： 再令，则 故ζ为U∩W的一组基． 3．设A是数域K上的一个m×n,矩阵，B是一个m维非零列向量．令 （1）证明：W关于K n的运算构成K n的一个子空间； （2）设线性方程组AX＝B的增广矩阵的秩为r．证明W的维数dimW＝n－r＋1：（3）对于非齐次线性方程组 求W的一个基．[华东师范大学研]

大一第二学期高数期末考试题(含答案)

大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 　求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x

数学系《高等代数》课程教学大纲

数学系《高等代数》课程教学大纲 学时：153学时学分：9 适用专业：数学与应用数学 执笔人：储茂权审定人：殷晓斌 说明： 1、课程的性质、地位和任务 本课程是高等师范院校以及综合性大学数学和应用数学专业的一门重要基础课程，它的任务是使学生初步掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，以加深对初等数学的理解，并为进一步学习打下基础，要求学生掌握数域上一元多项式的因式分解理论以及多元多项式和对称多项式的基本知识；掌握行列式，矩阵和线性方程组中的基本理论和方法，掌握实二次型、线性空间、线性变换的基本理论和常用的数学方法。 2、课程教学的基本要求 （1）掌握数域和一元多项式的概念、整除的概念。对数域上一元多项式的因式分解及唯一定理及证明的思想有较深刻的认识。熟练掌握一元多项 式的带余除法和辗转相除法；多项式函数和重因式的基本知识；掌握有 关复数域、实数域和有理数域上的一元多项式的基本结果和基本方法； 掌握多元多项式的基本知识并能将对称多项式表为初等对称多项式的多 项式。 （2）掌握行列式的基本性质和计算；线性方程组的基本理论；矩阵的概念、运算、分块矩阵的初等变换和初等矩阵；二次型和标准形、规范形和正定性，掌握 -矩阵的基本知识，矩阵相似的条件，矩阵的Jordan标准形的基本知识；线性空间中向量的线性相关性，线性空间的维数、基和向量的坐标，基变换和坐标变换，线性子空间的基本知识；掌握欧氏空间的基本知识；熟练掌握线性变换的定义、运算和线性变换的矩阵；掌握线性变换的特征值和特征向量，值域和核、不变子空间等基本知识。 3、课程教学改革 （1）注重能力的培养 本课程教学中，在讲授有关内容的基本概念、基本理论和基本方法的同时，应注重培养学生的运算能力，运用获取的基本知识和基本技能去分析问题和解决问题的能力，同时注意培养抽象思维能力和逻辑推理能力，逐步提高自学和创新能力。 （2）注重本课程与其它课程的联系 《高等代数》是数学系的重要基础课程之一，它的基础地位不仅表现在它

高等代数课程的基本内容与主要方法

2010年第2期 牡丹江教育学院学报 No 12,2010 (总第120期) JOU RN A L OF M U D AN JIA N G CO LL EG E OF EDU CA T IO N Serial N o 1120[收稿日期]2009-10-25 [作者简介]戴立辉(1963-),男,江西乐安人,闽江学院教授,研究方向为矩阵论;林大华(1959-),男,福建福州人,闽江学院副教授,研究方向为代数学;吴霖芳(1979-),女,福建永安人,闽江学院讲师,硕士,研究方向为微分方程;陈翔(1980-),男,福建连江人,闽江学院讲师,硕士,研究方向为代数环论。 [基金项目]/十一五0国家课题/我国高校应用型人才培养模式研究0数学类子课题项目(F IB070335-A2-03)。 高等代数课程的基本内容与主要方法 戴立辉 林大华 吴霖芳 陈 翔 (闽江学院,福建 福州 350108) [摘 要] 对高等代数的基本内容与主要方法进行归纳和总结,使其所涉及的知识点之间的相互关系清晰明了,同时体现高等代数课程要求学生掌握的知识体系。 [关键词] 高等代数;基本内容;主要方法[中图分类号]O 15 [文献标识码]A [文章编号]1009-2323(2010)02-0146-03 高等代数是高等学校数学专业的一门必修的专业基础课程,它是由多项式理论和线性代数两部分组成。多项式部分以一元多项式的因式分解理论为中心,线性代数部分主要包括行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、K -矩阵与若尔当标准形、欧几里得空间等。 通过高等代数课程的教学,要求学生掌握一元多项式及线性代数的基本知识和基础理论,熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法,理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系,提高抽象思维、逻辑推理及运算能力。根据我们多年的教学经验,本文拟对高等代数的基本内容与主要方法进行归纳和总结,使其所涉及的知识点之间的相互关系清晰明了,同时也体现出了高等代数课程要求学生掌握的知识体系。 一、多项式 一元多项式理论主要讨论了三个问题:整除性理论,因式分解理论和根的理论。其中整除性是基础,因式分解是核心。 (一)基本内容 1.整除性理论)))整除,最大公因式,互素。 2.因式分解理论)))不可约多项式,典型分解式,重因式。 3.根的理论)))多项式函数,根的个数,根与系数的关系。 (二)主要方法 1.多项式除多项式的带余除法。 2.用辗转相除法求两个多项式的最大公因式,最大公因式的判别法。 3.两多项式互素的判别法。 4.不可约多项式的判别法,多项式标准分解式求法,重因式的判别法。 5.多项式函数值的求法,x -c 除多项式f (x )的综合除法,多项式按x -x 0的方幂展开的方法。 6.多项式根的判别法,多项式重根的判别法。 7.整系数多项式有理根的求法,艾森斯坦判断法。二、行列式 行列式是线性方程组理论的一个重要组成部分,是一种重要的数学工具。 (一)基本内容 n 级排列及其性质,n 级行列式的概念,行列式的性质,行列式的计算,克拉默规则。 (二)主要方法 1.求一个排列的逆序数的方法。 2.行列式的计算方法:定义法,性质法,化为三角形行列式的方法,降级法(按一行或一列展开法、拉普拉斯展开法),化为范得蒙行列式的方法,递推法,加边法,数学归纳法,拆项法。 3.一些特殊行列式的计算方法)))三角形行列式,ab 型行列式,范得蒙行列式,爪型行列式,三对角行列式。 4.克莱姆规则。三、线性方程组 /线性方程组0这部分在理论上解决了线性方程组有解的判定、解的个数及求法、解的结构等。 (一)基本内容 1.向量的线性关系)))n 维向量,向量的线性运算,线性组合,线性表出,线性相关,线性无关,极大线性无关组,向量组等价,向量组的秩。 2.矩阵的秩)))矩阵的秩=矩阵行(列)向量组的秩,即矩阵的行(列)秩=矩阵不为零的子式的最大级数,初等变换不改变矩阵的秩,用初等变换计算矩阵的秩。 3.线性方程组的解的情形)))线性方程组有解的判定,线性方程组解的个数,齐次线性方程组解的情形。 4.线性方程组解的结构)))齐次线性方程组的基础解系,齐次线性方程组解的表示,非齐次线性方程组解的表示。

高等代数专题研究形成性考核册作业答案

《高等代数专题研究》作业参考答案 高等代数专题研究作业1 一、 单项选择题: 1-5: BCBDB 二、 填空题1、 交换。2、 不等价、 等价。3、 1212()()a a a a σσσ()=⊕, 且 σ是A 到B 的双射。 4、 具有下面性质的自然数的任何集合M 满足: :1;:i M ii ∈如果a M ∈, 则 'a M ∈。则M 含有一切自然数, 即M N =。 5、 对于一个与自然数有关的命题T, 若i: 若n=1时命题T 正确; ii: 假设命题T 对n

(完整版)高等代数(下)期终考试题及答案(B卷)

高等代数(下）期末考试试卷及答案（B 卷） 一．填空题（每小题3分，共21分） 1. 22 3[]-2-31,(-1),(-1)P x x x x x 在中,在基下的坐标为 2. 设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλL ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为 . 3.'=n 在数域P 上的线性空间P[x]中,定义线性变换:(,则的值域())()A A f x f x A ()-n P[x]= ,的核(0)= 1A A A 4．已知3阶λ-矩阵A （λ）的标准形为21 0 00 00 0λλλ?? ? ? ?+?? ，则A （λ）的不变 因子________________________； 3阶行列式因子 D 3 =_______________. 5. 若4阶方阵A 的初等因子是（λ-1）2，（λ-2），（λ-3），则A 的若当标准形 J= 6.在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηηL 下的坐标是 12(,,,)n x x x L ，那么(,)i ξη＝ 7. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是 ． 二. 选择题( 每小题2分，共10 分) 1.( ) 已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间， 则dim(V)为 (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4 2. ( ) 下列哪个条件不是n 阶复系数矩阵A 可对角化的充要条件 (A) A 有n 个线性无关的特征向量； (B) A 的初等因子全是1次的； (C) A 的不变因子都没有重根； (D) A 有n 个不同的特征根； 3．( ) 设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A

天津师范大学高等代数考研辅导及复习资料

天津师范大学高等代数考研辅导及复习资料 想给大家分享一下我去年参加天津师范大学高等代数考研辅导班的经验，还有一些关于辅导方面的信息，我报考的是学硕哦，不是专业硕士。首先呢，我的复习时间是从暑假开始的，在暑假之前稍稍复习了一点公共课，也就是政治和英语一还有数学三，而专业课高等代数我在七月开始入手学习的。 一开始先在书店直接买了所有高等代数的参考书，然后才在网上找找前辈分享的复习经验，就是一些计划，开始了简单的学习之路。开始复习了两个月吧，总感觉很累，就像高中学习地理一样，说难也不是难，需要背诵的知识真不少，后来都快到九月份开学了，有点慌，感觉做真题的时候成绩太差了，开学以后没有那么多时间去学习这个，也没有认识的学长学姐可以教教我，所以在我爸妈的建议下报名了天津考研网的一对一辅导。 于是就开始了自己复习+一对一辅导的学习模式，在时间紧任务重的情况下，选择辅导班确实是提升自己的学习效率和思维能力的捷径。至于选择天津考研网机构，在这之前还是有一段了解过程的，我事找了几家辅导机构对比的，天津考研网这里可以自己选择辅导课时，按照总课时去计价，而总课时是根据自己的知识功底来决定的，会先做一下测试题然后和老师一起看一下自己的情况再决定，而且面授或者视频都可以自己商量。我觉得蛮有保障而且时间自由就选择了。在辅导的同时还给我讲很多专业近况和他们的学习氛围还有导师和研究生之间的事。对于我的初试复试帮助都很大。 实际上可能也是先入为主的效应所以才选择的这个机构，因为之前买专业课资料时候就是买的他家的《天津师范大学数学专业（高等代数+数学分析）考研真题复习宝典（真题+答案，赠考研学长指导视频）》真题解析资料，特别全面，因为真题是回忆版的答案也是在读研究生做的，那种答题逻辑很适合备考学生使用，而且讲解非常详细易懂。就增添了一些好感。 那么天津师范大学高等代数考研辅导的相关信息就说到这里吧，说的太多也

高等代数专题研究学习辅导(三)

高等代数专题研究学习辅导（三） 多 项 式 与 环 一、 环 1．环的定义 环具有加法、乘法两个代数运算的代数体系。集合R 对于加法、乘法两个代数运算构成一个环，要求满足： （1）加法性质 有交换律、结合律，每个元素有负元素。（R 对 加法作成一个加群） （2）乘法性质 有结合律：c ab bc a )()(= （3）乘法对加法有左、右分配律： ac ab c b a +=+)(，ca ba a c b +=+)(),,(R c b a ∈? 则称对这两个代数运算作成一个环。 2．环的简单性质 （1） 在环R 中，零元素惟一； （2） 在环R 中，每个元素的负元素惟一； （3） 在环R 中，加法有消去律：c b c a b a =?+=+； （4） 在环R 中，符号法则成立： a a =--)(，a b b a b a -=-=-)()(，ab b a =--))((； （5） 在环R 中，移项法则成立：b c a c b a -=?=+； （6） 设a 是环R 中的元素，n 是正整数， 规定 个 n a a a na +???++=， 个 n a a a a n )()()()(-+???+-+-=-，00=a 。 于是，环中的元素整数倍有意义，对任意Z n m ∈,；R b a ∈,有 a n m na ma )(+=+，)( b a m mb ma +=+； ab mn nb ma ?=?)()()(

（7） 设a 是环R 中的元素，n 是正整数， 规定 个 n n a aa a ???=， 于是，环中元素的整数次幂有意义，对任意正整数n m ,有 n m n m a a a +=?，mn n m a a =)(； （8） 在环R 中广义分配律成立： n n ab ab ab b b b a +???++=+???++2121)( n a b a b a b a a a n n +???++=+???++2121)( 3．子环与理想 定义 设S 是环R 的一个子集，若S 对R 的两种运算也作成环， 则称S 是R 的一个子环，R 是S 的一个扩环。 子环的判别定理: 环R 的子集S 作成R 的子环的充分必要条件是 （1） S b a ∈, ? S b a ∈+ （2） R r ∈，S a ∈ ? S ar ra ∈, 4．整环与域 定义1. 乘法满足交换律的环称为交换环； 定义2. 设1是环R 的一个元素，对任意R a ∈有a a a ==11，则 称1 是R 的单位元素； 定义 3. 设R 是有单位元素1的环，若对R 中的元素a 有一元素 b ，使1==ba ab ，则称a 是可逆元素，b 称为a 的一个 逆元素； 定义4. 设a ,b 是环R 的两个元素，若0≠a ，0≠b ，而0=ab ， 则称a 与b 是真零因子。 性质 在无真零因子的环R 中，乘法适合 左消去律 ac ab =，0≠a c b =?

高等代数期末卷及答案

沈阳农业大学理学院第一学期期末考试 《高等代数》试卷(1) 1 ?设 f (x) = x 4 +x ? +4x - 9 ,贝H f (一3) = 69 .. 2?当 t = _2,-2 . 时，f(x)=x 3 —3x+t 有重因式。 3.令f(x),g(x)是两个多项式，且f(x 3) xg(x 3)被x 2 x 1整除，则 f(1)=_0_^ g(1)= 0 . 0 6 2 =23 。 1 1 — -2 0 1 x , 2x 2 2x 3 x 4 二 0 7. 2x 1 x 2 -2x 3 -2x 4 二 0 的一般解为 x( ~'X 2 _'4x 3 ~3x 4 = 0 题号 -一- -二二 -三 四 五 六 七 总分 得分 、填空(共35分，每题5 分) 得分 4.行列式 1 -3 5. ■’4 10" 1 0 3 -1、 -1 1 3 '9 -2 -1 2 1 0 2」 2 0 1 < 9 9 11 <1 3 4 丿 6. z 5 0 0 1 -1 <0 2 1； 0-2 3 矩阵的积

c 亠5 刘=2x3 X4 4 x3, x4任意取值。X2 二-2x^ --x4

、(10分)令f(x),g(x)是两个多项式。求证 当且仅当(f(x) g(x), f(x)g(x))=1。 证：必要性.设(f(x) g(x), f (x)g(x)) =1。(1% 令 p(x)为 f (x) g (x), f (x)g(x)的不可约公因式,(1% 则由 p(x) | f (x)g (x)知 p(x)| f (x)或 p(x) |g(x) o (1%) 不妨设 p(x) | f (x)，再由 p(x)|(f(x) g (x))得 p(x) | g(x)。故 p(x) |1 矛盾。(2%) 充分性.由(f (x) g(x), f (x)g(x)^1知存在多项式u(x), v(x)使 u(x)(f(x) g(x)) v(x)f(x)g(x)=1,(2%) 从而 u(x)f(x) g(x)(u(x) v(x) f(x)) =1,(2%) 故(f (x), g(x)) =1 o (1%) ax 「bx 2 2x 3 =1 ax 1 (2 b -1)x 2 3x 3 =1 ax 1 bx 2 - (b 3)X 3 = 2b _1 有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。 解： a b 2 1 a b 2 1 a 2b -1 3 1 T 0 b —1 1 0 b J* b+3 2b-1 , b+1 2b-2 ‘ (5%) a 2 - b 0 1 0 b -1 1 0 L 0 0 b+1 2b —2 当b =1时，有无穷解：X 3 = 0, X 2 = 1 - a%,人任意取值; 当a =0,b =5时，有无穷解：x 1 = k,x^ --3,x^ 4 ，k 任意取值；(3%) 当b = T 或a =0且b =二1且b = 5时，无解。(4%) 三、(16分)a,b 取何值时，线性方程组 当a(b 2 T) = 0时，有唯一解: 5-b a(b 1) X 2 2 b+1 x3 = 2b -2 b 1 ；4%) (f(x),g(x)) =1

厦门大学《高等代数》期末试题及答案(数学系)

10-11学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷 厦门大学《高等代数》课程试卷 数学科学学院 各 系 2010 年级 各 专业 主考教师：杜妮、林鹭 试卷类型：（A 卷） 2011.1.13 一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分） 1) 设b 为 3 维行向量， 123123 V {(,,)|(,,)} x x x x x x b == ，则____。C A)对任意的b ，V 均是线性空间；B)对任意的b ，V 均不是线性空间；C)只有当 0 b = 时，V 是线性空间；D)只有当 0 b 1 时，V 是线性空间。 2)已知向量组 I ： 12 ,,..., s a a a 可以由向量组 II ： 12 ,,..., t b b b 线性表示，则下列叙述正确的是____。 A A)若向量组 I 线性无关，则s t ￡ ；B)若向量组 I 线性相关，则s t > ； C)若向量组 II 线性无关，则s t ￡ ；D)若向量组 II 线性相关，则s t > 。 3)设非齐次线性方程组AX b = 中未定元个数为 n ，方程个数为m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则____。 D A)当r n < 时，方程组AX b = 有无穷多解； B) 当r n = 时，方程组AX b = 有唯一解；C)当r m < 时，方程组AX b = 有解；D)当r m = 时，方程组AX b = 有解。 4) 设 A 是m n ′ 阶矩阵，B 是n m ′ 阶矩阵，且AB I = ，则____。A A)(),() r A m r B m == ；B)(),() r A m r B n == ；C)(),() r A n r B m == ； D)(),() r A n r B n == 。 5) 设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换j 在基 123 ,, x x x 下的表示矩阵是 111 101 111 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ，则j 在基 123 ,2, x x x 下的表示矩阵是____。C A) 121 202 121 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； B) 1 2 11 22 1 2 11 0 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； C)11 22 121 0 121 ?? ?÷ ? ÷ ?÷ è? ；D) 1 2 1 2 11 202 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? 。 6) 设j 是 V 到 U 的线性映射，dim V ,dim U n m == 。若m n < ，则j ____。B A)必是单射； B)必非单射； C)必是满射；D)必非满射。

关于高等代数的一些解题方法总结

高等代数论文 题目：有关二次型的总结 学院：理学院 专业：信息与计算科学 姓名：王颀 学号：１１２７１０１４ 2011年12月30日

学习高等代数,最好的方法是多进行总结分类,将知识系统化。下面那二次型这章来进行操作。 二次型的问题来源于解析几何： 平面解析 一次曲线：Ax + By + C = 0 (直线)； 二次曲线：Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey = F → 经平移 变换化，旋转变换化成为Ax 2+ By 2 = d (二次齐次多项式) → 可根据二次项系数确定曲线类型（椭圆、抛物线、双曲线等）； 空间解析 一次曲面： Ax + By + Cz + D = 0 (平面)； 二次曲面： （平移后不含一次项）→ Ax + By + Cz + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz = G (18-19世纪上半期表示方法) → 通过方程变形，选定主轴方向为坐标轴，可化简为 a/x/2 + b/y/2 + c/z/2 = d/ → 据二次项系数符号确定二次曲面的分类 更一般的问题： 数域P 上含n 个变量x 1,x 2,…,x n 的二次齐次多项式如何化成平方和形式，即标准型问题，是18世纪中期提出的一个课题 了解了二次型的相关背景，我们进行对课本上二次型的内容进行总结。 二次型这章内容如下 5.1 二次型及其矩阵表示 5.2 二次型的标准形 5.3 惯性定理和规范形 5.4 实二次型的正定性 在这章的学习中，我们需要学会二次型的矩阵表示，求解矩阵的秩，通过线性替换将二次型化为标准型，了解矩阵合同，规范型，掌握正定二次型的判定方法。 例１.二次型??? ? ?????? ??=21 21213201),(),(x x x x x x f 的矩阵为（ 3 ）。 (1)、102 3?? ??? (2)、1 22 3?? ??? (3)、1113?? ??? (4)、1 113-?? ?-?? 注意对于任意一个二次型，都唯一确定这一个对称矩阵，这个对称矩阵才叫做二次型的矩阵。二次型的秩就是矩阵的秩。 例２.将二次型2212311213233(,,)246f x x x x x x x x x x x =+-++化为标准形，并写出所用的非退化线性替换。 解：用配方法： 2 2 2 2 12311232323233 (,,)[2(2)(2)](2)6f x x x x x x x x x x x x x x =+-+---++ 2221232233(2)103x x x x x x x =+--+- 2 2 2 2 12322333 (2)(1025)22x x x x x x x x =+---++

高等代数专题研究(本科)-2020.07国家开放大学2020年春季学期期末统一考试试题及答案

试卷代号：1079 座位号 国家开放大学2 0 2 0年春季学期期末统一考试 高等代数专题研究试题 2020年7月 一、单项选择题（每小题4分，共20分） 1．下列法则是整数集Z上的代数运算的是( )． A．α。b=α+b B．α。b=αb 2 C．α。b=√2αD．α。b=1 3 2．若向量组α1，α2…，αt与β，…，β1以均线性无关，则向量组α1+β1，…，αt+βt。( )．A．一定线性无关B．一定线性相关 C．可能线性相关，也可能线性无关D．以上说法都不对 3．设咒阶方阵A可对角化，则下列结论正确的是( )． A．A有n个不同的特征值B．A是可逆矩阵 C．A有n个线性无关的特征向量D．A是实对称矩阵 4．设σ是n维欧氏空间V上的线性变换，σ在基α1，α2，…，αn。下的矩阵为对称矩阵A，则( )． A．σ为可逆变换 B．当α1，α2，…，αn为标准正交基时，σ为对称变换 C．σ为正交变换 D．σ为对称变换 5．线性空间V上的双线性函数f(α，β)在不同基下的度量矩阵( )． A．相似B．相等 C．正交相似D．相合 二、填空题（每小题4分，共20分） 6．有理数域上的不可约多项式的次数是____________次的． 7．在有限维线性空间中，任意两个基所含向量酌个数是____________的． 8．设A，B都是n阶方阵，如果存在n阶可逆矩阵T，使T?1AT=B，则称A与B__________．9．若欧几里得空间V上的线性变换A保持向量长度不变，则A是___________变换．10．设A是n阶实矩阵，当A是__________矩阵时，A T A是正定矩阵. 三、计算题（每小题15分，共45分） 11．已知α1，α2，α3是3维线性空间V的一组基，向量组β1，β2，β3满足β1+β3=α1+α2+α3，β1+β2=α2+α3，β2+β3=α1+α3求由基β1，β2，β3到基α1，α2，α3的过渡矩阵． 12．设R3的线性变换σ定义如下：σ(x1，x2，x3)=（2x1?x2，x2?x3，x2+x3），求σ在基ε1=(1，0，0)，ε2=(0，1，0)，ε3=（0，0，1）下的矩阵． 13．用正交线性替换化实二次型x12+2x22+3x32?4x1x2?4x2x3为标准形. 四、证明题（共15分） 14．设f(x)，g(x)是数域P上的一元多项式，且(f(x)，g(x))=1．

高等代数教学改革研究

龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/c816793817.html, 高等代数教学改革研究 作者：陈林 来源：《科技视界》2012年第26期 【摘要】高等代数是高等院校数学专业的主干课程，该门课程的教学改革对整个数学专业学生的教学质量的提高以及培养目标的完成都起着主导作用。本文在分析目前高等代数课程教与学的基础上，为高等代数的课程内容、教学方法、指导思想和教育观念进行改革。 【关键词】高等代数；教学内容；教学方法；改革 0 引言 高等代数这门课程是各高等院校数学专业学生的必修课，它不仅仅是中学数学理论的延续，而且还是整个现代数学大厦的基石。通过对这门课程的系统的学习，有助于学生养成严谨的处事习惯，增强学生逻辑推理能力，培养学生的数学抽象思维能力。绝大多数大中专院校将高等代数课程列为研究生入学考试的必考科目之一。 但是，目前高等代数的主要内容，在文革之前就已经确定了，还基本上是沿用前苏联的高等代数内容体系。近年来，国内许多学者对高代的内容进行大量的革新尝试，但其中几道丝线基本内容变动不大，仍然难以适应日新月异的科学技术发展的趋势，难以发挥高等代数作为自然科学原动力的作用，不能适应目前教学、科研的诸多需求。况且，近30年来，数学的理论分支发展迅猛，新思想、新知识、新研究方法不断涌现，更加强调理论的适应性，即如何提高生产力和更多的创造经济价值。但现行的高等代数教材的内容过分强调数学的纯理论性，往往是直接突兀的给出一个定义或一个定理，而没有关于这个定义或定理形成过程的介绍，同时缺乏讨论这些数学理论的发展和应用。在传统的高等代数课程教学中，往往只注重向学生灌输知识，课堂教学基本上还是“教材+粉笔+黑板”模式。从而难以提高学生的学习积极性，学生很难在认识上有所突破。 总之，为了应对数学理论日益迅猛的发展形势，为了紧跟时代发展的脚步，为了遵循我国教育发展的规律，为了提高办学质量、培养新时代的创新型人才，必须对高等代数课程的指导思想、内容以及教学方法进行改革。 1 指导原则 1.1 突出师范特色 大部分师范院校学生毕业后是进中学和小学参加教书。许多师范院校的毕业生工作以后感到大学里学到的东西在中学里用不到。因此，作为师范院校高等代数课程的内容要坚持师范性与学术性的统一，重点要突出师范性。必须将该课程的教学内容由学术型向教育学术型转化，

电大专科高等代数专题研究形成性考核册作业答案小抄

电大《高等代数专题研究》作业参考答案 高等代数专题研究作业1 一、单项选择题：1-5：BCBDB 二、填空题1、交换。2、不等价、等价。3、1212()()a a a a σσσ()=⊕，且是A 到B 的双射。 4、具有下面性质的自然数的任何集合M 满足：:1;:i M ii ∈如果a M ∈，则'a M ∈。则M 含有一切自然数，即 M N =。 5、对于一个与自然数有关的命题T ，若i ：若n=1时命题T 正确；ii ：假设命题T 对n

高等代数试题2(附答案)

科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ? ?-----=17 5131 023A 的特征根是 ，特征向量分别为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ） 5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变换。其中 ),,,()(2 42 32 22 1x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（ ） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是)(2R M 的 子空间。（ ）