第四章 矩阵的相似标准形
第四章 矩阵的相似标准形
复方阵在相似意义下的标准形——Jordan 标准形（B A B AP P ~1?=-）。
第一节 特征值 特征向量
如果存在任意的一组基n ααα,,,21 ，使
=),,,(21n f ααα ),,,(21n ααα ),,,(21n d d d d ，
则n i d f i i i ,,2,1,)( ==αα。
定义1.1 设),hom(V V f ∈，V 为数域F 上的线性空间，若存在F ∈λ以及非零向量V ∈ξ，使得 λξξ=)(f
则称λ是线性变换f 的特征值，ξ为f 对应于特征值λ的特征向量。
例如：1 是恒等变换I 的特征值；0是零变换O 的特征值，一切非零向量都是他们的特征向量。
设V 为n 维线性空间，n ααα,,,21 为V 的一组基，f 在该组基下的矩阵为A ，ξ的坐标向量为X ，则)(ξf 的坐标向量为AX ，于是
存在0≠ξ，使得?=λξξ)(f 存在0≠X ，使得?=X AX λ存在0≠X ，使得?=-0)(X I A λ0=-A I λ。
因此，f 的特征值即是特征方程0=-A I λ在数域F 上的根；特征值λ对应的特征向量ξ的坐标向量X 就是齐次线性方程组
0)(=-X A I λ
的非零解。
定义1.2 设n n C A ?∈，n 次多项式0)(=-=A I C λλ称为矩阵A 的特征多项式；称0)(=-=A I C λλ的根为矩阵A 的特征值，记矩阵A 的特征值集为)(A λ；称满足X AX λ=的非零向量X 为矩阵A 的特征向量（属于特征值λ）。
定理1.1 若B A ~，则A 与B 有相同的特征多项式。 证 由B A ~知，B AP P =-1，于是A I AP P I B I -=-=--λλλ1。 定理1.2 设n n ij a A ?=)(，则
∑=--+=-n
k k n k k n
b A I 1)1(λλλ。
其中A b k =的所有k 阶主子式之和，特别)(1A tr b =，A b n =。
证 记),,,(21n e e e I =，),,,(21n A A A A =，则
n n A e A e A e A I ---=-λλλλ,,,2211
=
nn
n n n
n a a a a a a a a a ---------λλλ
2
1
22221
112
11000000
上式拆成每列或是i e λ或是i A -的行列式，共n 2个。对i e λ，可以从行列式中提出公因子λ；对i A -，可以从行列式中提出负号。于是
∑=+---=-n
i n
i i i n n n
e e A e
e e e e A I 1
11
11
21,,, λ
λλ
A e A
A e n n i n j
i
n )1(11
2
-+++∑≤≤- λ
∑=--+=n
k k
n k k n
b 1
)1(λλ。
推论 设n n ij a A ?=)(， n
i i A I 1
)(=-=-λλλ，则
∑∑====n i i n i ii a A tr 1
1
)(λ， n
i i A 1
==λ。
例1 求Frobenius 矩阵?
??
??
??? ?
?----=--1211000001000010000a a a a F n n n
的特征多项
式。
解 n n n n n n n n a a a a a d F I d +++++=+=-=----λλλλλλ122111 。
F I -λ的系数正是由F 的最后一列得到，称矩阵F 为该多项式的友阵
（companion matrix ）。
例2 设α、β为n 维列向量，T A αβ=，求A 的特征多项式。 解 由于1)()(=≤αr A r ，所以A 的所有)2(≥k 阶子式全为0。故k b =0，
0≥k ，而
αβαβαβT T T tr tr b ===)()(1
故1--=-n T n T I αλβλαβλ。
若βα==T )1,,1,1( ，则???
???
?
??=111111111 F ，)(1
n F I n T -=--λλλ。 例3 （1）证明：若A 、B 为n 阶方阵，则BA I AB I -=-λλ； （2）证明：若A 、B 为n s ?，s n ?阶方阵，则
BA I AB I s n -=-λλλλ。
证明（1）因为
AB I I
A
B I
-=λλ，
BA I I
B A
I -=λλ，且
???
?
??=???? ?????? ?????? ??I B A I I I I A
B I
I I λλ0000,
BA I AB I -=-?λλ。
（2）不妨设n s >，作两个s 阶方阵，()01A A =，???
?
??=01B B ，对1A 、
1B 用（1）的结果有1111A B I B A I -=-λλ，而
AB I B A I s s -=-λλ11，BA I I BA
I A B I n n s n
s n s -=-=
---λλλλλ0
11，
BA I AB I s n -=-?λλλλ。
例4 若对线性变换f 存在正整数k ，使0=k f ，则称f 为幂零变换，试证：幂零变换的特征值全为零。
证明 设λ为幂零变换f 的任一特征值，则存在非零向量ξ，使 λξξ=)(f ，
于是 ξλξ22)(=f ，…，θξλξ==k k f )(，00=?=λλk 。 推论 如果线性变换f 对多项式m m x a x a a x +++= 10)(?，有
θ?=+++=m m f a f a I a f 10)(，则0)(=λ?，
λ是线性变换f 的特征值。
第二节 Schur 引理 Hamilton-Cayley 定理
定理2.1（Schur 引理） 任一n 阶复方阵A 必酉相似于上三角阵，即存在酉矩阵U ，使
??
?
?
?
?
?
?
?=n n n H r r r AU U λλλ 00022
1121。 证明 对n 作数学归纳。
当1=n 时，()a A =，本身就是一个上三角阵，取一阶酉阵()1=U 即
可。
设1-n 阶复方阵命题成立。考虑n n C A ?∈，设1λ为A 的一个特征值，
1X 为相应的单位特征向量，将1X 扩充为酉空间n C 的标准正交基n X X X ,,,21 ，记酉矩阵为()n X X X U ,,,211 =，于是
),,,(21n X X X A =()?
??
?
??B X X X n 0,,,121αλ ， 其中B 为1-n 阶复方阵，由归纳法假设，存在1-n 阶酉阵2U ，使 122T BU U H =，1T 为1-n 阶上三角阵。 于是令????
?
?=21001U U U ，U 为酉阵，则
???? ?????? ??=2112001001U AU U U AU U H H H
???? ?????? ?????? ?
?=2120010001U B U H αλ T
T U BU U U
H =???
?
?
?=????
??=121
222100αλ
αλ
，
T 是一个上三角阵。
如果A 是实方阵，且特征值全为实数，酉阵则改为正交阵。 推论 设A 是特征值全为实数的实方阵，则A 正交相似于实上三角阵。
定理2.2 （Hamilton-Cayley 定理）设n
n C A ?∈，A 的特征多项式为
)(λC ，则θ=)(A C 。
证明 由Schur 引理，存在酉矩阵U ，使
T r r r AU U n n n H
=??
??
??
?
?
?=λλλ 00022112
1，故A
的特征多项式 n
i i C 1)()(=-=λλλ，于是
n
i i I T T C 1
)()(=-=λ。
记 k
i i k I T P 1
)(=-=λ，n k ,,2,1 =
现证k P 为前k 列全是零的上三角阵。
首先由T 可知I T P 11λ-=是第一列全为零的上三角阵。 设1-k P 为前1-k 列全是零的上三角阵????
?
?Γ-100k B ，其中1-Γk 是1+-k n 阶上三角阵。由于I T k λ-是()k k ,元为零的上三角阵，故可将它分块为 ???
?
??4321
B B B B ， 其中1B 为1-k 阶方阵，2B 为1)1(?-k 矩阵，则 ?
??
?
??Γ=-=--1100)(k k k k B I T P P λ???? ?
?43210
0B B B B ???
?
??Γ=-4140000B BB k ， 可见k P 的前k 列全是零，自然还是上三角阵。 特别，当n k =时，0=n P ，也即0)(=T C ，于是 θ==H U A UC A C )()(。
推论 设线性变换),(V V Hom f ∈，n V =dim ，f 的特征多项式为
)(λC ，则)(f C 是零变换。
证明 设线性变换f 在某组基下的矩阵为A ，则)(f C 的矩阵为
)(A C ，且θ=)(A C ，则θξ==X A C f c )()(。
例
1 设???
?
?
??------211301221A ，求100A 。
解 矩阵A 的特征多项式是2)1)(1()(+-=-=λλλλA I C 。
设c bx ax x q x x x ++++-=22100)()1)(1(， （1）
当1=x 时，c b a ++=1， （2） 当1-=x 时，c b a +-=1，
（3） 对式（1）关于x 求导数得
b ax x q x x x q x x x q x x ++'+-++-++=2)()1)(1()()1)(1(2)()1(1002299，
当1-=x 时，b a +-=-2100， （3） 由式（1）、（2）、（3）解得
50=a ，0=b ，49-=c ，
所以???
?
?
??---=-=20101002001100400019949502100
I A A 。
例2
设???
?
?
??=a a a A 001000，则其特征多项式为3)()(a C -=λλ，
0)(3=-?aI A ，而 0)(2=-aI A ，0)(≠-aI A ，
由此可见，使0)(=A f 的多项式)(x f ，除特征多项式之外，还可能有其他次数比特征多项式次数低的多项式。
定义 设n n C A ?∈，若有多项式)(x f 使得0)(=A f ，则称)(x f 为A 的化零多项式；
在A 的化零多项式中，次数最低且最高幂次项系数为1的多项式成为A 的最小多项式。
定理2.3 （1）方阵A 的最小多项式)(x m 必整除A 的化零多项式
)(x f ；
（2）方阵A 的最小多项式)(x m 与其特征多项式为)(x C 有相同的
零点；
（3）相似矩阵有相同的最小多项式。 证明 （1）因为)(x f )()()(x r x q x m +=，
若0)(≠x r ，则)(x r 的次数)(x m <的次数，将方阵A 代入上式，则
0)()()()(=+=A r A q A m A f ，
于是)(A r 也是A 的化零多项式，有)(x r 次数比)(x m 的次数低，这与)(x m 是最小多项式矛盾，所以)(x r =0，既)(x m 整除)(x f 。
（2）因为特征多项式为)(x C 是A 的化零多项式，由（1）知 )()()(x q x m x c = 所以)(x m 的零点必是)(x C 的零点。
反之，若0)(0=λC ，说明0λ是A 的特征值，所以存在0≠X ，使得 X AX 0λ=，,,022 X X A λ=X X A k k 0λ=，
故对多项式)(x m 而言，必有X m X A m )()(00λ==，而0≠X ，所以
0)(0=λm 。
（3）0)()(~==?λλB A C C B A
由（2）知，)()()()()(21x q x m x q x m x C B A A ==，)(x C A 与)(x m A 、)(x m B 有相同的零点。
BU U A B A H =?~，U B m U BU U m A m A H H A A )()()(==
当0)(0)(=?=B m A m A A ，)(x m A 是B 的化零多项式，)(x m A 的次数
)(x m B ≥；
当0)(0)(=?=A m B m B B ，)(x m B 是A 的化零多项式，)(x m B 的次数
)(x m A ≥，
所以 =)(x m B )(x m A 。 注 注
例3
设),,,,(b b b a a diag A =，?????
?
?
?
?
?=b b b a a B 000010000000
0000
0001，b a ≠，则 A 、B 的特征多项式都是32)()(b a --λλ， A 、B 的最小多项式是l k b a )()(--λλ，3,2≤≤l k ，
由于 0))((=--bI A aI A ，则A 的最小多项式是))((b a --λλ。
对于B ，记101T b a b a =???? ??--，101T a b a b =???? ??--，N =???
?
??0010，
注
而0≠N ，02=N ，k T 1、l T 2均可逆，从而
???
??
?
?=--l k k
l l
k N T T N bI B aI B 2100000
00
)()(， 所以0)()(=--l k bI B aI B 的最小l k ,应为2，因此，A 、B 的最小多项式不相同，故A 、B 必不相似。
第三节 相似对角化的充要条件
特征向量对化简矩阵起着很大作用，因此必须先研究矩阵的全体特征向量。
定义3.1 设),hom(V V f ∈，0λ为f 的特征值，称
},)({00V f V ∈==ξξλξξλ
为f 的特征子空间（相应于0λ）。
定义3.2 设n n C A ?∈，0λ为A 的特征值，称
},{00n C X X AX X V ∈==λλ
为A 的特征子空间（相应于0λ）。
这两个特征子空间同构。
定理 3.1 设k λλλ,,,21 为f 的相异特征值，则和
k V V V λλλ+++ 21是直和。
证明 当2=k 时，设21λλ≠，若2
1
λλαV V ∈，则
θαθαλλαλαλα=?=-?==)()(2121f 所以}{2
1
θλλ=V V ，故2
1
λλV V ⊕。
假定当1-k 时命题成立。下面考虑k 个相异特征值的情况。 设i
V λ中的向量k i i ,,2,1, =α，使得
θααα=+++k 21 （1） θααα=+++)(21k f θαλαλαλ=+++?k k 2211 （2） （2）—k λ（1）
θαλλαλλαλλ=-++-+-?--112211)()()(k k k k k 由归纳法假设知121-+++k V V V λλλ 是直和。
θαλλ=-?i k i )(，θααα====?-121k ， θα=?k ，k V V V λλλ⊕⊕⊕ 21。
定理 3.2 设),hom(V V f ∈，r λλλ,,,21 为f 的r 个相异特征值，f 的特征多项式
n c C r
i i C r
i i i
=-=∑==1
1
,)()( λλλ，
则i C V i
≤λdim ，r i ,,2,1 =。
证明 设0λ为)(λC 的m 重根，s V =0
d im λ ，0
λV 的一组基为
s ααα,,,21 ，将它们扩充为V 的一组基n ααα,,,21 。由于
s i f i i ,,2,1,)(0 ==αλα
所以
=),,,,,(21n s f αααα ???
? ??210210
),,,,,(A A I s
n s λαααα ， 20)()(A I C s n s --=?-λλλλ， 即0λ至少是)(λC 的s 重根，故i C s ≤。
称i C 为i λ的代数重数；i s V i
=λdim 为i λ的几何重数。
因为直和，所以
V n C V V r
i i r
i r
i i i dim dim dim 1
1
1
==≤=∑∑∑===λλ，
故?=i C V i
λdim r V V V V λλλ⊕⊕⊕= 21。
当r V V V V λλλ+++= 21时，以 r V V V λλλ,,,21 的基的并集为V 的一组基，而基向量全是f 的特征向量，故f 在此组基下的矩阵为对角阵；反之，若f 在某组基下矩阵为对角阵
),,,(2
1
21r
C r C C I I I d i a g λλλ
其中r λλλ,,,21 互异，则对于特征值i λ至少有i C 个线性无关的特征向量，又i i C S ≤，所以i i C S =，且r V V V V λλλ+++= 21。
定理 3.3 设),hom(V V f ∈， f 的特征多项式
n c C r
i i C r
i i i
=-=∑==1
1
,)()( λλλ，r λλλ,,,21 为f 的r 个相异
特征值，则下列命题等价：
（1）f 的矩阵可相似于对角阵（称f 可相似对角化）； （2）i C V i
=λdim ，r i ,,2,1 =；
（3）r V V V V λλλ⊕⊕⊕= 21。
定理 3.4 设),hom(V V f ∈，则f 的矩阵可相似对角化的充要条件是f 的最小多项式无重因式。
证明 设f 在基n ααα,,,21 的矩阵为A ，特征多项式为
n c C r
i i C r
i i i
=-=∑==1
1
,)()( λλλ，r λλλ,,,21 为f 的r 个相异特征值。
必要性 若),,,(~2
1
21r
C r C C I I I diag A λλλ =Λ，而0)(1
=-Λ= r
i i I λ，
所以A 的最小多项式为 r
i i 1
)(=-λλ无重因式。
充分性 若A 的最小多项式为)(λm 无重因式，
r
i i m 1
)()(=-=λλλ，于是
0)(1
=-= r
i i
I A λ，
由第0章第25题结论知
n
n r nr I A r nr I A r n V r
i i r
i i
r i i
=--≥--=--=∑∑∑===)1()
()]
([dim 1
1
1
λλλ
又n C s V r i i r i i r i i
=≤=∑∑∑===111
dim λ，所以n V r
i i
=∑=1
dim λ，于是i i C S =。
能相似对角化的矩阵称为准单纯阵。
定理 3.4 n 阶方阵A 相似于对角阵，且有)1(n r r ≤≤个相异特征值?r λλλ,,,21 存在r 个非零方阵r P P P ,,,21 及r 个互异数r λλλ,,,21 ，使得：
（1）r r P P P A λλλ+++= 2211；（2）I P P P r =+++ 21；（3）0=j i P P ；（4）i i P P =2。
证明 必要性 若n 阶方阵A 相似于对角阵，且有)1(n r r ≤≤个互异特征值r λλλ,,,21 ，则存在可逆矩阵P ，使得
),,,(21211r C r C C I I I diag AP P λλλ =-， 从而 P I I I d i a g P A r
C r C C ),,,(2
1
211λλλ
-=， 记P I diag P P i
C i i )0,,,,0(1 λ-=，r r P P P A λλλ+++=? 2211。
充分性 n C X ∈?，
)()()(2121r r P R P R P R X P X P X P X +++∈+++=? ， )()()(21r n P R P R P R C +++=? 。
)(i P R X ∈?，n C Y ∈?，使得，
Y AP AX i =?X Y P Y P P P P i i i i r r λλλλλ==+++=)(2211 ，
所以i λ是A 的特征值，且i P 的值域)(i P R 含于特征子空间i
V λ。
又特征值r λλλ,,,21 互异，则)()()(21r n P R P R P R C +++=
n C V V V r ?⊕⊕⊕?λλλ 21，
因此r V V V C n
λλλ⊕⊕⊕= 21。
例1 在n x R ][中作∈?+=)(),1()]([x P x P x P f n x R ][。 （1）试证f 是线性变换；
（2）研究线性变换f 是否能相似对角化，并求f 的特征子空间。
解 （1）略
（2）取12,,,,1-n x x x 为n x R ][的一组基，则在该组基下的矩阵为
????
??
? ??-=100110111
n A 特征多项式n C )1()(-=λλ，而1)(-=-n I A r ，所以 1)1(dim 1=--==n n V λ，
而特征值的代数重数是n ，因此，当2≥n 时，f 不可能相似对角化。
求特征值1相应的特征子空间：
T c X X I A )0,,0,1(0)( =?=-
在n x R ][中，R V =1。
例2 求矩阵方程n n C X I X X ?∈=+-,0652。
解 )3)(2(65)(2--=+-=x x x x x ?为x 的化零多项式，且无重因式。又最小多项式)(x m 整除)(x ?，所以)(x m 必无重因式，所以
i n diag X λλλλ),,,,(~21 满足0652=+-λλ，其特征值只可能取
2和3，
所以 ????
?
?-r n r
I I X 3002~，n r ≤≤0，即
1
3002--????
?
?=P I I P X r n r ，P 为任一n 阶可逆阵。
例3 设k
k a a a J ??????
???
??= 00010000100010，（2≥k ）试证0J 不能相似于对角阵。
证明1 0J 特征多项式k a C )()(-=λλ，记N I aI J k =?
??
?
??=--00010，则
011≠???
? ??=-θθ
θk N ，0=k N ，所以0J 的最小多项式为 k a )(-λ。
当2≥k 时，0J 不能相似于对角阵。
证明2（反证）因为相似矩阵有相同的特征多项式，若0J 相似于对角阵，则该对角阵的对角元必全为a ，即存在可逆矩阵P ，使得
aI P J P =-01， aI aIP P J ==?-10，
这与aI J ≠0矛盾，故0J 不能相似于对角阵。
证明3 0J 特征值a =λ是)2(≥k 重根，而
k k k aI J r k V a ≠=--=--=1)1()(dim 0，
当2≥k 时，0J 不能相似于对角阵。
例4 设???
?
??=B A C 00，()n n ij a A ?=，()s s ij b B ÷=，证明：?Λ~C ()n n ij a A ?=，()s s ij b B ÷=均相似于对角阵。
证明 21~,~""ΛΛ?B A ，即22121111,Λ=Λ=--BP P AP P ，记
???? ?
?=21
0P P P ???
?
?
?ΛΛ=???? ???-2110000P B A P 。 Λ?~C ""已知，设可逆矩阵),,,P P 21s n P P += （，使得),,,(211s n d i a g CP P +-=λλλ 。
记???
?
??=i i i Y X P ，s n i C Y C X s
i n i +=∈∈,,2,1,, ，则由
),,,(21s n Pdiag CP +=λλλ
有 =???? ??????
??++s n s n Y Y Y X X X B A
2
1
21
00???
?
??++s n s n Y Y Y X X X 2
1
21
),,,(21s n d i a g +λλλ
s n i X AX i i i +==,,2,1, λ （*）
s n i Y BY i i i +==,,2,1, λ
（**）
由于P 可逆，所以),,,X 21s n X X + （的n 个行必线性无关，因此，其列秩也是n ，即存在n 个线性无关的n 维列向量i X 使得（*）成立，故A 可相似于对角阵。
同理，由于P 可逆，所以),,,Y 21s n Y Y + （的s 个行必线性无关，因此，其列秩也是s ，即存在s 个线性无关的s 维列向量i Y 使得（**）成立，故B 可相似于对角阵。
第四节 Jordan 标准形
定义4.1 设1,000010000000001000010≥??????
????
??=?k a a a a a J k
k ， 称0J 为Jordan 块，称0=a 的Jordan 块为Jordan 羃零块。由Jordan 块
s J J J ,,,21 组成的准对角阵),,,(21k J J J diag J =为
Jordan 形矩阵。
注
引理 设f 为线性空间V 的线性变换，若存在互素多项式)(x p 和
)(x q ，使得0)()(=f q f p ，则S W V ⊕=，
其中)]([)],([f q K S f p K W ==，且W 和S 都是f 的不变子空间。 证明 由多项式理论知，若)(x p 和)(x q 互素，则存在多项式)(x h 和
)(x g ，使得
1)()()()(=+x q x g x p x h ， 因此 I f q f g f p f h =+)()()()(，
任意S W ∈α，有ααα=+)()()()(f q f g f p f h ，
由于W ∈α，有θα=)(f p ；S ∈α，有θα=)(f q ，θα=?， 即S W S W ⊕=+。
V ∈α，有ααα=+)()()()(f q f g f p f h ，
而 )()()()(f h f p f p f h =，
于是 θ==)()()()()()(f h f p f q f p f h f q ，
S f p f h ∈?α)()(，同理W f q f g ∈?α)()(，
S W S W V ⊕=+=?。
由于)()(f fp f f p =，所以W 中的向量α，其象)(αf 仍在)]([f p K 中；对于S ，同样，故它们都是f 的不变子空间。
定义4.2 设),hom(V V f ∈，f 的特征多项式
n c C r
i i C r
i i i
=-=∑==1
1
,)()( λλλ，r λλλ,,,21 为f 的r 个互异
特征值， 称},)({V I f V i
C
i i ∈=-=ξθξλξ，r i ,,2,1 =为f 的根子空间（关
于特征值i λ）。
定理4.1（分解定理）设),hom(V V f ∈，f 的特征多项式
n c C r
i i C r
i i i
=-=∑==1
1
,)()( λλλ，
r λλλ,,,21 为f 的r 个互异特征值， },)({V I f V i
C i i ∈=-=ξθξλξ，
r i ,,2,1 =，则r V V V V ⊕⊕⊕= 21。
证明 应用引理的结论即可。
推论 设),hom(V V f ∈，f 的特征多项式
n c C r
i i C r
i i i
=-=∑==1
1
,)()( λλλ，
r λλλ,,,21 为f 的r 个互异特征值， },)({V I f V i
C i i ∈=-=ξθξλξ，
r i ,,2,1 =，则i i C V =dim 。
证明 首先从i V 的定义知i
V V i λ?},)({V I f i ∈=-=ξθξλξ，且i V 为f
的不变子空间。
取r V V V ,,,21 的基之并为V 的基，记i i B V f =][，于是在该组基下
f 的矩阵是
A B B B d i a g f r ==),,,(][21
f 的特征多项式
∏==-=-=-=r
i i r C r
i i B I A I C i i
1
1
)()(λλλλλ ，
其中i r 为i B 的阶数，也即i V 的维数。
因为满足αλαi f =)(的α在i V V i
?λ中，所以i λ是i V f 的矩阵i B 的特
征值；又当j i ≠时，βλβj f =)(的βj V V j
?∈λ，而}{θ=i j V V ，所以j
λ必不是j V f 的矩阵j B 的特征值，因式i λλ-必出现在i B I -λ中，因式
j λλ-必出现在i B I -λ中，于是
r i B I i
C i i ,,2,1,)( =-=-λλλ
故i i C V =dim 。
记i i i i g I V f g ,λ-=为i V 上羃零变换。
定义4.3 设g 为W 的羃零变换，k 为正整数，W ∈ξ，若W 的子空
间},),(,{1
）（g g span k ξξξ- 为g 的不变子空间，则称它是g 的循环不变子
空间。
定理 4.2 设g 为W 的羃零变换，则W 的子空间
},),(,{1
0）（g g span W k ξξξ-= 为g 的不变子空间θξ=?)(k g 。
证明 ""?由定义4.3 得证。
""?若θξ≠)(k g ，由于g 为羃零变换，必存在正整数m ，使得θ=m g ，自然θ
ξ=)(m g ，因此，必存在正整数m l k l ≤≤+1,，使得
θξ≠-)(1l g ，θξ=)(l g 。
而）（g g l ξξξ1,),(,- 线性无关，所以）（g g k ξξξ,),(, 线性无关，又都属于
0W ，故1dim 0+=k W ，这与k W ≤0dim 矛盾。
定理4.3（分解定理2）设g 为m 维线性空间W 的羃零变换，则W 可分解为g 的循环不变子空间的直和。 证明 对W 的维数m 作数学归纳法。
当1=m 时，g =0，设ξ为W 的基，}{ξspan W =，而θξ=)(g ，W ?本身就是g 的循环不变子空间，故命题成立。
设命题对维数1-≤m 的情况成立，下面考虑m 维的情况。 由于羃零变换g 的特征值为0，所以1)(dim ≥=t g K ，于是)(dim g R 最多是1-m ，)(g R 又是g 的不变子空间，因此g 可看作是线性空间
)(g R 的线性变换，自然是幂零变换。
由归纳法假设，)(g R 可分解为g 的循环不变子空间的直和，记 s W W W g R ⊕⊕⊕= 21)(
其中i W 的基为},),({）（
g g i l
i i
ξξ ，)()(g K g i l i
∈?，s i ,,2,1 =， 又s W W W ⊕⊕⊕ 21，所以）（g g s l l i
s ξξ,),(11
线性无关。将它们扩
充为)(g K 的基，记为
t s s l l ）（g g i
s ηηξξ,,,,),(111
+，
下列m 个向量线性无关：
,,,),(,1111
）（g g l
ξξξ）（
g g s l s s s
ξξξ,),(, ，t s ηη,,1 +， 上式是W 的一组基，且W 可分解为t 个g 的循环不变子空间的直和，即
W
⊕⊕⊕=+}{}{1t s span span ηη ⊕
⊕ },),(,{1111
）（g g span l ξξξ},),(,{）（g g span s l s s s
ξξξ 。
将上述的次序倒一下，则g 在该组基下的矩阵是t 个Jordan 羃零块组成的准对角阵。
推论1 设g 为m 维线性空间W 的羃零变换，则g 的矩阵必可相似于
),,,(21t N N N diag
其中i N 均为Jordan 羃零块，t 是)(g K 的维数。
推论2 设g 为m 维线性空间W 的羃零变换，则W 上线性变换
I
g f 0λ+=的矩阵必相似于主对角元为0λ的Jordan 形矩阵，其块数
0dim λV t =，0λV 为f
的特征子空间。
定理4.4 （Jordan 标准形存在性定理） 设f 是复数域上n 维线性空间V 的线性变换，则V 中必存在一组基，使得f 在该组基下的矩阵为Jordan 形矩阵。
推论3 设n n C A ?∈，则必存在可逆矩阵n n C P ?∈，使得 J AP P =-1，
J 为Jordan 形矩阵（称J 为矩阵A 的Jordan 标准形）
。
矩阵分析实验报告
矩 阵 分 析 实 验 报 告 学院：电气学院 专业：控制工程 姓名：XXXXXXXX 学号：211208010001
矩阵分析实验报告 实验题目 利用幂法求矩阵的谱半径 实验目的与要求 1、 熟悉matlab 矩阵实验室的功能和作用； 2、 利用幂法求矩阵的谱半径； 3、 会用matlab 对矩阵分析运算。 实验原理 理念 谱半径定义：设n n A C ?∈，1λ，2λ，3λ， ，j λ， n λ是A 的n 个特征值，称 ()max ||j j A ρλ= 为关于A 的谱半径。 关于矩阵的谱半径有如下结论： 设n n A C ?∈，则 （1）[]()()k k A A ρρ=； （2）2 2()()()H H A A AA A ρρ==。 由于谱半径就是矩阵的主特征值，所以实验换为求矩阵的主特征值。 算法介绍 定义：如果1λ是矩阵A 的特征值，并且其绝对值比A 的任何其他特征值的绝对值大，则称它为主特征值。相应于主特征值的特征向量1V 称为主特征向量。 定义：如果特征向量中最大值的绝对值等于单位值（例如最大绝对值为1），则称其为是归一化的。
通过形成新的向量' 12=c n V （1/）[v v v ]，其中c=v 且1max {},j i n i ≤≤=v v 可将特 征向量 '12n [v v v ]进行归一化。 设矩阵A 有一主特征值λ，而且对应于λ有唯一的归一化特征向量V 。通过下面这个称为幂法（power method ）的迭代过程可求出特征对λ，V ，从下列向量开始： []' 0=111X （1） 用下面递归公式递归地生成序列{}k X ： k k Y AX = k+11 1 k k X Y c += （2） 其中1k c +是k Y 绝对值最大的分量。序列{}k X 和{}k c 将分别收敛到V 和λ： 1lim k X V =和lim k c λ= （3） 注：如果0X 是一个特征向量且0X V ≠，则必须选择其他的初始向量。 幂法定理：设n ×n 矩阵A 有n 个不同的特征值λ1，λ2，···，，λn ，而且它们按绝对 值大小排列，即： 123n λλλλ≥≥≥???≥ (4) 如果选择适当的X 0，则通过下列递推公式可生成序列{[() ()( ) ]}12k k k k n X x x x '=???和 {}k c ： k k Y AX = (5) 和： 11 1k k k X Y c ++= (6) 其中： () 1k k j c x +=且{} ()()1max k k j i i n x x ≤≤= (7) 这两个序列分别收敛到特征向量V 1和特征值λ1。即： 1lim k k X V →∞ =和1lim k k c λ→∞ = (8) 算法收敛性证明 证明：由于A 有n 个特征值，所以有对应的特征向量V j ，j=1，2，···n 。而且它们是
矩阵函数的求法
二、利用零化多项式求解矩阵函数. 利用Jordan 标准型求解矩阵函数的方法比较复杂，它需要求J 和P 。下面我们介绍根据零化多项式求解矩阵函数的一种方法。 定律：n 阶方阵A 的最小多项式等于它的特征矩阵的第n 个（也就 是最后一个）不变因子n d ()λ。（可参见张远达《线性代数原理》P215） 设n 阶方阵A 的不变因子反向依次为n d (),λn 11d (),,d ()-λλ ，由它们给出的初等因子分别为 12r m m m 12r (),(),,()λ-λλ-λλ-λ ；s r 1m m r 1s (),,()++λ-λλ-λ ； ，s i i 1 m n ==∑ 由于1223n 1n d ()|d (),d ()|d (),,d ()|d ()-λλλλλλ ，故 1o r 1s ~+λλ必定出现在1r ~λλ中； 2o 若i j (i r)(j r)λ>=λ≤则i j m m ≤ 根据上述定理，A 的最小多项式 12r m m m 012r ()()()()?λ=λ-λλ-λλ-λ 即 12r m m m 12r (I A)(I A)(I A)O λ-λ-λ-= 令r i i 1m m ==∑，则可见m A 可以由02m 1A I,A,A ,,A -= 线性表示，从 而m i A (0)+λ>亦可由02m 1A I,A,A ,,A -= 线性表示。所以，矩阵函数f(A)若存在，也必定可由0m 1A ~A -线性表示。 因此，我们定义一个系数待定的(m -1)次多项式m 1 i i i 0g()c -=λ=λ∑，根据 以上论述，适当选择系数0m 1c ~c -，就可以使f (A )=g (A )
swot自我分析矩阵表
SWOT自我分析 自我认知与个人分析是进行清晰的自我定位的基础，对一个人的成长和发展具有极其重要的作用。本文将运用我们所学过的SWOT分析，希望在认清自己的优点和弱点的同时，结合社会现状，客观地评估自己，并作出适合自己又适应社会发展的事业生涯规划。 一、SWOT分析法简介 SWOT分析法又称为态势分析法，它是由哈佛商学院的K·J·安德鲁斯教授于1971年在其《公司战略概念》一书中提出的，是一种能够比较客观而准确地分析和研究一个单位现实情况的方法。SWOT四个英文字母分别代表：优势（Strength）、劣势（Weakness）、机会（Opportunity）、威胁（Threat）。从整体上看，SWOT可以分为两部分：第一部分为SW，主要用来分析内部条件；第二部分为OT，主要用来分析外部条件。利用这种方法可以从中找出对自己有利的、值得发扬的因素，以及对自己不利的、要回避的东西，发现存在的问题，找出解决办法，并明确以后的发展方向。通过这种分析，可以将问题按轻重缓急分类，明确哪些是目前急需解决的问题，哪些是可以稍微拖后的事情，哪些属于战略目标上的障碍，哪些属于战术上的问题，并将这些研究对象列举出来，依照矩阵形式排列，然后用系统分析的思想，把各种因素相互匹配起来加以分析，从中得出一系列相应的结论，有利于领导者和管理者做出较正确的决策和规划。 二、SWOT分析法应用 （一）背景资料 ××，女，预备党员，1994年出生，2011年9月××大学工学院物流工程专业，现读大二，将于2015年毕业。 （二）内外部环境分析(SW)： S：优势 （1）有很强的学习、模仿能力、社会适应能力，责任感强，一定的组织能力。 （2）学习、做事认真踏实，具备一定的人文素养、逻辑思考和书面表达能力。 （3）心思细腻，喜欢思考，思考问题比较细致、缜密，有一定的分析能力。 （4）开朗乐观、志向高远、生活态度积极、长于发现事物的积极面。 （5）诚实稳重、为人正直、待人诚恳、喜欢与人交往。
矩阵的各种标准形研究
玉林师范学院本科生毕业论文 反例在数学证明中的运用Study about the Kind of Matrix Standard Form Question 院系数学与信息科学学院 专业数学与应用数学 学生班级2010级1班 姓名 学号201004401137 指导教师单位数学与信息科学学院 指导教师姓名 指导教师职称副教授
数学与应用数学2010级1班梁玉漫 指导老师钟镇权 摘要 数学与应用数学专业本科生撰写学位论文应当符合写作规范和排版格式的要求.以下格式为依据国家标准和行业规范所编制的学士学位论文格式模板，供我系毕业生参照使用.理工科论文句号一律用实心圆点. 摘要部分说明： “摘要”是摘要部分的标题，不可省略. 标题“摘要”可选“标题1+四号”或手动设置成字体：黑体，居中，字号：四号，1.5倍行距，段前为0，段后11磅. 论文摘要是学位论文的缩影，文字要简练、明确。内容要包括目的、方法、结果和结论。单位制一律换算成国际标准计量单位制，除特别情况外，数字一律用阿拉伯数码。文中不允许出现插图. 摘要正文选用模板中的样式所定义的“正文”，每段落首行缩进2个汉字；或者手动设置成每段落首行缩进2个汉字，字体：宋体，字号：小四，行距：多倍行距1.25，间距：前段、后段均为0行，取消网格对齐选项. 摘要篇幅以一页为限，字数为300-500字. 摘要正文后，列出3－5个关键词。“关键词：”是关键词部分的引导，不可省略。关键词请尽量用《汉语主题词表》等词表提供的规范词. 关键词与摘要之间空一行.关键词词间用逗号间隔，末尾不加标点，3－5个，黑 体，小四.
Mathematics and Applied Mathematics 2007-2 Supervisor Su Derong Abstract Study about the question of matrix not only is the foundation of studying classical mathematics, also is useful value for the mathematics theory. It is not only an important branch of mathematics, also already become the powerful tool of processing massive question in the modern science and technology .Specially, computer has been used, which is opened the broad prospect for studying about the question of matrix. But the standard form of matrix has very important status whether in the theory or in the application. This article takes standard form of matrix as research object, starting from equal normal form, according to characteristic nature and qualitative, draws about two kind of different standard forms----similar standard form and contract standard form. What is more , sums up these two kinds of standard form convergence point as the solid symmetrical matrix standard form, through many examples, make every standard form expresses itself clearly, also causes the relation between them clearer. In the end , sums up the relation of several standard forms. Make us to understand the problem more profound. Key words: matrix, equal standard form, similar standard form, contract standard form
EFE矩阵、EFE矩阵分析
EFE矩阵,IFE矩阵,CMP矩阵。企业内外部环境分析工具 1、EFE矩阵 EFE矩阵可以帮助战略制定者归纳和评价经济、社会、文化、人口、环境、政治、政府、法律、技术以及竞争等方面的信息。建立EFE矩阵的五个步骤如下： 1）列出在外部分析过程中所确认的外部因素，包括影响企业和其所在产业的机会和威胁。 2）依据重要程度，赋予每个因素以权重（0.0～1.0），权重标志着该因素对于企业在生产过程中取得成功影响的相对重要程度。 3）按照企业现行战略对各个关键因素的有效反应程度为各个关键因素打分，范围0～4分，“4”代表反应很好，“1”代表反应很差。 4）用每个因素的权重乘以它的评分，即得到每个因素的加权分数。 5) 将所有的因素的加权分数相加，以得到企业的总加权分数。 结论：总加权分数为4.0，说明企业在整个产业中对现有机会与威胁作出了最出色的反应，企业有效利用了现有的机会并将外部威胁的不利影响降低到最小。而总加权分数为1.0, 则说明企业的战略不能利用外部机会或回避外部威胁。 2、 IFE矩阵 IFE矩阵是对企业内部因素进行评价，它总结和评价了企业各个职能领域的优势和弱点，并为确定和评价这些领域之间的关系提供了基础。建立IFE矩阵的五个步骤： 1）列出在内部分析过程中确定的关键因素，包括优势和劣势两方面，总数在10～20之间。 2）赋予每个因素以权重（0.0~1.0）,权重标志着各个因素对其在产业中成败影响的相对大小。 3）为各个因素进行评分，4代表重要优势，1代表重要弱点。 4）用每个因素的权重乘以它的评分，得到每个因素的加权分数。 5）将所有因素的加权分数相加，得到企业的总加权分数。 3、 CMP矩阵 竞争态势矩阵（CPM）用于确认企业的主要竞争者以及相对于该企业的战略地位，这些主要竞争者的特定优势和弱点。CPM和EFE的权重和总加权分数的涵义相同。但是CPM中的因素包括内部因素和外部因素两类。
相似矩阵的性质及应用
华北水利水电大学相似矩阵的性质及应用 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2013年11月6 日
摘要：若矩阵P可逆,则矩阵P-1AP与A称为相似。矩阵相似的概念是为深入研究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题 进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。相似矩阵有很多应用。例如：利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性；两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系；矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结果；尤其是矩阵的标准形及其对角化问题,在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用。 关键词：相似矩阵；对角化；Jordan标准型；特征向量；特征值 英文题目：The properties and application of similar matrix Abstract:There are a lot of applications about similar matrix. Matrix for further research is the concept of similarity matrix characteristics, and that part of the problem can be converted into similar problems with a diagonalization matrix to simplify the problem study, while others matrix cannot be similar to a diagonal
矩阵知识点归纳
矩阵知识点归纳 (一)二阶矩阵与变换 1．线性变换与二阶矩阵 在平面直角坐标系xOy 中，由? ??? ? x ′＝ax ＋by ，y ′＝cx ＋dy ，(其中a ，b ，c ，d 是常数)构成的变换称 为线性变换．由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表???? ? ?a b c d 称为二阶矩阵，其中a ，b ，c ， d 称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母A ，B ，C ，…或(a ij )表示(其中i ，j 分别为元素a ij 所在的行和列)． 2．矩阵的乘法 行矩阵[a 11a 12]与列矩阵??????b 11b 21的乘法规则为[a 11a 12]???? ??b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]，二阶矩阵??????a b c d 与列矩阵??????x y 的乘法规则为??????a b c d ??????x y ＝??????ax ＋by cx ＋dy .矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律． 3．几种常见的线性变换 (1)恒等变换矩阵M ＝???? ? ?1 00 1； (2)旋转变换R θ对应的矩阵是M ＝???? ?? cos θ －sin θsin θ cos θ； (3)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M 1＝??????1 00 －1；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M 2＝???? ?? －1 0 0 1；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M 3＝???? ?? －1 0 0 －1； (4)伸压变换对应的二阶矩阵M ＝???? ??k 1 00 k 2，表示将每个点的横坐标变为原来的k 1 倍，纵 坐标变为原来的k 2倍，k 1，k 2均为非零常数； (5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M ＝??????1 00 0； (6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky |个单位，则对应矩阵M ＝???? ? ?1 k 0 1， 若沿y 轴平移|kx |个单位，则对应矩阵M ＝???? ??1 0k 1.(其中k 为非零常数)． 4．线性变换的基本性质 设向量α＝??????x y ，规定实数λ与向量α的乘积λα＝??????λx λy ；设向量α＝??????x 1y 1，β＝???? ??x 2y 2，规定向量α与β的和α＋β＝???? ?? x 1＋x 2y 1＋y 2. (1)设M 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M (λα)＝λMα，②M (α＋β)＝Mα＋Mβ. (2)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)．
矩阵相似的性质
1 矩阵的相似 1.1 定义 1.2性质 1.3定理（证明） 1.4 相似矩阵与若尔当标准形 2 相似的条件 3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵 相似矩阵与矩阵的对角化 相似矩阵在微分方程中的应用 【1 】） 矩阵的相似及其应用 1.1 矩阵的相似 定义 1.1：设,A B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆矩阵X ，使得1B X AX -=，就说A 相似于B 记作A B ∽ 1.2 相似的性质 （1）反身性A A ∽：；这是因为1A E AE -=. （2）对称性：如果A B ∽，那么B A ∽；如果A B ∽,那么有X ，使1B X AX -=，令1Y X -=，就有11A XBX Y BY --==，所以B A ∽。 （3）传递性：如果A B ∽，B C ∽，那么A C ∽。已知有,X Y 使1B X AX -=， C 1Y BY -=。令Z XY =，就有111C Y X AXY Z AZ ---==，因此，A C ∽。 1.3 相似矩阵的性质 若,n n A B C ?∈，A B ∽，则： （1）()()r A r B =； 引理：A 是一个s n ?矩阵，如果P 是一个s s ?可逆矩阵，Q 是n n ?可逆矩阵， 那么秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ） 证明：设,A B 相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得1B C AC -=,由引理2可知，秩 （B ）=秩（1 B C AC -=）=秩（AC ）=秩（A ） （2）设A 相似于B ，()f x 是任意多项式，则()f A 相似于()f B ，即 11()()P AP B P f A P f B --=?= 证明：设1110()n n n n f x a x a x a x a --=+++ 于是，1 110()n n n n f A a A a A a A a E --=+++ 1 110()n n n n f B a B a B a B a E --=++ + 由于A 相似于B ，则k A 相似与k B ，（k 为任意正整数），即存在可逆矩阵X ,使得
第5讲 λ矩阵与标准形
第5讲 λ-矩阵与标准形 内容：1. 矩阵的Jordan 标准形 2. 矩阵的最小多项式 3. λ-矩阵与Smith 标准型 4. 多项式矩阵的互质性与既约性 5. 有理式矩阵的标准形及仿分式分解 λ-矩阵又称多项式矩阵是矩阵理论中的重要内容， 在线性控制系统理论中有着重要的应用. 本讲讨论λ-矩阵和数字矩阵的相似标准形、矩阵的Jordan 标准形、矩阵的最小多项式、多项式矩阵与有理分式矩阵的标准形. §1 矩阵的Jordan 标准形 1.1 矩阵相似 定义 1.1 设A 和B 是矩阵，C 和D 是非奇异矩阵，若DAC B =,则称A 和B 相抵；若AC C B T =,则称A 和B 相合（或合同）；若AC C B 1-=,则称A 和B 相似，即若n n C B A ?∈,，存在n n n C P ?∈,使得B AP P =-1，则称A 与B 相似，并称P 为把A 变成B 的相似变换矩阵.特别，当1-=P P H ,称A 与B 酉相似，当1-=P P T ,称A 与B 正交相似. 相似是矩阵之间的一种重要的关系. 相似矩阵具有以下性质：
定理1.1 设n n C B C A ?∈,,, )(λf 是一个多项式，则 （1） 反身性：A 与A 相似； （2） 对称性：若A 与B 相似，则B 与A 也相似； （3） 传递性：若A 相似于B ，B 相似于C ，则A 与C 相似； （4） 若A 与B 相似，则B A det det =,rankB rankA =； （5） 若A 与B 相似，则)(A f 与)(B f 相似； （6） 若A 与B 相似，则)det()det(B I A I -=-λλ,即A 与B 有相同的特征多项式，从而特征值相同. 对角矩阵是较简单的矩阵之一，无论计算它的乘积、幂、逆矩阵和特征值等都比较方便.问题：方阵A 能否相似于一个对角矩阵？ 定义1.2 设n n C A ?∈，若A 相似于一个对角矩阵，则称A 可对角化. 定理 1.2 设n n C A ?∈，则A 可对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 证明 充分性.设),,,(211n diag AP P λλλ =Λ=-,其中 ),,,(21n p p p P =，则由Λ=P AP 得i i i p Ap λ=, ),,2,1(n i =，可见i λ是A 的特征值，P 的列向量i p 是对应特征值i λ的特征向量， 再由P 可逆知n p p p ,,,21 线性无关. 必要性. 如果A 有n 个线性无关的特征向量n p p p ,,,21 ，即有i i i p Ap λ=,),,2,1(n i =，记),,,(21n p p p P =，则P 可逆，且有 ),,,(),,,(221121n n n p p p Ap Ap Ap AP λλλ ==
求矩阵的Jordan标准形的两种方法
求矩阵的Jordan 标准形的两种方法 方法1. 利用矩阵的初等因子 原理: 由于矩阵的每一个初等因子与一个Jordan 块相对应, 反之亦然. 求出全部的初等因子即可得出其Jordan 标准形. 方法2. 利用特征值和特征向量可求的可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形. 原理: 在复数域上, 每一个矩阵都与一个Jordan 标准形相似, 即存在可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形. 例. 设??? ? ? ?? -----=411301621A , 分别用两种方法求A 的Jordan 标准形. 解: 方法1. .)1(0 001000 1120011000123101100 014111102310411316212222 )1(232132???? ? ??-- →????? ??-+---??→?????? ??-+----→?? ? ? ? ??----+--???→?????? ??---+=-++--λλλλλλλλλλλλλλλλ λλλλλλr r r r r r A E 得A 的初等因子为2)1(,1--λλ, 于是A 的Jordan 标准形为 . 1100 1000121??? ? ? ??=???? ??=J J J 方法2. (1) 首先求A 的特征值. 3)1(||-=-λλA E , 所以特征值为1,1,1. (2) 求出相应的特征向量. 求解齐次线性方程组0)(=-X A E 的全部解: .000000311311311622???? ? ??-→????? ?? ---=-A E 相应的特征向量为)0,1,1(1-=α, )1,0,3(2=α. 1α,2α为特征值空间V 1的基. (3) 求出一组基, 使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准形.
二次型化为标准形的几种方法
2015届本科毕业论文 题目：二次型化为标准型方法 所在学院：数学科学学院 专业班级：数学与应用数学11-2班学生姓名：赵江南 指导教师：艾合买提 答辩日期：2015年5月5日
目录 1 引言 (1) 2 关于二次型定义 (1) 3 二次型化为标准型的方法 (3) 3.1 正交变换法 (3) 3.2. 配方法 (5) 3.3. 初等变换法 (7) 3.4. 雅可比方法 (8) 3.5. 偏导数法 (10) 4. 小结 (14) 参考文献 (15) 致谢 (16)
二次型化为标准形的几种方法 摘要：二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形。这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法。正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明。其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方。 关键词：正交变换法；配方法；初等变换法；雅可比方法；偏导数法 Several Methods of Changing the Quadratic into the Standard Abstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula. Key words: orthogonal transform method ; match method ;elementary transformation; jacobian method ;partial derivative method
矩阵分析几何意义的整理
矩阵分析几何意义和透彻理解PCA的一些整理这是几篇很不错的文章集合在一起的一篇文章，有些内容来自blog，有些来自文献和教程，解决了我遇到很多疑问，感谢把它推荐给我的人。前四部分来自早期几篇blog，把空间描述的形象且易懂，适合我们这些非数学专业的人搞明白一些抽象的问题。 一、矩阵的特征值概述：矩阵特征值要讲清楚需要从线性变换入手，把一个矩阵当做一个线性变换在某一组基下的矩阵，最简单的是数乘变换，求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变换，特征值就是这个数乘变换的变换比。这样的一些向量就是特征向量，其实我们更关心的是特征向量，希望把原先的线性空间分解成一些向量相关的子空间的直和，这样我们的研究就可以分别限定在这些子空间上来进行，这和物理中研究运动的时候将运动分解成水平方向和垂直方向的做法是一个道理。 自相关矩阵最大特征值和特征向量并没有和原来的哪个信号一一对应，而且特征分解本身的含义相当于对原来的信号做了这样的正交分解。使得各个分量之间相互不相关，也就是K—L展开，每一个特征值相当于原来各个信号导向矢量的线性组合，因此不能仅仅从某个特征矢量中直接对应原来某个信号的特征。 二、线性空间和矩阵的几个核心概念： 空间（space）：空间的数学定义是一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质，就可以被称为空间。 我们所生活的空间是一个三维欧几里德空间，我们所生活空间的特点： （1）有很多（实际上是无穷多个）位置点组成 （2）这些点之间存在着相对关系。 （3）可以咋空间中定义长度、角度。 （4）这个空间可以容纳运动（从一个点到一个点的移动，而不是微积分意义上的“连续”性运动） 第（4）点是空间的本质特征，（1）、（2）两点是空间的基础而非性质，第（3）点在其他空间也行并不具备，自然更不是关键的性质。只有第（4）点是空间的本质。 把三维空间的认识拓展到其他空间。事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规律的运动（变换）。我们会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如：拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间允许的运动形式而已。 例1.最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间，也就是说，这个线性空间中每一个对象是一个多项式。如果我们以X0,X1,X2,…..,Xn为基，那么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量，其中的每一个分离ai其实就是多项式Xi-1项系数。
EFE矩阵、EFE矩阵分析
1、EFE矩阵 EFE矩阵可以帮助战略制定者归纳和评价经济、社会、文化、人口、环境、政治、政府、法律、技术以及竞争等方面的信息。建立EFE矩阵的五个步骤如下： 1）列出在外部分析过程中所确认的外部因素，包括影响企业和其所在产业的机会和威胁。 2）依据重要程度，赋予每个因素以权重（～），权重标志着该因素对于企业在生产过程中取得成功影响的相对重要程度。 3）按照企业现行战略对各个关键因素的有效反应程度为各个关键因素打分，范围0～4分，“4”代表反应很好，“1”代表反应很差。 4）用每个因素的权重乘以它的评分，即得到每个因素的加权分数。 5) 将所有的因素的加权分数相加，以得到企业的总加权分数。 结论：总加权分数为，说明企业在整个产业中对现有机会与威胁作出了最出色的反应，企业有效利用了现有的机会并将外部威胁的不利影响降低到最小。而总加权分数为, 则说明企业的战略不能利用外部机会或回避外部威胁。 2、 IFE矩阵 IFE矩阵是对企业内部因素进行评价，它总结和评价了企业各个职能领域的优势和弱点，并为确定和评价这些领域之间的关系提供了基础。建立IFE矩阵的五个步骤： 1）列出在内部分析过程中确定的关键因素，包括优势和劣势两方面，总数在10～20之间。
2）赋予每个因素以权重（~）,权重标志着各个因素对其在产业中成败影响的相对大小。 3）为各个因素进行评分，4代表重要优势，1代表重要弱点。 4）用每个因素的权重乘以它的评分，得到每个因素的加权分数。 5）将所有因素的加权分数相加，得到企业的总加权分数。 3、 CMP矩阵 竞争态势矩阵（CPM）用于确认企业的主要竞争者以及相对于该企业的战略地位，这些主要竞争者的特定优势和弱点。CPM和EFE的权重和总加权分数的涵义相同。但是CPM中的因素包括内部因素和外部因素两类。 EFE与CPM中间存在着一些区别：首先，CPM中的关键因素更为笼统；其次，CPM 中的因素不像EFE中的那样被分为机会与威胁两类；再次，在CPM中，竞争公司的评分与总加权分数可以与被分析公司的相应指标进行比较，通过这一比较分析，企业可以得到重要的内部战略信息。
矩阵的合同与相似及其等价条件汇总
矩阵的相似与合同及其等价条件研究 （数学与统计学院 09级数学与应用数学一班） 指导老师：王晶晶 引言 矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用[1-10]，起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化[9]，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助. 1 矩阵的等价与相似及其合同的基本概念 1.1矩阵等价的定义[1] 定义 1.1 如果矩阵A 可以有矩阵B 经过有限次初等变换得到，称A 与B 是等价的. 由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到： 定义1.2 如果n 阶矩阵A 可以由n 阶矩阵B 进过有限次初等变换得到，则称A 与B 是等价的. 根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描述： 定义1.3 设矩阵A ,B 为n 阶矩阵，如果存在n 阶可逆矩阵P 和Q ,使得B PAQ =,则称矩阵A 与B 等价，记作A ∽B . 1.2 矩阵相似的定义[2] 定义 1.4 设矩阵A ，B 为n 阶矩阵，如果存在一个是n 阶可逆矩阵P ，使得 B AP P =-1,则称矩阵A 与矩阵B 相似，记作A ～B . 1.2.1 n 阶矩阵的相似关系，具有下列性质[3]: 性质1.1 反身性，即任一n 阶矩阵A 与自身相似. 性质1.2 对称性，即如果A ～B ，则B ～A . 性质1.3 传递性，如果A ～B ，B ～C ，则A ～C . 性质1.4 P A k AP P k P A k A k P 221122111)(+=+--. （2 1,k k 是任意常数）
第5讲 λ-矩阵与标准形
第5讲λ-矩阵与标准形 内容：1. 矩阵的Jordan标准形 2. 矩阵的最小多项式 3. λ-矩阵与Smith标准型 4. 多项式矩阵的互质性与既约性 5. 有理式矩阵的标准形及仿分式分解 λ-矩阵又称多项式矩阵是矩阵理论中的重要内容，在线性控制系统理论中有着重要的应用. 本讲讨论λ-矩阵和数字矩阵的相似标准形、矩阵的Jordan标准形、矩阵的最小多项式、多项式矩阵与有理分式矩阵的标准形. §1 矩阵的Jordan标准形 1.1 矩阵相似 定义 1.1设A和B是矩阵，C和D是非奇异矩阵，若B=,则称A和B相抵；若AC DAC =,则称A和B相合（或合 B T C 同）；若AC =,则称A和B相似，即若n n C C B1- ∈ ,，存在n n n C A? B ∈, P?使得B -1，则称A与B相似，并称P为把A变成B的相似变P= AP 换矩阵.特别，当1- P H,称A与B酉相似，当1- =P P T,称A与B =P 正交相似. 相似是矩阵之间的一种重要的关系. 相似矩阵具有以下性质：
定理1.1 设n n C B C A ?∈,,, )(λf 是一个多项式，则 （1） 反身性：A 与A 相似； （2） 对称性：若A 与B 相似，则B 与A 也相似； （3） 传递性：若A 相似于B ，B 相似于C ，则A 与C 相似； （4） 若A 与B 相似，则B A det det =,rankB rankA =； （5） 若A 与B 相似，则)(A f 与)(B f 相似； （6） 若A 与B 相似，则)det()det(B I A I -=-λλ,即A 与B 有相同的特征多项式，从而特征值相同. 对角矩阵是较简单的矩阵之一，无论计算它的乘积、幂、逆矩阵和特征值等都比较方便.问题：方阵A 能否相似于一个对角矩阵？ 定义1.2 设n n C A ?∈，若A 相似于一个对角矩阵，则称A 可对角化. 定理 1.2 设n n C A ?∈，则A 可对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 证明 充分性.设),,,(211n diag AP P λλλ =Λ=-,其中 ),,,(21n p p p P =，则由Λ=P AP 得i i i p Ap λ=, ),,2,1(n i =，可见i λ是A 的特征值，P 的列向量i p 是对应特征值i λ的特征向量， 再由P 可逆知n p p p ,,,21 线性无关. 必要性. 如果A 有n 个线性无关的特征向量n p p p ,,,21 ，即有i i i p Ap λ=,),,2,1(n i =，记),,,(21n p p p P =，则P 可逆，且有 ),,,(),,,(221121n n n p p p Ap Ap Ap AP λλλ ==
tcl矩阵分析(管理矩阵)
目录 中文摘要（关键词） (1) 一、问题提出 (1) （一）理论背景 (1) （二）实践背景 (1) （三）研究方法 (2) 二、多元化战略研究综述 (2) （一）多元化战略的定义 (2) （二）学术界对企业多元化战略的相关研究 (3) （三）波士顿矩阵工具 (6) 三、TCL多元化战略的波士顿矩阵分析 (8) （一）TCL多元化战略历史及分析 (8) 1．TCL多元化战略的历史 (8) 2．对于过去TCL多元化战略的波士顿矩阵分析 (9) （二）TCL多元化战略演变及存在问题 (19) 1．TCL多元化战略的现状及问题 (19) 2．TCL多元化战略的波士顿矩阵优化 (20) 四、TCL多元化战略的优化对策 (23) （一）对内调整布局，对外加强联系 (23) （二）增强企业核心竞争力 (23) 1．拓展企业核心业务，培养企业核心市场 (23) 2．加强研究与开发投入，开发企业核心技术 (24) 3．建立人才聘用机制，培养企业核心人才 (24) 4．在多元化的进程中加强战略协同 (24) （三）各子业务状况优化 (24) 1．多媒体产业优化 (24) 2．通讯产业优化 (24) 3．家电产业优化 (25) 4．部品产业优化 (25) 结语 (25)
参考文献 (25) 致谢 (26) 英文摘要（关键词） (27)
TCL多元化战略的演变：基于波士顿矩阵的分析 梁伟文（学号：2005041632） 管理学院工商管理专业 指导老师：林梅 【摘要】改革开放之初，中国企业较多地实施多元化战略以利用行业机会盈利。30多年来，国内国际形势变化巨大，经济全球化和国际竞争加剧，中国企业的多元化战略成效逐渐减弱，越来越多的中国企业回归核心业务，这种演变轨迹可从波士顿矩阵观察到。论文以TCL集团为中国企业的一个典型代表，运用波士顿矩阵分析了TCL多元化战略的演变过程。研究进一步分析了未来TCL多元化发展的对策，提出首先必须充分认识自身的子业务在市场中的地位，然后对各子业务实施不同的战略措施，加强有优势、有发展前景的子业务，剥离或收缩处于劣势且无望发展的子业务等措施。 【关键词】波士顿矩阵；多元化战略；TCL集团 一、问题提出 （一）理论背景 近年来，随着我国正式加入WTO，各项过渡性优惠条款的结束，市场竞争日趋激烈，多元化战略成了企业谋求生存和发展的选择之一。 上市公司是我国企业的精英，具有较高的生产、经营、管理能力，在制度上具备了资本扩张的能力和条件，但是专业化经营已经不能满足公司追求利润最大化的需要。而多元化经营正好能够满足这种需要，所以多元化战略是我国上市公司的一种战略选择。 尽管如此，上市公司多元化经营并不是一帆风顺的。盲目地多元化不仅不能使企业发展壮大，而且会令企业因急速扩张而导致巨额亏损。只有根据企业自身状况，对战略进行不断探索、演变，才有可能形成行之有效的多元化战略。 （二）实践背景 TCL，创办于1981年，先后做过家用磁带、电话机、音响、汽车配套产品等。20世纪90年代初，彩电进入中国，TCL一马当先，成了中国的彩电之王。1997年至1998年TCL进入IT业。1999年开始切入手机，之后开始生产PC、笔记本等。总结TCL20年发展，多元化是其重点。没有多元化，就没有今天的TCL。如今TCL是中国最大的、全球性规模经营的消费类电子企业集团之一，旗下拥有三家上市公司，已成为国内行业龙头企业。 纵观TCL的多元化，有以下特点： （一）采用联盟策略来获得进入新领域的资源。进入新的市场一般有三种模式：内部培养、购买与联盟。企业在看准一个市场之后，为了快速进入，有两种办法：一是购买所必需的资源；二是与拥有这些资源的企业合作。TCL当初进军彩电和电脑行业时，首选了与拥有互补资源的公司合作经营。在进入彩电行业时，TCL先后与彩虹集团、香港长城电子集团合作；在进入PC 行业时，TCL看中了给惠普PC做OEM的致福电脑。由于采用联盟的策略，TCL用最少的成本，快速获得
相似矩阵的性质及应用
华北水利水电大学 相似矩阵的性质及应用 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2013年11月 6 日 摘要：若矩阵P可逆,则矩阵P-1AP与A称为相似。矩阵相似的概念是为深
入研究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题 进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。相似矩阵有很多应用。例如：利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性；两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系；矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结果；尤其是矩阵的标准形及其对角化问题,在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用。 关键词：相似矩阵；对角化；Jordan标准型；特征向量；特征值 英文题目：The properties and application of similar matrix Abstract:There are a lot of applications about similar matrix. Matrix for further research is the concept of similarity matrix characteristics, and that part of the problem can be converted into similar problems with a diagonalization matrix to simplify the problem study, while others matrix cannot be similar to a diagonal matrix, so this kind of problem can only use a definition or if and when the standard to example, we can discuss the integrality of the method by using the properties of similar matrices to confirm