阶、三阶矩阵逆矩阵的口诀

1、问题的提出

在各类理工科的课程中，往往有求解矩阵逆矩阵的问题，题目本身虽然简单，但是如果按照教材给出的方法计算的话，要费一些时间，更可怕的是计算过程难免有误，容易造成结果出错。经过一些研究，我们发现，大部分求解逆矩阵的题目，都是要求解二阶、三阶矩阵的逆。针对此问题，给出学生相应的记忆口诀，帮助学生快速求解。

2、知识储备

对于n 阶方阵，如果同时存在一个n 阶方阵，使得 AB=BA=E 则称A 阵可逆，并把方阵B 成为方阵A 的逆矩阵，记作A -1

n 阶行列式A 的各个元素的代数余子式构成的矩阵，叫做A 的伴随矩阵，如下：

1121112

22212......*.......n n n n nn A A A A A A A A A A ??????=?????? 方阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠，当A 可逆时，*

1

A A A -= 3、二阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀

记忆口诀：主对调，次换号，除以行列式

推导： 假设a b A c d ??=????，,,,a b c d R ∈，且A 可逆，那么根据知识储备 *d b A c a -??=??-??

所以呢，*1d b c a A A A A

--????-??== 4、三阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀

记忆口诀：除以行列式，别忘记。 去一行，得一列，二变号，余不变，231 312

1） 整体要除以行列式，不能忘记

2） 去掉第一行，得到矩阵剩余两行，求得逆矩阵第一列

3） 所求得的逆矩阵的第二列是按照231 312 规律得到数字

加了一个负号，其余的第一列，第三列不加负号

对于三阶矩阵33,a

b c A d

e f A R g h i ?????=∈??????

，且A 可逆 1()1()()ei hf bi hc bf ce A fg id cg ia cd af A dh ge ah gb ae hd -----????=----????----??

（1） 先分析公式（1）的第一列，研究如下表格

表1

公式（1）矩阵的第一列是表1所有元素的组合，组合规律称为（231312规律）

Step1: 表格 1 第一行的第二、三、一列乘以第二行的三、一、二列得到ei , fg , dh

Step2： 表格1中第二行的二、三、一列乘以第一行的三、一、二列得到hf , id , ge

Step3： 由step1得到的数据减去step2得到的数据，得到公式（1）的第一列。

同样的道理，公式（1）的第二列，第三列求出

实例1 求

373

252

4103

A

-

??

??

=--

??

??

-??

得逆矩阵

1591 230 021

A-

-

??

??

=--

??

??

-

??

答案