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高等数学下册试题及答案解析
一、填空题（每小题
3 分，共计 2
4 分）
1、 z
=
log a ( x 2
y 2
) (a
0)
的定义域为 D=.
ln( x 2 y 2 )dxdy
2、二重积分 |x| | y| 1
的符号为
.
3、由曲线
y ln x
及直线
x
y e 1， y
1
所围图形的面积用二重积分表示为
，其值
为.
x (t ) (x ),
y
(t)
4、设曲线 L 的参数方程表示为
则弧长元素 ds
.
5、设曲面∑为 x
2
y
2
9
介于 z
0 及 z
3
间的部分的外侧，则
（x 2 y 2 1)ds
.
dy
y
y
6、微分方程 dx
tan
x 的通解为
.
x
7、方程 y
(4 )
4 y 0
的通解为
.
1
8、级数 n 1 n( n
1)
的和为
.
二、选择题（每小题
2 分，共计 16 分）
1、二元函数
z
f ( x, y) 在 (x 0 , y 0 ) 处可微的充分条件是（
）
（
A ） f ( x, y) 在 ( x 0
, y 0
) 处连续；
（ B
） f x
( x, y)
， f y
( x, y)
在
( x 0
, y 0 )
的某邻域内存在；
z
f x ( x 0 , y 0 ) x f y ( x 0 , y 0 ) y
当
( x)
2
（ C ）
lim
z f x (x 0 , y 0 ) x
f y ( x 0 , y 0 ) y 0
x 0 ( x)
2
( y)
2
（ D ）
y 0
.
u yf ( x
)
xf ( y
),
f
2、设
y x 其中 具有二阶连续导数，则
（ A ）
x
y ； （ B ） x
； (C) y
；
(D)0 .
2 ( y)
时，是无穷小；
2
u
2
u
x
2
y
2
x y 等于（
）
： x
2
y
2
z
2
I
zdV
3、设
1, z
0,
则三重积分
等于（
）
2
d 2
d
1
3
sin cos dr
（A ）4
r
0 0
；
2
d
d
1
2
sin dr
（B ） 0 r
；
2
2
d
1
r 3
sin cos
dr
d
（C ） 0
；
2
d
1
r 3
sin cos dr
d
（D ） 0
.
4、球面 x
2
y 2
z 2
4a 2 与柱面 x 2
y 2
2ax
所围成的立体体积 V= （
）
4
2
d
2a cos
4a
2
r 2
dr
（ A ）
；
4
2 d
2a cos 4a 2 r 2 dr
r （ B ）
；
8
2 d
2 a cos 4a 2
r
2
dr
r
（ C ）
；
2
d
2 a cos
4a 2 r 2 dr
r
（ D ）
2
.
5、设有界闭区域 D 由分段光滑曲线 L 所围成， L 取正向，函数 P( x, y), Q (x, y) 在 D 上具有一阶连续
偏导数，则
Pdx Qdy
( )
L
( P Q
) dxdy
（A ） D
y
x ；
（ B ） ( P Q
)dxdy
（C ） D
x
y ； （D ）
6、下列说法中错误的是（
）
D
D
Q P
(
)dxdy
y
x
；
(
Q
P
)dxdy
x
y
.
（ A ） 方程
xy
2 y x 2 y 0
是三阶微分方程；
y dy x dy
y sin x
（B ） 方程 dx
dx
是一阶微分方程；
（ C ） 方程 ( x
2
2xy 3 ) dx ( y 2 3x 2 y 2
)dy 0 是全微分方程；
dy 1 2y
（ D ） 方程 dx x
x
2 是伯努利方程 .
7、已知曲线 y y( x)
经过原点，且在原点处的切线与直线
2x
y 6
平行，而
y(x)
满足微分方
程
y 2 y 5y
，则曲线的方程为
y （
）
（ A ） e x
sin 2x ；
（ B ） e x
(sin 2x
cos 2x) ；
（ C ） e x
(cos 2 x
sin 2 x) ；
（ D ） e x
sin 2x .
lim nu n 0
, 则 n 1 u n
8、设 n （ ）
（ A ）收敛； （ B ）发散； （ C ）不一定；
（ D ）绝对收敛 .
三、求解下列问题（共计 15 分）
1、（ 7 分）设
f , g
均为连续可微函数 .
u
u , u
f ( x , xy ), v
g ( x
xy ) ，求 x
y .
u( x,t )
x t
u ,
u
x f (z)dz
t
四、求解下列问题（共计 15分）.
2
2
y 2 dy
1、计算
I
dx e
x
.（ 7 分）
I
(x 2 y 2 )dV
是由
x
2
y
2
2z, z 1及 z
2
所围成的空间闭区域（ 8分）.
2、计算
，其中
I
xdy ydx
L
2
2
五、 （ 13 分）计算 x
y
，其中 L 是
xoy
面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点
O (0,0)
的封闭曲线的逆时针方向 .
f ( x) f ( y)
x, y, f ( x) 满足方程
f (x y)
六、 （ 9 分）设对任意 1 f ( x) f ( y) ，且 f (0) 存在，求 f ( x) .
( 1)n ( x
2) 2n
1
七、（ 8 分）求级数 n 1
2n 1 的收敛区间 .
高等数学（下册）试卷（二）
一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）
z
z
1、设 2sin( x
2y 3z)
x 2 y 3z ，则 x
y
.
3
9 xy
lim
xy x 0
2、
y
.
I
2 2 x f ( x, y)dy
dx
x
I
3、设
，交换积分次序后，
.
lim 1 3
f ( x 2 y 2 )d
4、设 f (u) 为可微函数，且
f (0)
t
t
.
0, 则
x 2 y 2 t 2
5、设 L 为取正向的圆周
x 2
y
2
4
，则曲线积分
y( ye x
1)dx (2 ye x x)dy
L
.
6、设
A
( x
2
yz) i ( y
2
xz) j (z
2
xy) k
，则 div A
.
7、通解为
yc 1
e x
c 2
e
2 x
的微分方程是
.
f ( x)
1,
x
0 x
a n
8、设
1, ，则它的 Fourier 展开式中的 .
二、选择题（每小题 2 分，共计
16分）.
f ( x, y)
xy 2 , x 2 y 2 0
x 2 y 4
1、设函数
0,
x 2
y 2
）
,则在点（ 0， 0）处（ （ A ）连续且偏导数存在；
（ C ）不连续但偏导数存在；
2、设
u(x, y)
在平面有界区域
2
u
2
u
x y
及 x
2
则（
）
（ B ）连续但偏导数不存在； （D ）不连续且偏导数不存在 .
D 上具有二阶连续偏导数，且满足
2
u
y 2
，
（ A ）最大值点和最小值点必定都在 D 的内部；
（ B ）最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上； （ C ）最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上； （ D ）最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上 .
D ： ( x 2) 2 ( y 1) 2
1
，若 I 1
( x y) 2 d
I 2
( x y)3 d
3、设平面区域
D
，
D
则有（ ）
（A ）
I 1
I
2； （
B ） I 1 I 2 ；
（C ） I 1
I 2 ； （D ）不能比较 .
是由曲面
z
xy, y x, x 1
及 z
所围成的空间区域，则
xy 2 z 3 dxdydz
4、设
=（
）
1
1
1
1
（A ）
361
； （B ）
362
； （C ）
363
； （D ）
364
.
x (t)
5、设
f ( x, y)
在曲线弧 L 上有定义且连续， L 的参数方程为
y
(t) (
t)
，其中
(t ), (t ) 在 [ ,
]
上具有一阶连续导数，且
2
(t )
2
(t )
， 则曲线积分
f ( x, y)ds
L
（
）
f ( (t), (t))dt
(B)
f ( (t ), (t))
2
(t )
2
(t) dt
(A)
；
； (C)
f ( (t ), (t ))
2
(t ) 2
(t )dt
； (D)
f ( (t ), (t ))dt
.
6、设
是取外侧的单位球面 x 2 y 2 z 2
1
， 则曲面积分
xdydz ydzdx zdxdy
=（
）
(A)0 ； (B)
2
； (C)
； (D)4
.
7、下列方程中，设
y 1
, y
2
是它的解，可以推知
(A) y p(x) y q( x) 0 ；
(B)
y
(C) y
p(x) y q( x) y f (x) ； (D)
a n
y 1
y
2 也是它的解的方程是（ ）
p(x) y q(x) y 0 ；
y
p( x) y q(x) 0 .
8、设级数 n 1 为一交错级数，则（ ） (A) 该级数必收敛； (B) 该级数必发散；
(C) 该级数可能收敛也可能发散；
(D) 若
a n
0 ( n0)
，则必收敛
.
三、求解下列问题（共计 15 分）
1、（ 8 分）求函数
u
ln( xy
2
z 2 )
在点 A （ 0， 1，0）沿 A 指向点 B （ 3， -2， 2）
的方向的方向导数 .
2、（ 7 分）求函数
f ( x, y)
x 2 y(4 x y) 在由直线 x y
6, y 0, x 0 所围成的闭区域
D 上的最
大值和最小值 .
四、求解下列问题（共计
15 分）
dv
I
3
1、（ 7 分）计算
(1 x y z)
，其中
是由
x
0, y 0, z 0 及 x
y z 1
所围成的立体
域 .
2、（ 8 分）设
f (x)
为连续函数，定义 F (t )
[ z 2
f ( x 2 y 2 )]dv
，
( x, y, z) | 0 z h, x
2
y
2
t
2
dF
其中
，求
dt
.
五、求解下列问题（ 15 分） 1、（ 8 分）求
I(e x sin y my)dx (e x cos y m)dy
，其中 L 是从 A （ a ， 0）经
y
ax x
2
L
到
O （0， 0）的弧 .
I
x 2 dydz y 2 dzdx z 2 dxdy
是 x
2
y
2
z 2 (0 z a) 的外侧 .
2、（ 7 分）计算
，其中
六、（ 15 分）设函数
( x)
具有连续的二阶导数，并使曲线积分
[ 3 (x) 2
(x) xe 2x ] ydx( x)dy
L
与路径无关，求函数
( x)
.
高等数学（下册）试卷（三）
一、填空题（每小题
3 分，共计 2
4 分）
u
yz t
2
dt
u
e
1、设
xz
， 则
z
.
2、函数 f (x, y)
xy sin( x 2y) 在点（ 0， 0）处沿 l
(1,2) 的方向导数
f (0,0)
l
=.
x
2
y 2
, z
I
f ( x, y, z) dv
3、设
为曲面
z
1 0
所围成的立体，如果将三重积分
化为先对 z
再对 y
最后对 x
三次积分，则 I=
.
lim
1
f (x, y)d
2
22
2
4、设
f ( x, y)
为连续函数，则
I
t 0 t
D
，其中
D : x
y
t .
( x 2
y 2 )ds
L : x 2
y 2
a
2
5、 L
，其中
.
6、设
是一空间有界区域，其边界曲面
是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数
P(x, y, z) ， Q ( x, y, z) ， R(x, y, z) 在
上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之
间有关系式：
， 该关系式称为 公式 .
7、微分方程
y
6 y 9 y
x
2
6x
9 的特解可设为 y *
.
( 1) n 1
8、若级数 n 1
n
p
发散，则 p
.
二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）
f ( x a, b)
f (a x, b)
lim
1、设 f x (a, b) 存在，则 x 0
x
=（ ）
1
（A ） f x
(a,b)
；（ B ） 0；（ C ） 2 f x
(a,b)
；（ D ）
2
f x
(a,b)
.
2、设
z
x y 2 ，结论正确的是（
）
2
z
2
z
2
z 2
z
（ A ）
x y
y x
； （ B ）
x y
y x
；
2 z
2 z
（ C ）
x y
y x
； （ D ）
3、若
f ( x, y)
为关于 x
的奇函数，积分域
2
z
2
z
x y y x
.
D 关于 y
轴对称，对称部分记为
D 1
, D
2 ，
f ( x, y)
在
D 上连
f ( x, y)d
续，则
D
（
）
f (x, y) d
f ( x, y)d
f ( x, y)d
（A ）0；（ B ）2 D 1
；（ C ）4 D 1
； (D)2 D 2
.
： x
2
y
2
z
2
R 2 ，则
( x 2 y 2 )dxdydz
4、设
=（ ）
8 R 5
4 R
5 8 R
5
16 R 5
（A ）
3
； （B ）3
； （C ） 15 ； （D ） 15 .
5、设在
xoy
面内有一分布着质量的曲线
L ，在点
( x, y)
处的线密度为
( x, y) ，则曲线弧 Ｌ 的重心的 x
坐标 x
为（
）
1 x ( x, y)ds
1
x ( x, y)dx
（Ａ） x =
M
； （B ） x =
M
L
L
；
x ( x, y)ds
1
xds
（ C ） x
= L
；
（ D ） x =
M
L
, 其中 M 为曲线弧 Ｌ的质量 .
６、设
为柱面 x
2
y 2
1和 x
0, y 0, z
1
在第一卦限所围成部分的外侧，则
曲面积分
y 2 zdxdy xzdydz x 2 ydxdz
＝（ ）
5
（ A ） 0； （B ） 4； （C ）24； （D ） 4.
７、方程
y
2 y
f ( x)
的特解可设为（ ）
（ A ） A ，若 f ( x) 1； （ B ） Ae x
，若
f (x)
e x ； （ C ） Ax
4
Bx
3
Cx 2
Dx
E ，若 f ( x) x 2
2x ；
（ D ） x( Asin 5x B cos5x) ，若 f (x)
sin 5x .
f (x)
1,
x 0
1
0 x
，则它的 Fourier 展开式中的
a n
等于（
８、设
）
2 [1 ( 1) n ]
1
4
（ A ）
n
； （ B ）0； （ C ） n ； （ D ） n
.
y f (x, t),
t
确定的 x, y
的函数，其中
f , F
具有一阶连续偏
三、 （１２分）设
为由方程 F (x, y, t) 0 dy dx .
导数，求
四、 （８分）在椭圆
x 2
4y 2
4
上求一点，使其到直线
2x 3y 6 0
的距离最短 .
五、 （８分）求圆柱面
x 2 y 2
2y
被锥面
z
x 2
y 2
和平面
z 0 割下部分的面积Ａ .
I
xyzdxdy
为球面 x
2
y 2 z 2 1 的 x 0, y
部分
六、（１２分）计算
，其中
的外侧 .
df (cos x) 1 sin 2 x
七、 （ 10 分）设
d (cos x)
，求 f (x) .
八、（ 10 分）将函数
f ( x) ln(1 x
x 2
x 3 )
展开成
x 的幂级数 .
高等数学（下册）试卷（四）
一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）
1、由方程
xyz
x
2
y
2
z
2
2
所确定的隐函数
z z(x, y)
在点（ 1， 0，-1）处的全微分
dz
.
2、椭球面 x
2
2 y
2
3z
2
6
在点（ 1，1， 1 ）处的切平面方程是
.
x 2
, y
I
(1 x 2 )dxdy
3、设 D 是由曲线 y
x
2
所围成，则二重积分
D
.
4、设
是由 x
2
y
2
4, z 0, z
4
所围成的立体域，则三重积分
I
( x 2
y 2 )dv
=
.
5、设
是曲面
z
x 2 y 2 介于
z 0, z 1
之间的部分，则曲面积分
I
(x 2
y 2 )ds
.
x 2 ds
x
2
y 2
z 2
a 2
6、 x
y z 0
.
7、已知曲线 y
y( x) 上点 M(0,4) 处的切线垂直于直线 x 2 y 5 0 ，且 y( x)
满足微分方程 y 2y
y
，则此曲线的方程是 .
8、设
f (x)
是周期 T= 2
的函数，则
f ( x)
的 Fourier 系数为
.
二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）
z
arcsin
y
xy
1、函数
x
的定义域是（ ）
（ A ） (x, y) | x y , x 0 ； （B ） ( x, y) | x y , x 0 ；
（ C ）
(x, y) | x
y 0, x 0
(x, y) | x y
0, x 0 ；
（ D ） (x, y) | x 0, y 0( x, y) | x 0, y 0 .
2、已知曲面 z
4 x 2
y 2 在点 P 处的切平面平行于平面
2x 2 y z 1 0
，则点 P 的坐标是
（ ）
（ A ）（ 1，-1， 2）； （ B ）（ -1， 1， 2）；（ C ）（ 1， 1，2）； （D ）（ -1， -1， 2） .
3、若积分域 D 是由曲线
y
x 2 及
y
2 x 2
f (x, y)d
所围成，则 D
=（
）
12 x
2
1
x
2
（A ） 1
dx x
2
1
y
f ( x, y)dy
（ B ） 1
dx 2 x 2 ；
2 x 2
1
f (x, y)dy
；
（ C ）
dy
2 y
f ( x, y) dx
；（ D ） x 2
dy
1 f ( x, y)dx .
4、设
1
: x
2
y 2
z 2
R 2
, z 0;
2
: x
2 y
2
z 2
R 2
, x 0, y 0, z 0
，则有（
）
（ A ）
xdv 4 xdv
（ B ）
ydv
4
ydv
1
2
；
1
2
；
（ C ）
xyzdv
4 xyzdv
（ D ）
zdv
4
zdv
1
2
；
1
2
.
5、设 为由曲面
z
x
2
y 2
及平面 z 1所围成的立体的表面，则曲面积分
( x
2
y 2 )ds =
（ ）
1
2
2
（ A ）
2
； （B ） 2
； （C ）
2
； （D ）0 .
６、设
是球面 x
2
y 2
z 2
a 2 表面外侧，则曲面积分
x 3 dydz y 3 dzdx z 3 dxdy
＝（ ）
12
a 3
12
a 5
4 a 5
（A ）
5
；（B ）
5
；（C ）
5
； （D ）
k
７、一曲线过点 (e,1)，且在此曲线上任一点 M ( x, y) 的法线斜率
（
）
12
a 5
5
.
x ln x x
y ln x ，则此曲线方程为
y
x x ln(ln x)
y
x x ln x
e
e
（ A ）
；
（B ）
；
y
x ln(ln x)
（ C ）
y
ex x ln(ln x) ；
e
（ D ）
.
( n 1) x n
８、幂级数 n 1
的收敛区间为（
）
（ A ）（ -1， 1）； （B ）
(
,
)
； （ C ）（ -1， 1）； （ D ） [-1 ， 1].
u
yf ( x
) xg( y
)
三、（１０分）已知函数
y
x ，其中
f , g
具有二阶连续导数，求
2u 2 u
x y
x 2
x y
的值 .
四、（１０分）证明：曲面
xyz
c 3 (c
0)
上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体的体积为一定
值 .
五、（１４分）求抛物面
z 4 x 2
y 2 的切平面
，使得
与该抛物面间并介于柱面
( x 1)
2
y
2
1
内部的部分的体积为最小 .
I(e x sin y y)dx (e x cos y x)dy
2
六、（１０分）计算 L
，其中Ｌ为
y
4 x
由Ａ（２，
０）至Ｂ（－２，０）的那一弧段
.
y
2 y y 2 七、（８分）求解微分方程
1 =0 .
x n
八、（８分）求幂级数
n 1
n
的和函数
S( x)
.
高等数学（下册）试卷（五）
一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）
1、设
z
f (x, y) 是由方程 z
y x xe
z y x
所确定的二元函数，则
dz
.
x 2 y 2
z 2 3x 0
２、曲线
2x 3y 5z 4 0
在点（１，１，１）处的切线方程是 .
是由 x
2
y
2
z
2
1
，则三重积分
e z dv
３、设
＝
.
a y
４、设
f ( x)
为连续函数，
a, m
是常数且 a 0 ，将二次积分
dy
e m(a x)
f ( x)dx
化为定积分为
.
Pdx Qdy
与积分路径
L( AB)
无关的充要条件为
５、曲线积分 L(AB)
.
６、设 为 z
a 2 x 2 y 2 ，则 ( x 2 y 2
z 2 ) ds
.
７、方程
y
3y e 2 x 的通解为
.
a n
b n
(a n b n )
.
８、设级数 n 1 收敛， n 1 发散，则级数 n 1
必是
二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）
x 2 y ,
(x, y) (0,0)
f ( x, y)
x 2 y 2
１、设
0,
( x, y)
(0,0)
，在点（０，０）处，
下列结论（
）成立 .
（Ａ）有极限，且极限不为 0；
（Ｂ）不连续； （Ｃ）
f x
(0,0)
f y (0,0) 0 ；
（Ｄ）可微 .
２、设函数
（Ａ）
2
f
2
z
f ( x, y) 有 y 2
，且 f ( x,0) 1， f y
( x,0) x
，则 f ( x, y) =（
）
1 xy y 2
； （Ｂ）
1
xy y 2
； （Ｃ） 1 x 2
y
y
2 ；（Ｄ）
1
x 2 y y 2 .
３、设Ｄ： 1 x
2
y 2
4
， f
在 D 上连续，则
f ( x 2 y 2 ) d
D
在极坐标系中等于（
）
2
2
rf (r )dr
2 2
2
)dr
1
rf (r
（Ａ）
；
（Ｂ）
1
；
2 [
2r 2
f (r )dr
1r 2
f ( r )dr ]
2 [
2
rf (r 2 )dr
1
rf (r 2 )dr ]
（Ｃ）
； （Ｄ）
.
４、设
是由
x
0, y 0, z 0 及 x 2y z
1
所围成，则三重积分
xf ( x, y, z)dv ( )
1 1 y
x 2 y
dx
1
2 dz
（Ａ）
1
1
1 x
2 y
xf ( x, y, z)dy
；
dx
dy
xf ( x, y, z)dz
（Ｂ）
；
1
1 x
1 x
2 y
dx
2
dy
xf ( x, y, z)dz
（Ｃ）
；
1
1 dy
1
dx xf (x, y, z)dz
（Ｄ） 0
.
５、设
是由
x
0, y 0, z 0, x 1y
1, z 1
所围立体表面的外侧，则曲面积分
xdydz ydzdx
zdxdy ( )
（Ａ） 0；
（Ｂ） 1； （Ｃ） 3；
（Ｄ） 2.
６、以下四结论正确的是（）
(x2 y2 z2 ) dv 4 a 5 （Ａ）x2 y 2 z2 a2
3 ；
x2 y 2 z2 ds 4 a 4 ;
（Ｂ） x2 y2 z2 a2
( x2 y2 z2 )dxdy 4 a 4 （Ｃ）x2 y 2 z2 a2外侧；
（Ｄ）以上三结论均错误 .
７、设g ( x)
具有一阶连续导数，g(0)
1
.并设曲线积分
yg ( x) tan xdx g( x)dy
L
与积分路径( , )
g( x) dy ( )
4 4 yg( x) tan xdx
无关，则(0,0 )
2 2 2 2
（Ａ） 2 ；（Ｂ） 2 ；（Ｃ）8 ；（Ｄ）8 .
( 1) n 1
８、级数n 1 2n 1 的和等于（）
（Ａ） 2/3；（Ｂ） 1/3；（Ｃ） 1；（Ｄ） 3/2.
三、求解下列问题（共计１５分）
u u u
１、（８分）设u
x y
z ,
, 求x y z .
u f ( x
,
y
)
（７分）设y z
，
f
具有连续偏导数，求du.
四、求解下列问题（共计１５分）
I af (x) bf ( y) d
2 y 2 R 2
１、（８分）计算D f (x) f ( y)，其中D : x .
I ( x y z 1) dv
（７分）计算，其中 : x2 y 2 z2 R 2 .
五、（１５分）确定常数，使得在右半平面x0 上，
2 xy( x 4 y 2 ) dx x 2 ( x 4
y 2 ) dy
u( x, y) .
L
与积分路径无关，并求其一个原函数
1 x
f ( x)
x)3
六、 （８分）将函数
(1 展开为 x
的幂级数 .
七、 （７分）求解方程
y
6y
9y
.
高等数学（下册）试卷（六）
一、单选题（共 15 分，每小题 3 分）
1．设函数 f ( x, y) 在 P( x 0 , y 0 )
的两个偏导 f x ( x 0 , y 0 ) ， f y
( x 0
, y 0
)
都存在，则
( )
A ．
f ( x, y)
在 P 连续
B ．
f (x, y)
在 P 可微
lim f ( x, y 0 ) lim f ( x 0 , y) C ． x x 0
及 y y 0
2．若
z
y ln x ，则
dz
等于（ y ln x ln y y ln x ln y
A. x y
C . y ln x ln ydx
y ln x ln y dy
x
lim f ( x, y)
都存在
D ． ( x, y ) ( x 0 , y 0 ) 存在
）．
B.
y ln x
ln y
x
y ln x ln y
y ln x ln x
D.
dx
dy
x
y
是圆柱面 x
2
y 2
2x 及平面 z 0, z
1
所围成的区域，
则
f (x, y, z) dxdydz (
3．设
）．
A.
2
d
2 cos
1
f (r cos , r sin , z)dz
B.
2
d
2cos rdr 1
f (r cos , r sin , z)dz
0 dr
0 0
2
d
2 cos
1
2cos x rdr
1
C.
rdr
f (r cos , r sin , z)dz
D . d
f (r cos , r sin , z)dz
2
a n (x 1)n
1 处收敛，则此级数在 x
2 处（ 4． 4．若 n 1 在 x
）．
A ． 条件收敛
B ． 绝对收敛
C ． 发散
D ． 敛散性不能确定
x y z 2
5．曲线 z x 2
y 2
在点（ 1，1， 2）处的一个切线方向向量为（ ） .
A. （ -1， 3， 4）
B. （ 3， -1， 4）
C. （ -1， 0， 3）
D. （ 3， 0，-1）
二、填空题（共 15 分，每小题 3 分）
e
dx
ln x
I
f ( x, y)dy
I
2．交 换 1
的积分次序后， _____________________ ．
z
2
3．设
u
2xy
，则 u 在点
M ( 2, 1,1)
处的梯度为
.
e x
x n
n! ，则 xe x
4. 已知 n 0
. 5. 函数
z
x 3
y 3 3x 2 3y 2 的极小值点是
.
三、解答题（共 54 分，每小题 6--7 分）
z y arctan
y
z
z
y .
1.（本小题满分 6 分）设
x , 求 x
,
2.（本小题满分 6 分）求椭球面
2x 2
3y
2
z
2
9 的平行于平面 2x 3y 2z 1
的切平面方程，并求
切点处的法线方程
r
1 r 3 r
3. （本小题满分 7 分）求函数
z x 2
y 2 在点 (1,2) 处沿向量
l 2
i
2 j
方向的方向导数 .
1
f ( x)
3
的幂级数，并求收敛域 .
4. （本小题满分 7 分）将
x
展开成
x
5．（本小题满分 7 分）求由方程
2x 2 2y 2 z 2 8yz z 8 0 所确定的隐函数 z z(x, y)
的极值 .
(x 2
y 2 )d , D 由曲线 x
1 y
2 , y1, y 1
6．（本小题满分 7 分）计算二重积分 D
及 x
2 围
成 .
xy 2 dy x 2 ydx
2
2 2
L
x
a
向） .
xydxdydz
是由柱面 x
2
y
2
1 及平面 z 1, x 0, y
所围成
8. （本小题满分 7 分）计算 ，其中
且在第一卦限内的区域 .
.
四、综合题（共 16 分，每小题 8 分）
u n ,
v n
(u n v n )2
1．（本小题满分 8 分）设级数 n 1
n 1
都收敛，证明级数 n 1
收敛 .
f
2x
f ( x, y) 在 R 2
内具有一阶连续偏导数，且x
2．（本小题满分 8 分）设函数
，
证明曲线积分
2xydx f ( x, y)dy
t 恒有
L
与路径无关．若对任意的
( t ,1)
f ( x, y) dy
(1, t )
f ( x, y)dy
2xydx
2xydx
(0,0)
(0,0)
，求
f ( x, y)
的表达式．
高等数学（下册）试卷（一）参考答案
一、 1、当 0 a 1时，
x 2
y 2
1
；当
a 1 时， x 2 y 2 1 ；
1 e 1 y
d
dy
e y
dx;
3
2
2
2、负号；
3、 D
2
4、
(t )
(t )dt ；
y
；
Cx
sin
5、 180 ；
6、 x
；
7、
y
C 1 cos 2x C 2 sin 2x C 3 e 2 x C 4 e
2 x ；
8、 1；
二、 1、 D ； 2、 D ； 3、C ； 4、B ； 5、D ； 6、 B ； 7、 A ； 8、C ；
u
f 1 yf 2
u
xg (x
xy )
三、 1、
x
y
；
；
u
f (x t)
f (x t )
u
f (x
t) f (x t )
2、
x
t
；
；
2
2
e y
2
dy 2 y y 2
dx
2
y
2
dy 1 (1 e 4
)
dx
dy
e
ye
2
四、1、 0
x
； 柱面坐标
2
2 2
3dz 2
2 dr 2
3
dz 14
I
0 d
dr
r
d 2 1 2 r
1
r
3
2、
2
；
五、令
P
y ,Q
x
P
y 2 x 2
Q
x 2
y 2 x 2
y 2 则 y ( x 2
y 2 )2
x ， ( x, y) (0,0) ；
P , Q
于是①当 L 所围成的区域 D 中不含 O （ 0， 0）时，
y
x
在 D 内连续 .所以由 Green 公式得：
P , Q
I=0 ；②当 L 所围成的区域 D 中含 O （ 0，0）时， y
x
在 D 内除 O （ 0，0）外都连续，此时作
曲线
l
为 x
2
y
2
2
( 0
1)
，逆时针方向，并假设
D * 为 L 及 l 所围成区域，则
I
L
l l L l Green 公式 (
Q
P
) dxdy 2
l
D *
x
y x 2 y 22
六、由所给条件易得：
f (0)
2 f (0) f (0)
1
f 2
( 0)
f (x)
lim f ( x
x) f ( x) 又
x 0
x
lim
1 f
2 ( x)
f ( x)
f ( x) f (
x)
x x 0
1
f ( x) f (0)
即
1
f 2 ( x)
arctan f ( x) f ( 0) x
c 即 又 f (0) 0 即 c k , k Z
f (x) f ( x)
f ( x)
lim 1 f ( x) f ( x)
= x 0 x
f ( 0)
f (0)[1 f 2 ( x)]
f ( x) tan[ f (0) x c] f ( x) tan( f (0)x)
( 1) n
t 2n
1
七、令
x 2 t
，考虑级数
n 1
2n 1
t 2 n
3
lim 2n 3 t 2
t 2 n 1
n
2n 1
当 t 2
1即
t
1
时，亦即 1
x
3
时所给级数绝对收敛；
当
t 1
即 x
3 或 x 1 时，原级数发散；
当
t
1即 x
1
时，级数
n
( 1) n 1
1 1
2n 1 收敛；
(
1) n 1
1
收敛；
当 t 1 即 x 3 时，级数 n 1
2n
级数的半径为 R=1，收敛区间为 [1， 3].
高等数学（下册）试卷（二）参考答案
2
y
4
2
dy
f ( x, y)dxdy
一、 1、 1； 2、-1/6 ； 3、
y / 2
2 y / 2
f ( x, y)dx
2 f (0)
；4、
3
；
5、 8
； 6、
2(x y z)
； 7、
y
y
2 y
；
8、 0；
二、 1、C ； 2、B ； 3、A ； 4、D ； 5、C ； 6、 D ； 7、B ； 8、C ；
三、 1、函数
u
ln( x
u
x A
x
u
A
y
x
u
z A
x
而 l AB
u
u
l A
x
y 2 z 2 )
在点 A （ 1，0， 1）处可微，且
1 (1,0,1)
y 2
z 2
1/ 2；
1
y (1,0 ,1)
y 2
z 2
y 2
z 2
；
1
z
(1,0 ,1)
1/ 2
y 2
z 2 y 2
z 2
l 2 2 1
(2, 2,1), ( ,
, )
,故在 A 点沿 l AB
方向导数为：
所以
3
3 3
u
A cos
u
A
cos
A
cos + y
+ z
1 2 0 ( 2 1 1 1/ 2.
2 3 ) 2 3
3 f x 2xy(
4 x y) xy( 1) 0
f y x 2 (4 x 2 y)
得 D 内的驻点为
M 0 (2,1),
且 f (2,1)
4
，
2、由
又 f (0, y) 0, f (x,0) 0
而当
x
y 6, x 0, y
0 时， f ( x, y) 2x 3
12 x 2
(0 x 6)
令
(2 x 3
12x 2 ) 0 得 x 1
0, x 2 4
于是相应
y 1
6, y 2 且 f (0,6) 0, f (4,2)
64.
17/18
0 x 1
: 0
y x 1
四、 1、
的联立不等式组为
0 z 1 x y
dz
1
1 x
1 x y
I
dx
dy 0
(1
x y
z)
3
所以
1
1 1 x [
1
1
2
dx
x
y) 2
]dy
0 0
(1 4
1 1 1
3 x )dx 1
ln 2
5
2
(
4 2
16
x 1
2、在柱面坐标系中
2
t h
t
2
1 3
2
[hf ( r ) r
r ] dr
F (t )
d
dr [ z 2
f ( r 2
)] rdz
h
3
所以
dF 2 [hf (t 2
)t 1
h 3t ] 2 ht[ f (t 2 ) 1 h 2 ]
dt
3 3
五、 1、连接 OA ，由 Green 公式得：
高等数学下试题及参考答案
高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy =
2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
高等数学下册试题及答案解析word版本
高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；
高数期末考试试题及答案[1]
北京邮电大学2009-2010学年第二学期《高等数学》（下）期末试题（A2） 1．极限2 221lim 1x x y x y x +→∞→??+= ? ? ?2e ． 2．设()2y z x y x ?=++，其中?具有连续二阶偏导数， 则2z x y ???=2x ()''21()ln 1y x y x y x ?-+++． 3．曲面arctan()z xy =在点(1,1,)4 P π处的法线方程为 4112 2 1 1 1 z x y π ---= = -． 4．函数z (,,)21f x y z z e xy =-++在点（2,1,0 ）处的方向导数的最大值为 5．设2x u v z y u vz ?=-++?=+? 确定u=u(x,y,z),v=(x,y,z),则u x ?=?12z zu -+． 6．幂函数21 (1)9n n n x ∞ =-∑的收敛区域是 (2,4)- ． 7．设2 ,10 ()1,01x x f x x x --<≤?=?-<≤?，是周期为2的周期函数，则其傅里叶级数 在点x=4处收敛于 12 ． 8．设2222y z R ++=∑：x 外侧，则2223/2 ()xdydz ydzdx zdxdy x y z ++=++∑ ??4π． 9．已知22A=y +2z +xy ,=x +y +z ,i j k B i j k ，则div (A )B ? =3224x y z x z ---． 10．设L 为取正向的圆周x 2+y 2=9，则曲线积分 2 (22)(4)L xy y dx x x dy -+-?= 18π- ．（用格林公式易） 二（8分）．将函数f(x)= 2 12565x x x ---在点x 0=2处展开成泰勒级数，并指出其收敛域． 解：若用泰勒级数 2() 0000 000''()()()()()()'()()2! ! n n f x x x f x x x f x f x f x x x n --=+-++++
大学高等数学下考试题库(及答案)
一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+
10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）
高等数学试题及答案新编
《 高等数学》 一.选择题 1.当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+?D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C ）、()()x f dx x f dx d x a =???????D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7.设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（）
同济版高等数学下册练习题附答案
第 八 章 测 验 题 一、选择题： 1、若a →，b →为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) 5、2 () αβ→ → ±=( ) (A)2 2 αβ→→±； (B)2 2 2ααββ →→→ →±+； (C)2 2 αα ββ →→→ →±+； (D)2 2 2αα ββ →→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴； x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 00A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于 轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线 5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)222 6160x y z z ++++=； (B)2 2 2 160x y z z ++-=； (C)2 2 2 6160x y z z ++-+=； (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2221x y z ++=； (B)22 4x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π ，且2,5a b →→==，求 (2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b →→→→-?+2()a b →→ =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距 的一半，试求该动点轨迹曲面与 yoz 面的交线方程 .
高数2试题及答案(1)
模拟试卷一 一、单项选择题（每题3分，共24分） 1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线1 1 1231: -+=+=-z y x L 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行但直线不在平面上 （C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面上 2、=-+→→1 123lim 0xy xy y x （ ） （A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞ 3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ???2及x y z ???2在区域D 内连续是这两个二阶混合 偏导数在D 内相等的（ ）条件. （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 4、设 ??≤+=a y x d 224πσ，这里0 a ，则a =（ ） （A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知 ()()2 y x ydy dx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）1 6、曲线积分=++?L z y x ds 2 22（ ），其中.1 10:222???==++z z y x L （A ） 5 π （B ）52π （C ）53π （D ）54π 7、数项级数 ∑∞ =1 n n a 发散，则级数 ∑∞ =1 n n ka （k 为常数）（ ） （A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散 （C ）收敛 （D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（ ） （A ）21C x C y += （B ）C x y +=2 （C ）22 1C x C y += （D ）C x y += 2 2 1 二、填空题（每空4分，共20分） 1、设xy e z sin =，则=dz 。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .
高等数学试题及答案91398
《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin
最新高等数学下考试题库(附答案)
《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+
A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21.
高数上试题及答案
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
高等数学下册试题及答案解析
高等数学(下册)试卷(一) 一、填空题(每小题3分,共计24分) 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ,其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧,则 =++??∑ds y x )122（ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数∑∞ =+1)1(1n n n 的与为 。 二、选择题(每小题2分,共计16分) 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件就是( ) (A)),(y x f 在),(00y x 处连续; (B)),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在; (C) y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(22→?+?y x 时,就是无穷小; (D)0)()(),(),(lim 2200000 0=?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数,则2222y u y x u x ??+??等于( ) (A)y x +; (B)x ; (C)y ; (D)0 。 3、设Ω:,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分???Ω= zdV I 等于( ) (A)4 ???20201 03cos sin ππ ???θdr r d d ;
大一高数试题及答案.doc
大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） １．函数 2 2 111arcsin x x y -+ -=的定义域为______________________。 ２．函数 2e x y += 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。 ３．设ｆ（X ）在0x 可导,且A (x)f'=，则h h x f h x f h ) 3()2(l i m 000--+→ ＝ _____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（x ，y ）的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是 ____________。 ５．=-?dx x x 4 1_____________。 ６．=∞→x x x 1 sin lim __________。 ７．设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。 ９．微分方程 22 233)(3dx y d x dx y d +的阶数为____________。 ∞ ∞ １０．设级数 ∑ ａn 发散，则级数 ∑ ａn _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题。(１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） １．设函数 x x g x x f -== 1)(,1 )(则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ （ ） ①x 1 1- ②x 1 1- ③ x -11 ④x
２．11 sin +x x 是 （ ） ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量 ３．下列说法正确的是 （ ） ①若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 连续， 则ｆ（ X ）在X ＝Xo 可导 ②若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可导，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不连续 ③若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可微，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不连续，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不可导 ４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有 0)(",0)('> 四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B ) (A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分） 高等数学（下）模拟试卷一 一、填空题（每空3分，共15分） （1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 （2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人 高等数学下册试题及答案解析 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z = ) 0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= . 2、二重积分?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 . 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值 为 . 4、设曲线L 的参数方程表示为), ()()(βαψ?≤≤? ? ?==x t y t x 则弧长元素=ds . 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 = ++?? ∑ ds y x )122 （ . 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 . 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 . 8、级数∑ ∞ =+1)1(1n n n 的和为 . 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在) ,(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在) ,(00y x 处连续； （B ） ) ,(y x f x '， ) ,(y x f y '在 ) ,(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当 0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0)()(),(),(lim 2 200000 0=?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x . 2、设 ), ()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 . 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分 ???Ω =zdV I 等于（ ） （A ）4 ???20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ； （B ） ? ??20 1 2sin π π??θdr r d d ； 课程名称 高等数学I （A ）解答 一 选择题（4小题，每题4分，共16分） 1． 下列数列收敛的是（ C ）。 (A) n n x n n 1] 1)1[(++-= (B) n n n x )1(-= (C) n x n n 1)1(-= (D) n n x n 1-= 2．已知函数231)(22+--=x x x x f 下列说法正确的是（ B ）。 (A) )(x f 有2个无穷间断点 (B) )(x f 有1个可去间断点，1个无穷间断点 (C) )(x f 有2个第一类间断点 (D) )(x f 有1个无穷间断点，1个跳跃间断点 3．设 ?????>≤=1,1,3 2)(23x x x x x f ，则)(x f 在x =1处的（ B ）。 (A) 左右导数都存在 (B) 左导数存在，右导数不存在 (C) 左导数不存在，右导数存在 (D) 左、右导数都不存在 4．函数 2)4(121++ =x x y 的图形（ B ） (A) 只有水平渐近线 (B) 有一条水平渐近线和一条铅直渐近线 (C) 只有铅直渐近线 (D) 无渐近线 二 填空题（4小题，每题4分，共16分） 1．x x x 23sin lim 0→＝__3/2_________ 2. x x e y x sin ln 2-+=则='y _2e x +1/x －cos x _ 3． 已知隐函数方程：024=-+y xe x 则='y －(4+e y ) / （x e y ） 4． 曲线332x x y +=在 x = 1 处对应的切线方程为： y =11x -6 . 三 解答题（5小题,每题6分，共30分） 《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 高等数学下册试题库 一、填空题 1. 平面01=+++kz y x 与直线112z y x =-=平行的直线方程是___________ 2. 过点 )0,1,4(-M 且与向量)1,2,1(=a 平行的直线方程是________________ 3. 设 k i b k j i a λ+=-+=2,4，且b a ⊥，则=λ__________ 4. 设 1)(,2||,3||-===a b b a ，则=∧ ),(b a ____________ 5. 设平面 0=+++D z By Ax 通过原点，且与平面0 526=+-z x 平行，则 __________________,_______,===D B A 6. 设直线 )1(2 2 1-=+=-z y m x λ与平面 25363=+++-z y x 垂直，则 ___________________,==λm 7. 直线???==0 1y x ，绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_______________ 8. 过点 )1,0,2(-M 且平行于向量)1,1,2(-=a 及)4,0,3(b 的平面方程是__________ 9. 曲面 222y x z +=与平面5=z 的交线在xoy 面上的投影方程为__________ 10. 幂级数 1 2 n n n n x ∞ =∑的收敛半径是____________ 11. 过直线 1 3 222 x z y --=+=-且平行于直线 1 1 3 023 x y z +-+==的平面方程是 _________________ 12. 设 ),2ln(),(x y x y x f + =则__________)0,1('=y f 13. 设 ),arctan(xy z =则 ____________,__________=??=??y z x z 14. 设 ,),(22y x y x xy f +=+则=),('y x f x ____________________ 15. 设 ,y x z = 则=dz _____________高等数学上考试试题及答案
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