三阶行列式展开
9.4 （2）三阶行列式按一行（或一列）展开
一、教学内容分析
三阶行列式按一行（或一列）展开是三阶行列式计算的另外一种法
则，学习这种法则有助于学生更好地理解二阶行列式、三阶行列式的内在联系，同时这个法则也是较复杂的行列式计算的常用方法，这个法则更是蕴涵了数学问题研究过程中将复杂问题转化为简单问题的研究方法.本节课的教学内容主要围绕代数余子式的符号的确定研究三阶行列式按一行（或一列）展开法则.
二、教学目标设计
⑴ 掌握余子式、代数余子式的概念；
⑵ 经历实验、分析的数学探究，逐步归纳和掌握代数余子式的符号的确定方法和三阶行列式按一行（或一列）展开方法，体验研究数学的一般方法；
⑶体会用简单（二阶行列式）刻画复杂（三阶行列式）、将复杂问题简单化的数学思想.
三、教学重点及难点
三阶行列式按一行（或一列）展开、代数余子式的符号的确定.
四、教学过程设计
一、情景引入
【实验探究1】
（1）将下列行列式按对角线展开：
（2）对比、分析以上几个行列式的展开式，你能将三阶行列式
a1 b1 c1
a2 b2 C2表示成含有几个二阶行列式运算的式子吗？
a3 b3 C3
［说明］
(i)请学生展开几个行列式的主要目的是：巩固复习前面学习的 知识；同时，有意识地设计这几个行列式的展开，有助于学生发现三
G
C 2
C 3
等等.
二、学习新课
1 .知识解析
阶行列式运算的式子，主要有:
请同学生选择其中的一个为例谈谈他们是如何发现这些等式 的？
a i
b i
a 2 b
2
a 3 b
3
与相应的二阶行列式间的关系.
阶行列式 (2)将三阶行列式
a i
b i a 2 b
2 a
3 b
3
式子，结果可能不唯一，可以有 表示成几个含有二阶行列式运算的
a i
b i a 2 b 2
a 3
b 3
C i C
2
C
a i
b 2 C 2
b 3
C 3
b i
a 2 C 2
a 3
C 3
C i
a 2
b 2 a 3 b 3
在刚才的实验中，将三阶行列式
a i
b i
C i
a 2
b 2 C 2 a 3 b 3 C 3
表示成了含有二个二 a i
a 2 a 3
a i
a 2 a 3 a i a 2 a 3
b i C i
b 2
C 2 b 3 C
3 b i C i
b 2 C 2 b 3 C 3 b i C i b 2 C 2 b 3 C 3
b 2 C 2 b i
a 2 C 2
a 2
b 2 a i
b 3 C
3
a 3 C 3
C i
a 3
b 3
b 2
C
2
bi C i
b i
C i a i
b 3
C
3
a 2 a 3 C 3 a 3
b 2
C 2
a 2
C
2
b 2 a i C i b 3 a i C i
a 3
C
a 3 C 3
a 2 C 2
等等.
事实上，以 ai bi
a 2
b 2
a 3
b 3
C i C
2
C
a i
b 2 C 2
b 3
C 3
bi
a 2 C
a 3
C
3
C i
a 2
a 3
b
2
b 3
为例，先将展
开式 a i
bi C i a 2
b 2 C 2 a 3 b 3 C 3
a a
b 2C i a 2b i C 3 a 〔b 3C 2 变形为:
C i C 2
C
b i
象这样的展开，我们称之为三阶行列式按第一行展开.类似的， 我们可以将三阶行列式按第二行或按列展开. 从上述研究，我们不难 发现这种展开方法的关键是要找到三阶行列式某一行或某一列各个 元素的代数余子式.不难发现，要确定某元素的代数余子式，我们可 以先确定其余子式，然后确定代数余子式符号，而最主要的就是其符 号的确定.为了让学生有较深刻的体会，教师可以组织学生完成实验 探究2 . 【实验探究2】
请学生结合刚才确定a1, b1 , G 的余子式和代数余子式的方法, 完成下表，并试着研究某个元素的代数余子式的确定方法. 【工作1】
a 2
b 2 C 2 a 3 b 3 C 3
(a 〔b 2C 3 a i b 3C 2) 佰3加。2 a 2b 〔C 3) 佰2岛& a a b zG )， 然后分另U 提取 a i (b 2C 3 b 3C 2) KG3C 2 a 2G )c^b ^ a j D 2)
b 2C 3 b 3C 2
b 3 C 3
a 2 C
2 a 2C
3 a 3C 2 a 3 C
3
a 2
b 3 a 3b 2
a 2
b 2
从而很容易就得到结果了.
其中二阶行列式①、②、③分别叫做元素 添上相应的符号(正号省略)，如
ai, bi , q
的余子式，
b 2
c 2
b 3 C 3
a 2 a 3 a 2
b 2 a 3 b 3
q c 3
A 、
B i 、
C i 分别叫做元素a i , b , G 的岱笈途于式；.于是三阶行列式可 以表示
为第一行的各个元素与其代数余子式的乘积之和：
b G b 2 C 2 宅
c 3 C i
a i a 2
a 3
a i
b 2 C 2
E C 3
a 2 C 2 a 3 C 3
C i
a 2
b 2 a 3 bj
公因式，可以得到
a b G a 2 b 2 c 2 a 3 b s C 3
再利用实验中已有的展开式
【工作2】
总结代数余子式的确定方法：
［说明］
(1) 以上实验主要由学生合作完成，实验的目的主要是让学生经历实验、归纳、猜想、抽象并获得新知的过程；
(2) 教师可以将学生分成数个学习小组，合作实验研究，并交流研究结果，最后由教师总结.
(3) 通过上述研究，教师要引导学生发现：确定某个元素的余子式其实就是将这个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按照原来的位置关系所组成的二阶行列式；而这个元素的代数余子式与该元素所在行列式的位置(即第i行，第j列)有关，其代数余子式的正负号是
"(1) j” .
一般地，三阶行列式可以按其任意一行 (或一列)展开成该行(或该列)的各个元素与其代数余子式的乘积之和.其中，最关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式(尤其是其符
2 .例题解析
3
0 2 例题1.按要求计算行列式：2
1 3 2
3 1
（1） 按第一行展开； （2） 按第一列展开.
［说明］
（1） 一个三阶行列式可以按其任意一行（或一列）展开，其中，最 关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式 （尤 其是其符号）；
（2） 当一个三阶行列式的某一行（或某一列）元素中，0的个数较 多，我们往往将行列式按照该行（或该列），这样计算往往比较方便.
例题2.计算:
1 a b a d e d
K 参考答案』（1）0
［说明］ （1） 设计这样一组例
题主要有两个目的：一，考查学生的逆向思 维能力；二，为后续知识的学习做准备；
（2） 由例题2（2）计算结果，我们可以发现： 如果将三阶行列式的某一行（或一列）的元素与另一行（或一列） 的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和为零；
如果一个二阶行列式或（三阶行列式）有两彳（或两列）相同，那么 这个行列式等于零.
3 .问题拓展
思考：我们上节课已经学习了三阶行列式展开的对角线法则， 为 什么这节课还要学习按一行（或按一列）展开呢？你觉得这有什么意 义吗？ ［说明］
一个三阶行列式按一行（或按一列）展开后就转化为二阶行列式 的运算，这种将复杂问题转化为简单问题的思想方法是数学研究中常 用的方法.只要学生能领悟到这一点，马上就可以意识到任何一个行 列式（哪怕是n 阶
a ?
C 2 4
(2)0
行列式）最后都可以转化为二阶行列式的运算.
三、巩固练习
教材第99页，练习9.4 （2）.
四、课堂小结
（1）余子式、代数余子式的概念；
（2）三阶行列式按一行（或一列）展开方法.
五、作业布置
根据学生的具体情况，对习题册中的问题进行增减.
五、教学设计说明
本节课的教学内容是三阶行列式按一行（或一列）展开方法，从内容上看，这部分内容与上节课一样，同样概念性比较强，同样容易上成教师“一堂言”的枯燥无味的数学课，但是这部分内容却蕴涵了重要的数学思想方法.单纯的死记硬背不是好的学习方法，理解比记忆重要，能力比知识的本身重要.我把本节课的教学模式设计为通过实验探究、对比分析、大胆猜想、证实猜想，从而逐步获得新知，让学生体验数学学习的乐趣，感悟数学研究的一般方法.