20162017学年上海中学高一(上)期末数学试卷

2016-2017学年上海中学高一（上）期末数学试卷

一.填空题

1．（3分）函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是．

2．（3分）函数f（x）=x2（x≥1）的反函数f﹣1（x）=．

3．（3分）若幂函数f（x）的图象经过点，则该函数解析式为f（x）=．4．（3分）若对任意不等于1的正数a，函数f（x）=a x+2﹣3的图象都过点P，则点P的坐标是．

5．（3分）已知f（x）=ax2+bx是定义在[a﹣3，2a]上的偶函数，那么a=，b=．

6．（3分）方程log2（x+1）2+log4（x+1）=5的解是．

7．（3分）已知符号函数sgn（x）=，则函数y=sgn（|x|）+|sgn（x）

|的值域为．

8．（3分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2+x，则函数f（x）的解析式为f（x）=．

9．（3分）函数的单调增区间为．

10．（3分）设函数y=f（x）存在反函数f﹣1（x），若满足f（x）=f﹣1（x）恒成立，则称f（x）为“自反函数”，如函数f（x）=x，g（x）=b﹣x，（k≠0）等都是“自反函数”，试写出一个不同于上述例子的“自反函数”y=．11．（3分）方程x2+2x﹣1=0的解可视为函数y=x+2的图象与函数的图象交点的横坐标，若方程x4+ax﹣4=0的各个实根x1，x2，…，x k（k≤4）所对应的点（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是．12．（3分）对于函数y=f（x），若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y=f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称函数y=f（x）在定义域D上封闭．如果函数（k≠0）在R上封闭，那么实数k的取值范围是．

二.选择题

13．（3分）已知f（x）=ax3+bx+1（ab≠0），若f（2013）=k，则f（﹣2013）=（）

A．k B．﹣k C．1﹣k D．2﹣k

14．（3分）定义在R上的函数f（x）在区间（﹣∞，2）上是增函数，且f（x+2）的图象关于x=1对称，则（）

A．f（1）＜f（5）B．f（1）＞f（5）C．f（1）=f（5）D．f（0）=f（5）15．（3分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

16．（3分）设函数若关于x的方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（x1+x2）+的取值范围是（）

A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，3）C．[﹣3，3）D．（﹣3，3]

三.解答题

17．在平面直角坐标系中，作出下列函数的图象；

（1）；

（2）．

18．已知集合D={x|32x﹣10?3x+2+36≤0，x∈R}，求函数（x ∈D）的值域．

19．设函数f（x）=k?a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．

（1）求常数k的值；

（2）若，且函数g（x）=a2x﹣a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小

值为﹣2，求实数m的值．

20．已知函数；

（1）当m=2时，判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性并证明；

（2）若对任意x∈R，不等式f（2x）＞0恒成立，求m的取值范围；

（3）讨论函数y=f（x）的零点个数．

21．已知a∈R，函数f（x）=log2[（a﹣3）x+3a﹣4]；

（1）当a=2时，解不等式；

（2）若函数y=f（x2﹣4x）的值域为R，求a的取值范围；

（3）若关于x的方程解集中恰好只有一个元素，求a的取值范围．

2016-2017学年上海中学高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.填空题

1．（3分）函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（﹣，1）．

【解答】解：由，解得：﹣．

∴函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（﹣，1）．

故答案为：（﹣，1）．

2．（3分）函数f（x）=x2（x≥1）的反函数f﹣1（x）=（x≥1）．

【解答】解：由y=x2（x≥1），解得x=（y≥1），把x与y互换可得：y=，∴f（x）=x2（x≥1）的反函数f﹣1（x）=（x≥1）．

故答案为：（x≥1）．

3．（3分）若幂函数f（x）的图象经过点，则该函数解析式为f（x）=．

【解答】解：设幂函数f（x）=x a，

其图象经过点，

∴27a=，

解得a=﹣；

∴函数f（x）=．

故答案为：．

4．（3分）若对任意不等于1的正数a，函数f（x）=a x+2﹣3的图象都过点P，则点P的坐标是（﹣2，﹣2）．

【解答】解：指数函数恒过定点（0，1），据此可令x+2=0，解得：x=﹣2，

f（﹣2）=a﹣2+2﹣3=﹣2，即函数f（x）=a x+2﹣3 恒过定点（﹣2，﹣2）．

故答案为：（﹣2，﹣2）．

5．（3分）已知f（x）=ax2+bx是定义在[a﹣3，2a]上的偶函数，那么a=1，b=0．

【解答】解：∵f（x）=ax2+bx是定义在[a﹣3，2a]上的偶函数，

∴f（﹣x）=f（x），∴b=0，

又a﹣3=﹣2a，

∴a=1，

故答案1，0．

6．（3分）方程log2（x+1）2+log4（x+1）=5的解是3．

【解答】解：∵log2（x+1）2+log4（x+1）=5，

∴log4（x+1）4+log4（x+1）=5，

∴log4（x+1）5=5，

∴（x+1）5=45，

∴x=3．

故答案为：3．

7．（3分）已知符号函数sgn（x）=，则函数y=sgn（|x|）+|sgn（x）|的值域为{0，2} ．

【解答】解：分类讨论：

当x＞0时：y=sgn（|x|）+|sgn（x）|=sgn（x）+1=1+1=2；

当x=0时：y=sgn（|x|）+|sgn（x）|=sgn（x）+0=0+0=0；

当x＞0时：y=sgn（|x|）+|sgn（x）|=sgn（x）+1=﹣1+1=0；

综上可得：函数y=sgn（|x|）+|sgn（x）|的值域为{0，2}．

故答案为：{0，2}．

8．（3分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2+x，则函数f（x）的解析式为f（x）=．

【解答】解：由奇函数的性质可得：f（0）=0，

设x＞0，则﹣x＜0，此时有：

﹣f（x）=f（﹣x）（﹣x）2+（﹣x）=x2﹣x，

则f（x）=﹣x2+x，

且当x=0时，﹣x2+x=0，

综上可得：函数的解析式为：．

9．（3分）函数的单调增区间为（﹣∞，1]和[3，5]．．【解答】解：绘制函数y=|x2﹣6x+5|的图象如图所示：

观察函数图象可得函数的单调递增区间为：[1，3]和[5，+∞）

单调递减区间为：（﹣∞，1]和[3，5]

指数函数y=0.3x在定义域内单调递减，

结合复合函数同增异减的原则可得函数的单调递增区间，

即函数y=|x2﹣6x+5|的单调递减区间：

（﹣∞，1]和[3，5]．

故答案为：（﹣∞，1]和[3，5]．

10．（3分）设函数y=f（x）存在反函数f﹣1（x），若满足f（x）=f﹣1（x）恒成立，则称f（x）为“自反函数”，如函数f（x）=x，g（x）=b﹣x，（k≠0）等都是“自反函数”，试写出一个不同于上述例子的“自反函数”y=（0≤x≤

1）．

【解答】解：根据题意，设函数y=，（0≤x≤1），

则y2=1﹣x2，

∴x2=1﹣y2，

∴x=（0≤y≤1），

交换x、y得反函数y=（0≤x≤1），满足题意．

故答案为：（0≤x≤1）．

11．（3分）方程x2+2x﹣1=0的解可视为函数y=x+2的图象与函数的图象交点的横坐标，若方程x4+ax﹣4=0的各个实根x1，x2，…，x k（k≤4）所对应的点（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）．

【解答】解：方程的根显然x≠0，原方程x4+ax﹣4=0，等价为方程x3+a=，

原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线y=的交点的横坐标；

曲线y=x3+a是由曲线y=x3向上或向下平移|a|个单位而得到的．

若交点（x i，）（i=1，2，k）均在直线y=x的同侧，因直线y=x与y=交点为：（﹣2，﹣2），（2，2）；

所以结合图象可得：或，

解得a＞6或a＜﹣6，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（6，∞），

故答案为：（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）．

12．（3分）对于函数y=f（x），若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y=f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称函数y=f（x）在定义域D上封闭．如果函数（k≠0）在R上封闭，那么实数k的取值范围是（1，+∞）．【解答】解：根据题意知方程至少有两个不同实数根；

即至少有两个实数根；

∴；

∴k=1+|x|＞1；

∴实数k的取值范围为（1，+∞）．

故答案为：（1，+∞）．

二.选择题

13．（3分）已知f（x）=ax3+bx+1（ab≠0），若f（2013）=k，则f（﹣2013）=（）

A．k B．﹣k C．1﹣k D．2﹣k

【解答】解：∵f（x）=ax3+bx+1，

∴f（x）﹣1=ax3+bx，

令F（x）=f（x）﹣1=ax3+bx，

∵ab≠0，

∴函数F（x）=f（x）﹣1=ax3+bx是奇函数，

∴F（﹣2013）=﹣F（2013），

即f（﹣2013）﹣1=﹣[f（2013）﹣1]=﹣k+1，

∴f（﹣2013）=2﹣k．

故选：D．

14．（3分）定义在R上的函数f（x）在区间（﹣∞，2）上是增函数，且f（x+2）的图象关于x=1对称，则（）

A．f（1）＜f（5）B．f（1）＞f（5）C．f（1）=f（5）D．f（0）=f（5）【解答】解：因为f（x+2）的图象关于x=1对称，所以f（x+2）=f（2﹣x+2）=f （4﹣x），

所以f（﹣1+2）=f[（4﹣（﹣1）]，即f（1）=f（5），

故选C．

15．（3分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

【解答】解：对于选项A，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油效率大于5千米每升，故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米，故A错误；

对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，

对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，

对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确．

16．（3分）设函数若关于x的方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（x1+x2）+的取值范围是（）A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，3）C．[﹣3，3）D．（﹣3，3]

【解答】解：作函数的图象如下，

，

结合图象，

A，B，C，D的横坐标分别为x1，x2，x3，x4，

故x1+x2=﹣4，x3x4=1，

故=﹣4x3，

∵0＜﹣log2x3≤2，

∴≤x3＜1，

∴﹣3＜﹣4x3≤3，

故选：D．

三.解答题

17．在平面直角坐标系中，作出下列函数的图象；

（1）；

（2）．

【解答】解：（1）函数；的图形如图：

（2）．函数是偶函数，是x＞0时，y=图象关于y轴对称后，向下平移1个单位得到的图象，如图所示，

18．已知集合D={x|32x﹣10?3x+2+36≤0，x∈R}，求函数（x ∈D）的值域．

【解答】解：集合D中不等式即：（3x）2﹣90×3x+729≤0，

则：（3x﹣9）（3x﹣81）≤0，9≤3x≤81，

解得2≤x≤4，∴1≤log2x≤2．

所需求解值域的函数解析式为：f（x）=（log2x﹣1）（log2x﹣2），

结合二次函数的性质可得：

当log2x=1 或log2x=2 时，函数取得最大值0；

当时，函数取得最小值；

函数的值域为．

19．设函数f（x）=k?a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．

（1）求常数k的值；

（2）若，且函数g（x）=a2x﹣a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．

【解答】（1）解法一：函数f（x）=k?a x﹣a﹣x的定义域为R，

f（x）是奇函数，所以f（0）=k﹣1=0，即有k=1．

当k=1时，f（x）=a x﹣a﹣x，f（﹣x）=a﹣x﹣a x=﹣f（x），

则f（x）是奇函数，故所求k的值为1；

解法二：函数f（x）=k?a x﹣a﹣x的定义域为R，

由题意，对任意x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），

即k?a﹣x﹣a x=a﹣x﹣k?a x，（k﹣1）（a x+a﹣x）=0，

因为a x+a﹣x＞0，所以，k=1．

（2）由，得，解得a=3或（舍）．

所以g（x）=32x﹣3﹣2x﹣2m（3x﹣3﹣x），

令t=3x﹣3﹣x，则t是关于x的增函数，，

g（x）=h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，

当时，则当时，，

解得；

当时，则当t=m时，，m=±2（舍去）．

综上，．

20．已知函数；

（1）当m=2时，判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性并证明；

（2）若对任意x∈R，不等式f（2x）＞0恒成立，求m的取值范围；（3）讨论函数y=f（x）的零点个数．

【解答】解：（1）当m=2，且x＜0时，f（x）=﹣x+﹣1是单调递减的．证明：设x1＜x2＜0，

则f（x1）﹣f（x2）

=﹣x1+﹣1﹣（﹣x2+﹣1）

=（x2﹣x1）+（﹣）

=（x2﹣x1）+

=（x2﹣x1）（1+）

又x1＜x2＜0，所以x2﹣x1＞0，x1x2＞0，

所以（x2﹣x1）（1+）＞0

所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

故当m=2时，f（x）=﹣x+﹣1在（﹣∞，0）上单调递减的．

（2）由f（2x）＞0得|2x|+﹣1＞0，

变形为（2x）2﹣2x+m＞0，即m＞2x﹣（2x）2

而2x﹣（2x）2=﹣（2x﹣）2+，

当2x=即x=﹣1时（2x﹣（2x）2）max=，

所以m＞．

（3）由f（x）=0可得x|x|﹣x+m=0（x≠0），变为m=﹣x|x|+x（x≠0）令g（x）=x﹣x|x|=，

作y=g（x）的图象及直线y=m，由图象可得：

当m＞或m＜﹣时，f（x）有1个零点．

当m=或m=0或m=﹣时，f（x）有2个零点；

当0＜m＜或﹣＜m＜0时，f（x）有3个零点．

21．已知a∈R，函数f（x）=log2[（a﹣3）x+3a﹣4]；

（1）当a=2时，解不等式；

（2）若函数y=f（x2﹣4x）的值域为R，求a的取值范围；

（3）若关于x的方程解集中恰好只有一个元素，求a的取值范围．

【解答】解：（1）当x=2时，f（x）=log2（﹣x+2），则不等式即：

，

据此可得：，

即不等式的解集为．

（2）函数，

设函数y=（a﹣3）（x2﹣4x）+（3a﹣4）的值域为M，则（0，+∞）?M，

当a﹣3=0，a=3时不满足题意，

结合二次函数的性质可得：，

即：，据此可得实数a的取值范围是{a|a≥8}．

（3）满足题意时，恰好有一个解，即：，

原问题：等价于方程，（a﹣3）2+（a﹣4）x﹣1=0（*）在满足只有唯一解

方程（*）化为[（a﹣3）x﹣1]（x+1）=0

①若a=3时，解x=﹣1，此时，满足题意；

②若a=2时，两根均为x=﹣1，此时，也满足．

③若a≠2且a≠3时，两根为，

当时，；

当x=﹣1时，

依题意，（3a﹣3）（2a﹣1）＜0，解得

综上，a的取值范围是