沪教版(五四学制)八年级数学下册学案：21.2分式方程(无答案)

课题分式方程

教学内容

一、知识归纳

可化为一元二次方程的分式方程

1.分式方程的概念：_______分母中含有未知数的方程_________。

2.解分式方程的基本思路：

____ 把分式方程转化为整式方程,即“整式化”的化归数学思想______.

3.解分式方程的基本方法：

_____换元法和去分母法____。

4.解分式方程的一般步骤:

5.增根及验根的方法：

增根：

方程检验的方法：

①

②

③

二、例题精讲

例1.下列是分式方程的有 .

①②③④⑤⑥

例2：解方程。

变式

例3：方程可能产生的增根是【】

A. 1

B. 2

C.1或2

D.-1或2

1)当m=______时,方程有增根.

2)若分式方程（其中k为常数）产生增根，则增根是（）

A.x=6

B.x=5

C.x=k

D.无法确定

3)解关于x的方程产生增根，则常数m的值等于（）

A.-2

B.-1

C.1

D.2

例4：【分式的条件求值】已知，求的值。

变式

①如果那么

②已知，求的值。

例5：用换元法解方程:

变式用换元法解方程:

三、课堂作业

一、选择题：

1．以下是方程去分母的结果，其中正确的是

A．B．C．D．

2．在下列方程中，关于的分式方程的个数有.

①②. ③④.⑤⑥.

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

3．分式的值为1时，m的值是.

A．2 B．－2 C．－3 D．3 4．不解下列方程，判断下列哪个数是方程的解.

A．x=1 B．x=-1 C．x=3 D．x=-3 6．若分式的值等于0，则x的值为.

A、1

B、±1

C、1

2D、-1

8．关于x的方程的根为x=2，则a应取值.

A.1

B.3

C.－2

D.－3

7．赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，当他读了一半时，发现平时每天要多读21页才能在

借期内读完.他读了前一半时,平均每天读多少页?如果设读前一半时,平均每天读x页,则下列方程中,正确的是.

A、 B、

C、 D、

8．关于x的方程的根为x=2，则a应取值 .

A.1

B.3

C.－2

D.－3

9．在正数范围内定义一种运算☆，其规则为☆＝，根据这个规则☆的解为.

A．B．C．或1 D．或

10．“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设参加游览的同学共x人，则所列方程为. A．B．C．D．

11．李老师在黑板上出示了如下题目：“已知方程，试添加一个条件，使方程的解是x=-1”后，小颖的回答是：“添加k=0的条件”；小亮的回答是：“添加k=2的条件”，则你认为.

A、只有小颖的回答正确

B、小亮、小颖的回答都正确

C、只有小亮的回答正确

D、小亮、小颖的回答都不正确

12．某工地调来72人挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调配劳动力才使挖掘出来的土能及时运走，且不窝工，解决此问题，可设派x人挖土，其它人运土，列方程：①②③④上述所列方程，正确的有.

A．1个B．2个C．3个D．4个

二、填空题：

13．若分式的值为0，则x的值等于

14．若分式方程无解，那么的值应为

15．某项工程限期完成，甲单独做提前1天完成，乙单独做延期2天完工，现两人合作1天后，余下的工程由乙队单独做，恰好按期完工，求该工程限期天.

16．阅读材料：

方程的解为，

方程的解为x=2，

方程的解为，…请写出能反映上述方程一般规律的方程，并直接写出这个方程的解是．

三、解答题：

17.解方程

18．若方程的解是正数，求a的取值范围。

19．A、B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，结果小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度.

20．华联商厦进货员在苏州发现一种应季衬衫，预料能畅销市场，就用80000元购进所有衬衫，还急需2倍这种衬衫，经人介绍又在上海用了176000元购进所需衬衫，只是单价比苏州贵4元，商厦按每件58元销售，销路很好，最后剩下的150件按八折销售，很快销售完，问商厦这笔生意赢利多少元？

21．现有一项工程由甲乙两个工程队来做，若甲队先做10天，余下的由乙队单独完成还需30天；若甲队先做9天后，因故抽走甲队一半去做其它工作，剩下任务由乙队和甲队剩余人员合做18天完成。

（1）问两队单独完成这项工作各需多少天？

（2）又已知甲队每天的施工费用是1000元，乙队每天的施工费用是600元，若该工程要求在40天内完成（因受场地限制，两工程队不能同时施工），问应如何安排施工，费用最少，最少费用是多少？

2 2．阅读下面对话：

小红妈：“售货员，请帮我买些梨。”

售货员：“小红妈，您上次买的那种梨都卖完了，我们还没来得及进货，我建议这次您买些新进的苹果，价格比梨贵一点，不过苹果的营养价值更高。”

小红妈：“好，你们很讲信用，这次我照上次一样，也花30元钱。”对照前后两次的电脑小票，小红妈发现：每千克苹果的价是梨的1.5倍，苹果的重量比梨轻2.5千克。

试根据上面对话和小红妈的发现，分别求出梨和苹果的单价。

参考答案

1-12：DBCABAACCAAB

13．x=-1

14．m=-8

15．x=4

16．x=n

17．X=-1

18．

19．a<2且a≠-4

20．m=-4或m=6

21．小汽车和公共汽车的速度是60公里/时和20公里/时.

22．设衬衫的单价为x元，则，得x=40, 商厦这笔生意赢利90260元

23．解：设甲队单独完成用x天，乙队单独完成用y天，

根据题意，得，

解得x=30.y=45.

经检验知x=20, y=45.是原方程的解,且适合题意.

(2) 设甲队单独完成用a天，乙队单独完成用b天完成。

，得b,w=1000a+600b=30000-,当b=30时，w最小=28000

在不耽误工期的情况下, 甲队单独完成30000.

故甲队单独用10天，乙队单独30天完成，费用最小。

24．梨的单价是4元／千克，苹果的单价是6元／千克.

25．（1）m=3；（2）过M作BC的平行线，得DM=DN；（3）结论成立。方法同

八年级数学分式教案

第十六章分式 教材分析 本章的主要内容包括：分式的概念，分式的基本性质，分式的约分与通分，分式的加、减、乘、除运算，整数指数幂的概念及运算性质，分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。 全章共包括三节： 16．1 分式 16．2 分式的运算 16．3 分式方程其中，16．1 节引进分式的概念，讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形，是全章的理论基础部分。11．2节讨论分式的四则运算法则，这是全章的一个重点内容，分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序。在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数，这给运算带来便利。11．3节讨论分式方程的概念，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。解方程中要应用分式的基本性质，并且出现了必须检验（验根）的环节，这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方程，是本章教学中的另一个难点，克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力。 分式是不同于整式的另一类有理式，是代数式中重要的基本概念；相应地，分式方程是一类有理方程，解分式方程的过程比解整式方程更复杂些。然而，分式或分式方程更适合作为某些类型的问题的数学模型，它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。 （二）本章知识结构框图 （三）课程学习目标 本章教科书的设计与编写以下列目标为出发点： 1．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。 2．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则。 3．类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则。 4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系。 5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想。 （四）课时安排 本章教学时间约需13课时，具体分配如下： 16．1 分式2课时16．2 分式的运算6课时 16．3 分式方程3课时数学活动小结3课时

解分式方程及增根-无解的典型问题含答案

解分式方程及增根-无解的典型问题含答案 优博辅导中心 当堂检测 1. 解方程 1x?2?1?x2?x?3 答案：x?2是增根原方程无解。 2. 关于x的方程a1?2x?4?1?x4?x有增根，则a=-------答案：7 3. 解关于x 的方程 mx?5?1下列说法正确的是（C ） A.方程的解为x?m?5 B.当m??5时，方程的解 为正数 C.当m??5时，方程的解为负数 D.无法确定 4.若分式方程 x?ax?1?a无解，则a的值为-----------答案：1或-1 5. 若 分式方程 m?xx?1=1有增根，则m的值为-------------答案：-1 6.分 式方程1x?2?mx?1有增根，则增根为------------答案：2或-1 7. 关于x的方程1x?2?1?kx?2有增根，则k的值为-----------答 案：1 8. 若分式方程x?aa?a无解，则a的值是----------答 案：0 9.若分式方程2m?m?x1x?1?0无解,则m的取值是------答案：-1或-2 10. 若关于x的方程 m(x?1)?52x?1?m?3无解，则m的值为-------答案：6，10 11. 若关于x的方程

x?mx?1?3x?1无解，求m的值为-------答案： 12.解方程1162-x?x?2??x3x?12答案x??627 13．解方程 2x-1?4x2?1?0 14. 解方程 2x2x?5?22x?5?1 15. 解方程x?22x2x?3?3??13x2?9 x?1m216. 关于x的方程x?3?2x?6有增根，则m的值-----答案：m=2或-2 17.当a为何值时，关于x的分式方程 x?ax?1?3x?1无解。答案:-2或1 1

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15 ． 1分式 第 1 课时从分数到分式 教学目标 1．了解分式的概念，知道分式与整式的区别和联系． 2．了解分式有意义的含义，会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件． 3．理解分式的值为零、为正、为负时，分子分母应具备的条件． 教学重点 分式的意义． 教学难点 准确理解分式的意义，明确分母不得为零． 教学设计一师一优课一课一名师( 设计者：) 教学过程设计 一、创设情景，明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h，它沿江以最大船速顺流航行100 km所用时间， 与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等．江水的流速是多少？ 提示：顺流速度＝水速＋静水中的速度；逆流速度＝静水中的速度－水速． ● 自主学习指向目标 1．自学教材第 127 至 128 页． 2．学习至此：请完成《学生用书》相应部分． 三、合作探究，达成目标 探究点一分式的概念 S V10060 活动一：阅读教材思考问题：式子a ，S以及式 子20＋ v 和 20－ v 有什么共同特点？它们与 分数有什么相同点和不同点？ 展示点评：如果 A，B 表示两个 ________( 整式 ) ，并且 B 中含有 ________( 字母 ) ，那么式A 子B叫做分式．

小组讨论：如何判断一个式子是否为分式？分式与整式有什么区别？

反思小结： 判断一个式子是否为分式，可根据：①具有分数的形式；②分子、分母都是整式；③分母中含有字母，分式与整式的区别在于：分式的分母中含有字母，而整式的分母中不含字母． 针对训练： 见《学生用书》相应部分 探究点二 分式有意义的条件 活动二： (1) 当 x ≠0时，分式 2 有意义； 3x (2) 当 x ≠1时，分式 x 有意义；x － 1 5 1 (3) 当 b ≠3时，分式 5－ 3b 有意义； x ＋ y (4)x ， y 满足 __x ≠y __时，分式 x － y 有意义． 展示点评： 教师示范解答的一般步骤，强调分母不为零． 小组讨论： 归纳分式有意义的条件． 反思小结： 对于任何分式，分母均不能为零，即当分母不为零时，分式有意义；反之，分母为零时，分式无意义． 针对训练： 见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标 1．知识小结—— (1) 学习了分式， 知道了分式与分数的区别． (2) 知道了分式有意义和值 为零的条件． 2．思想方法小结——类比、转化等数学思想． 五、达标检测，反思目标 2 x ＋ y 1 x 1．下列各式① x ，② 5 ，③ 2－ a ，④ π－ 1中，是分式的有 ( C ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④ 2．当 x 为任意实数时，下列分式中，一定有意义的是( C ) x － 1 x ＋ 1 x － 1 x － 1 A. x 2 B. x 2－ 1 C. x 2＋1 D. x ＋ 2 3．某食堂有煤 m t ，原计划每天烧煤 a t ，现每天节约用煤 b(b

关于分式方程增根问题

关于分式方程增根问题 一、选择题 1．分式方程=有增根，则m 的值为（ ） A 、0和3 B 、1 C 、1和﹣2 D 、3 2．已知关于x 的方程2+11a x x x =--有增根，则a 的值是（ ） A ．1 B ． -1 C ．0 D ．2 3．若分式方程a x a x =-+1无解，则a 的值是 （ ） A.－１ B. 1 C. ±1 4．若分式方程2321--=+-x x a x 有增根，则a 的值是（ ） .0 C 5．分式方程()()2111+-=--x x m x x 有增根，则m 的值为（ ） A 、0和1 B 、1 C 、1和－2 D 、3 6．若分式方程244x a x x =+--有增根，则a 的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．0 7．分式方程11x x --=()()12m x x -+有增根，则m 的值为（ ） A 、0和3 B 、1 C 、1和﹣2 D 、3 8．分式方程=--11x x )2)(1(+-x x m 有增根，则m 的值为 （ ） A. 0和3 B. 1 C. 1和－2 D. 3 9．若分式方程51 56-=+--x k x x （其中k 为常数）产生增根，则增根是 （ ） =6 =5 C.x=k D.无法确定 10．解关于x 的方程113 -=--x m x x 产生增根，则常数m 的值等于 （ ） B.-1 C.1 二、填空题 11．关于x 的分式方程244 21 2+=---x k x x 有增根x =-2，那么k= . 12．已知关于x 的分式方程a 1 =1x 2-+有增根，则a= .

13．方程133m x x =+++1若有增根，则增根一定是_________． 14．若关于x 的方程 2x m 2x 22x ++=--有增根，则m 的值是 15．若关于x 的方程22 21+-=--x m x x 产生增根，那么m 的值是 . 16．若分式方程 244 x a x x =+--有增根，则a 的值为______________． 17．若解分式方程4x m 4x 1x +=+-产生增根，则m ＝________． 18．若关于x 的分式方程 8128-++=-x m x x 有增根，则m = ． 19．若关于x 的分式方程 113-=--x m x x 产生增根，则m 的值为 ． 20．若关于x 的分式方程131=---x x a x 有增根，则a = ． 21．若分式方程： 有增根，则k= ． 22．若解分式方程4 4+=+x x 产生增根，则=m ________； 23．用去分母的方法，解关于x 的分式方程 8x x -＝2＋8 m x -有增根，则m ＝ ． 24．若去分母解分式方程 x-3x －2=x-3 m 时有增根，则m 的值为 ______． 25．如果关于x 的分式方程0111=----x x x m 有增根，则m 的值为 ． 三、解答题 26．已知关于x 的分式方程2 233 x m x x -=--没有解，则m 可以取什么值 27．已知关于x 的方程x a x x x x x =---+2)2(42无解，求a 的值

八年级上册数学-分式的概念

1.1 分式 1.1.1分式的概念 （第1课时） 教学目标 1 了解分式的概念。 2 通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。 3理解分式有意义的条件。 教学重点、难点： 重点：分式的概念和性质难点：理解分式的性质。 教学过程 一创设情境，导入新课 探究： 1把三个一样的苹果分给4位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？你怎么分给他们？（交流讨论） （1）每位小朋友分3 4 （2）分法： ①每个苹果切成四个相等的小块，共12块，每人分3块，这3块占一个苹果的3 4 ②为了每个小朋友吃起来方便，每个苹果切成8块，共24块，每人分6块，这 六块占一个苹果的6 8 。 想想这两种分法分得的是否一样多？（36 = 48 ，即： 3326 == 4428 ? ? ）由此表明了什 么？ 分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数，分数的值不变。 分数的分子与分母约去共因数，分数的值不变。 这就是分数的基本性质。 2 (1)把上面问题变为：把3个一样的苹果分给n(m>0)位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？ 用除法表示：3n ÷，用分数表示为：3 n ， 3 3n n ÷、相等吗？（ 3 3= n n ÷）这里的n

可以是实数吗？（n不能为0） (2) 33 4n 与有什么区别？（后者分母含有字母）我们把前者叫分数，后者叫分 式，什么叫分式呢？分式有没有和分数一样的性质？ 这节课我们来学习-----分式的基本性质。（板书课题） 二合作交流，探究新知 1 分式的概念填空： （1 ）如果小王用a元人民币买了b袋相同的瓜子，那么每袋瓜子的价格是______元。 （2）一个梯形木板的面积是6 2 m，如果梯形上底是am，下底是bm，那么这个梯形的高是________m. (3) 两块面积分别为a亩，b亩的稻田m kg，n kg，这两块稻田平均每亩产稻谷________kg. 观察多项式： 12 a m n b a b a b + ++ 、、这些代数式有什么共同点特点？（分子分母都是整 式，分母含有字母） 一般地，如果f、g分别表示两个整式，并且g中含有字母，那么代数式f g 叫分 式。 说明：分式的分子分母一般是多项式，单项式可以看成是只有一项的多项式。分母一定含有字母。 2 分式的基本性质 思考：33a 44a 与分式相等吗？ 2 2 a b a ab b 分式与分式相等吗？ 如果a≠0, 那么33a = 44a ,只要 2 2 a b a ab b 与都意义，那么 2 2 = a b a ab b 。 你认为分式和分数具有相同的性质吗？ 分式的分子和分母都乘以或除以一个不等非零多项式，分式值不变。分式的分子与分母约去共因式，分式的值不变。 用式子表示为：设h≠0,则f f h g g h ?= ?

分式方程及其增根问题

分式方程及其增根问题 解分式方程的基本方法是通过去分母把分式方程转化为整式方程，解分式方程时，有可能产生增根（使方程中有的分母为零的根），因此解分式方程要验根（其方法是把求得的根代入最简公分母中，使分母为零的是增根，否则不是）. 【例1】解方程 . 解：方程两边同乘x（x+1），得5x-4（x+1）=0. 化简，得x-4=0. 解得x=4. 检验：当x=4时，x（x+1）=4×（4+1）=20≠0， ∴x=4是原方程的解. 【例2】解方程 解：原方程可化为， 方程两边同乘（x+1）（x-1），得（x+1）2-4=（x+1）（x-1）. 化简，得2x-3=-1.解得x=1. 检验：x=1时（x+1）（x-1）=0，x=1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解. 【小结】去分母时，方程两边同乘以最简公分母，不能漏乘常数项. 【例3】解方程 . 解：原方程可变形为 .

解得x=. 检验：当x=时，（x-7）（x-5）（x-6）（x-4）≠0， 所以x=是原方程的解. 【小结】此题若直接去分母，就会出现三次式，且计算较为复杂，该类型题的简单解法为：只把方程等号两边转化为两个分式之差，且等号两边分母的差相等；再把方程等号两边的分式分别通分，会得到两个同分子的分式相等，从而得分母相等，此解法叫做“分组通分法”. 【例4】若关于x的方程有增根x=-1，求k的值. 解：原方程可化为 . 方程两边同乘x（x+1）（x-1）得 x（k-1）-（x+1）=（k-5）（x-1）. 化简，得3x=6-k. 当x=-1时有3×（-1）=6-k，∴k=9. 【小结】因为增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值.

初二数学分式的教案

《分式》的教案 班级：初二2班 科目：数学 任课教师：*** 教学时数：1节 上课日期：2011年10月17日 第七周 第一节 教学目的： 1、引导学生熟练掌握分式的概念及分式的性质等知识； 2、经历通过观察、归纳、类比、猜想，获得分式的基本性质，发展学生思维能力、分析问题、解决问题能力、实际操作能力、 语言表达能力、自学能力、合情推理能力与代数恒等能力等； 3、引导学生学习劳动人民的优良品德；尊重客观、尊重事实的良好品德；刻苦顽强品德等； 4、激发学生热爱劳动人民的情感；热爱科学、热爱生活的情感； 5、通过学习，能获得学习代数知识的常用方面，能感受代数学习的价值。 教学重点： 1、分式的概念 2、分式的性质 教学难点： 1、分式的有意义的条件 2、分子、分母是多项式的分式约分 教学方法：讲授法、谈话法、讨论法、练习法、读书指导法 教具：多媒体课件 ppt 教学过程： 一、复习旧课（时间5~10分钟） 同学们，我们一起来复习一下上一节课学习的内容： 提问 1：我们上节课学习的什么知识啊？ 生（一起回答）：学习了完全平方公式。 提问2：那什么叫做完全平方公式? 生（一起回答）：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方，这样的式子就叫做完全平方公式. 提问3：那有没有同学愿意上来，在黑板上默写完全平方公式的公式？ 好，第四组举手的那位同学上来默写一下公式。 生：()()b a b a b a _22+=- ()2 222b a b ab a +=++ ()2 222b a b ab a -=+- 二、学习新课（时间20~25分钟）（重点）

分式方程增根与无解专题

分式方程的增根和无解专题讲义 题型一：解分式方程，解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为 0,所以解分 式方程必须检验. x 1 4 x 1 x 2 1 专练一、解分式方程 （每题5分共50 分） 题型二：关于增根：将分式方程变形为整式方程 ，方程两边同时乘以一个含有未知数的整式 ，并越去分母，有 时可能产生不适合原分式方程的根，这种根通常称为增根? …、 1 x 4 例2、若方程」 7 有增根，则增根为 . x 3 3 x 有增根，则增根是多少？产生增根的m 值又是多少？ (1) X 2 3 4x x 2 3 (2) 1200 1200 x 2 x 30 (4) 空 5 =1 ⑸ 2x 5 5x 2 1 2 4 x 1 x 1 x 2 1 7 4 6 x 2 x x 2 x x 2 1 (7) (8) x 2x 5 5 5 2x (9) 1 1 x 2 5x 6 x 2 x 6 例1.解方程⑴ 例3 ?若关于x 的方程 m x 2 9

x 3 评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是:

(1) (2) (3) 专练习二: 将所给方程化为整式方程； 由所给方程确定增根（使最简公分母为零的未知数的值或题目给出） 将增根代入变形后的整式方程，求出 字母系数的值。 3 —有增根，则增根为 3 1、已知关于x 的方程-―m m 无解，求m 的值. 1.若方程 2、 使关于x 的方程 a 2 2x 4 产生增根的a 的值是（ 2 x A. 2 B. C. 2 D.与a 无关 2x 3、若解分式方程二 x 1 A. — 1 或一2 B. m ~~2 x 产生增根，则m 的值是（ C. 1 或 2 D. 1 或一2 4.当m 为何值时，解方程 m -会产生增根？ 1 5、关于x 的方程 k 2 ——会产生增根，求k 的值。 x 3 6、当k 为何值时，解关于 x 的方程: k 1 x 2 只有增根X =1。 x 1 7、当a 取何值时，解关于 x 的方程: 2x 2 ax x 2 x 1 无增根? 题型三：分式方程无解 ①转化成整式方程来解 ,产生了增根；②转化的整式方程无解 例4、 无解，求m 的值. 2 x

初中数学分式教案

第十六章 分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1． 了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：7 10，a s ，33 200，s v . 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时，逆流航行60千米所用时间v -2060小时， 所以v +20100=v -2060. 3. 以上的式子v +20100，v -2060，a s ，s v ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不 同点？ 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．． 满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 1-m m 3 2 +-m m 11 2+-m m 45 22--x x x x 235 -+2 3 +x

(完整版)人教版八年级数学上分式教案

15．1 分 式 第1课时 从分数到分式 教学目标 1．了解分式的概念，知道分式与整式的区别和联系． 2．了解分式有意义的含义，会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件． 3．理解分式的值为零、为正、为负时，分子分母应具备的条件． 教学重点 分式的意义． 教学难点 准确理解分式的意义，明确分母不得为零． 教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者： ) 教学过程设计 一、创设情景，明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h ，它沿江以最大船速顺流航行100 km 所用时间，与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等．江水的流速是多少？ 提示：顺流速度＝水速＋静水中的速度；逆流速度＝静水中的速度－水速． ●自主学习 指向目标 1．自学教材第127至128页． 2．学习至此：请完成《学生用书》相应部分． 三、合作探究，达成目标 探究点一 分式的概念 活动一：阅读教材思考问题：式子S a ，V S 以及式子10020＋v 和6020－v 有什么共同特点？它们与分数有什么相同点和不同点？ 展示点评：如果A ，B 表示两个________(整式)，并且B 中含有________(字母)，那么式子A B 叫做分式． 小组讨论：如何判断一个式子是否为分式？分式与整式有什么区别？

反思小结：判断一个式子是否为分式，可根据：①具有分数的形式；②分子、分母都是整式；③分母中含有字母，分式与整式的区别在于：分式的分母中含有字母，而整式的分母中不含字母． 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点二 分式有意义的条件 活动二：(1)当x ≠0时，分式23x 有意义； (2)当x ≠1时，分式x x －1 有意义； (3)当b ≠53时，分式15－3b 有意义； (4)x ，y 满足__x≠y __时，分式x ＋y x －y 有意义． 展示点评：教师示范解答的一般步骤，强调分母不为零． 小组讨论：归纳分式有意义的条件． 反思小结：对于任何分式，分母均不能为零，即当分母不为零时，分式有意义；反之，分母为零时，分式无意义． 针对训练：见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标 1．知识小结——(1)学习了分式，知道了分式与分数的区别．(2)知道了分式有意义和值为零的条件． 2．思想方法小结——类比、转化等数学思想． 五、达标检测，反思目标 1．下列各式①2x ，②x ＋y 5，③12－a ，④x π－1 中，是分式的有( C ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④ 2．当x 为任意实数时，下列分式中，一定有意义的是( C ) A.x －1x 2 B.x ＋1x 2－1 C.x －1x 2＋1 D.x －1x ＋2 3．某食堂有煤m t ，原计划每天烧煤a t ，现每天节约用煤b(b

八年级数学《分式方程》知识点

八年级数学《分式方程》知识点 一、理解定义 1、分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。 2、解分式方程的思路是： （1） 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。 （2） 解这个整式方程。 （3） 把整式方程的根带入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根 是原方程的增根，必须舍去。 （4） 写出原方程的根。 “一化二解三检验四总结” 3、 增根：分式方程的增根必须满足两个条件： （1）增根是最简公分母为0；（2）增根是分式方程化成的整式方程的根。 4、分式方程的解法： (1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； (3)解整式方程； (4)验根． 注：解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。 分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 5、分式方程解实际问题 （1）步骤：审题—设未知数—列方程—解方程—检验—写出答案，检验时要注意从方程本 身和实际问题两个方面进行检验。 （2）应用题基本类型； 二、例题讲析 例1：解方程214111 x x x +-=-- （1） 增根是使最简公分母值为零的未知数的值。 （2） 增根是整式方程的根但不是原分式方程的，所以解分式方程一定要验根。 例2：解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+有增根，则常数a 的值。 解：化整式方程的(1)10a x -=-由题意知增根2,x =或2x =-是整式方程的根，把2,x =代入得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代入得-2a+2=-10，解得6a = 所以4a =-或6a =时，原方程产生增根。 方法总结：1.化为整式方程。 2.把增根代入整式方程求出字母的值。 例3：解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+无解，则常数a 的值。 解：化整式方程的(1)10a x -=- 当10a -=时，整式方程无解。解得1a =原分式方程无解。

分式方程中的增根问题

2.4-2 分式方程中的增根问题 【学习目标】 1.知道分式方程的增根及产生增根的原因. 2.已知增根会求待定系数的值. 【核心知识】分式方程产生增根的原因；知识核心：已知增根会求待定系数的值.学习过程 一、知识链接 1.什么是分式方程?解分式方程的关键是什么？应该注意哪些问题 2.解方程: （1） 105 2 2112 x x += --（2）2 2 1 2 2 2 + - = + + x x x 二、新课学习 探究一分式方程产生增根的原因 1.看书39页议一议，思考问题： (1)产生增根的原因是什么？ （2）什么是原方程的增根？（在书上画出、小组讨论） （3）如何检验？ 点拨:（1）产生增根的原因：我们在方程两边乘以一个不为零的整式，扩大了值域. （2）解分式方程去分母时，方程两边都乘以各分母的最简公分母，检验时可代入最简公分母看是否为零. 2.课本例2，（学生尝试在练习本上做，不会可参考课本上的过程） 3.练习：做课本40页的随堂练习（找学生板演，其他学生做课堂练习本上） 探究二已知增根求待定系数的值. 1．若方程 x x－3 －2＝ k x－3 有增根，试求k的值. （学生先独立做，讨论解题思路） 点拨:解这类题的一般步骤：（1）把分式方程化成整式方程（2）令最简公分母为0，求出求出x的值（3）把x的值代入整式方程，求出字母系数的值. 2.练习：若方程 2 2 2 2 = - + + -x m x x有增根，试求m的值。

三、课堂达标 1.若方程 的解是非正数，求a 的取值范围. 2.若方程x x －3 －2＝k x －3 有增根，试求k 的值. 四、课堂小结，回顾思考 1.解分式方程的解的两种情况： 所得的根是原方程的根、②所得的根不是原方程的根 2.原方程的增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根 3.产生增根的原因：在把分式方程转化为整式方程时，分式的两边同时乘以了一个不为零的整式，扩大了值域. 4.验根：把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零。使最简公分母值为零的根是增根. 5.解这类题的一般步骤：（1）把分式方程化成整式方程. （2）令公分母为0，求出求出x 的值. （3）把x 的值代入整式方程，求出字母系数的值. 课外训练 【基础达标】 1.当m 为何值时，关于x 的方程234222+=-+-x x mx x 会产生增根？ 2.如果分式方程11(2)a x x x -=-有增根x=0.求a 的值. 3.若方程有 918332-=--+x x x x x 增根，求增根x.

初中数学八年级上册《分式方程及其解法》优秀教学设计

15．3 分式方程 第1课时 分式方程及其解法 1．了解分式方程的概念．(重点) 2．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，知道转化的思想方法在解分式方程中的应用．(重点) 3．了解增根的概念，会检验一个数是不是分式方程的增根，会根据增根求方程中字母的值．(难点) 一、情境导入 1．什么是方程？ 2．什么是一元一次方程？ 3．解一元一次方程的一般步骤是什么？ 我们今天将学习另外一种方程——分式方程．二、合作探究 探究点一：分式方程的概念 下列关于x 的方程中，是分式方程的是( ) A.3＋x 2＝2＋x 5 B.2x －17＝x 2 C. x π＋1＝2－x 3 D.12＋x ＝1－2x 解析：A 中方程分母不含未知数，故不是分式方程；B 中方程分母不含未知数，故不是分式方程；C 中方程分母不含表示未知数的字母，π是常数；D 中方程分母含未知数x ，故是分式方程．故选D. 方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母)． 探究点二：分式方程的解法 【类型一】 解分式方程 解方程： (1)5x ＝7x －2；(2)1x －2＝1－x 2－x －3. 解析：分式方程两边同乘以最简公分母， 把分式方程转化为整式方程求解，注意验根． 解：(1)方程两边同乘x (x －2)，得5(x －2)＝7x ，5x －10＝7x ，2x ＝－10，解得x ＝－5，检验：把x ＝－5代入最简公分母，得x (x －2)≠0，∴x ＝－5是原方程的解； (2) 方程两边同乘最简公分母(x －2)，得1＝x －1－3(x －2)，解得x ＝2，检验：把x ＝2代入最简公分母，得x －2＝0，∴原方程无解． 方法总结：解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的 解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是 代入公分母检验． 【类型二】 由分式方程的解确定字母的取值范围 关于x 的方程2x ＋a x －1＝1的解是正 数，则a 的取值范围是____________． 解析：去分母得2x ＋a ＝x －1，解得x ＝－a －1，∵关于x 的方程2x ＋a x －1＝1的解是 正数，∴x ＞0且x ≠1，∴－a －1＞0且－a －1≠1，解得a ＜－1且a ≠－2，∴a 的取值范围是a ＜－1且a ≠－2. 方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0. 探究点三：分式方程的增根 【类型一】 求分式方程的增根 若方程 3x －2＝a x ＋4x （x －2） 有增

最新人教版八年级数学上册《分式》教案

第十五章 分式 15.1分式 15.1.1从分数到分式 一、教学目标 1．了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：7 10，a s ，33 200，s v . 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时，逆流航行60千米所用时间v -2060小时， 所以v +20100=v -2060. 3. 以上的式子v +20100，v -2060，a s ，s v ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同 点？ 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．． 满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 3. 当x 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) 1-m m 3 2 +-m m 11 2+-m m 45 22--x x x x 235 -+2 3 +x x x 57+x x 3217-x x x --221

八年级上册数学分式方程应用题及答案

八年级上册数学分式方程应用题及答案 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

八年级数学下分式方程应用练习1、甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，甲单独整理需要40分完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需要再单独整理20分才能完工。问：乙单独整理需多少分钟完工 2、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900千克和1500千克，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300千克，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克 3、甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地。已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍。求步行的速度和骑自行车的速度。 4、小兰的妈妈在供销大厦用元买了若干瓶酸奶，但她在百货商场食品自选室发现，同样的酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜元，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果用去元钱，买的瓶数比第一次买的瓶数多，问：她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶 5、某商店经销一种纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售，5月份该商店对这种纪念品打九折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元。 ⑴求这种纪念品4月份的销售价格。 ⑵若4月份销售这种纪念品获利800元，问：5月份销售这种纪念品获利多少元 6、、某一项工程在招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队款万元，乙工程队款万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案一：甲队单独完成这项工程刚好如期完成；

方案二：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天； 方案三：若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独完成，也正好如期完成。 试问：在不耽误工期的情况下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款请说明理由。7、一个分数的分母比分子大7，如果把此分数的分子加17，分母减4，所得新分数是原分数的倒数，求原分数。 8、今年某市遇到百年一遇的大旱，全市人民齐心协力积极抗旱。某校师生也行动起来捐款打井抗旱，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少 9、、某超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进价比试销时的进价每千克多了元，购进苹果数量是试销时的2倍。⑴试销时该品种苹果的进价是每千克多少元 ⑵如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的七折售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元 10、某公司开发的960件新产品必须加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工48件产品的时间与乙工厂单独加工72件产品的时间相等，而且乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品，在加工过程中，公司需每天支付50元劳务费请工程师到厂进行技术指导。⑴甲、乙两个工厂每天各能加工多少件产品 ⑵该公司要选择既省时又省钱的工厂加工产品，乙工厂预计甲工厂将向公司报加工费用为每天800元，请问：乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时，有望加工这批产品

八年级数学上册《分式的概念》教案

八年级数学上册《分式的概念》教案 （第1课时） 教学目标 1 了解分式的概念。 2 通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。 3理解分式有意义的条件。 教学重点、难点： 重点：分式的概念和性质 难点：理解分式的性质。 教学过程 一创设情境，导入新课 探究： 1把三个一样的苹果分给4位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？你怎么分给他们？ （交流讨论） （1）每位小朋友分 34 （2）分法： ① 每个苹果切成四个相等的小块，共12块，每人分3块，这3块占一个苹果的34 ② 为了每个小朋友吃起来方便，每个苹果切成8块，共24块，每人分6块，这六块占一个苹果的68 。 想想这两种分法分得的是否一样多？（ 36=48，即：3326==4428??）由此表明了什么？ 分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数，分数的值不变。 分数的分子与分母约去共因数，分数的值不变。 这就是分数的基本性质。 2 (1)把上面问题变为：把3个一样的苹果分给n(m>0)位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？ 用除法表示：3n ÷，用分数表示为： 3n ，33n n ÷、相等吗？（33=n n ÷）这里的n 可以是实数吗？（n 不能为0） (2) 3 34n 与有什么区别？（后者分母含有字母）我们把前者叫分数，后者叫分式，什么叫分式呢？分式有没有和分数一样的性质？

这节课我们来学习-----分式的基本性质。（板书课题） 二合作交流，探究新知 1 分式的概念填空： （1 ）如果小王用a元人民币买了b袋相同的瓜子，那么每袋瓜子的价格是______元。（2）一个梯形木板的面积是6 2 m，如果梯形上底是am，下底是bm，那么这个梯形的高是________m. (3) 两块面积分别为a亩，b亩的稻田m kg，n kg，这两块稻田平均每亩产稻谷________kg. 观察多项式： 12 a m n b a b a b + ++ 、、这些代数式有什么共同点特点？（分子分母都是整式，分母 含有字母） 一般地，如果f、g分别表示两个整式，并且g中含有字母，那么代数式f g 叫分式。 说明：分式的分子分母一般是多项式，单项式可以看成是只有一项的多项式。分母一定含有字母。 2 分式的基本性质 思考：33a 44a 与分式相等吗？ 2 2 a b a ab b 分式与分式相等吗？ 如果a≠0, 那么33a = 44a ,只要 2 2 a b a ab b 与都意义，那么 2 2 = a b a ab b 。 你认为分式和分数具有相同的性质吗？ 分式的分子和分母都乘以或除以一个不等非零多项式，分式值不变。分式的分子与分母约去共因式，分式的值不变。 用式子表示为：设h≠0,则f f h g g h ?= ? 3 分式的值为零的条件和分式有意义的条件 例1 求分式 5 6 x x - + 的值，（1）x=3, (2)x= 2 5 - 思考：（1）要是分式 5 6 x x - + 的值为零，x应等于多少？要使分式 (5) (6)(-5) x x x - + 的值为零，x 应等于多少？ 分式值为零的条件是什么？（分子为零，分母不等于零）

分式方程及其增根问题

分式方程及其增根问题 文章来源：现代教育报·思维训练作者：都卫华点击数：2101 更新时间：2007-3-14 8:32:53 解分式方程的基本方法是通过去分母把分式方程转化为整式方程，解分式方程时，有可能产生增根（使方程中有的分母为零的根），因此解分式方程要验根（其方法是把求得的根代入最简公分母中，使分母为零的是增根，否则不是）. 【例1】解方程 . 解：方程两边同乘x（x+1），得5x-4（x+1）=0. 化简，得x-4=0. 解得x=4. 检验：当x=4时，x（x+1）=4×（4+1）=20≠0， ∴x=4是原方程的解. 【例2】解方程 解：原方程可化为， 方程两边同乘（x+1）（x-1），得（x+1）2-4=（x+1）（x-1）. 化简，得2x-3=-1.解得x=1. 检验：x=1时（x+1）（x-1）=0，x=1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解. 【小结】去分母时，方程两边同乘以最简公分母，不能漏乘常数项. 【例3】解方程 . 解：原方程可变形为 .

解得x=. 检验：当x=时，（x-7）（x-5）（x-6）（x-4）≠0， 所以x=是原方程的解. 【小结】此题若直接去分母，就会出现三次式，且计算较为复杂，该类型题的简单解法为：只把方程等号两边转化为两个分式之差，且等号两边分母的差相等；再把方程等号两边的分式分别通分，会得到两个同分子的分式相等，从而得分母相等，此解法叫做“分组通分法”. 【例4】若关于x的方程有增根x=-1，求k的值. 解：原方程可化为 . 方程两边同乘x（x+1）（x-1）得 x（k-1）-（x+1）=（k-5）（x-1）. 化简，得3x=6-k. 当x=-1时有3×（-1）=6-k，∴k=9. 【小结】因为增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值.