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5.3同角三角比关系和诱导公式(1)教案

5.3课题：同角三角比关系和诱导公式（1）（教案）

教学目的：1、理解同角三角比的关系式的导出，知道这些关系式成立的条件

2、掌握已知角的一个三角比，求它的其它三角比的方法教学重点：理解同角三角比关系式的导出，知道这些关系式成立的条件教学过程：（一）、引入

我们已学习了任意角三角比的定义，如图所示：在α的终边上任取一点()y x P ,，点P 与原点的距离()022>+=

r y x r ，

则角α的六个三角比的值是：

r y =αsin x

y =

αtan x

r =

αsec r

x =

αcos y

x =

αcot y

r =

αcsc （二）、新课一、观察x y =

αtan 及y

x =αcot ，由 1cot tan =?=?y x

x y αα，可知它们互为倒数，思考：（1）α应满足什么条件?

α应使αtan 、αcot 有意义，∴()Z k k k ∈≠+

≠παπ

πα且2

（即Z k k ∈≠

α）（2）是否还有其他倒数关系？α应满足什么条件?

（3）同角的六个三角比之间除了倒数关系是否还有其他关系？α应满足什么条件? 二、概念或定理或公式教学（推导）

由r y =

αsin ，y

=αcsc ，可知αsin ，αcsc 互为倒数，()Z k k ∈≠πα 由r x =

αcos ，x r =αsec ，可知αcos ，αsec 互为倒数，()Z k k ∈+≠2π

πα 由r y =αsin ，r x =αcos ，x y =αtan ，可知当0cos ≠α时，α

αcos sin tan =，

所以αsin 、αcos 、αtan 之间存在商数关系，α应满足()Z k k ∈+≠2

πα

而αsin 、αcos 、αcot 之间也存在商数关系，

αα

αsin cos cot =

，α应满足0sin ≠α即()Z k k ∈≠πα 由r y =αsin ，r x

=αcos ，122=+y x ，可知αsin ，αcos 有如下的平方关系：

1cos sin 222

222

==+=??

??+??? ??=+r r r x y r x r y αα，即1c o s

s i n 2

=+αα，

R ∈α 同理 αα2

2sec 1tan =+ ，()Z k k ∈+

≠2

πα

αα22csc 1cot =+ ，()Z k k ∈≠πα

同角三角比关系有三种，分别是：倒数关系、商数关系、平方关系

倒数关系：1csc sin =?αα 1s e c c o s

=?αα 1c o t t a n =?αα 商数关系：αααcos sin tan =

αs i n c o s c o t =

平方关系：1cos sin 2

=+αα αα2

s e c 1t a n =+ αα2

c s c 1c o t =+ 注：上面这些关系式都是恒等式，即当α取关系式的两边都有意义的任意值时，关系式两边的值都相等三、（概念辨析或变式问题）填空：（1）?αcsc

1=；

=α

cos 1

； =?ααcot tan

（2）=?ααcos tan ；

=α

c o t c o s

（3）=-α2

cos 1

； =-α2

s e c 1

； =-1c s c 2

（4）下列四个命题中错误的是 ① ② ③ ④

①21tan =

α且31cot =α ②31sin =α且32

cos =α ③21sin =α且2csc -=α ④34sec =α且3

tan =α

四、典型例题例1、已知5

cos =

α，且α是第四象限角，求角α的其他三角比。解：∵1cos sin 2

=+αα ∴αα2cos 1sin -±= 又∵α是第四象限角 ∴0sin <α

∴53541cos 1sin 2

-=??

? ??--=--=αα435

453

cos sin tan -=-

==ααα

34tan 1cot -==

αα 45cos 1sec ==αα 3

csc -=α 例2、已知：125

t =αan ，求αsin 、αcos 和αcot

解：5

tan 1cot ==

αα ∵α

αα22

2cos 1sec 1tan ==+且125t =αan

∴2

131212511

cos ???

??=??

??+=α∵0125t >=αan ∴α是第一象限或第三象限的角

当α是第一象限的角时0cos ,0sin >>αα，可得1312cos =

α，则13

5sin =α 当α是第三象限的角时0cos ,0sin <<αα，可得1312

cos -=α，则13

5sin -=α 例3、已知2cot -=α，求αsin 、αcos

解：∵α

αα22

sin 1

csc 1cot =

∴()5

211cot 11sin

222=

-+=+=

αα 由于2cot -=α

因此当α是第二象限的角时5

1sin =

α，52cot sin cos -

=?=ααα

当α是第四象限的角时5

1sin -

=α，5

2cot sin cos =

?=ααα

五、课堂练习（（书第45页练习5.3（1））

1、已知31

sin -=α，并且α是第三象限角，求角α的其他三角比的值 2、已知：3

ot =αc ，求αsin 、αcos 和αtan

六、拓展探究（2个） 1、化简下列各式

（1）o 100sin 12- （

100cos -）

（2）o o 20cos 20sin 21- （

20sin 20cos -）

2、已知θtan 为非零实数，用θtan 表示θsin

θ是第一或第四象限角时，θθθ2

tan 1tan sin +=

θ是第二或第三象限角时，θ

θ2

tan 1tan sin +-

（三）、小结

1、同角三角比的三种关系，八个关系式

2、已知角的一个三角比，可以求出它的其他三角比，若角的象限确定，则三角比的值唯一，若角的象限不确定，则应分类讨论（四）、作业课外作业：一、填空题

1、（1）已知3

sin -=α，α是第四象限角，则=αcos ；=αtan

（2）已知4

tan =α，α是第三象限角，则=αsec ；=αs i n

2、已知31

cos =

θ，则=θsin 3、若5

cos -=θ，α是第二象限角，则=αtan

4、2

cos sin =+αα，则=?ααcos sin

5、下列关系式能够存在α，使得关系式成立的序号是

①21tan =

α，3

1cot =α ②31sin =

α，32cos =α ③5

sin =α，21tan =α ④31sec =α，31tan =α， 6、已知0cos <θ，0cos 1tan 2<-θθ，则θ的终边在第象限 7*、若1sin sin 2

=+θθ，求θθ4

cos cos +的值 8*、若2

1cos sin =-θθ，则=-θθ3

3cos sin

二、选择题 1、),0(,5

cos παα∈=

，则αcot 的值等于（）

A 、

34 B 、 43 C 、 34± D 、4

3± 2、已知ααcos sin ?= 1

,则αcos －sin α的值等于（）

A 、±3

4 B 、±

23 C 、 23 D 、－2

3 3、若

2cos sin 2cos sin =-+α

αα

α，则=αtan （）

A 、 1

B 、 1-

C 、 43

D 、3

4*、若θθcos ,sin 是方程0242=++m mx x 的两根，则m 的值为（）

A 、51+

B 、 51-

C 、 51±

D 、51--

三、解答题

1、已知1312

cos =α，求αsin 和αtan 的值 2、已知2

cot -=α，求αsin 、αcos 和αtan 的值

3、已知53524cos ,sin +-+-==m m m m αα

，α为第四象限角，求m 的值

4*、若α为第二象限角，求

sec tan 2cot 1sin 1

+ααα

α的值

四、双基铺垫(下节课需要用到的知识)

1、与角α终边相同的角为____________________________。

与角α终边关于x 轴对称的角为_______________________。

与角α终边关于

y 轴对称的角为_______________________。

与角α终边关于原点对称的角为_________________________。 2、角α的终边与单位圆相交于点P ，则点P 的坐标可表示为_________。点P 关于关于x 轴对称的点的坐标为____________。点P 关于关于

y 轴对称的点的坐标为___________。

点P 关于关于原点对称的点的坐标为____________。

课外作业答案一、填空题 1、（1）

35 ；-5

2；（2） -45； -53

2、 ±

2 3、 -4

3 4、 -83 5、 ③ 6、二

7、由θθθ22cos sin 1sin =-=，所以

1sin cos cos cos 2

242=+=+θθθθ 8、

1611

)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233=

+?+-=-θθθθθθθθ

二、选择题 1、A 2、 B 3、 A 4、 B

三、解答题

1、α在第一象限时，sin α=

135， tan α=12

5 α在第四象限时， sin α=-13

， tan α=-125

2、α在第二象限时，=αsin 552，

αcos =-5

5，2

tan -=α α在第四象限时, sin α=-

552，cos α=5

5，2

tan -=α 3、由1cos sin 2

2=+αα得8=m 或0=m ，又0cos ,0sin ><αα，所以8=m

4、α为第二象限角，1

tan tan 2csc sin 11

sec tan 2cot 1sin 1

-=-+?=

+α

ααααα

四、双基铺垫

1、与角α终边相同的角为Z k k ∈+,2απ；与角α终边关于x 轴对称的角为

Z k k ∈-,2απ；

与角α终边关于

y 轴对称的角为Z k k ∈-+,2αππ；

与角α终边关于原点对称的角为Z k k ∈++,2αππ

2、角α的终边与单位圆相交于点P ，则点P 的坐标可表示为)sin ,(cos ααP ；

点P 关于关于x 轴对称的点的坐标为)sin ,(cos αα-P ；点P 关于关于y 轴对称的点的坐标为)sin ,cos (αα-P ；点P 关于关于原点对称的点的坐标为 )sin ,cos (αα--P

三角函数的诱导公式教案优质课

三角函数的诱导公式(共5课时) 教学目标： 1、知识目标：理解四组诱导公式及其探究思路，学会利用四组诱导公式求解任意角的三角函数值，会进行简单的化简与证明。 2、能力目标：培养学生数学探究与交流的能力，培养学生直觉猜想与抽象概括的能力。 3、情感目标与价值观：通过不断设置悬念、疑问，来引起学生的困惑与惊讶，激发学生的好奇心和求知欲，通过小组的合作与交流，来增强学生学习数学的自信心。教学重点：理解四组诱导公式利用四组诱导公式求任意角的三角函数值和简单的化简与证明。教学难点：四组诱导公式的推导过程为了区分下节课的几组公式，要理解为何名称不变理解确定符号的方法教学方法：启发式结合讨论式教学方法，结合多媒体课件演示

教学工具：多媒体电脑，投影仪教学过程: 一、问题情景：回顾前面已经学习的理论知识，我们已经学习了任意角的三角函数的定义，学习了三角函数线，还有同角三角函数关系，但是我们还有一个关键问题没有解决，那就是：我们如何来求任意角的三角函数值呢思考：你能填好下面的表吗二、学生活动：小组讨论： 1、找出我们可以解决的和目前无法解决的 2、对于还无法解决的，可否借助前面学习的知识求解

3、这些角之间有何关联教师指导：我们前面学过了三角函数的定义和三角函数线，知道角的终边和单位圆的交点的坐标就是角对应的三角函数值，大家先画出一个单位圆，然后把第一个角的终边画出来，它和单位圆的交点记为（00,x y ），然后我们以每两排为一组前后左右可以相互讨论，分别画出另外四个角的终边和单位圆的交点，每组画一个，然后每组推出一名代表发言，看看你在画图的时候发现了什么。（给五分钟画图、总结，学生在画图中容易看出另外的几个角和开始的锐角的关系）三、意义建构：教师指导：请每组推出的代表发言。（按顺序，没合适人选时，教师可以随机指出一名代表）第一组：由画图发现0390的角的终边和6 的终边是重合的，它们相差 0360，由三角函数定义可知,终边相同的角的同一三角函数值相等，表中第二列和第一列值相同。教师指导：第一组总结的很好，我们可否也把它推广到任意的角呢总结一下就是“终边相同的角的三角函数值相同”，如何

三角函数的诱导公式

三角函数的诱导公式一、知识要点：诱导公式（一） tan )2tan(cos )2(cos sin )2sin(ααπα απααπ=+=+=+k k k 诱导公式（三） )tan()cos( sin )sin(=+=+-=+απαπααπ 诱导公式（二） )tan(cos )cos( )sin(=-=-=-αα αα 诱导公式（四） tan )tan()cos( )sin(ααπαπαπ-=-= -=- 诱导公式（五） =-=-)2 cos( cos )2sin( απ ααπ 诱导公式（六） =+=+)2 cos( cos )2sin( απ ααπ 方法点拨：把α看作锐角一、前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限符号。看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名的三角函数值，等于它ααπαπααπ ,, , ),Z (2-+-∈+k k 公式（五）和公式（六）总结为一句话：函数名改变，符号看象限二、奇变偶不变，符号看象限将三角函数的角度全部化成απ +? 2 k 或是απ -? 2 k ，符号名该不该变就看k 是奇数还是偶数，是奇数就改变函数名，偶数就不变二、基础自测： 1、求下列各三角函数值: ①cos225° ②tan （-11π） 2、sin1560°的值为( )

A 、2 1 - B 、23- C 、21 D 、23 3、cos -780°等于( ) A 、2 1 B 、2 1 - C 、23 D 、23- 三、典型例题分析：例1、求值（1）29 cos( )6 π= __________．（2）0tan(855)-= _______ ___．（3）16 sin()3 π-= __________．变式练习1：求下列函数值： 665cos )1(π )4 31sin()2(π - 的值。求：已知、例)sin(2)4cos() 3sin()2cos( , 3)tan( 2απααπαπαπ-+-+--=+

同角三角函数与诱导公式

同角三角函数基本关系 1，平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； 2，商数关系：tan α＝α αcos sin 3，同角三角函数的关系式的基本用途：根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式．题型一，同角间的计算利用基本关系计算，开方时注意正负 1，若sin α＝45 ，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±43 2，化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos160° B ．－cos160° C ．±cos160° D ．±|cos160°| 3，若cos α＝－817 ，则sin α＝________，tan α＝________ 4，若α是第四象限的角，tan α＝－512 ，则sin α等于( ) A.15 B ．－15 C.315 D ．－513 5，若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－1 6，计算1－2sin40°·cos40°sin40°－1－sin 240° ＝________。 7，已知8 1cos sin =?αα，则ααsin cos -的值等于（） A ．±34 B ．±23 C ．23 D ．－2 3

8，已知 2cos sin cos sin =-+θθθθ，求θθcos sin ?的值。 9，已知sin α·cos α＝ 81，且24παπ<<，则cos α－sin α的值是多少? 10，已知sin θ +cos θ=51,θ∈(0,π)，求值：（1）tan θ；（2）sin θ-cos θ；（3）sin 3θ+cos 3θ。 11，求证： ()x x x x x x x x cos sin 1sin cos 2cos 1sin sin 1cos ++-=+-+。

《三角函数的诱导公式》(学案)

三角函数的诱导公式(第1课时)（学案）一.教学目标 1．知识与技能（1）能够借助三角函数的定义推导三角函数的诱导公式。（2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。 2．过程与方法（1）经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力。（2）通过对诱导公式的探求和运用，提高学生分析问题和解决问题的能力。 3．情感、态度、价值观（1）通过对诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度。（2）在诱导公式的探求过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神。二.教学重点与难点教学重点:探求π－α的诱导公式。π＋α与－α的诱导公式在小结π－α的诱导公式发现过程的基础上，教师引导学生推出。教学难点:π＋α，－α与角α终边位置的几何关系，发现由终边位置关系导致（与单位圆交点）的坐标关系，运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“研究路线图”。三.教学方法与教学手段问题教学法、合作学习法，结合多媒体课件四.教学过程角的概念已经由锐角扩充到了任意角，前面已经学习过任意角的三角函数，那么任意角的三角函数值．怎么求呢？（一）情境创设及问题提出如何将任意角三角函数求值问题转化为0°~360°角三角函数求值问题。【情境创设】摩天轮旋转一周（比如如图30°角的位置）后又会回到原位，你能否从数学角度或者用数学学语言来刻画一下什么是 “回到原位”？摩天轮旋转一周后，发生变化和没有变化的量分别是什么？它们之间有何关系？从中你能得到什么结论？一般地，由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值__________，三角函数看重的就是终边位置关系。即有：（二）尝试推导如何利用对称推导出角π-α与角α的三角函数之间的关系。【问题2】你能找出和30°角正弦值相等，但终边不同的角吗？角与角α的终边关于y轴对称,有:

三角函数的诱导公式第一课时教学设计

课题名称：三角函数的诱导公式(一) 课程模块及章节：必修4第一章节教学背景分析（一）课标的理解与把握能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式（二）教材分析：本节课教学内容“诱导公式（二）、（三）、（四）”是人教版数学4，第一章1、3节内容，是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函数基本关系式及诱导公式（一）等知识的延续和拓展，又是推导诱导公式（五）的理论依据。（三）学情分析：如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法．教学目标 1记忆正弦、余弦的诱导公式． 2. 诱导公式并运用其进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．教学重点和难点运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明教学准备、教学资源和主要教学方法模型、直尺、多媒体。自主性学习法；反馈练习式学习法教学过程教学环节教师为主的活动学生为主的活动设计意图导入新课一．问题引入：角的概念已经由锐角扩充到了任意角，前面已经学习过任意角的三角函数，那么任意角的三角函数值．怎么求呢先看一个具体的问题。求390°角的正弦、余弦值. 一般地，由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等，即有： sin(+2kπ) = sinα，cos(+2kπ) = cosα，ta n(+2k π) = tanα (k∈Z) 。 (公式一) 通过复习知识引人新课激发学生的学习兴趣目标引把学习目标板在黑板的右上角，并对目标进行解读。

领活动导学二．尝试推导由上一组公式，我们知道，终边相同的角的同一三角函数值一定相等。反过来呢问题：你能找出和30°角正弦值相等，但终边不同的角吗角π与角的终边关于y轴对称,有 sin(π ) = sin ， cos(π ) = cos ，（公式二） tan(π ) = tan 。因为与角终边关于y轴对称是角π-，，利用这种对称关系，得到它们的终边与单位圆的交点的纵坐标相等，横坐标互为相反数。于是，我们就得到了角π与角的三角函数值之间的关系:正弦值相等，余弦值互为相反数，进而，就得到我们研究三角函数诱导公式的路线图：角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系。三．自主探究问题：两个角的终边关于x 轴对称,你有什么结论两个角的终边关于原点对称呢角与角的终边关于x轴对称，有： sin() = sin ， cos() = cos ，（公式三） tan() = tan 。角π + 与角终边关于原点O对称，有： sin(π + ) = sin ， cos(π + ) = cos ，（公式四） tan(π + ) = tan 。上面的公式一~四都称为三角函数的诱导公式。结论：α π α π α± - ∈ ? +，， ) ( 2Z k k的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．学生阅读、观察、思考、讨论交流。提问式回答，教师再补充完整。学生观察图形，思考学生观察、思考、讨论以问题式给出，把课堂较给学生，激发学生学习的自主性。培养学生的空间想象能力

三角比及诱导公式

1、若5 24cos ,53sin +-=+-= m m m m θθ，且θ为第二象限角，则θtan 的值为。 2、已知α是三角形的一个内角，且2sin cos 3αα+= ，这个三角形的形状为 3、在ABC ?中，已知5 3cos -=A ，则=+)sin(C B ，=+)cos(C B ， =+)tan(C B 。 4、设sin tan (),2cos cot k k z αααπαα+≠ ∈+的符号为。 5、已知4sin 5α= ，且α为第二象限的角，则tan cos αα+= 6、已知3tan 3,(2,2),,2k k k Z αππππ=∈++∈求角α的其他三角比。 7、设a o =1234tan ，那么)206cos()206sin(o o -+-的值为 8、若31)75cos(= +αo ，其中α为第三象限角，则=-+-)105sin()105cos(o o αα 9、化简：（1） θθθθθθθcsc 1sec 1sin tan sin tan tan ++?++= （2）sin tan tan (cos sin )csc cos ααααααα +-++= （3）221cos 1111cos α α ---= （4） x 是第二象限角）= （5）1csc sec sin 2-ααα（α是第二象限角）=

10、已知tan 3α=，求值: (1)α2cos ; cos 4sin (2)3sin cos αααα +-； 22(3)sin cos sin 2cos αααα+?+。 11、若4sin 2cos 65cos sin 13 αααα-=-，求22(1)tan ;(2)7sin 4sin cos 2cos ααααα+-的值。 12、已知sin cos ()2 παααπ+= <<，求下列各式的值。。求： (1)sin cos αα-； ααcos sin ）2（?； 33(3)sin cos αα-； ααcot tan )4(+。 13、化简）2（cos ）2-（in 21++ππs 的结果为 14、若0sin ,21)3cos(<- =+ααπ，则=α 15、已知)2,23(,53cos ,54cos ππββα∈==，且20πα<<，求)cos(βα+的值。 16、已知,5147)cos(,171cos -=+= βαα且20πβα<<<，求cos β.

同角三角函数基本关系式与诱导公式

第2节同角三角函数基本关系式与诱导公式最新考纲 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sin α cos α ＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π 2± α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 知识梳理1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)sin α cos α ＝tan__α. 2.三角函数的诱导公式 [常用结论与微点提醒] 1.诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. 2.同角三角函数基本关系式的常用变形： (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. 3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( ) (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.( ) (3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π 2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.( ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝1 3.( ) 解析 (1)对于α∈R ，sin(π＋α)＝－sin α都成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝1 3，当k 为偶数时，sin α＝－1 3. 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2.(2018·成都诊断)已知α为锐角，且sin α＝4 5，则cos (π＋α)＝( ) A.－35 B.35 C.－45 D.45 解析因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝3 5，所以cos(π＋α)＝－cos α ＝－3 5，故选A. 答案 A 3.已知sin ? ????5π2＋α ＝1 5，那么cos α＝( ) A.－25 B.－15 C.15 D.25 解析 ∵sin ? ????5π2＋α＝sin ? ???? π2＋α＝cos α，∴cos α＝15.故选C. 答案 C 4.(必修4P22B3改编)已知tan α＝2，则 sin α＋cos α sin α－cos α 的值为________. 解析原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋1 2－1 ＝3. 答案 3 5.已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈? ? ???0，π4，则sin θ－cos θ的值为________. 解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝7 18.

三角函数诱导公式学案(一)

1.2.三角函数诱导公式学案（一）预习案（限时20分钟）学习目标：（1）能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式；（2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题学习重点：用联系的观点发现并证明诱导公式,体会把未知问题化归为已知问题的思想方法学习难点：如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法．预习指导：请根据任务提纲认真预习课本P23-25 ? 任务一：探究三角函数诱导公式（二）（三）（四）思考：（1）各象限内三角函数值的符号是什么？（只讨论正弦、余弦、正切）（2）任意角的三角函数的定义是什么？（3）公式一的内容与作用是什么？探究一：任意角α与(π＋α)三角函数值的关系. ①α与 (π＋α)角的终边关系如何？ ②设α与(π＋α)角的终边分别交单位圆于点P 1，P 2，则点P 1与P 2位置关系如何？ ③设点P 1(x ，y )，那么点P 2的坐标怎样表示？ ④sin α与sin(π＋α)，cos α与cos(π＋α)，tan α与tan(π＋α)的关系如何？利用三角函数定义，自己探索，归纳成公式（二） _______)tan(_______)cos(_______)sin(=+=+=+απαπαπ 探究二：任意角α与(-α)三角函数值的关系. ①α与(－α)角的终边位置关系如何？ ②设α与(－α)角的终边分别交单位圆于点P 1，P 2点P 1与P 2位置关系如何？ ③设点P 1(x ，y )，则点P'的坐标怎样表示？ ④sin α与sin(－α)，cos α与cos(－α) ，tan α与tan(－α)关系如何？利用三角函数定义，经过探索，归纳成公式（三） _______)tan(_______)cos(_______)sin(=-=-=-ααα 探究三：α与(π－α)的三角函数值的关系． ①α与(π－α)角的终边位置关系如何？ ②设α与(π－α)角的终边分别交单位圆于点P 1，P 2点P 1与P 2位置关系如何？ ③设点P 1(x ，y )，则点P'的坐标怎样表示？ ④sin α与sin(π－α)，cos α与cos(π－α) ，tan α与tan(π－α)关系如何？经过探索，归纳成公式（四） _______)tan(_______)cos( _______)sin(=-=-=-απαπαπ 预习检测 1.cos 225?=_________ 2.)45sin(ο-=_________ 3.)150tan(ο =________ _______)180tan()cos()180sin(.4=--?+οοααα 5.若,31)tan(=+απ则=αtan __________________

三角函数的诱导公式教案

1.3三角函数的诱导公式贾斐三维目标 1、通过学生的探究,明了三角函数的诱导公式的来龙去脉,理解诱导公式的推导过程;培养学生的逻辑推理能力及运算能力,渗透转化及分类讨论的思想. 2、通过诱导公式的具体运用,熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题,体会数式变形在数学中的作用. 3、进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想,通过一题多解,一题多变,多题归一,提高分析问题和解决问题的能力. 重点难点教学重点:五个诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用,三角函数式的求值、化简和证明等. 教学难点:六组诱导公式的灵活运用. 课时安排2课时教学过程导入新课思路1.①利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值. ②复习诱导公式一及其用途.

思路2.在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等,即公式一,并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角函数值,求锐角三角函数值,我们可以通过查表求得,对于90°到到2π)范围内的角的三角函数怎样求解,能不能有像360°( 2 公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解,这一节就来探讨这个问题. 新知探究提出问题由公式一把任意角α转化为［0°,360°)内的角后,如何进一步求出它的三角函数值? 活动:在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得,特殊角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得.教师可组织学生思考讨论如下问题:0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得?90°到360°的角β能否与锐角α相联系?通过分析β与α的联系,引导学生得出解决设问的一种思路:若能把求［90°,360°)内的角β的三角函数值,转化为求有关锐角α的三角函数值,则问题将得到解决,适时提出,这一思想就是数学的化归思想,教师可借此向学生介绍化归思想.

三角函数诱导公式专项练习(含答案)

三角函数诱导公式专项练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（） A． B． C． D． 2．的值为（） A． B． C． D． 3．已知，则cos（60°–α）的值为 A． B． C． D．– 4．已知，且，则（）A． B． C． D． 5．已知sin(π－α)＝－，且α∈(－，0)，则tan(2π－α)的值为( ) A． B．－ C．± D． 6．已知，则=( ) A． B． C． D． 7．已知，，则（） A． B． C． D． 8．已知，则（） A． B． - C． D． - 9．如果，那么 A． - B． C． 1 D． -1 10．已知，则（） A． B． C． D． 11．化简的值是（）

A． B． C． D． 12．的值是（） A． B． C． D． 13．已知角的终边经过点，则的值等于 A． B． C． D． 14．已知，则（） A． B． C． D． 15．已知的值为（）A． B． C． D． 16．已知则（） A． B． C． D． 17．已知，且是第四象限角，则的值是( ) A． B． C． D． 18．已知sin＝，则cos＝( ) A． B． C．－ D．－ 19．已知cos α＝k，k∈R，α∈，则sin(π＋α)＝( ) A．－ B． C．± D．－k 20．＝( ) A． sin 2－cos 2 B． sin 2＋cos 2 C．±(sin 2－cos 2) D． cos 2－sin 2 21．的值为 A． B． C． D． 22．（） A． B． C． D．

《三角函数的诱导公式》教学设计

1.3 三角函数的诱导公式（名师:杨峻峰）一、教学目标（一）核心素养从对称性出发，获得一些三角函数的性质.会选择合适的诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数. (二)学习目标１. 牢固掌握五组诱导公式. 2. 理解和掌握公式的内涵及结构特征，熟练运用公式进行三角函数的求值、化简及恒等证明． 3. 通过诱导公式的推导,培养学生的观察能力、分析归纳能力. ４.渗透把未知转化为已知以及分类讨论的数学思想. （三）学习重点熟练、准确地运用公式进行三角函数求值、化简及证明. (四)学习难点相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识,诱导公式的推导、记忆及符号判断. 二、教学设计（一)课前设计 1．阅读教材第23页至第27页,填空: (1)如图，πα+的终边与角α的终边关于原点对称; （２)如图,α-的终边与角α的终边关于ｘ轴对称； (３)如图，πα-的终边与角α的终边关于 y 轴对称; （４)如图, 2 π α-的终边与角α的终边关于直线y ＝x 对称;

(5)诱导公式: 公式二：()sin πα+=sin α-，()cos πα+=cos α-，()tan πα+=tan α；公式三：()sin α-=sin α-，()cos α-=cos α,()tan α-=tan α-; 公式四：()sin πα-=sin α,()cos πα-=cos α-,()tan πα-=tan α-; 公式五：sin 2πα??-= ???cos α，cos 2πα?? -= ???sin α；公式六:sin 2πα??+= ???cos α，cos 2πα?? += ??? sin α-． 2.预习自测 1.下列选项错误的是( ） A.利用诱导公式二可以把第三象限的三角函数化为第一象限的三角函数.? Ｂ.利用诱导公式三可以把负角的三角函数化为正角的三角函数. ? C. sin cos 2παα? ?+=- ?? ?． ? ? ? D ．若α为第四象限角,则sin cos 2παα? ?-=- ???．? ? ? 答案：Ｃ．（二）课堂设计１．知识回顾

三角函数的诱导公式(教案)

三角函数的诱导公式 (教案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

课题：三角函数的诱导公式授课教师：吴淑群教材：苏教版数学4第1章1.2.3 教学目标 1.理解三角函数的诱导公式； 2.能运用这些公式处理简单的三角函数的化简、求值等问题；目标解析 1．在理解的基础上，熟记诱导公式； 2．能运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并进行简单的三角变换； 3．经历由几何特征（终边的对称）到发现数量关系（诱导公式）的探索过程；4．从公式推导和运用的过程中，体会数形结合、转化与化归等思想方法； 5．初步体会三角函数和周期性变化的内在联系；教学重点、难点重点：四组诱导公式的推导、记忆和运用。难点：诱导公式推导过程中数形关系的转换；符号的判断。教学方法与教学手段探究教学法、多媒体辅助教学。教学过程一、创设情景先行组织者

师：我们已经学习了任意角三角函数的概念。三角函数是以圆周运动为原型，为了刻画周期性运动而建立的数学模型。那么，周期性是怎样体现在三角函数的概念之中的？今天，我们仅就上述问题做一个初步的探讨。二、建构数学 1．终边相同的角的三角函数（1）提出问题（展示课件）已知任意．．角α，观察角α的终边绕着原点逆时针旋转的过程。问题1：在上述变化过程中，有哪些东西会周而复始的重复出现？（2）解决问题（根据学生回答的情况，视机提出下列提示性问题）问题1-1：角的终边的位置会重复出现吗三角函数值会重复出现吗问题1-2：什么时候“角的终边位置”会重复出现什么时候三角函数值会重复出现要求学生把分析的结论用数学等式表示出来： ) (tan )2tan()(cos )2cos()(sin )2sin(Z k k Z k k Z k k ∈=+∈=+∈=+απααπαα πα 问题1-3 ：角α与角παk 2+)(Z k ∈的三角函数值为什么相等呢？（让学生回到定义去解决问题）（3）小结：回顾解决问题的思路，得到下面的框图

三角函数诱导公式大全

三角函數誘導公式大全三角函数诱导公式常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为：

对于k2π/2±α(k∈Z)的个三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变； ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即 sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. （奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。（符号看象限）例如： sin(2π－α)＝sin(42π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。所以sin(2π－α)＝－sinα 上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号为把α视为锐角时，角k2360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α 所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限。各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”．这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．上述记忆口诀,一全正,二正弦,三正切,四余弦

《三角函数的诱导公式》

三角函数的诱导公式(第1课时) 南京师范大学附属中学刘洪璐教材：苏教版《普通高中课程标准实验教科书(必修4)·数学》第1.2.3节一.教学目标 1．知识与技能（1）能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式。（2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。 2．过程与方法（1）经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力。（2）通过对诱导公式的探求和运用，培养化归能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。 3．情感、态度、价值观（1）通过对诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度。（2）在诱导公式的探求过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神。二.教学重点与难点教学重点:探求π－α的诱导公式。π＋α与－α的诱导公式在小结π－α的诱导公式发现过程的基础上，教师引导学生推出。教学难点:π＋α，－α与角α终边位置的几何关系，发现由终边位置关系导致（与单位圆交点）的坐标关系，运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“研究路线图”。三.教学方法与教学手段问题教学法、合作学习法，结合多媒体课件四.教学过程角的概念已经由锐角扩充到了任意角，前面已经学习过任意角的三角函数，那么任意角的三角函数值．怎么求呢？先看一个具体的问题。（一）问题提出如何将任意角三角函数求值问题转化为0°~360°角三角函数求值问题。【问题1】求390°角的正弦、余弦值. 一般地，由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等，三角函数看重的就是终边位置关系。即有：sin(α+k·360°) = sinα， cos(α+k·360°) = cosα，(k∈Z) tan(α+k·360°) = tanα。这组公式用弧度制可以表示成sin(α+2kπ) = sinα， cos(α+2kπ) = co sα，(k∈Z) (公式一) tan(α+2kπ) = ta nα。

三角函数诱导公式规律口诀

诱导公式是指三角函数中，利用周期性将角度比较大的三角函数，转换为角度比较小的三角函数的公式。接下来分享三角函数诱导公式规律口诀。三角函数诱导公式规律公式一到公式五函数名未改变，公式六函数名发生改变。公式一到公式五可简记为：函数名不变，符号看象限。即α+k·360° （k∈Z），﹣α，180°±α，360°－α的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。上面这些诱导公式可以概括为：对于kπ/2±α(k∈Z)的三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变； ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即 sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan。（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。（符号看象限）三角函数诱导公式口诀奇变偶不变，符号看象限。第一象限内任何一个角的三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦和余割是“+”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余函数是“－”；第四象限内只有正割和余弦是“+”，其余全部是“－”。一全正，二正弦，三双切，四余弦。三角函数的诱导公式诱导公式一：终边相同的角的同一三角函数的值相等设α为任意锐角，弧度制下的角的表示： sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)

cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z) 诱导公式二：π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系设α为任意角，弧度制下的角的表示： sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 诱导公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系 sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 诱导公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系 sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 诱导公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系 sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα

同角三角函数基本关系及诱导公式(经典)

§4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α ＝tan α. 2．下列各角的终边与角α的终边的关系 3.

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角． ( × ) (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角． ( × ) (3)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝1 3 . ( × ) (4)已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，其中θ∈[π 2，π]，则m <－5或m ≥3. ( × ) (5)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－12，则tan θ的值为－3或－3 3 . ( × ) (6)已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α 的值是－1 3. ( √ ) 2．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈(－π 2，0)，则tan(2π－α)的值为 ( ) A ．－25 5 B.255 C ．±25 5 D. 52 答案 B 解析 sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－2 3，又α∈(－π 2，0)，得cos α＝1－sin 2α＝ 53， tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝25 5. 3．若tan α＝2，则2sin α－cos α sin α＋2cos α 的值为________．答案 34

2019-2020学年高中数学三角函数诱导公式学案2 新人教A版必修4.doc

2019-2020学年高中数学三角函数诱导公式学案2 新人教A 版必修 4 二、重点、难点重点: 借助于单位圆，推导出正弦、余弦相互转化的诱导公式。难点: 利用诱导公式解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题。三、教学过程引入新课 1函数名称 )(2Z k k ∈+πα α- απ- απ+ αsin αcos αtan 2．（1）=6 sin π _____；=3 cos π _____。（2）=4 sin π _____；=4 cos π _____。（3）=0sin _____；=2 cos π _____。那么能否将锐角推广到任意角呢？猜测公式五：。 3．角6π与3 π 的终边有何关系？利用单位圆，画出三角函数线，证明你的结论。 4．（1）=65sin π_____；=3cos π_____。（2）=43sin π_____；=4cos π_____。（3）=65cos π_____；=3sin π_____。（4）=43cos π_____；=4 sin π_____。 x y O 知识链接：初中学习过，任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的角的正弦值。由2π βα= +得απ β-= 2 ， )2cos(sin απα-=，)2 sin(cos απ α-=

猜测公式六：。 5．你能否用公式二和五证明你猜测的公式六？例题剖析例1．求证：（1）ααπcos )2 3sin(-=+ （2）ααπsin )2 3cos(=+ 例2．已知3 1)75cos(=+α ，且?-<

必修四1.3.三角函数的诱导公式(教案)

人教版新课标普通高中◎数学④ 必修 1 1.3 三角函数的诱导公式教案 A 教学目标一、知识与技能 1．理解诱导公式的推导过程； 2．通过诱导公式的具体运用，熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题，体会数式变形在数学中的作用． 3．进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想，通过一题多解，一题多变，多题归一，提高分析问题和解决问题的能力．二、过程与方法利用三角函数线，从单位圆关于x 轴、y 轴、直线y x 的轴对称性以及关于原点O 的中心对称性出发，通过学生的探究，明了三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想．三、情感、态度与价值观通过本节的学习使学生认识到了解任何新事物须从它较为熟悉的一面入手，利用转化的方法将新事物转化为我们熟知的事物，从而达到了解新事物的目的，并使学生养成积极探索、科学研究的好习惯．教学重点、难点教学重点：五组诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用，三角函数式的求值、化简和证明等．教学难点：六组诱导公式的灵活运用．教学关键：五组诱导公式的探究．教学突破方法：问题引导，充分利用多媒体引导学生主动探究．教法与学法导航教学方法：探究式，讲练结合．学习方法：切实贯彻学案导学，以学生的学为主，教师起引导的作用，具体表现在教学过程当中． 1. 充分利用多媒体引导学生完善从特殊到一般的认知过程； 2. 强调记忆规律，加强公式的记忆； 3. 通过对例题的学习，完成学习目标．教学准备教师准备：多媒体，投影仪、直尺、圆规．学生准备：练习本、直尺、圆规．教学过程一、创设情境，导入新课我们利用单位圆定义了三角函数，而圆具有很好的对称性．能否利用圆的这种对称

1.3.2三角函数诱导公式(二)(教、学案)

1. 3.2三角函数诱导公式（二）【教材分析】《三角函数的诱导公式》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第三节，其主要内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式六。这节是诱导公式（二）的推导，在诱导公式（一）的推导中用到了一次对称变换，这节是利用两次对称变换推导到的诱导公式，充分体现对称变换思想在数学中的应用，在练习中加以应用，让学生进一步体会的任意性；综合诱导公式（一）、（二）总结出记忆诱导公式的口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，了解从特殊到一般的数学思想的探究过程，培养学生用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力。诱导公式在三角函数化简、求值中具有非常重要的工具作用，要求学生能熟练的掌握和应用。【教学目标】 1.借助单位圆，推导出正弦、余弦第五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题 2.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。 3. 培养学生的化归思想，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径. 【教学重点难点】教学重点：掌握 απ±2角的正弦、余弦的诱导公式及其探求思路教学难点：απ ±2角的正弦、余弦诱导公式的推导. 【学情分析】学生在前面第一类诱导公式学习中感受了数形结合思想、对称变换思想在研究数学问题中的应用，初步形成用对称变换思想思考问题的习惯，对于两次对称变换思想的应用是上一节课的深化；学生对高中数学知识有了一定了解和掌握，也形成了自己的学习方法和习惯，对学习高中数学有了一定兴趣和信心，且具有了一定的分析、判断、理解能力和交流沟通能力。但由于诱导公式多，学生记忆困难，应用时易错，应该渗透归纳总结的学习方法，让学生找规律，体现自主探究、共同参与的新课改理念。【教学方法】 1．学案导学：见后面的学案。 2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习【课前准备】 1．学生的学习准备：预习“三角函数的诱导公式”，完成预习学案。 2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 3.教学手段：利用计算机多媒体辅助教学. 【课时安排】1课时【教学过程】一、预习检查、总结疑惑