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数字信号课程设计(数字低通滤波器)

《数字信号处理》课程设计题目：任务10：设计数字低通滤波器

2015年12月

数字低通滤波器的设计

1 低通、高通、带通、带阻滤波器的性能特点.......................................................................-

2 -

1.1低通滤波器的性能指标................................................................................................- 2 -

1.2 高通滤波器的性能指标................................................................................................- 3 -

1.3 带通滤波器的性能指标................................................................................................- 4 -

1.4 带阻滤波器的性能指标................................................................................................- 5 -

2 巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器的比较...........................................................................- 6 -

2.1 从幅度特性比较............................................................................................................- 6 -

2.2 从过渡带宽比较............................................................................................................- 6 -

2.3 从阶次N比较 ...............................................................................................................- 6 -

2.4 从滤波器对参数量化（变化）的灵敏性比较............................................................- 6 -

2.5 从相应响应（群延时）比较........................................................................................- 6 -

3 巴特沃斯滤波器和切比雪夫模拟低通滤波器的设计方法...................................................- 6 -

3.1 Butterworth滤波器设计步骤........................................................................................- 6 -

3.2 切比雪夫低通滤波器设计步骤....................................................................................- 7 -

4 模拟低通滤波器转换为数字滤波器（低通、高通、带通、带阻）的设计流程 ...............- 8 -

5 数字滤波器设计.......................................................................................................................- 9 -

5.1 设计题目........................................................................................................................- 9 -

5.2 设计原理........................................................................................................................- 9 -

5.3 设计思路..................................................................................................................... - 10 -

5.4 设计过程..................................................................................................................... - 11 -

6 Matlab数字滤波器仿真实验................................................................................................ - 12 - 7调试分析................................................................................................................................ - 14 - 8 附录 ....................................................................................................................................... - 15 -

1 低通、高通、带通、带阻滤波器的性能特点

1.1低通滤波器的性能指标

低通滤波器，是一种容许低于某一截至频率的信号分量通过，而对高于该截止频率以上的信号分量进行衰弱的电子滤波装置。对于不同滤波器而言，每个频率的信号的减弱程度不同。低通滤波器有很多种，最通用的就是巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器。

电感阻止高频信号通过而允许低频信号通过，电容的特性却相反。信号能够通过电感的滤波器、或者通过电容连接到地的滤波器对于低频信号的衰减要比高频信号小，称为低通滤波器。

低通滤波器的主要技术指标

⑴.通带增益Ap

通带增益是指滤波器在通频带内的电压放大倍数，如图所示。性能良好的LPF通带内的幅频特性曲线是平坦的，阻带内的电压放大倍数基本为零。

⑵.通带截止频率fp

其定义与放大电路的上限截止频率相同，见图。通带与阻带之间称为过渡带，过渡带越窄，说明滤波器的选择性越好。

图1

●δ1:通带的容限

●δ2：阻带容限

●通带截止频率：fp(wp)又称为通带上限频率。

●通带衰减：Ap

● 阻带截止频率：fs (ws )又称阻带下限截止频率。 ● 阻带衰减：As 1.2 高通滤波器的性能指标

高通滤波器是一个使高频率比较容易通过而阻止低频率通过的系统。它去掉了信号中不必要的低频成分或者说去掉了低频干扰。其特性在时域及频域中可分别用冲激响应及频率响应描述。后者是用以频率为自变量的函数表示，一般情况下它是一个以复变量jω为自变量的复变函数，以H （jω）表示。它的模H （ω）和幅角φ（ω）为角频率ω的函数，分别称为系统的“幅频响应”和“相频响应”，它分别代表激励源中不同频率的信号成分通过该系统时所遇到的幅度变化和相位变化。

最简单的电子高通滤波器包括一个与信号通路串联的电容器和与信号通路并联的电阻。电阻与电容的乘积（RC ）是时间常数；它与截止频率成反比，在截止频率上输出信号的强度是输入信号的一半（-3分贝（dB ））：

1/2f RC π=其中f 的单位是赫兹（Hz ），R 的单位是欧姆（ohm ），C 的单位是法拉（farad ），简称“法”。

图2

● 通带截止频率：fp (wp )又称为通带下限频率。 ● 通带衰减：Ap

● 阻带截止频率：fs (ws )又称阻带上限截止频率。 ● 阻带衰减：As

1.3 带通滤波器的性能指标

带通滤波器是指能通过某一频率范围内的频率分量、但将其他范围的频率分量衰减到极低水平的滤波器，与带阻滤波器的概念相对。一个模拟带通滤波器的例子是电阻-电感-电容电路（RLC ）。这些滤波器也可以用低通滤波器同高通滤波器组合来产生。

一个理想的滤波器应该有一个完全平坦的通带，例如在通带内没有增益或者衰减，并且在通带之外所有频率都被完全衰减掉，另外，通带外的转换在极小的频率范围完成。实际上，并不存在理想的带通滤波器。滤波器并不能够将期望频率范围外的所有频率完全衰减掉，尤其是在所要的通带外还有一个被衰减但是没有被隔离的范围。这通常称为滤波器的滚降现象，并且使用每十倍频的衰减幅度dB 来表示。通常，滤波器的设计尽量保证滚降范围越窄越好，这样滤波器的性能就与设计更加接近。然而，随着滚降范围越来越小，通带就变得不再平坦—开始出现“波纹”。这种现象在通带的边缘处尤其明显，这种效应称为吉布斯现象（Gibbs phenomenon ）。

下图所示的是一个带通滤波器的波德图。如图所示，l f 和r f 分别为低频、高频信号功率降低一半的点，即上下限截止频率，两个截止频率中间的频率范围称作“通带宽度”，通带中心的频率0f 称作“中心频率”。

通带范围内频率的信号可以通过，频率位于截止频率两侧的信号则大幅衰减。

图3

●通带截止频率：上限截止频率fp2(wp2)，下限截止频率fp1(wp1)。

●通带衰减：Ap

●阻带截止频率：上限截止频率fs2(ws2)，下限截止频率fs1(ws1)。

●阻带衰减：As

1.4 带阻滤波器的性能指标

带阻滤波器，是指一种能够抑制某一阻带的频率分量，并允许阻带外频率分量通过的滤波器。带阻滤波器可分为窄带阻滤波器和宽带阻滤波器，在实际电路中，常利用无源低通滤波器和高通滤波器并联构成无源带阻滤波电路，然后接相同比例运算电路，从而得到有源带阻滤波电路。

带阻滤波器是指能通过大多数频率分量、但将某些范围的频率分量衰减到极低水平的滤波器，与带通滤波器的概念相对。其中点阻滤波器（notch filter）是一种特殊的带阻滤波器，它的阻带范围极小，有着很高的Q值（Q Factor）。

将输入电压同时作用于低通滤波器和高通滤波器，再将两个电路的输出电压求和，就可以得到带阻滤波器（如下图所示），其中低通滤波器的截止频率应小于高通滤波器的截止频率。

图4

●通带截止频率：上限截止频率fp2(wp2)，下限截止频率fp1(wp1)。

●通带衰减：Ap

●阻带截止频率：上限截止频率fs2(ws2)，下限截止频率fs1(ws1)。

●阻带衰减：As

2 巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器的比较

2.1 从幅度特性比较

⑴巴特沃斯滤波器在全频段具有单调下降的幅度特性；

⑵切比雪夫Ⅰ型在通带中是呈等纹波型的，在阻带则是单调下降的； ⑶切比雪夫Ⅱ型在通带是单调下降的，在阻带是呈等纹波型的。 2.2 从过渡带宽比较

当阶次N ，通带最大衰减p R （dB ）、阻带最小衰减s A （dB ）相同且通带截止频率Ωp （或阻带截止频率st ）相同时，巴特沃斯型的过渡带宽最宽，切比雪夫Ⅰ、Ⅱ型较窄。 2.3 从阶次N 比较

若滤波器具有相同的幅度特性指标，则所需阶次N 巴特沃斯大于切比雪夫。 2.4 从滤波器对参数量化（变化）的灵敏性比较

巴特沃斯型量化灵敏度低于切比雪夫Ⅰ、Ⅱ型。 2.5 从相应响应（群延时）比较

巴特沃斯型在部分通带中有线性相位，对线性相位的逼近优于切比雪夫型滤波器。

3 巴特沃斯滤波器和切比雪夫模拟低通滤波器的设计方法

3.1 Butterworth 滤波器设计步骤 ⑴.确定阶次N

① 已知Ωc 、Ωs 和As 求Butterworth DF 阶数N

② 已知Ω

c 、Ωs 和Ω=Ωp(3dB p Ω≠-)的衰减Ap 求Butterworth DF 阶数N

③ 已知Ωp 、Ωs 和Ω=Ωp 的衰减Ap 和As 求Butterworth DF 阶数N /10

/1022(/)10

1,(/)101p s A A N N p c s c ΩΩ=-ΩΩ=-则：

⑵.用阶次N 确定 ()a H s 根据公式：

1,2,2N

()()a a H s H s -在左半平面的极点即为()a H s 的极点，因而

2,,N

3.2 切比雪夫低通滤波器设计步骤 ⑴.确定技术指标p Ω p α s Ω s α

归一化： /1p p p λ=ΩΩ= /s s p λ=ΩΩ ⑵.根据技术指标求出滤波器阶数N 及ε：

0.1

1δε=- p δα= ⑶.求出归一化系统函数其中极点由下式求出：

或者由N 和S 直接查表得()a H p

4 模拟低通滤波器转换为数字滤波器（低通、高通、带通、带阻）的设计流程

第一种,分两步来实现。第一步，将设计出的归一化样本模拟低通滤波器经模拟—模拟频带变换法转换成模拟各种（低通、高通、带通、带阻）滤波器；第二步，然后数字化（采用冲击响应不变法、或双线性变换法）成各相应频带的数字滤波器。如下图a 。

第二种,直接导出由设计出的样本模拟低通滤波器变换成各种通带数字滤波器的方案，既包含频带变换又包含数字化，一步变换完成设计。如下图b 。

第三种,将设计出的归一化的样本模拟低通滤波器先数字化成低通数字滤波器，然后再用数字—数字频带变换法设计出各种通带的数字滤波器。如下图c 。

技术指标

5 数字滤波器设计

5.1 设计题目

用窗函数法设计一个()h n 偶对称的线性相位FIR 低通滤波器，给定通带截止频率0.3p ωπ=，阻带截止频率为0.5st ωπ=，阻带衰为40s A dB = 5.2 设计原理

设数字滤波器的传输函数为()j H

e ω

，()d

n h 是与其对应的单位脉冲响应，

()H z 为系统函数。

()

j H

e ω

=()1

N j n

n h n e

ω--=∑

()d

n h =()12j j n

d e e

ωπ

()H z =()

N n h n -=∑n

一般来说，()d n h 是无限长的，需要求()j H

e ω

的一个逼近。采用窗函数设

计方法时，可通过对理想滤波器的单位采样响应加窗设计滤波器

技术指标

()H n =()n ω()d n h

其中，()n ω是一个长度有限的窗，在区间0n N ≤≤外值为0，且关于中点对称

()n ω=()1N n ω--

由卷积定理有：

()

j H e ω=

12π

()j d

e H

?()j e ω

理想的频率响应被窗函数的离散时间傅里叶变换()j e ω

“平滑”了。

采用窗函数设计法设计出来的滤波器的频率响应对理想响应()j H e ω

的逼近程度由两个因素决定：①. ()j e ω

ω主瓣的宽度；②. ()j e ω

ω旁瓣的幅度大小。

理想的情况是()j e ω

ω主瓣的宽度窄，旁瓣的幅度小。但对于长度固定的窗

函数来说，这些不能独立的达到最小。 5.3 设计思路

⑴.给定要求的理想频率响应()j d

e H ω

，

一般给定分段常数的理想频率特性。 ⑵.由于是在时域设计故必须求出()d n h ：

()d

n h =IDTFT[()

j H e

]=1

2π

()j n

j d e

H ωπ

πω

ω-

⑶.由于()d n h 是无限时长的，故要用一个有限时长的“窗函数”序列()n ω将()d n h 加以截断（相乘），窗的点数是N 点，截断后的序列为()h n ：

()h n =()d n h ?()n ω，01n N ≤≤-

窗的点数N 及窗的形状是两个极重要的参数。

⑷.求出加窗后实际的频率响应()j H

e ω

：

()j H

e ω

=DTFT[()h n ]=DTFT[()d n h ()n ω]=12π[()j d

e H ω

()j W e ω

2π

()()

()j j d

W d e e H π

θωθπ

θ--? ⑸.检验()j H e ω是否满足()j d

e H ω

的要求，不满足，则需要考虑改变窗形状

或者改变窗长的点数N ，重复（3）、（4）两步，到满足要求为止。 5.4 设计过程

⑴.理想低通滤波器的Hd （e^jw ）及hd(n)可分别由理想线性相位低通过滤波器的频率响应和单位抽样响应得到。且理想线性相位低通频率响应的截止频率

ωωω4.0)(5.0=+=st p c ⑵.求窗函数

由阻带衰减dB A s 40=确定窗形状，查表可知汉宁窗阻带最小衰减为44dB 满足要求。

有过渡带宽N /6.2=?πω，πωωω2.0=-=?p st ，故有：

312.02.62.6=21-N ===?=

τπ

ωN

于是，汉宁窗)(n ω为： )()]15

cos(1[5.0)()]12cos(

1[5.031n R n n R N n n N π

πω-=--=)( ⑶.求线性相位FIR 低通滤波器的)(n h ,先将各参量c ω，τ带入式)(n h d 中，有：

15,15,4.015)

15(4.0sin[)(≠??

??= )-(-=n n n n n h d ππ

则有：

??=≠-)-(-=)(=15,4.015n n )]15

cos(1[15)

15(4.0sin[)()(31n R n n n n n h n h d ），（πππω ⑷.求∑-=30

0)(^)()^(n j e n h j e H ωω，检验各指标是否会得到满足，如不满足则需改变N 或窗形状，重新计算，此题过渡带宽不满足要求，πω0.215=?满足其他要求，改选33=N ，仍用汉宁窗，可得过渡带宽πω0.199=?满足要求，故：

)()]cos(1[162]164.0sin[21)()(33n R n n n n n h n h d 16

-)-()-(=

)(=π

ππω

6 Matlab数字滤波器仿真实验

（1）%画图做出滤波器幅度响应曲线

（2）自行产生信号f(n)( 例如f(n)=square(1:256,50)+randn(1,256)，这是一个长度为256点的信号，由占空比50%的方波叠加了高斯噪声而形成)，画出f(n)的时域波形和频域波形；

（3）将信号f(n)通过设计的滤波器，画出滤波之后的时域波形和频域波形；

（4）给出滤波结果的分析。

从以上仿真结果看设计好的滤波器通带截止频率WP=0.942477796076938，WS= 1.570796326794897，deltaw=0.628318*********，A=44，满足设计指标要求。

由仿真图可以看出，方波叠加了高斯噪声而形成的信号是一段凌乱无规律、非周期信号，从经过滤波后输出信号的频域波形可以看出，经过滤波后高频部分

被滤除。同时时域波形也基本呈正弦波，也符合我们所学的知识：方波是由基波和一系列各次谐波所组成的。而低通滤波器只能允许基波附近的频率通过，而其余的都被阻断。因此只能得到接近于正弦函数图像噪声信号也被部分滤除，基本上达到了设计要求。

7调试分析

通过翻书查资料编好程序后，运行的过程还是存在很多问题。但通过请教老师、与同学讨论，最终还是将程序调试好。在程序调试过程中开始就由于两个函数没有定义，程序一直出错，花费了很多时间。特别是不同函数的运用，很容易搞混淆，不过经过耐心的学习，最终还是得到了满意的结果。在画图的过程中开始由于横坐标和纵坐标长度取值不但，导致画出的波形无规律，看不出波形的特性。经过反复修改和调试最终画出了时域和频域的波形。程序的运行结果如上图所示，通过滤波前后的时域、频域波形的比较我们可以清楚的看出滤波器的特性和功能。本次实验结果较好地反映出了用汉宁窗函数法设计数字FIR低通滤波器的特性，也基本上达到了课程设计的要求和初衷。

8 附录

程序

%窗函数法设计线性相位FIR低通滤波器

clc;clear all

wp=0.3*pi;

ws=0.5*pi;

deltaw=ws-wp;%确定过度带宽

N0=ceil(6.2*pi/deltaw);%确定滤波器阶数，ceil是向上取整函数N=N0+mod(N0+1,2);%若需要N=奇数，必须加词语句

wd=(hanning(N))';%求汉宁窗

wc=(ws+wp)/2;%截止频率

hd=ideal_lp(wc,N); %理想低通的单位冲击响应

b=hd.*wd;

[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(b,1);%检查各项设计指标

n=0:N-1;

dw=2*pi/1000;

Rp=-(min(db(1:wp/dw+1))); %检查通带最大衰减

As=-round(max(db(ws/dw+1:501))); %检查阻带最小衰减

%画图做出滤波器幅度响应曲线

figure(1);

subplot(2,2,1);

stem(n,b);

axis([0,N,1.1*min(b),1.1*max(b)]);

title(' 实际脉冲响应');

xlabel('n');ylabel('h(n)');

subplot(2,2,2);

stem(n,wd);

axis([0,N,0,1.1]);grid;

title('汉宁窗函数特性');

xlabel('n');

ylabel('wd(n)');

subplot(2,2,3);

plot(w/pi,db);

axis([0,1,-80,10]);grid;

title('幅度频率响应');

xlabel('频率');

ylabel('H(e^{j\omega})');

set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,wp/pi,ws/pi,1]); set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[-50,-20,-3,0]); subplot(2,2,4);

plot(w/pi,pha);

axis([0,1,-4,4]);

title('相位频率响应');

xlabel('频率');

ylabel('\phi(\omega)');

set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,wp/pi,ws/pi,1]); set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[-3.1416,0,3.1416,4]); grid;

%产生一个信号in=square(1:256,50)+randn(1 ,256) omega=pi/4;

k=1:256;

x1=square(omega*k,50); %占空比为50%的方波信号stem(k,x1);

N=256;

k=0:N-1;

x2=randn(1,N); %噪声信号

stem(k,x2);

in=x1+x2; %叠加信号

out=filter(b,1,in); %滤波过程

NFFT = 2^nextpow2(N);

%绘出输入信号的时域波形和频域波形

figure(2);

subplot(2,1,1); stem(x1);