重庆潼南柏梓中学高三文科数学考前训练(3)

高三数学考前训练（3）

重庆柏梓中学校 蒋红伟 一、选择题（5×10=50分）

1．设全集{}1,2,3,4,5,6,U =集合{}1,2,3,4P =，集合{}5,4,3=Q ，则)(Q C P U =( )

A ．{}1,2,3,4,6

B ．{}1,2,3,4,5

C ．{}1,2,5

D ．{}1,2

2．设x R ∈，i 是虚数单位，则“3x =-”是“复数2(23)(1)z x x x i =+-+-为纯虚数” 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

3．已知||2,a b = 是单位向量，且a b 与夹角为60°，则()a a b ?-

等于（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．44．函数x e x x f +=ln )(的零点所在的区间是（ ）

A ．1,0(e

B ．)1,1

(e

C ．),1(e

D ．),(+∞e

5．若抛物线x y 42=上一点P 到y 轴的距离为3，则点P 到抛物线的焦点F 的距离为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．7

6．已知圆2

2

2

2

12650430O x x y O x y y +++=+-+=：，圆：，则圆12O O 和圆的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相离 C ．外切 D ．内含

7．设不等式组0

02x y x y ≥??

≥??+≤

?

表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个

的概率是（ ） A ．

4

π

B ．

2

2

π- C ．

6

π

D ．

44

π

- 8．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是( ) A ．8π B ．

323π

C ．163

π

D ．32π 9．函数()f x 的导函数)(x f '的图象如右图所示，

则()f x 的图象可能是( )

10．已知函数y ＝log a (x －1)＋3(a >0且a ≠1)的图像恒过定点P ，若角α的终边经过点P ，则sin 2α－

sin2α的值等于( )

A ．313

B ．513

C ．－313

D ．－513

二、填空题（5×5=25分）

11．已知一个扇形的圆心角的弧度数是1弧度，半径为1cm ，则此扇形的周长为_________cm 12．某程序框图如右图所示，若3a =,则该程序运行后，输出的x 值为 13．已知数列1,,9a 是等比数列，数列121,,,9b b 是等差数列，则12

a b b +的值为

14．函数()sin()f x A x ω?=+(0,0,02)A ω?π>>≤<

在R 上的部分图象如图所示，则(2013)f 的 值为 ．

15．由下列各式：

三、解答题（75分）

16．（本题满分13分）已知ABC ?的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =

，(sin ,sin )n B A = ，(2,2)p b a =--

.

（1）若m //n

，判断ABC ?的形状；

（2）若m ⊥p

，边长2c =ΔABC 的面积.

17．（本小题满分13分）一次考试结束后，随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩如

正视图

俯视图

左视图

-1

-1

-1

下表：

（1）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定； （2）从以上5名同学中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率．

18．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，其中

2PA PD AD ===，60BAD ?∠=，Q 为AD 的中点.

（1）求证：AD PQB ⊥平面； （2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，

且12PM PC =，求四棱锥

M ABCD -的体积.

19．（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，344S a =+，且124,,a a a 成等比数列.

（1）求数列{}n a 的通项公式； （

2）求数列1

{}n

S 的前n 项和公式.

20.( 本小题满分12分） 已知函数1)(--=ax e x f x

，()R a ∈.

（1）当2=a 时,求)(x f 的单调区间与最值；

（2）若)(x f 在定义域R

内单调递增，求a 的取值范围． 21．（本小题满分12分）

已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,离心率e =(2,0)P -在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；

（2）已知A 、B 为椭圆C 上的动点,当PA PB ⊥时,求证:直线AB 恒过一个定点.并求出该定点的坐标.

高三数学考前训练（3）参考答案

DCCAB BDABC 11．3 12．31 13．

3

10

14

． 15．

2121211n

n >-+???++

16．（1）由m //n

得sin sin a A b B =所以a b =故此三角形为等腰三角形.

（2）m ⊥p

得(2)(2)0a b b a a b ab -+-=?+=

又由余弦定理知22

202cos60c a b ab =+-24()34a b ab ab ?=+-?=

所以12sin ABC S ab C ?==17．（1）5名学生数学成绩的平均分为:93)9795939189(5

1=++++ 5名学生数学成绩的方差为:

8])9397()9395()9393()9391()9389[(5

1

22222=-+-+-+-+- 5名学生物理成绩的平均分为:90)9392898987(5

1

=++++

5名学生物理成绩的方差为:

5

24])9093()9092()9089()9089()9087[(5122222=-+-+-+-+- 因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定. （2）设选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分为事件A 。5名学生中选2人包含基本事件有：

,21A A ,31A A ,41A A ,51A A ,32A A ,42A A ,52A A ,43A A ,53A A ,54A A 共10个. 事件A 包含基本事

件有：,41A A ,51A A ,42A A ,52A A ,43A A ,53A A ,54A A 共7个.10

7)( =A P 则

所以，5名学生中选2人, 选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率为

10

7

18．（1）PA PD = ，Q 为中点，AD PQ ∴⊥

又 60BAD ?∠=，底面ABCD 为菱形，Q 为中点

AD BQ ∴⊥所以AD ⊥平面PQB . （2）连接QC ,作MH QC ⊥于H .

2PA PD AD ===，Q 为AD 的中点PQ AD ∴⊥ 又 平面PAD ⊥平面ABCD ，

PQ ABCD ∴⊥平面 P Q Q

C

∴⊥ 又MH QC

⊥,PQ MH ∴ .于是MH ABCD ⊥平面,

又12PM PC =,11222

22MH PQ ∴=

=?=, 所以, M ABCD -1132AC BD MH =???12162

=??= 19．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为0≠d .因为344S a =+，

所以432

2

3311++=?+

d a d a . ① 因为124,,a a a 成等比数列，所以2111(3)()a a d a d +=+. ②

由①，②可得：12,2a d ==. 所以2n a n =.…………6分 （2）由2n a n =可知：()(22)12

n n n

S n n + =

=+.…………9分

所以1111(1)1

n S n n n n ==-++ .………………11分 所以123111111n n S S S S S -+++++

1111111111)12233411n n n n =-+-+-++-+--+1111

n n n =-=++. 所以数列1

{

}n

S 的前n 项和为

1n n +. ……………12分 20．解:（1）当2=a 时，12)(--=x e x f x ，∴2)(-='x e x f .

令0)(>'x f ，即02>-x

e ，解得：2ln >x ；

令0)(<'x f ，即02<-x

e ，解得：2ln

∴)(x f 在2ln =x 时取得极小值，亦为最小值，即2ln 21)2(ln -=f ． ∴当2=a 时，函数)(x f 的单调增区间是()+∞,2ln ，递减区间为()2ln ,∞-

)(x f 的最小值为:2ln 21-

（2）∵1)(--=ax e x f x ， ∴a e x f x

-=')(. ∵)(x f 在R 上单调递增，

∴0)(≥-='a e x f x

恒成立，

即x e a ≤，R x ∈恒成立． ∵R x ∈时，()+∞∈,0x

e ，∴0≤a .即a 的取值范围为(]0,∞-．

21．解：（1）椭圆C 的方程是:2

214

x y +=…………………………4分 （2）当直线l 不垂直于x 轴时,设AB ：y kx m =+ 11(,)A x y 22(,)B x y

2244x y y kx m ?+=?=+?得222

(14)84(1)0k x kmx m +++-= ………………………6分 1222121212(2)(2)(1)(2)()4PA PB x x y y k x x km x x m =+++=++++++

=22

222

4(1)8(1)(2)401414m km

k km m k k

--+++++=++ ……………………7分 22125160k m km ∴

+-= 即 (65)(2)0k m k m --=6

25

m k m k ∴=

=或…………9分

当65m k =

时，6

:5

AB y kx k =+恒过定点6(,0)5- 当2m k =时，:2AB y kx k =+恒过定点(2,0)-，不符合题意舍去… 10分

当直线l 垂直于x 轴时，若直线AB ：6

5

x =- 则AB 与椭圆Ｃ相交于64(,)55A --，

64(,)55B -24444444

(,)(,)()()()05555555

PA PB ∴=-=+-= ，PA PB ⊥ ，满足题意

综上可知，直线AB 恒过定点，且定点坐标为6

(,0)5

-……………12分