向量法求空间距离和角讲解学习
用向量方法求空间角和距离
在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题．
1 求空间角问题
空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角． （１）求异面直线所成的角
设a r 、b r
分别为异面直线a 、b 的方向向量,
则两异面直线所成的角α=arccos ||||||
a b
a b r r g r r
（２）求线面角
设l r
是斜线l 的
方向向量，n r
是平面α的法
向量， 则斜线l 与平
面
α
所成的角
α=arcsin ||||||
l n
l n r r g r r
（３）求二面角
法一、在α内a r l ⊥，在β内b r
l ⊥，其方向如图，则二面角
l αβ--的平面角α=arccos ||||
a b
a b r r g r r
法二、设12,,n n u r u u r
是二面角l αβ--的两
个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角
l αβ--的平面角α=12
12arccos ||||
n n n n u r u u r g u r u u r 2 求空间距离问题
构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离
法一、设n r
是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A
到α的距离||
|||cos |||
AB n d AB n θ==u u u r r
u u u r g r 法二、设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内
的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO uuu r
．
（２）求异面直线的距离
法一、找平面β使b β?且a βP ，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离．
法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a r 、b r
分别为异面直线a 、b 的方向向量,求n r （n r a ⊥r ，n r b ⊥r
），则
异面直线a 、b 的距离||
|||cos |||
AB n d AB n θ==u u u r r
u u u r g r （此方法移植
于点面距离的求法）．
例１．如图，在棱长为２的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱1111,A D A B 的中点． （Ⅰ）求异面直线1DE FC 与所成的角； （II ）求1BC 和面EFBD 所成的角； （III ）求1B 到面EFBD 的距离
解：（Ⅰ）记异面直线1DE FC 与所成的角为α，
则α等于向量1DE FC u u u r u u u u r
与的夹角或其补角，
（II ）如图建立空间坐标系D xyz -， 则
(1,0,2)DE =u u u r ，(2,2,0)DB =u u u r 设面EFBD 的法向量为(,,1)n x y =r 由0
DE n DB n ?
?=?
??=??u u u r r u u u
r r 得(2,2,1)n =-r 又1(2,0,2)BC =-u u u u r
记1BC 和面EFBD 所成的角为θ
则 1112
sin |cos ,|||2||||
BC n BC n BC n θ?=??==u u u u r r
u u u u r r u u u u r r
∴ 1BC 和面EFBD 所成的角为4
π
． （III ）点1B 到面EFBD 的距离ｄ等于
向量1BB u u u r
在面EFBD 的法向量上的投影的绝对值， 1||||
BB n d n ∴==u u u r u u r g u u
r 1
3 11||||
111111cos ||
()()
||||||222||,arccos 5555DE FC DE FC DD D E FB B C DE FC αα∴=++=-==∴=u u u r u u u u r g u u u r u u u u r g u u u u r u u u u r u u u r u u u u r
g u u u r u u u u r g
设计说明：１．作为本专题的例１，首先选择以一个容易建立空间直角坐标系的多面体―――正方体为载体，来说明空间角和距离的向量求法易于学生理解． ２．解决(1)后，可让学生进一步求这两条异面直线的距离，并让学生体会一下：如果用传统方法恐怕很难（不必多讲，高考对公垂线的作法不作要求）． ３．完成这３道小题后，总结：对于易建立空间直角坐标系的立几题，无论求角、距离还是证明平行、垂直（是前者的特殊情况），都可用向量方法来解决， 向量方法可以人人学会，它程序化，不需技巧．
例2．如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形 B B A A '' 是矩形，。
平面平面ABCD B B A A ⊥'' （Ⅰ）若A A '＝１，求直线AB 到面'DAC 的距离．
（II ） 试问：当A A '的长度为多少时，二面角 A C A D -'-的大小为？
ο60 解：（Ⅰ）如图建立空间坐标系A xyz -，
则 '
(1,1,)DA a =-u u u r (0,1,0)DC =u u u r
设面'
DAC 的法向量为1(,,1)n x y =u r 则'1100
DA n DC n ??=???=??u u u r u r u u u
r u r 得1(,0,1)n a =u r
直线AB 到面'DAC 的距离ｄ就等于点Ａ到面'
DAC 的距离，
也等于向量AD u u u r 在面'DAC 的法向量上的投影的绝对值，
11||22||
AD n d n ∴==u u u r u r
g u r