高考数学 函数与导数分类汇编 理
高考数学 函数与导数分类汇编 理
（重庆理）3．已知lim(
)x ax x x
→∞
2-1+=2-13，则a =D A ．-6
B ．2
C ．3
D ．6
（重庆理）5．下列区间中，函数f x =(2)In x -（）在其上为增函数的是D
A ．（-,1∞]
B ．41,3
??-???
?
C ．)30,
2
??? D ．[)1,2
（重庆理）10．设m ，k 为整数，方程2
20mx kx -+=在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k 的最小值为D A ．-8
B ．8
C ．12
D ．13
（浙江理）10．设a ，b ，c 为实数，f （x ）=（x+a ）2
2
(),()(1)(1)x bx c g x ax ax bx ++=+++．记集合},0)(|{R x x f x S ∈==，},0)(|{R x x g x T ∈==，若S ，T 分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能．．．的是D A ．S =1且T =0 B ．1T =1S =且
C ．S =2且T =2
D ．S =2且T =3
（浙江理）1．设函数2
,0,()()4,0.
x x f x f x x α-≤?==?>?若,则实数α=B
A ．-4或-2
B ．-4或2
C ．-2或4
D ．-2或2
（天津理）7．已知324log 0.3
log 3.4
log 3.6
15,5
,,5a b c ??
=== ?
??
则C
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．a c b >>
D ．c a b >>
（天津理）8．对实数a 和b ，定义运算“?”：,1,
, 1.
a a
b a b b a b -≤??=?
->?设函数
()()22()2,.f x x x x x R =-?-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的
取值范围是B
A ．(]3,21,
2??
-∞-?- ???
B ．(]3,21,4??-∞-?--
???
C ．111,
,44????-?+∞ ? ?????
D ．311,,44?
???--
?+∞ ???????
（四川理）7．已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1
()()12
x
f x =+，则()f x 的反函数的图像
大致是
7．答案：A
解析：由反函数的性质原函数的值域为反函数的定义域，原函数的定义域为反函数的值域
.
当10,0()1,122
x
x y ><
（四川理）11．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()3(2)f x f x =+，当[)0,2x ∈时，
2()2f x x x =-+．设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为(*)n a n N ∈，且{}n a 的前n 项和为n S ，
则lim n n S →∞
=
A ．3
B ．
52
C ．2
D ．
32
11．答案D
解析：由题意1
(2)()3
f x f x +=
,在[22,2]n n -上， 2
111()11
1331,()1,2,(),3,()()()lim 133
3213
n
n n n n
n f x n f x n f x a S S --=======?=?=- （陕西理）3．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)(),f x f x f x f x -=+=,则()y f x =的图像可能是B
（陕西理）6．函数f （x ）=x —cosx 在[0，+∞）内B
A ．没有零点
B ．有且仅有一个零点
C ．有且仅有两个零点
D ．有无穷多个零点
（山东理）3．若点（a,9）在函数3x
y =的图象上，则tan=
6
a π
的值为D A ．0 B ．
33
C ．1
D ．3
（山东理）5．对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的B A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
（山东理）9．函数2sin 2
x
y x =
-的图象大致是C
（山东理）10．已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3
()f x x x =-,则函数
()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为B
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
（全国新课标理）（2）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是B
（A ）3
y x = （B ）||1y x =+ （C ）2
1y x =-+ （D ）||
2x y -=
（全国新课标理）（9）曲线y x =
2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为C
（A ）
103 （B ）4 （C ）16
3
（D ）6 （全国新课标理）（12）函数1
1y x
=
-的图象与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图象所有交点的橫坐标之和等于D
（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 （全国大纲理）2．函数(0)y x x =≥的反函数为B
A ．2()4x y x R =∈
B ．2
(0)4
x y x =≥
C ．2
4y x =()x R ∈ D ．2
4(0)y x x =≥
（全国大纲理）8．曲线y=2x
e
-+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为A
A ．
1
3
B ．
1
2
C ．
2
3
D ．1
（全国大纲理）9．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2
f -=A
A ．-
1
2
B ．1 4
-
C ．
14
D ．
12
（辽宁理）（9）设函数???>-≤=-,
1,log 1,
1,2)(21x x x x f x 则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是D
（A ）1[-，2] （B ）[0，2] （C ）[1，+∞） （D ）[0，+∞）
（辽宁理）（11）函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为B （A ）（1-，1） （B ）（1-，+∞） （C ）（∞-，1-） （D ）（∞-，+∞） （江西理）4．若()ln f x x x x 2
=-2-4，则'()f x >0的解集为C
A ．(,)0+∞
B ．-+10?2∞（，）（，）
C ．(,)2+∞
D ．(,)-10
（江西理）3
．若()f x =
，则()f x 的定义域为A
A ．(,)1-02
B ．(,]1
-
02
C ．(,)1-+∞2
D ．(,)0+∞
（湖南理）8．设直线x=t 与函数2
()f x x =，()ln g x x =的图像分别交于点M,N,则当MN 达到最小
时t 的值为D
A ．1
B ．
1
2 C
．
2 D
．2
（湖南理）6．由直线,,03
3
x x y π
π
=-
=
=与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为D
A ．
1
2
B ．1
C
．
2
D
（湖北理）6．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2
2
2f x g x a a -+=-+(a ＞0,
且0a ≠)．若()2g a =，则()2f =B
A ．2
B ．
15
4
C ．
17
4
D ．2
a
（湖北理）10．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：30
0()2
t M t M -=，其中M 0为t=0时铯137的含量.已知t=30时，铯137含量的变化
率是-10In2（太贝克／年），则M （60）=D
A ．5太贝克
B ．75In2太贝克
C ．150In2太贝克
D ．150太贝克
（广东理）4．设函数()f x 和()g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A A ．()()f x g x +是偶函数 B ．()()f x g x -是奇函数
C ．()()f x g x +是偶函数
D ．()()f x g x -是奇函数
（福建理）9．对于函数f （x ）=asinx+bx+c(其中，a,b ∈R,c ∈Z),选取a,b,c 的一组值计算f （1）和f （-1），
所得出的正确结果一定不可能．．．．．是D A ．4和6 B ．3和1 C ．2和4 D ．1和2
（福建理）10．已知函数f （x ）=e+x ，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以
下判断： ①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是B A ．①③ B ．①④ C ． ②③ D ．②④
（北京理）6．根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为???
?
??
?
≥<=A
x A
c A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）.已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是D
A ．75，25
B ．75，16
C ．60，25
D ．60，16
（安徽理）（3）设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当=-=≤)1(,2)(,02
f x x x f x 则时 A
（A ）－3 （B ）－1
（C ）1 （D ）3
（安徽理）（10）函数n
m
x ax x f )1()(-=在区间[0,1] 上的图像如图所示，则m ，n 的值可能是B （A ）m=1，n=1 （B ）m=1，n=2
（C ）m=2，n=1 （D ）m=3，n=1
（上海理）16．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为〖答〗A
A ．1ln
||
y x = B ．3
y x =
C ．||
2x y =
D ．cos y x =
（浙江理）11．若函数2
()f x x x a =-+为偶函数，则实数a = 0 . （上海理）1．函数1()2f x x =
-的反函数为1
()f x -= 12x
+ .
（上海理）14．已知点(0,0)O ．0(0,1)Q 和0(3,1)R ，记00Q R 的中点为1P ，取01Q P 和10P R 中的一条，
记其端点为1Q ．1R ，使之满足11(||2)(||2)0OQ OR --<；记11Q R 的中点为2P ，取12Q P 和21P R 中的一条，记其端点为2Q ．2R ，使之满足22(||2)(||2)0OQ OR --<；依次下去，得到点
12,,,,n P P P ，则0lim ||n n Q P →∞
（上海理）13．设()g x 是定义在R 上．以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在[3,4]上的值域为
[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 [15,11]- .
（四川理）13．计算1
21
(lg lg 25)100=4--÷ ．20-
13．解析：12111
(lg lg 25)100lg
20410010
--÷=÷=- （四川理）16．函数f x （）的定义域为A ，若1212x x A f x =f x ∈，且（）（）时总有12x =x f x ，则称（）
为单函数．例如，函数f x （）=2x+1（x R ∈）是单函数．下列命题： ①函数f x （）=2
x （x ∈R ）是单函数；
②若f x （）为单函数，121212x x A x x f x f x ∈≠≠，且，则（）（）；
③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象； ④函数f （x ）在某区间上具有单调性，则f （x ）一定是单函数．
其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号）
16．答案：②③④
解析：①错，
12x x =±，②③④正确.
（陕西理）11．设若2
lg ,0,()3,0,a
x x f x x t dt x >??
=?+≤???((1))1f f =，则a = 1 . （陕西理）12．设n N +∈,一元二次方程2
40x x n -+=有正数根的充要条件是n = 3或4 . （山东理）16．已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零
点*
0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 2 .
（广东理）12．函数2
()31f x x x =-+在x=__________处取得极小值.2
（北京理）13．已知函数32
,
2()(1),2x f x x x x ?≥?=??-
若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的实根，则数k 的取
值范围是_______（0，1）
（江苏）2．函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________.),2
1
(+∞-
（江苏）8．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数x
x f 2
)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________.4 （江苏）11．已知实数0≠a ，函数?
??≥--<+=,1,2,
1,2)(x a x x a x x f 若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为
________.4
3
-
（江苏）12．在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数)0()(>=x e x f x
的图象上的动点，该图象在P
处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是____________.
)(2
1
1-+e e （江苏）19．已知a ，b 是实数，函数,)(,)(2
3
bx x x g ax x x f +=+=)(x f '和)(x g '是)(),(x g x f 的
导函数，若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性一致 （1）设0>a ，若)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致,求b 的取值范围；
（2）设,0 法进行探索、分析与解决问题的综合能力.满分16分. 解：.2)(,3)(2 b x x g a x x f +='+=' （1）由题意知),1[0)()(+∞-≥''在x g x f 上恒成立，因为a>0，故,032 >+a x 进而20,2x b b x +≥≥-∞即在区间[-1,+)上恒成立，所以 2.b ≥ 因此b 的取值范围是[2,).+∞ （2 ）令()0,f x x '==解得 若0,00(,).b a a b ><∈由得又因为(0)(0)0f g ab ''=<， 所以函数()()f x g x 和在(,)a b 上不是单调性一致的，因此0.b ≤ 现设0.(,0),()0b x g x '≤∈-∞<当时； 当(,x ∈-∞时，()0.f x '> 因此，当(,x ∈-∞时，()()0.f x g x ''< 故由题设得a ≥≥b 从而11 0,0.33 a b - ≤<-≤≤于是 因此11 ||,,033a b a b -≤=-=且当时等号成立， 又当2 11,0,()()6()39a b f x g x x x ''=-==-时，从而当1(,0)()()03 x f x g x ''∈->时 故当函数1()()(,0)3f x g x -和在上单调性一致，因此||a b -的最大值为1 .3 （安徽理）（16）(本小题满分12分) 设2 1)(ax e x f x +=，其中a 为正实数. （Ⅰ）当a 4 3 = 时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围. （16）（本小题满分12分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性之间的关系，求解一元二次不等式基本知识，考查运算求解能力，综合分析和解决问题的能力. 解：对)(x f 求导得2 22) 1(21)('ax ax ax e x f x +-+= ① （I ）当34= a ，若.21,23,0384,0)(212 ===+-='x x x x x f 解得则 综合①,可知 所以,231= x 是极小值点,2 1 2=x 是极大值点. （II ）若)(x f 为R 上的单调函数，则)(x f '在R 上不变号，结合①与条件a>0，知0122 ≥+-ax ax 在R 上恒成立，因此,0)1(4442 ≤-=-=?a a a a 由此并结合0>a ，知.10≤ （北京理）18．（本小题共13分） 已知函数2 ()()x k f x x k e =-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()f x ≤ 1 e ，求k 的取值范围. （18）解：（Ⅰ）.)(1)(2 2k x e k x k x f -=' 令()00='f ，得k x ±=. 当k>0时，)()(x f x f '与的情况如下 所以，)(x f 的单调递减区间是（k -∞-,）和),(+∞k ；单高层区间是),(k k -当k<0时， )()(x f x f '与的情况如下 所以，)(x f 的单调递减区间是（k -∞-,）和),(+∞k ；单高层区间是),(k k - （Ⅱ）当k>0时，因为e e k f k 1)1(11> =++，所以不会有.1)(),,0(e x f x ≤+∞∈? 当k<0时，由（Ⅰ）知)(x f 在（0，+∞）上的最大值是.4)(2 e k k f =- 所以e x f x 1)(),,0(≤+∞∈?等价于.14)(2e e k k f ≤=--解得02 1 <≤-k . 故当e x f x 1)(),,0(≤ +∞∈?时，k 的取值范围是).0,2 1[- （广东理）21．（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L:2 14 y x = ．实数p ，q 满足240p q -≥，x 1，x 2是方程20x px q -+=的两根，记{}12(,)max ,p q x x ?=. （1）过点2 0001(,)(0)4 A p p p ≠作L 的切线教y 轴于点 B ．证明：对线段AB 上任一点Q （p ，q ）有0 (,);2 p p q ?= （2）设M （a ，b ）是定点，其中a ，b 满足a 2-4b>0,a≠0．过M （a ，b ）作L 的两条切线12,l l ，切点分别为22112211 (, ),(,)44 E p p E p p '，12,l l 与y 轴分别交与F,F'.线段E F 上异于两端点的点集记为X ．证明：M （a,b ） ∈X ?12P P >?(,)a b ?1 2 p = ; （3）设D={（x,y ）|y≤x -1,y≥1 4（x+1） 2-54 }．当点（p,q ）取遍D 时，求(,)p q ?的最小值（记为min ?）和最大值（记为max ?）． 21．（本小题满分14分） 解：（1）切线l 的方程为2 0011.24 y p x p = - (,)(,)Q p q AB p q ??∈== 有 当00000|| 0,0,(,).222p p p p p p p p p q ?+->≤≤= ==时于是 当00000|| 0,0,(,).222 p p p p p p p p p q ?-+--<≤≤= ==时于是 （2）12,l l 的方程分别为22 11221111,.2424 y p x p y p x p =-=- 求得12,l l 交点M(a,b)的坐标1212 ( ,)24 p p p p +，由于240,0a b a ->≠，故有12||||.p p ≠ 1）先证：12(,)||||.M a b x p p ∈?> （?）设(,).M a b X ∈ 当12 11121120,002||||.2p p p p p p p p p +>< 时 当12 11112120,020||||.2 p p p p p p p p p +<< 时 （?）设2212 12111 ||||,| |1110 2.p p p p p p p p p +> 当121211110,0;0 1.22 p p p p p p p ++>< <<<<时当时,p 注意到1(,),(,).M a b l M a b X ∈在上故 2）次证：1|| (,)(,).2 p M a b X a b ?∈?= （?）已知(,),M a b X ∈利用（1）有1|| (,).2 p a b ?= （?）设1|| (,)2 p a b ?=，断言必有12||||.p p > 若不然，12||||.p p <令Y 是2l 上线段E F ''上异于两端点的点的集合， 由已证的等价式1）(,).M a b Y ∈再由（1）得21|||| (,)22 p p a b ?=≠，矛盾. 故必有12||||.p p >再由等价式1），(,).M a b X ∈ 综上，112||(,)||||(,).2 p M a b X p p a b ?∈?>?= （3）求得215 1(1)44 y x y x =-=+-和的交点12(0,1),(2,1)Q Q - 而1y x =-是Ｌ的切点为2(2,1)Q 的切线，且与y 轴交于1(0,1)Q -， 由（１）(,)Q p q ?∈线段Q 1Q 2，有(,) 1.p q ?= 当2211515(,):(1)(02),(1)4444 Q p q L y x x q p ∈= +-≤≤=+-时 ()(,)2),h p p q p ?∴===≤≤ 在（0，2 ）上，令3()0,2 h p p '= == 得 由于35(0)(2)1,(),24 h h h === ()(,)h p p q ?=在[0，2]上取得最大值max 5 .4 h = 215 (,),2,(1)1,44 p q D p p q p ?∈≤≤+-≤≤-有0 故(,)p q ?= ≤ max 5 ,4 h = ≤= (,)p q ?=≥= 212 p p +-= =, 故min max 51,.4 ??== （湖南理）22．（本小题满分13分） 已知函数3 ()f x x = ，()g x x =（Ⅰ）求函数()()()h x f x g x =-的零点个数.并说明理由； （Ⅱ）设数列{n a }（* n N ∈）满足10(0)a a =>，1()()n n f a g a +=，证明：存在常数M,使得对于 任意的* n N ∈，都有n a ≤M ． 22．解：（I ）由3 (),[0,)h x x x x =-- ∈+∞，而(0)0,(1)10h h ==-<且， (2)60,0()h x h x =>=则为的一个零点，且()h x 在（1，2）内有零点. 因此()h x 至少有两个零点. 解法1：12 21()31,2h x x x -'=--记12 21()31,2x x x ?-=--则3 21()6.4 x x x ?-'=+ 当(0,),()0,()(0,)x x x ??'∈+∞>+∞时因此在上单调递增，则()(0,)x ?+∞在内至多只有一个零 点. 又因为(1)0,0,()x ???><则在内有零点，所以()(0,)x ?+∞在内有且只有一个零 点，记此零点为111,(0,),()()0x x x x x ??∈<=则当时；当1(,)x x ∈+∞时，1()()0.x x ??>= 所以， 当1(0,),()x x h x ∈时单调递减，而1(0)0,()(0,]h h x x =则在内无零点； 当1(0,),()x x h x ∈时单调递减，而1(0)0,()(0,]h h x x =则在内无零点； 当1(,),()x x h x ∈+∞时单调递增，而1()(,)h x x +∞在内至多只有一个零点. 从而()(0,)h x +∞在内至多只有一个零点. 综上所述，()h x 有且只有两个零点. 解法2：由112 2 2 2 ()(1),()1h x x x x x x x ?--=--=--记，则3 21()2.2 x x x ?- '=+ 当(0,),()0,x x ?'∈+∞>时从而()(0,)x ?+∞在上单调递增， 则()(0,)x ?+∞在内至多只有一个零点，因此()(0,)h x +∞在内也至多只有一个零点. 综上所述，()h x 有且只有两个零点. （II ）记()h x 的正零点为3 000,x x x =即 （1）当0110,,.a x a a a x <=<时由即 而23 210020,.a a x x a x =<=<因此 由此猜测：0n a x <.下面用数学归纳法证明. ①当101,n a x =<时显然成立. ②假设当0(1),,1k n k k a x n k =≥<=+时成立则当时，由 33 10010,.n k k a a x x a x ++==<知因此，当101,k n k a x +=+<时成立. 故对任意的* 0,k n N a x ∈<成立. （2）当0a x ≥时，由（I ）知，0()(,)h x x +∞在上单调递增，则0()()0h a h x ≥=， 即3 3 3 212,a a a a a a a a ≥=+=+≤≤即， 由此猜测：k a a ≤，下面用数学归纳法证明， ①当11,n a a =≤时显然成立. ②假设当(1),k n k k a a =≥≤时成立，则当1n k =+时， 由3311,k k k a a a a a a ++=≤+≤≤知 因此，当11,k n k a a +=+≤时成立， 故对任意的* ,n n N a a ∈≤成立 综上所述，存在常数0max{,}M x a =，使得对于任意的* ,.n n N a M ∈≤都有 （辽宁理）（21）（本小题满分12分） 已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=． （I ）讨论)(x f 的单调性； （II ）设0>a ，证明：当a x 10< <时，)1 ()1(x a f x a f ->+； （III ）若函数)(x f y =的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f '(x 0)＜0． 21．解： （I ）()(0,),f x +∞的定义域为1(21)(1) ()2(2).x ax f x ax a x x +-'= -+-=- （i ）若0,()0,()(0,)a f x f x '≤>+∞则所以在单调增加. （ii ）若10,()0,a f x x a '>== 则由得 且当11 (0,),()0,,()0.x f x x f x a a ''∈>><时当时 所以1()(0,)f x a 在单调增加，在1 (,)a +∞单调减少. ………………4分 （II ）设函数11 ()()(),g x f x f x a a =+--则 3222 ()ln(1)ln(1)2,2()2.111g x ax ax ax a a a x g x a ax ax a x =+---'=+-=+-- 当1 0,()0,(0)0,()0x g x g g x a '<< >=>时而所以. 故当10x a <<时，11 ()().f x f x a a +>- ………………8分 （III ）由（I ）可得，当0,()a y f x ≤=时函数的图像与x 轴至多有一个交点， 故0a >，从而()f x 的最大值为1 1(),()0.f f a a >且 不妨设1212121 (,0),(,0),0,0.A x B x x x x x a <<<< <则 由（II ）得111211 ( )()()0.f x f x f x a a a -=+->= 从而122102 1,.2x x x x x a a +> -=>于是 由（I ）知，0()0.f x '< ………………12分 （全国大纲理）22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） （Ⅰ）设函数2()ln(1)2 x f x x x =+- +，证明：当0x ＞时，()0f x ＞； （Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次， 设抽得的20个号码互不相同的概率为p ．证明：19291( )10p e << 22．解：（I ）2 2 '()(1)(2)x f x x x =++， …………2分 当0,'()0x f x >>时， 所以()f x 为增函数，又(0)0f =， 因此当0,()0.x f x >>时 …………5分 （II ）20 100999881 .100p ??? ?= 又2 2 2998190,988290,,918990? 所以199( ),10 p < …………9分 由（I ）知：当20,ln(1),2 x x x x >+>+时 因此2(1)ln(1) 2.x x ++> 在上式中，令19211010,.999x e = >则19ln >2,即() 所以19291 ().10p e << （全国新课标理）（21）（本小题满分12分） 已知函数ln ()1a x b f x x x = ++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=． （I ）求a ，b 的值； （II ）如果当x>0，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x > +-，求k 的取值范围． （21）解：（Ⅰ）22 1 ( ln ) '()(1)x x b x f x x x α+-= - + 由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1, 1'(1),2f f =?? ?=-??即 1, 1,22 b a b =???-=-??解得1a =，1b =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1 f ()1x x x x = ++，所以 22 ln 1(1)(1) ()()(2ln )11x k k x f x x x x x x ---+=+--． 考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >，则 22 (1)(1)2'()k x x h x x -++=． (i)设0k ≤，由22 2 (1)(1)'()k x x h x x +--=知，当1x ≠时，'()0h x <．而(1)0h =，故 当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得 2 1 ()01h x x >-； 当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得2 11 x -h （x ）>0 从而当x>0，且x ≠1时，f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x +x k . （ii ）设0 h (x ）>0，而 h （1）=0，故当x ∈（1，k -11）时，h （x ）>0，可得2 11 x -h （x ）<0，与题设矛盾． （iii ）设k ≥1.此时' h （x ）>0，而h （1）=0， 故当x ∈（1，+∞）时，h （x ）>0，可得 2 11 x -h （x ）<0，与题设矛盾． 综合得，k 的取值范围为（-∞，0] 解：（2）由（1）知ln 1 ()1x f x x x = ++． 故要证：ln ()1x f x x >-,只需证ln 1ln 11 x x x x x +>+- 为去分母，故分x>1与0 (1)ln 1(1)ln x x x x x x x -+->+ 即21ln x x x -<,即需证1 ln x x x <-． （1） 设1()ln g x x x x =-+ ，则1 '()1g x x =- 由x>1得'()0g x <，所以1 ()ln g x x x x =-+ 在（1，+∞）上为减函数．又因g （1）=0 所以 当x>1时 g （x ）<0 即（1）式成立． 同理0 ln x x x >- （2） 而由0 ()ln g x x x x =-+ 在（0，1）上为增函数．又因g （1）=0 所以，当0 点评：抓住基本思路，去分母化简问题，不可死算． （陕西理）21．（本小题满分14分） 设函数()f x 定义在(0,)+∞上，(1)0f =，导函数1 (),()()().f x g x f x f x x ''==+ （Ⅰ）求()g x 的单调区间和最小值； （Ⅱ）讨论()g x 与1()g x 的大小关系； （Ⅲ）是否存在00x ?，使得01 ()()g x g x x -∠ 对任意0x >成立？若存在，求出0x 的取值范围；若不存在，请说明理由． 21．解：（Ⅰ）由题设易知()ln f x x =，1()ln g x x x =+ ， ∴21 '()x g x x -= ，令'()0g x =得1x =， 当(0,1)x ∈时，'()0g x <，故（0,1）是()g x 的单调减区间， 当(1,)x ∈+∞时，'()0g x >，故(1,)+∞是()g x 的单调增区间， 因此，1x =是()g x 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为(1)1g =． （Ⅱ）1()ln g x x x =-+， 设11 ()()()2ln h x g x g x x x x =-=-+，则22(1)'()x h x x -=-， 当1x =时，(1)0h =，即1 ()()g x g x =， 当(0,1)(1,)x ∈?+∞时'()0h x <，'(1)0h =， 因此，()h x 在(0,)+∞内单调递减， 当01x <<时，()(1)0h x h >=，即1()()g x g x >， 当1x >时，()(1)0h x h <=，即1()()g x g x <． （Ⅲ）满足条件的0x 不存在． 证明如下： 证法一 假设存在00x >，使01 |()()|g x g x x -< 对任意0x >成立， 即对任意0x >，有02()Inx g x Inx x <<+，（*） 但对上述0x ，取0() 1g x x e =时，有10()Inx g x =，这与（*）左边不等式矛盾， 因此，不存在00x >，使01 |()()|g x g x x -< 对任意0x >成立. 证法二 假设存在00x >，使01 |()()|g x g x x -<对任意的0x >成立. 由（Ⅰ）知，0() g x e 的最小值为()1g x =. 又1 ()g x Inx x =+ I nx >，而1x >时，Inx 的值域为(0,)+∞， ∴1x ≥时，()g x 的值域为[1,)+∞， 从而可取一个11x >，使10()()1g x g x ≥+， 即1()g x -0()g x 1≥，故10|()()|1g x g x -≥>1 1 x ，与假设矛盾. ∴不存在00x >，使01 |()()|g x g x x -< 对任意0x >成立. （陕西理）19．（本小题满分12分）如图，从点P 1（0,0）作x 轴的垂线交于曲线y=e x 于点Q 1（0,1）， 曲线在Q 1点处的切线与x 轴交与点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q I ；P 2，Q 2…P n ，Q n ，记k P 点的坐标为（k x ，0）（k=1,2，…，n ）. （Ⅰ）试求k x 与1k x -的关系（2≤k≤n ）； （Ⅱ）求112233...n n PQ PQ PQ PQ ++++. 19．解（Ⅰ）设11(,0)k k P x --，由x y e '=得1 11(,)k x k k Q x e ---点处切线方程为 111(),k k x x k y e e x x ----=- 由0y =得11(2)k k x x k n -=-≤≤. （ Ⅱ）110,1k k x x x -=-=-，得(1)k x k =--， 所以(1)k x k k k PQ e e --==于是， 112233...n n n S PQ PQ PQ PQ =++++ 11 2 (1) 111 (11) n n n e e e e e e e e ---------=++++==-- （上海理）20．（12分）已知函数()23x x f x a b =?+?，其中常数,a b 满足0ab ≠. （1）若0ab >，判断函数()f x 的单调性； （2）若0ab <，求(1)()f x f x +>时x 的取值范围. 20．解：⑴ 当0,0a b >>时，任意1212,,x x R x x ∈<，则121212()()(22)(33)x x x x f x f x a b -=-+- ∵ 121222,0(22)0x x x x a a <>?-<，121233,0(33)0x x x x b b <>?-<， ∴ 12()()0f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数. 当0,0a b <<时，同理，函数()f x 在R 上是减函数. ⑵(1)()2230x x f x f x a b +-=?+?> 当0,0a b <>时，3()22x a b >-，则 1.5log ()2a x b >-； 当0,0a b ><时，3()22x a b <-，则 1.5log ()2a x b <-. （四川理）22．（本小题共l4分） 已知函数21 (),()32 f x x h x = += （I ）设函数()()()F x f x h x =-，求()F x 的单调区间与极值； （Ⅱ）设a R ∈，解关于x 的方程42233 log [ (1)]log ()log (4)24 f x h a x x --=---； （Ⅲ）试比较100 1 (100)(100)()k f h h k =-∑与1 6的大小． 22．解析： （1 ）21 ()32 F x x = +- 1 ' 221()32 F x x - =- 令'' '9()0;16 9()0016 9()016 F x x F x x F x x >?> =?= 所以916x = 是其极小值点，极小值为18.0x =是其极大值点，极大值为12 （2）33 (1)124 f x x --=-； 222 log ()log (4)log h a x x ---=由42222 33log [ (1)]log ()log (4)log (1)log 244a x f x h a x x x x ---=---?-=- 216404a x x x x a x --= ?-++=- 01364(4)05a a -+时方程无解 02364(4)05a a -+=?=时3x = 03364(4)05a a -+>?< 方程的根为1233x x =+=（3）)(,6 1 )()(n h b n h n f a n n =-= 则111b a == 019241692416(6 1 16 1 4634)(23231>-+--+-= ----=---n n n n n n n n n n n h a a n n ∑∑∑===->?>-?>--100 1 100100 2 1100100 2 10)(n n n n n n a n a a n a a 2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数 2008年高考数学试题分类汇编 函数与导数 一． 选择题： 1.（全国一1 ）函数y =的定义域为（ C ） A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥ D ．{}|01x x ≤≤ 2.（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ A ） 3.（全国一6）若函数(1)y f x =- 的图像与函数ln 1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ B ） A ．21x e - B ．2x e C ．21x e + D ．22x e + 4.（全国一7）设曲线11x y x += -在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2- 5.（全国一9）设奇函数()f x 在(0)+∞， 上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ D ） A ．(10)(1)-+∞，， B ．(1)(01)-∞-， ， C ．(1)(1)-∞-+∞， ， D ．(10)(01)-，， 6.（全国二3）函数1()f x x x = -的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 A B C D C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称 8.（全国二4）若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，， ，，，则（ C ） A ．a > B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 10.（北京卷3）“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ B ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 11.（四川卷10）设()()sin f x x ω?=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f = （Ｄ）()'00f = 12.（四川卷11）设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f =( C ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213 13.（天津卷3）函数1y =04x ≤≤）的反函数是A （A ）2(1)y x =-（13x ≤≤） （B ）2(1)y x =-（04x ≤≤） （C ）21y x =-（13x ≤≤） （D ）21y x =-（04x ≤≤） 14.（天津卷10）设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值集合为B （A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3} 15.（安徽卷7）0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ B ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 16.（安徽卷9）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-， 2020年一模汇编——函数 一、填空题 【杨浦1】函数12 ()f x x - =的定义域为 【答案】(0,)x ∈+∞ 【解析】12 ()f x x -== (0,)x ∈+∞ 【长宁，嘉定，金山2】方程27x =的解为 【答案】2log 7x = 【解析】本题考察了对数的概念 【杨浦3】已知函数()f x 的反函数1 2()log f x x -=，则(1)f -= 【答案】 12 【解析】因为2 1log 12=-，所以1(1)2 f -= 【宝山3】函数)1(3 1 <=-x y x 的反函数是 . 【答案】1log 3+=x y ，]1,0(∈x 【解析】y x ,互换，1 3 -=y x ?1log 3 +=x y ]1,0(∈x 【普陀5】设函数()log (4)(01)a f x x a a =+≠＞且，若其反函数的零点为2，则a =__________. 【答案】2 【解析】反函数-1 (2)0f =，有2 (0)log (04)=log 2=2a a f =+，易知2a = 【崇明5】函数 ()f x =的反函数是 ． 【答案】1 2()1(0)f x x x -=-≥ 【解析】令1+= x y ,2211y x x y ∴=+?=- 【徐汇5】 已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且它在[0,)+∞上单调递增，那么使得(2)()f f a -≤成立的实数a 的取值范围是 【答案】 (][),22,-∞-+∞U 【解析】由题，()y f x =是定义在R 上的偶函数，且它在[0,)+∞上单调递增，则 ()f x 在 (],0-∞上单调递减，(2)()f f a -≤，则2a -≤，解得a 的取值范围是(][),22,-∞-+∞U 【闵行6】设函数22log (1)1 ()log 1 x f x x --= ，则方程()1f x =的解为 【答案】2x = 【解析】22222log (1)1 ()=log (1)log log (1)1log 1 x f x x x x x x --= -+=-=Q ()()12 100x x x x -=?? ∴-??? ＞＞2x ∴= 【奉贤8】已知点()3,9在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数为()1 f x -= __________. 【答案】()2log 1x - 【解析】将点()3,9代入函数()1x f x a =+中得2a =，所以()12x f x =+，用y 表示x 得 ()2log 1x y =-，所以()1f x -=()2log 1x - 【虹口8】设1()f x -为函数2()log (41)x f x =-的反函数，则当1()2()f x f x -=时，x 的值为_________. 【答案】1 【解析】由于函数2()log (41)x f x =-的反函数为)12(log 4+=x y ，当1()2()f x f x -=， 即)12(log 2)14(log 42+=-x x ，计算出1=x 【松江8】已知函数()y f x =存在反函数()-1y f x =，若函数()+2y f x =的图像经过 点 ()16 ，，则函数()-12+log y f x x =的图像必过点__________. 【答案】 ()43， . 导数 1.【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A.1- B.32e -- C.35e - D.1 【答案】A 【解析】()()2121e x f x x a x a -'??=+++-??? ， 则()()324221e 01f a a a -'-=-++-?=?=-????， 则()()211e x f x x x -=--?，()()212e x f x x x -'=+-?， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-． 【考点】 函数的极值；函数的单调性 【名师点睛】(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同。 (2)若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值。 2.【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A ．12- B ．13 C ．12 D ．1 【答案】C 【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得： 221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e ) 4442(e e )2(e e ) x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++ ∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴， 由题意，()f x 有唯一零点， ∴()f x 的零点只能为1x =， 即21111(1)121(e e )0f a --+=-?++=， 解得12 a =． 【考点】 函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想 【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的 2017至2018年北京高三模拟分类汇编之导数大题,20创新题 精心校对版 △注意事项： 1.本系列试题包含2017年-2018年北京高考一模和二模真题的分类汇编。 2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。 3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本 4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科 一 、解答题（本大题共22小题，共0分） 1.（2017北京东城区高三一模数学(文)）设函数ax x x x f +-=232131)(，R a ∈． (Ⅰ)若2=x 是)(x f 的极值点，求a 的值，并讨论)(x f 的单调性； (Ⅱ)已知函数3221)()(2+-=ax x f x g ，若)(x g 在区间)1,0(内有零点，求a 的取值范围； (Ⅲ)设)(x f 有两个极值点1x ，2x ，试讨论过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线能否过点)1,1(，若能，求a 的值；若不能，说明理由． 2.（2017北京丰台区高三一模数学(文)） 已知函数1()e x x f x +=，A 1()x m ,，B 2()x m ,是曲线()y f x =上两个不同的点. （Ⅰ）求()f x 的单调区间，并写出实数m 的取值范围； （Ⅱ）证明：120x x +>. 3.（2017北京丰台区高三二模数学(文)） 已知函数ln ()x f x ax =(0)a >. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1(1)),f 处的切线方程； 姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封------------ --线------ --------内------ ------- -请------- -------不-------------- 要--------------答--------------题-------------------------● 2013年高考理科数学试题分类汇编：三角函数（附答案）一、选择题 1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））已知 2 10 cos 2sin ,= +∈αααR ,则=α2tan A. 34 B. 43 C.43- D.3 4- 2 ．（2013年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在△ABC 中 , ,3,4 AB BC ABC π ∠== =则sin BAC ∠ = 4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））将函数 sin(2)y x ?=+的图象沿x 轴向左平移 8 π 个单位后,得到一个偶函数的图象,则?的一个可 能取值为 (A) 34π (B) 4π (C)0 (D) 4π - 5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））在ABC ?,内角 ,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1 sin cos sin cos ,2 a B C c B A b +=且a b >,则B ∠= A.6π B.3π C.23π D.56 π 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是 (A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2 x π =对称 (C)()f x ()f x 既奇函数,又是周期函数 7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））函数 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题精心校对版题号一总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、解答题（本大题共10小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）已知函数2()sin cos f x x x x x （1）若曲线()y f x 在点(,())a f a 处与直线y b 相切，求a 与b 的值。（2）若曲线()y f x 与直线y b 有两个不同的交点，求b 的取值范围。2.（2012年北京高考真题数学(文)）已知函数2()1(0)f x ax a ，3()g x x bx ．（Ⅰ）若曲线()y f x 与曲线()y g x 在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值；（Ⅱ）当3a ，9b 时，若函数()()f x g x 在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围．3.（2011年北京高考真题数学(文)）已知函数()()x f x x k e . （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值. 4.（2009年北京高考真题数学(文)）姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封- -------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------● 江苏高考数学_函数_十年汇编（2005-2017） 一．基础题组 1. 【2005江苏，理2】函数123()x y x R -=+∈的反函数的解+析表达式为（ ） （A ）22log 3y x =- （B ）23 log 2x y -= （C ）23log 2x y -= （D ）22 log 3y x =- 2. 【2005 江苏，理 15】函数y =的定义域 为 . 3. 【2005江苏，理16】若3a =0.618,a ∈[),1k k +,k ∈Z ，则k = . 4. 【2005 江苏，理 17】已知 a , b 为常数，若 22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++则5a b -= . 5. 【2007江苏，理6】设函数f （x ）定义在实数集上，它的图像关于直线x =1 对称，且当x ≥1时，f （x ）＝3x -1，则有（ ） A.f （31）＜f （23）＜f （32） B.f （32）＜f （23）＜f （31） C.f （32）＜f （31）＜f （23） D.f （23）＜f （32）＜f （3 1） 6. 【2007江苏，理8】设f （x ）=l g （a x +-12 ）是奇函数，则使f （x ）＜0 的x 的取值范围是（ ） A.（-1，0） B.（0，1） C.（-∞，0） D.（-∞，0）∪（1，+∞） 7. 【2007江苏，理16】某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t =0时，点A 与钟面上标12的点B 重合.将A 、B 两点间的距离d （cm ）表示成t （s ）的函数，则d = __________，其中t ∈0，60]. 8. 【2009江苏，理10】.已知1 2 a = ，函数()x f x a =，若实数m 、n 满足()()f m f n >，则m 、n 的大小关系为 ▲ .9. 【2010江苏，理5】设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为__________． 10. 【2011江苏，理2】函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是 . 11. 【2011江苏，理8】在平面直角坐标系xoy 中，过坐标原点的一条直线与函数()x x f 2 = 的图象交于Q P ,两点，则线段PQ 长的最小值为 . 2013年全国高考理科数学试题分类汇编2：函数 一、选择题 1 ．（2013年高考江西卷（理））函数 的定义域为 A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] 【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））若 a b c <<,则函数 ()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间( ) A.(),a b 和(),b c 内 B.(),a -∞和(),a b 内 C.(),b c 和(),c +∞内 D.(),a -∞和(),c +∞内 【答案】A 3 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数 1 2 ()f x x - =的大致图像是( ) 【答案】A 4 ．（2013年高考四川卷（理）） 设函数 ()f x =(a R ∈,e 为自然对数的底数).若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( ) (A)[1,]e (B)1 [,-11]e -， (C)[1,1]e + (D)1 [-1,1]e e -+ 【答案】A 5 ．（2013年高考新课标1（理））已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ?-+≤?+>? ,若|()f x |≥ax ,则a 的取值范围是 A.(,0]-∞ B.(,1]-∞ C.[2,1]- D.[2,0]- 【答案】D 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））函数 ()()21=log 10f x x x ?? +> ??? 的反函数()1=f x - 2008年高考数学试题分类汇编 函数与导数 一． 选择题： 1.（全国一1 ）函数y = C ） A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥ D ．{}|01x x ≤≤ 2.（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ A ） 3.（全国一6）若函数(1)y f x =- 的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ B ） A ．21x e - B ．2x e C ．21x e + D ．22x e + 4.（全国一7）设曲线11x y x += -在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2- 5.（全国一9）设奇函数()f x 在(0)+∞， 上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ D ） A ．(10)(1)-+∞ ，， B ．(1)(01)-∞- ， ， C ．(1)(1)-∞-+∞ ，， D ．(10)(01)- ， ， 6.（全国二3）函数1()f x x x = -的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 A ． B ． C ． D ． C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称 8.（全国二4）若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ C ） A ．a > B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 10.（北京卷3）“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ B ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 11.（四川卷10）设()()sin f x x ω?=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f = （Ｄ）()'00f = 12.（四川卷11）设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f =( C ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213 13.（天津卷3）函数1y =04x ≤≤）的反函数是A （A ）2(1)y x =-（13x ≤≤） （B ）2(1)y x =-（04x ≤≤） （C ）21y x =-（13x ≤≤） （D ）21y x =-（04x ≤≤） 14.（天津卷10）设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时 a 的取值集合为B （A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3} 15.（安徽卷7）0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ B ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 16.（安徽卷9）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-， 导数大题分类 一、含参数单调区间的求解步骤： ① 确定定义域（易错点） ②求导函数 f ' (x) ③对 f ' ( x) 进行整理，能十字交叉的十字交叉分解，若含分式项，则进行通分整理 . ④ f ' ( x) 中 x 的最高次系数是否为 0，为 0 时求出单调区间 . 例 1： f ( x) a x 3 a 1 x 2 x ，则 f ' ( x) (ax 1)( x 1) 要首先讨论 a 0 情况 3 2 ⑤ f ' ( ) 最高次系数不为 0，讨论参数取某范围的值时， 若 f ' (x) 0 ，则 f ( x) 在定义域内单调递增； x 若 f ' (x) 0 ，则 f ( x) 在定义域内单调递减 . 例 2： f (x) a x 2 ln x ，则 f ' ( x) = ax 2 1 , ( x 0) ，显然 a 0时 f ' ( x) 0 ，此时 f (x) 的 2 x 单调区间为 (0, ) . ⑥ f ' ( ) 最高次系数不为 0，且参数取某范围的值时，不会出现 f ' (x) 0 或者 f ' ( x) 0 的情况 x 求出 f ' ( x) =0 的根，（一般为两个） x 1 , x 2 ，判断两个根是否都在定义域内 . 如果只有一根在定义域 内，那么单调区间只有两段 . 若两根都在定义域内且一根为常数，一根含参数 . 则通过比较两根大小分三种情况讨论单调区间， 即 x 1 x 2 , x 1 x 2 , x 1 x 2 . 例 3: 若 f ( x) a x 2 (a 1)x ln x, (a 0) ，则 f ' ( x) ( ax 1)( x 1) ， (x 0) 解方程 f ' ( x) 2 1 x 0 得 x 1 1, x 2 a a 0时，只有 x 1 1 在定义域内 . a 0 时 , 比较两根要分三种情况： a 1,0 a 1, a 1 用所得的根将定义域分成几个不同的子区间，讨论 f ' ( x) 在每个子区间内的正负，求得 f (x) 的单调区间。 20XX 年高考理科数学试题分类汇编：三角函数（附答案） 一、选择题 1 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））已知 2 10 cos 2sin ,= +∈αααR ,则=α2tan A. 34 B. 43 C.43- D.3 4- 2 ．（20XX 年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 3 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在△ABC 中 , ,3,4 AB BC ABC π ∠== =则sin BAC ∠ = 4 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））将函数 sin(2)y x ?=+的图象沿x 轴向左平移 8 π 个单位后,得到一个偶函数的图象,则?的一个可 能取值为 (A) 34π (B) 4π (C)0 (D) 4π - 5 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））在ABC ?,内角 ,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1 sin cos sin cos ,2 a B C c B A b +=且a b >,则B ∠= A.6π B.3π C.23π D.56 π 6 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是 (A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2 x π =对称 (C)()f x ()f x 既奇函数,又是周期函数 7 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））函数 cos sin y x x x =+的图象大致为 导数大题 1 ．已知函数()b ax x x f ++=2 3的图象在点P (1,0)处的切线与直线03=+y x 平行? (1)求常数a 、b 的值; (2)求函数()x f 在区间[]t ,0上的最小值和最大值(0>t )? 2 ．已知函数R a ax x x f ∈+-=,)( 3 (1)若)(x f 在),1[+∞上为单调减函数,求实数a 取值范围; (2)若,12=a 求)(x f 在[-3,0]上的最大值和最小值? 3 ．设函数x e x x f 22 1)(=. (1)求函数)(x f 的单调区间; (2)若当]2,2[-∈x 时,不等式m x f <)(恒成立,求实数m 的取值范围. 4 ．已知函数.),2,1()(3)(3 l P P x f y x x x f 作直线过点上一点及-=-= (1)求使直线)(x f y l =和相切且以P 为切点的直线方程; (2)求使直线)(x f y l =和相切且切点异于P 的直线方程)(x g y =? ()I 求()f x 的单调区间; ()II 若()f x 在1x =-处取得极大值,直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点,求m 的取值范围? 7 ．已知函数2 ()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2))P f 处的切线方程为22ln 23++-=x y . (Ⅰ)求b a ,的值; (Ⅱ)若方程()f x m +=m 的取值范围(其中e 为自然对数的底数); 8 ．已知函数21 2 ()()ln f x a x x =-+.(R a ∈) (1)当a =1时,求()f x 在区间[1,e ]上的最大值和最小值; (2)若在区间(1,+∞)上,函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方,求a 的取值范围。 10．已知函数2 ()sin 2(),()()2f x x b x b R F x f x =+-∈=+,且对于任意实数x ,恒有(5)(5)F x F x -=-? ⑴求函数)(x f 的解析式; ⑵已知函数()()2(1)ln g x f x x a x =+++在区间(0,1)上单调,求实数a 的取值范围; ⑶讨论函数21()ln(1)()2 h x x f x k =+- -零点的个数? 2019年全国各地高考文科数学试题分类汇编2：函数 一、选择题 1 ．（2019年高考重庆卷（文））函数21 log (2) y x = -的定义域为 （ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(2,3) (3,)+∞ D ．(2,4)(4,)+∞ 【答案】C 2 ．（2019年高考重庆卷（文））已知函数3 ()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈,2(lg(log 10))5f =,则 (lg(lg 2))f = （ ） A ．5- B ．1- C ．3 D ．4 【答案】C 3 ．（2019年高考大纲卷（文））函数()()()-1 21log 10=f x x f x x ? ?=+ > ??? 的反函数 （ ） A ． ()1021x x >- B ．()1 021 x x ≠- C ．()21x x R -∈ D ．()210x x -> 【答案】A 4 ．（2019年高考辽宁卷（文））已知函数()) ()21ln 1931,.lg 2lg 2f x x x f f ?? =+++= ??? 则 （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】D 5 ．（2019年高考天津卷（文））设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 （ ） A ．()0()g a f b << B ．()0()f b g a << C ．0()()g a f b << D ．()()0f b g a << 【答案】A 6 ．（2019年高考陕西卷（文））设全集为R , 函数()1f x x =-M , 则C M R 为 （ ） A ．(-∞,1) B ．(1, + ∞) C ．(,1]-∞ D ．[1,)+∞ 【答案】B 7 ．（2019年上海高考数学试题（文科））函数 ()()211f x x x =-≥的反函数为()1f x -,则()12f -的值是 导数及其应用 1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为 A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+= 【答案】C 【解析】2cos sin ,y x x '=-π2cos πsin π2,x y =∴=-=-' 则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=． 故选C ． 2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==， D ．1e a -=，1b =- 【答案】D 【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ． 3．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0 【答案】C 【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点； 当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2﹣b ， 十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学 专题03函数 1.(2019?天津?理T8)已知a ∈R,设函数f(x)={x 2-2ax +2a ,x ≤1, x -alnx ,x >1.若关于x 的不等式f(x)≥0在R 上恒成立, 则a 的取值范围为( ) A.[0,1] B.[0,2] C.[0,e] D.[1,e] 【答案】C 【解析】(1)当a ≤1时,二次函数的对称轴为x=a.需a 2 -2a 2 +2a ≥0.a 2 -2a ≤0.∴0≤a ≤2. 而f(x)=x-aln x,f'(x)=1-a x = x -a x >0 此时要使f(x)=x-aln x 在(1,+∞)上单调递增,需1-aln 1>0.显然成立. 可知0≤a ≤1. (2)当a>1时,x=a>1,1-2a+2a ≥0,显然成立. 此时f'(x)= x -a x ,当x ∈(1,a),f'(x)<0,单调递减,当x ∈(a,+∞),f'(x)>0,单调递增. 需f(a)=a-aln a ≥0,ln a ≤1,a ≤e,可知11. 若关于x 的方程f(x)=-1 4x+a(a ∈R)恰有两个互异的实 数解,则a 的取值范围为( ) A.54,9 4 B. 54,94 C. 54,9 4 ∪{1} D.54, 94 ∪{1} 【答案】D 【解析】当直线过点A(1,1)时,有1=-14+a,得a=5 4. 当直线过点B(1,2)时,有2=-14+a,a=9 4. 故当54≤a≤9 4时,有两个相异点. 当x>1时,f'(x 0)=-1x 0 2=-1 4,x 0=2. 此时切点为2,1 2,此时a=1.故选D. 2．函数及其性质（含解析） 一、选择题 【2017，5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ） A ．[2,2]- B ． [1,1]- C ． [0,4] D ． [1,3] 【2017，11】设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则（ ） A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z 【2016，7】函数x e x y -=22在]2,2[-的图像大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 【2016，8】若1>>b a ，10< 2017年北京高三模拟题分类汇编之导数大题精心校对版题号一总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2017北京市各城区一模二模真题。2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、解答题（本大题共12小题，共0分）1.（2017北京东城区高三一模数学(文)）设函数ax x x x f 232131)(，R a ．(Ⅰ)若2x 是)(x f 的极值点，求a 的值，并讨论)(x f 的单调性；(Ⅱ)已知函数3221)()(2ax x f x g ，若)(x g 在区间)1,0(内有零点，求a 的取值范围；(Ⅲ)设)(x f 有两个极值点1x ，2x ，试讨论过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线能否过点)1,1(，若能，求a 的值；若不能，说明理由．2.（2017北京丰台区高三一模数学(文)）已知函数1()e x x f x ，A 1()x m ,，B 2()x m ,是曲线()y f x 上两个不同的点. （Ⅰ）求()f x 的单调区间，并写出实数m 的取值范围；（Ⅱ）证明：120x x . 3.（2017北京丰台区高三二模数学(文)）已知函数ln ()x f x ax (0)a . （Ⅰ）当1a 时，求曲线()y f x 在点(1(1)),f 处的切线方程；姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封- -------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------● 上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 三角函数 一、填空题 1、（宝山区2015届高三上期末）函数3tan y x =的周期是 2、（虹口区2015届高三上期末）在ABC ?中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若75,60,A B b =?=?=，则c = 3、（黄浦区2015届高三上期末）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与圆心在原点的单位圆(半径为1的圆)交于第二象限内的点4 (,)5 A A x ，则sin 2α＝ ．(用数值表示) 4、（嘉定区2015届高三上期末）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A c C a cos 2cos 3=， 3 1 tan = A ，则= B _________ 5、（金山区2015届高三上期末）方程：sin x +cos x =1在[0，π]上的解是 ▲ 6、（静安区2015届高三上期末）已知△ABC 的顶点)6,2(A 、)1,7(B 、)3,1(--C ，则△ABC 的内角BAC ∠的大小是 .（结果用反三角函数值表示） 7、（静安区2015届高三上期末）已知αtan 、βtan 是方程04332=++x x 的两根，α、)2 ,2(π πβ- ∈，则 βα+= . 8、（浦东区2015届高三上期末）函数sin y x x =的最大值为 9、（普陀区2015届高三上期末）函数?? ? ??-π=x y 4tan 的单调递减区间是 10、（普陀区2015届高三上期末）在ABC ?中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若32=a ，2=c ， 120=A ，则=?ABC S 11、（青浦区2015届高三上期末）已知函数2cos y x =与2sin(2)(0)y x ??π=+≤<，它们的图像有一个横坐标为 3 π 的交点，则?的值是 12、（松江区2015届高三上期末）已知函数()sin()3 f x x π ω=+（R x ∈，0>ω）的最小正周期为π，将) (x f y =图像向左平移?个单位长度)2 0(π ?< <所得图像关于y 轴对称，则=? ▲ 13、（徐汇区2015届高三上期末）已知3 sin 5 θ=- ，则cos 2θ=__ __2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数
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